List chromatic number of planar and bipartite graphs; the stable matching problem and solution. Made for a talk given in an under-graduate seminar on graph theory, TAU, IL.

1. ‫צביעה רשימתית‬
‫דליה גרצמן‬
‫2102.4.3‬
‫תקציר‬
‫בהרצאה זו נפתח ונרחיב את מושג הצביעה בגרפים. אם עד עתה עסקנו בגרפים בהם לכל קדקוד‬
‫יש רשימה זהה של צבעים אפשריים, כעת נאפשר לכל קדקוד רשימה שונה של צבעים, ואף גודל שונה של‬
‫רשימה. כמו תמיד, גם כאן צביעה חוקית היא כזו שלא מאפשרת לשני אובייקטים סמוכים בגרף להיות‬
‫צבועים באותו הצבע.‬
‫הקדמה‬
‫צביעה בגרפים‬
‫יהי )‪ G = (V, E‬גרף פשוט )ללא לולאות וללא קשתות כפולות(.‬
‫צביעה חוקית של ‪ G‬ב‪ k‬צבעים, היא פונקציה ]‪ f : V → [k‬כך שכל שני קדקודים סמוכים צבועים בצבעים‬
‫שונים. במפורש: עבור ‪ u, v ∈ V‬־ אם ‪ (u, v) ∈ E‬אז )‪.f (u) = f (v‬‬
‫נאמר ש‪ G‬הוא ‪ k‬צביע, ונסמן ‪ ,χ(G) = k‬אם ‪ k‬הוא המספר המינימלי עבורו קיימת צביעה חוקית‬
‫]‪.f : V → [k‬‬
‫לדוגמא הגרף הריק הוא 1 צביע, הגרף השלם על ‪ n‬קדקודים הוא ‪ n‬צביע, וגרף דו צדדי כלשהו )ובפרט‬
‫הגרף הדו"צ השלם( הוא 2 צביע.‬
‫הגדרת מושגים‬
‫יהי )‪ G = (V, E‬גרף קשיר ופשוט.‬
‫לכל ‪ v ∈ V‬נגדיר את )‪ L(v‬להיות רשימת הצבעים האפשריים של ‪.v‬‬
‫) ‪ f : V → L(V‬תקרא פונקציית בחירה אם )‪.∀v ∈ V : f (v) ∈ L(v‬‬
‫נאמר ש‪ k G‬בחיר או ‪ k‬צביע רשימתית אם לכל השמה של ‪ k‬צבעים לכל קדקוד ־ קיימת צביעה חוקית.‬
‫מספר הבחירה של ‪ G‬מסומן ב)‪ χl (G‬והוא ה‪ k‬המינימלי עבורו ‪ G‬הוא ‪ k‬בחיר.‬
‫1‬

2. ‫טענות בסיסיות‬
‫• נסמן ב)‪ (G‬את הדרגה המרבית ב‪ ,G‬ונקבל ש )‪(G‬‬
‫)מופיע בתרגיל הבית(.‬
‫+ 1 ≤ )‪ χl (G‬ע"י שימוש באלגוריתם החמדן‬
‫• מכיוון שרשימות הצבעים של הקדקודים יכולות להיות זהות, בוודאי )‪.χ(G) ≤ χl (G‬‬
‫• נראה דוגמא מתי יש אי שוויון חזק:‬
‫נתבונן ב 4,2‪) K‬גרף דו־צדדי שלם עם צדדים בגודל 2 ו4(. לכל גרף דו"צ ‪ G‬מתקיים 2 = )‪ .χ(G‬אבל‬
‫) 4,2‪ ! 2 < χl (K‬נתבונן באופן הצביעה הבא:‬
‫‪A,B‬‬
‫‪b,B‬‬
‫‪a,b‬‬
‫‪b,A‬‬
‫‪a,B‬‬
‫‪a,A‬‬
‫לא משנה אילו צבעים נבחר עבור 2‪ , v1 , v‬קיים 4 ≤ ‪ 1 ≤ j‬עבורו ‪ uj‬לא ניתן להיצבע באופן חוקי.‬
‫• מספר בחירה קשה יותר לחישוב ממספר צביעה, ולמעשה תוצאות רבות בנושא מדברות על גרפים שאינם‬
‫‪ k‬בחירים עבור ‪ k‬כלשהו.‬
‫למה 1.0 )ארדוש־ רובין־ טיילור 9791( אם‬
‫1−‪2k‬‬
‫‪k‬‬
‫= ‪ m‬אז ‪ Km,m‬אינו ‪ k‬בחיר.‬
‫הוכחה: יהיו ‪ X, Y‬צדדי החלוקה של ‪ G := Km,m‬ותהא ‪ L‬רשימה של 1 − ‪ 2k‬צבעים.‬
‫לכל ‪ v ∈ X‬נבחר ‪k‬־יה אחרת של צבעים מתוך ‪ L‬־ סה"כ 1−‪k m = 2k‬־יות שונות ל‪ m‬קדקודים שונים.‬
‫‪k‬‬
‫נפעל באותו אופן עבור כל קדקודי ‪.Y‬‬
‫נניח ‪ f‬פונקציית בחירה מ ‪ X ∪ Y‬ל ־ )]1 − ‪.P([2k‬‬
‫אם ‪ f‬משתמשת בפחות מ‪ k‬צבעים שונים בצביעת קדקודי ‪ ,X‬אזי קיימת ‪k‬־יה ‪ L ⊃ S‬של צבעים שאינם‬
‫מופיעים ב‪ .X‬לכן הקדקוד ב‪ X‬שרשימתו היא ‪ S‬לא נצבע באף צבע, וזה לא יתכן.‬
‫אם ‪ f‬משתמשת ב‪ k‬צבעים שונים או יותר בצביעת קדקודי ‪ ,X‬אזי קיימת ‪k‬־יה ‪ L ⊃ S‬של צבעים משומשים‬
‫ב‪ .X‬לכן הקדקוד ב ‪ Y‬שרשימתו היא ‪ S‬לא יוכל להיצבע באף צבע.‬
‫לכן ‪ G‬לא ‪ k‬בחיר.‬
‫גרפים מישוריים ומספרי בחירה‬
‫נמשיך עם מספר דוגמאות של גרפים בכדי לקבל אינטואיציה ולהבין היכן עומד הפער בין מספר צביעה למספר‬
‫בחירה.‬
‫ניזכר במושג גרף מישורי ־ באופן אינטואיטיבי ניתן לתאר גרף מישורי כגרף שניתן לציירו במישור כך שכל‬
‫הקשתות מצוירות ללא חציה )המפגשים היחידים בין הקשתות הם בקדקודים המשותפים עליהם הן חלות(.‬
‫משפט 4 הצבעים, שהיה אחד מהכוחות המניעים בפיתוח תורת הגרפים, מספר לנו שכל גרף מישורי ניתן‬
‫לצבוע ב4 צבעים בלבד. אך זאת בהינתן שלכל קדקוד אותה רשימת צבעים... כאן נשאלת השאלה ־ האם גרף‬
‫מישורי הוא גם 4 בחיר? ובכן, לא.‬
‫2‬

3. ‫קיימות מספר מסקנות פרטיות בנושא, כדוגמת:‬
‫• גרף מישורי ‪ k‬רגולרי, ‪ k‬צביע צלעית הוא גם ‪ k‬בחיר צלעית )בהמשך השיעור נעמיק במושג הבחירה‬
‫הצלעית, אך באופן כללי מדובר פשוט במקבילה הצלעית של מספר בחירה(.‬
‫• גרף מישורי עם מותן 5 )האורך הקצר ביותר של מעגל בגרף( הוא 5 בחיר.‬
‫• יש אפילו גרפים מישוריים עם מספר צביעה 3 שאינם 4 בחירים.‬
‫דוגמא לגרף מישורי על 57 קדקודים שאינו 4 בחיר )שי גוטנר 5991(‬
‫נגדיר את הגרף 1‪:W‬‬
‫‪u‬‬
‫1‪y‬‬
‫2‪y‬‬
‫1‪x‬‬
‫652‪a‬‬
‫65‪ab‬‬
‫‪w‬‬
‫21‪ab‬‬
‫652‪b‬‬
‫3‪y‬‬
‫431‪a‬‬
‫2‪x‬‬
‫1‪W‬‬
‫43‪ab‬‬
‫431‪b‬‬
‫3‪x‬‬
‫‪v‬‬
‫ניקח 21 עותקים שונים של 1‪ W‬ונסמנם > 21...1 = ‪ , < Gi : i‬אך נזהה בין 21 קדקודי ‪ v‬ונזהה גם בין 21‬
‫קדקודי ‪ .u‬כמו כן נוסיף קשת בין ‪ u‬ו‪ .v‬נסמן את הגרף שקיבלנו ב‪ H‬ונראה כי ‪ H‬אינו 4 בחיר.‬
‫‪u‬‬
‫21‪G‬‬
‫1‪G‬‬
‫2‪G‬‬
‫‪H‬‬
‫‪v‬‬
‫ראשית נבחר }01 ,9 ,8 ,7{ = )‪ .L(u) = L(v‬מכיוון ש )‪ ,(u, v) ∈ E(H‬לא נוכל לצבוע את ‪ u‬ו‪ v‬באותו‬
‫צבע. לכן, אפשרויות הצביעה של ‪ u, v‬הן }‪ .A := {(a, b) ∈ L(u) × L(v) : a = b‬ברור ש21 = |‪ |A‬ולכן נסמן‬
‫}21...1 = ‪ .A = {pi : i‬לכל 21...1 = ‪ i‬נבחר את רשימת הצבעים של הקדקודים הפנימיים של ‪ Gi‬כפי שמצוין‬
‫באיור 1‪ .W‬מכיוון ש‪ u‬ו‪ v‬חייבים להיצבע באופן כלשהו, בכל צביעה של ‪ H‬קיים 21 ≤ ‪ 1 ≤ i‬שמתאר את אופן‬
‫צביעתם של ‪ u‬ו‪ .v‬נסמן )‪ pi = (a, b‬ונקבל שבגרף ‪ Gi‬נהיה מוכרחים לצבוע את קדקוד ‪ w‬בצבע 1 או 2, אך‬
‫בכל אחת מהצביעות הנ"ל נגיע לסתירה, וזאת מפני שבכל אחד מצדדי ‪ w‬נקבל עותק של 3‪ K‬עם רשימות זהות‬
‫באורך 2, ואנו יודעים ש ־ 3 = ) 3‪ .χ(K‬ולכן ‪ H‬אינו 4 בחיר.‬
‫נשים לב שב‪ H‬יש 2+21*7=68 קדקודים. נראה כי ניתן לייצר מ‪ H‬גרף על 57 קדקודים, שאף הוא אינו 4‬
‫בחיר:‬
‫בשלה הזה, לכל 11 ≤ ‪ ,1 ≤ i‬נזהה בין קדקוד 2‪ y‬בגרף ‪ Gi‬עם קדקוד 2‪ x‬בגרף 1+‪:Gi‬‬
‫3‬

4. ‫‪u‬‬
‫3‪G‬‬
‫21‪G‬‬
‫2‪G‬‬
‫1‪G‬‬
‫’‪H‬‬
‫‪v‬‬
‫נסמן את הגרף שקיבלנו ב ‪ H‬ונראה שהוא אינו 4 בחיר.‬
‫נשתמש באותם סימונים עבור )‪ ,L(u), L(v‬אך נוסיף ל‪ A‬את הסימון הבא ־ לכל 11 ≤ ‪ 1 ≤ i‬נסמן‬
‫)‪ .pi+1 = (c, d) ,pi = (a, b‬כעת לקדקודים הפנימיים של ‪ Gi‬ניתן רשימת צבעים כמו קודם, אבל לכל‬
‫11 ≤ ‪ 1 ≤ i‬ניתן ל 2‪ y‬של ‪) Gi‬שהוא גם 2‪ x‬של 1+‪ (Gi‬את הרשימה )‪) (a, b, c, d‬שאולי תכיל צבעים נוספים אם‬
‫‪) .(pi pi+1 = φ‬המספרים 6,5,2,1 יוחלפו בהתאמה להשמה החדשה(.‬
‫כעת אנו מוכנים לצבוע שוב את ‪ u, v‬ולקבל 21 ≤ ‪ 1 ≤ i‬עבורו ‪ u, v‬נצבעו ב־ )‪.pi = (a, b‬‬
‫רק שגם עכשיו לא נוכל לצבוע את ‪ Gi‬־ כי עדיין נקבל משני צידי ‪ w‬עותקים של 3‪ K‬עם רשימות זהות‬
‫באורך 2.‬
‫קיבלנו גרף מישורי ‪ H‬שאינו 4 בחיר, על 11־2+21*7=57 קדקודים.‬
‫גרף זה הוא דוגמא פשוטה לגרף מישורי שאינו 4 בחיר, וקיימים גרפים מישוריים שאינם 4 בחירים בעלי מספר‬
‫קטן יותר של קדקודים.‬
‫בהמשך נראה כי כל גרף מישורי הוא 5 בחיר.‬
‫בחירה צלעית והשערת ‪(1979) Dinitz‬‬
‫אז אחרי כל זה, מה כן אפשר להגיד על מספר בחירה?‬
‫נתחיל מלהגדיר בחירה צלעית: יהי )‪ G = (V, E‬גרף.‬
‫לכל ‪ e ∈ E‬נגדיר את )‪ L(e‬להיות רשימת הצבעים האפשרית של ‪.e‬‬
‫)‪ f : E → L(E‬תקרא פונקציית בחירה צלעית אם )‪.∀e ∈ E : f (e) ∈ L(E‬‬
‫נאמר ש‪ k G‬בחיר צלעית אם לכל השמה של ‪ k‬צבעים לכל קשת ־ קיימת צביעה חוקית.‬
‫מספר הבחירה הצלעית של ‪ G‬מסומן ב)‪ χl (G‬והוא ה‪ k‬המינימלי עבורו ‪ G‬הוא ‪ k‬בחיר צלעית.‬
‫כמובן שאין אנו מוגבלים בבחירת גודל אחיד לכל הרשימות ולכן נגדיר מושג נוסף: תהא ‪.f : V → N‬‬
‫‪ G‬יקרא ‪ f‬בחיר אם ניתן לצבוע את הגרף צביעה חוקית לכל השמה של רשימת צבעים המקיימת : ‪∀v ∈ V‬‬
‫)‪.|L(v)| = f (v‬‬
‫בהמשך נקשר בין צביעה רשימתית לצביעה צלעית רשימתית על ידי המעבר לגרף הצלעות: יהי )‪G = (V, E‬‬
‫גרף. נסמן ב)‪ L(G‬את גרף הצלעות של ‪ ,G‬שמוגדר באופן הבא: קבוצת הקדקודים של )‪ L(G‬היא קבוצת‬
‫4‬

5. ‫הקשתות של ‪ ;G‬בנוסף, ‪ u, v‬קדקודים ב)‪ L(G‬מחוברים בקשת אם לקשתות ‪ u, v‬ב‪ G‬יש קדקוד משותף.‬
‫במפורש: עבור ))‪ e1 , e2 ∈ V (L(G‬מתקיים: ))‪ (e1 , e2 ) ∈ E(L(G‬אם )‪ e1 , e2 ∈ E(G‬מקיימות ‪.e1 ∩e2 = φ‬‬
‫2‪e‬‬
‫1‪e‬‬
‫3‪e‬‬
‫4‪e‬‬
‫5‪e‬‬
‫2‪e‬‬
‫3‪e‬‬
‫=‪G‬‬
‫4‪e‬‬
‫1‪e‬‬
‫5‪e‬‬
‫=)‪L(G‬‬
‫מסקנה ישירה מאופן הגדרת גרף הצעות: ))‪.χl (G) = χl (L(G‬‬
‫ובכן, שאלנו מה כן אפשר להגיד על מספר בחירה?‬
‫• ארדוש־רובין־טיילור מצאו ב9791 שגרף דו"צ שלם ‪ ,Km,n‬עבור ‪ ,3 ≤ m ≤ n‬הוא 3 בחיר אםם 3 = ‪m‬‬
‫וגם 62 ≤ ‪ .n‬בשנות התשעים הוכחו תוצאות דומות עבור ‪m‬־ים נוספים.‬
‫• השערת הבחירה הצלעית: )‪ .χl (G) = χ (G‬ההשערה עצמה לא הוכחה, אך גם לא נסתרה, וישנם‬
‫קירובים לשוויון המוצע בהשערה, כדוגמת החסם של ‪ (2000) Kahn‬־ שמצא שבכל גרף פשוט מתקיים‬
‫)‪.χl (G) ≤ (1 + o(1)) · χ (G‬‬
‫• השערת ‪) Dinitz‬אותה נוכיח בהמשך(: בכל מטריצה מסדר ‪ ,n × n‬ובכל השמה של ‪ n‬צבעים לכל איבר‬
‫במטריצה ־ ניתן לצבוע את המטריצה כך שכל צבע יופיע לכל היותר פעם אחת בכל שורה ופעם אחת‬
‫בכל עמודה. במפורש: ‪) χl (Kn × Kn ) = n‬כאשר המכפלה הקרטזית ‪ Kn × Kn‬מסמלת 2‪ n‬קדקודים‬
‫מסודרים בריבוע, כך שכל שניים מהם שכנים אםם הם באותה שורה או אותה עמודה(.‬
‫הקדמה על השערת ‪Dinitz‬‬
‫במקרה הקל ־ בו כל הרשימות זהות ־ נוכל בקלות לצבוע את המטריצה ע"י תמורות על סדר הצבעים, כמו‬
‫בדוגמא:‬
‫3 2 1‬
‫2‬
‫1‬
‫3‬
‫1‬
‫3‬
‫2‬
‫מרובע כזה נקרא מרובע לטיני ונשתמש בו בהמשך.‬
‫לעומת זאת, כבר במקרה 2 × 2 נזהה בעייתיות כאשר יש שוני בין הרשימות:‬
‫}3,2{‬
‫}2,1{‬
‫}3,2{ }3,1{‬
‫בשיעורי הבית נוכיח כי ) ‪ L(Kn,n‬הוא המכפלה הקרטזית ‪ Kn × Kn‬וכמסקנה מכך נקבל שהשערת‬
‫שקולה ל ־ ‪.χl (L(Kn,n )) = n‬‬
‫נוסיף לכך את העובדה ש ))‪ χl (G) = χl (L(G‬ונקבל שהשערת ‪ Dinitz‬שקולה ל ־ ‪Galvin) χl (Kn,n ) = n‬‬
‫5991(.‬
‫‪Dinitz‬‬
‫5‬

6. ‫בדרך להוכחה‬
‫בכדי להבין את ההוכחה של ‪ ,Galvin‬עלינו להכיר שתי טענות שכבר היו ידועות זמן רב טרם לכן. למעשה,‬
‫האלגנטיות בהוכחה של ‪ Galvin‬היא בשילוב שתי טענות אלו, והיא זו שהקנתה לו מקום של כבוד בספר‬
‫‪ .Proofs From THE BOOK‬ספר זה אוגד הוכחות אלגנטיות במיוחד מתחומים שונים במתמטיקה, ושמו‬
‫מתייחס ל‪ ,Erdös‬שטען שישנו ספר נשגב בו אלוהים שומר את ההוכחה היפה ביותר לכל משפט במתמטיקה.‬
‫האגדה מספרת ש‪ Erdös‬אמר פעם לתלמידיו "אתם לא צריכים להאמין באלוהים אלא רק בספר".‬
‫בעיית הזיווג היציב )‪:(Stable Matching Problem‬‬
‫נניח כי ישנם ‪ n‬רווקים ו‪ n‬רווקות, ולכל אחד/אחת מהם/ן יש סולם העדפות עבור בני המין השני )תמורה‬
‫כלשהי על המספרים ‪ .(1...n‬זיווג יציב הוא התאמה חח"ע ועל בין קבוצת הרווקים לקבוצת הרווקות, כך שלא‬
‫קיים זוג שהיה מעדיף להיות אחד עם השני, יותר מאשר בני הזוג שנבחרו להם.‬
‫למה 2.0 במקרה כנ"ל ־ תמיד יש זיווג יציב )‬
‫2691‬
‫‪.(Gale-Shapley‬‬
‫הוכחה: נסמן ב‪ X‬את קבוצת הנשים וב ‪ Y‬את קבוצת הגברים )במקרה בו אנו עוסקים מתקיים ‪,(|X| = |Y | = n‬‬
‫ונתבונן באלגוריתם הבא:‬
‫‪ Y‬מציע נישואין לרווקה הראשונה בסדר העדיפויות שלו. אם רווקה קיבלה‬
‫בשלב הראשון, כל רווק ‪u‬‬
‫יותר מהצעה אחת, היא בוחרת את הרווק שנמצא במיקום הגבוה ביותר בסדר העדיפויות שלה, ונשארת מאורסת‬
‫לו. שאר הרווקים נדחים ויוצרים את המאגר ‪.R‬‬
‫בשלב השני, כל הרווקים ב‪ R‬מציעים נישואין לרווקה השנייה בסדר העדיפויות שלהם. כעת הרווקות משוות‬
‫את ההצעות החדשות )יחד אולי עם הצעה קודמת שכבר יש לה( ובוחרת מחדש את הרווק אליו היא רוצה להיות‬
‫מאורסת. שאר הרווקים שנדחו יוצרים שוב את המאגר ‪ ,R‬מציעים נישואין לרווקות הבאות בסדר העדיפויות‬
‫שלהם, וחוזר חלילה.‬
‫אחרי לכל היותר ‪ n‬איטרציות המאגר ‪ R‬נותר ריק, ואז האלגוריתם ייעצר.‬
‫נראה כי כאשר האלגוריתם נעצר ־ אנו מקבלים זיווג יציב:‬
‫‪ ,X‬הוחלפו בסדר עולה )מבחינת סדר‬
‫ראשית נבחין כי הרווקים שהיו מאורסים לרווקה מסוימת ‪v‬‬
‫העדיפויות של הרווקה(, מפני שבכל שלב הרווקה משווה בין ההצעות החדשות לבין הזיווג הקיים )אם יש( ואז‬
‫בוחרת את המועדף עליה ביותר. לכן אם רווק ‪ Y u‬הוא אינו בעלה המיועד של הרווקה ‪ ,v‬אז או ש‪ u‬מעולם‬
‫לא הציע נישואין ל‪) v‬במקרה זה הוא מצא זיווג טוב יותר לעצמו(, או ש‪ u‬הציע נישואין ל‪ v‬אבל נדחה )במצב‬
‫זה ‪ v‬היא זו שמצאה לעצמה זיווג טוב יותר(.‬
‫וזה בדיוק התנאי לזיווג יציב.‬
‫‪2nd round‬‬
‫1‬
‫1‬
‫1‬
‫1‬
‫1 2 3 :1‬
‫1 2 3 :1‬
‫2‬
‫דוגמא עבור 3 = ‪:n‬‬
‫‪1st round‬‬
‫‪Women‬‬
‫‪Men‬‬
‫2‬
‫2‬
‫2‬
‫2 1 3 :2‬
‫2 3 1 :2‬
‫3‬
‫3‬
‫3‬
‫3‬
‫2 3 1 :3‬
‫2 1 3 :3‬
‫6‬

7. ‫לפני שנמשיך לטענה הבאה, ניזכר מהו גרף מכוון ונגדיר מהו גרעין של גרף מכוון:‬
‫• גרף מכוון )‪ D = (V, E‬הוא זוג, כך ש ‪ V‬היא קבוצה של קדקודים, ו‪ E‬היא תת קבוצה של המכפלה‬
‫הקרטזית ‪ V × V‬המייצגת את הקשתות המכוונת בגרף. נוכל גם מגרף לא מכוון )‪ G = (V, E‬ליצור גרף‬
‫מכוון ‪ D‬ע"י קביעת אוריינטציה של כל אחת מהקשתות בגרף.‬
‫→‬
‫• לקשת )‪ e = (− v‬בגרף מכוון ־ נגדיר את ‪ u‬להיות הזנב )קודם( של ‪ ,e‬ואת ‪ v‬להיות הראש )עוקב( של ‪.e‬‬
‫,‪u‬‬
‫• דרגת היציאה של קודקוד ‪ u‬היא מספר הקשתות שיוצאות ממנו )שהוא הזנב שלהן( ומסומנת ב)‪.d+ (u‬‬
‫‪D‬‬
‫• דרגת הכניסה של קודקוד ‪ u‬היא מספר הקשתות הנכנסות אליו )שהוא הראש שלהן( ומסומנת ב)‪.d− (u‬‬
‫‪D‬‬
‫)נשים לב: )‪(d(u) = d− (u) + d+ (u‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫• גרעין של גרף מכוון ‪ D‬היא קבוצה בלתי תלויה ‪) S‬קבוצה ב"ת = קבוצת קדקודים שאף צמד מהם לא‬
‫מחובר בקשת(, כך שכל קדקוד שאינו ב‪ ,S‬הוא זנב לקשת שראשה ב‪ .S‬בניסוח שקול: לכל ‪ v ∈ S‬יש‬
‫/‬
‫עוקב ב‪.S‬‬
‫• גרף מכוון ‪ D‬יקרא מושלם גרעין אם לכל תת גרף מושרה של ‪ D‬יש גרעין.‬
‫לדוגמא נתבונן בגרף המכוון הבא:‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫‪e‬‬
‫‪a‬‬
‫}‪ {a, b, d‬היא גרעין, אבל לתת גרף המושרה ע"י }‪ {a, c, e‬אין גרעין, ולכן גרף זה אינו מושלם גרעין.‬
‫למה 3.0 יהי )‪ G = (V, E‬גרף לא מכוון. אם ‪ D‬הוא אוריינטציה מושלמת גרעין של ‪ G‬ו‪ f : V → N‬מקיימת‬
‫)‪ ,∀v ∈ V : 1 + d+ (v) ≤ f (v‬אזי ‪ G‬הוא ‪ f‬בחיר.‬
‫‪D‬‬
‫הוכחה: באינדוקציה על | ‪.n = |V‬‬
‫עבור ‪ v‬הקדקוד היחיד ב‪ .G‬אם )‪ 1 ≤ f (v‬אזי כמובן שנוכל לצבוע את‬
‫בסיס האינדוקציה: 0 =‬
‫הגרף.‬
‫צעד האינדוקציה: יהיו ‪ G‬ו‪ D‬כמו בטענה, ותהא השמה כלשהי של צבעים המקיימת = |)‪∀v ∈ V : |L(v‬‬
‫)‪ .f (v‬יהי ‪ c‬צבע כלשהו המופיע ברשימה כלשהי, ונסמן })‪.U = {v : c ∈ L(v‬‬
‫‪ D‬מושלם גרעין ולכן קיימת ‪ U ⊃ S‬שהיא הגרעין של ‪ .U‬עבור הקדקודים ב‪ S‬נבחר את הצבע ‪ c‬־ דבר‬
‫האפשרי עקב היות ‪ S‬קבוצה ב"ת.‬
‫כעת נמחק את ‪ S‬מ‪ ,D‬נמחק את ‪ c‬מרשימת הצבעים של הקדקודים ב‪ ,U S‬ונסמן ב ‪ D‬את הגרף שנותר־‬
‫]‪.D := D[V S‬‬
‫נבחין כי ב ‪ D‬מתקיים: לכל ‪ u ∈ U S‬הורדנו צבע אחד מרשימת הצבעים, והורדנו לפחות 1 מדרגת‬
‫היציאה )כי ‪ S‬גרעין של ‪ (U‬־ לכן )‪ .∀v ∈ U S : 1 + d+ (v) ≤ f (v‬בנוסף, עבור ‪ u ∈ V U‬לא שינינו את‬
‫‪D‬‬
‫רשימת הצבעים, אך יתכן שהורדנו את דרגת היציאה ולכן )‪.∀v ∈ V U : 1 + d+ (v) ≤ f (v‬‬
‫‪D‬‬
‫לכן לפי הנחת האינדוקציה ‪ D‬הוא ‪ f‬בחיר.‬
‫נוסיף את הצביעה ‪ c‬של קדקודי ‪ S‬ונקבל ש‪ D‬הוא ‪ f‬בחיר, כדרוש.‬
‫)‪d+ (v‬‬
‫‪D‬‬
‫7‬

8. ‫כעת אנו מוכנים להמשיך:‬
‫הוכחת ‪ Galvin‬להשערת ‪Dinitz‬‬
‫)‪(χl (Kn,n) = n‬‬
‫הוכחה: מכיוון ש ))‪ ,χl (G) = χl (L(G‬לפי טענה 3.0 מספיק שנוכיח שלגרף ) ‪ G = L(Kn,n‬יש אוריינטציה‬
‫מושלמת גרעין, עבורה לכל קדקוד יש דרגת יציאה 1 − ‪) n‬וזאת מפני שאנו בעצם רוצים להוכיח ש‪ G‬הוא ‪f‬‬
‫צביע עבור הפונקציה הקבועה ‪ .(n‬נשים לב גם כי 2 − ‪ ∀v ∈ L(Kn,n ) : d(v) = 2n‬ולכן נקבל גם שדרגת‬
‫הכניסה היא 1 − ‪.n‬‬
‫כפי שציינו קודם, ‪ G‬הוא המכפלה הקרטזית ‪ Kn × Kn‬ולכן נצייר אותו במטריצה מסדר ‪ ,n × n‬כך‬
‫שכל שני קדקודים הם סמוכים אםם הם באותה שורה או אותה עמודה. את הקדקודים במטריצה נסמן ב‬
‫)‪ ,(1, 1) ≤ (i, j) ≤ (n, n‬ונקבל ש )‪ (i, j‬ן)‪ (k, l‬שכנים אםם ‪ i = k‬או ‪.j = l‬‬
‫יהי ‪ L‬ריבוע לטיני עם האותיות }‪) {1...n‬השמה של ]‪ [n‬במטריצה מסדר ‪ n × n‬כך שכל מספר מופיע פעם‬
‫אחת בכל שורה ובכל עמודה(; נסמן ב)‪ L(i, j‬את ההשמה ב)‪ (i, j‬לפי ‪ .L‬נגדיר את הגרף המכוון ‪ D‬כך שלכל‬
‫)‪ (i, j‬נכוון את הקשתות באופן הבא:‬
‫− − −−‬
‫→− − −‬
‫− − −−‬
‫→− − −‬
‫)) ‪ ((i, j), (i, j‬אם ) ‪ L(i, j) < L(i, j‬ו ))‪ ((i, j), (i , j‬אם )‪) L(i , j) < L(i, j‬כלומר: בשורות הקשתות‬
‫מכוונות בסדר עולה ביחס להשמה של ‪ ,L‬ובעמודות בסדר יורד(‬
‫3‬
‫3‬
‫2‬
‫1‬
‫3‬
‫3‬
‫2‬
‫1‬
‫1‬
‫3=‪n‬‬
‫2‬
‫1‬
‫2‬
‫2‬
‫1‬
‫3‬
‫1‬
‫3‬
‫2‬
‫נסמן לרגע ‪ L(i, j) = k‬עבור ‪ i, j‬כלשהם. אזי בשורה ה‪ i‬יש ‪ n − k‬קשתות שיוצאות מ)‪ ,(i, j‬ובעמודה ה‪j‬‬
‫יש 1 − ‪ k‬קשתות שיוצאות מ)‪ .(i, j‬בסה"כ 1 − ‪.∀v ∈ D : d+ (v) = n‬‬
‫‪D‬‬
‫כל שנותר להראות הוא שלכל תת גרף של ‪ D‬יש גרעין.‬
‫תהא אם כן ‪ .V ⊇ U‬נמצא גרעין ל ‪ U‬ע"י פתרון בעיית הזיווג היציב:‬
‫− − −−‬
‫→− − −‬
‫לשורה ה‪ i‬נגדיר העדפות באופן הבא ־ אם ‪ (i, j) ∈ U‬וגם ))‪) ((i, j ), (i, j‬כלומר )‪ ,(L(i, j ) < L(i, j‬אז‬
‫‪ i‬יעדיף את ‪ j‬על פני ‪ .j‬כך סדר ההעדפות של שורה ‪ i‬מתחיל ב} ‪{j : (i, j) ∈ U‬בסדר יורד ביחס להשמה של‬
‫‪) L‬מפני שהקשתות בשורות מכוונות בסדר עולה(, ולאחר מכן } ‪ {j : (i, j) ∈ U‬בסדר כלשהו.‬
‫/‬
‫− − −−‬
‫→− − −‬
‫לעמודה ‪ j‬נגדיר העדפות באופן הבא ־ אם ‪ (i, j) ∈ U‬וגם ))‪) ((i , j), (i, j‬כלומר )‪ ,(L(i, j) < L(i , j‬אז‬
‫‪ j‬יעדיף את ‪ i‬על פני ‪ .i‬כך סדר ההעדפות של עמודה ‪ j‬מתחיל ב} ‪{i : (i, j) ∈ U‬בסדר עולה ביחס להשמה‬
‫של ‪) L‬מפני שהקשתות בעמודות מכוונות בסדר יורד(, ולאחר מכן } ‪ {i : (i, j) ∈ U‬בסדר כלשהו.‬
‫/‬
‫‪j‬‬
‫1‬
‫4‬
‫3‬
‫2‬
‫2‬
‫3‬
‫4‬
‫)4,1( , 3 , 2 : ‪j‬‬
‫)4,1( , 2 , 3 : ‪i‬‬
‫מטענה 2.0 קיים ל‪ n × n‬זיווג יציב ‪.M‬‬
‫נראה ש ‪ S = M ∩ U‬הוא גרעין של ‪.U‬‬
‫8‬
‫1‬
‫‪i‬‬

9. ‫ראשית, ‪ M ∩ U‬בבירור קבוצה בלתי תלויה ב ‪ U‬מפני שהיא קבוצה בלתי תלויה ב‪) D‬ב ‪ M‬יש בדיוק קדקוד‬
‫אחד מכל שורה ואחד מכל עמודה(.‬
‫שנית, יהי ‪ .v = (i, j) ∈ U S‬נראה כי ל‪ v‬יש עוקב ב‪ .S‬נסמן )‪ ,a = L(i, j‬ונבחין כי ‪v ∈ M‬‬
‫/‬
‫)) ‪ .((U S = U (M ∩ U ) = U M ) ⇐ (S = M ∩ U‬לכן יש ב ‪ M‬קדקודים )‪.w = (l, j) ,u = (i, k‬‬
‫נסמן )‪.c = L(l, j) ,b = L(i, k‬‬
‫מכך ש ‪ M‬זיווג יציב, לא יתכן ש‪ i‬מעדיף את ‪ j‬על פני ‪ ,k‬וגם ‪ j‬מעדיף את ‪ i‬על פני ‪.l‬‬
‫מכך נקבל של‪ v‬יש עוקב ב‪ S‬־ ‪ u‬או ‪:w‬‬
‫‪j‬‬
‫‪k‬‬
‫‪v:a‬‬
‫‪u:b‬‬
‫‪w:c‬‬
‫‪i‬‬
‫‪l‬‬
‫לא ] ) ‪ i‬מעדיף את ‪ j‬על פני ‪ ( k‬וגם ) ‪ j‬מעדיף את ‪ i‬על פני ‪[ ( l‬‬
‫⇐ לא ] ) ‪ u ∈ U‬או ‪ (b < a‬וגם ) ‪ w ∈ U‬או ‪[ ( a < c‬‬
‫/‬
‫/‬
‫⇐ ) ‪ u ∈ U‬וגם ‪ (a < b‬או ) ‪ w ∈ U‬וגם ‪[ ( c < a‬‬
‫⇐ ‪ v → u ∈ S‬או ‪v → w ∈ S‬‬
‫משפט ‪Thomassen‬‬
‫)4991(‬
‫נמשיך עם הכיוון החיובי ונחזור לגרפים מישוריים:‬
‫משפט 4.0 גרפים מישוריים הם 5 בחירים.‬
‫הוכחה: יהי )‪ G = (V, E‬גרף מישורי. מכיוון שהוספת צלעות לא יכולה להוריד את מספר הבחירה, נוסיף‬
‫צלעות עד שהפאה החיצונית תהיה תחומה ע"י מעגל, וכל פאה חסומה היא משולש.‬
‫באינדוקציה על | ‪ n = |V‬נוכיח טענה יותר חזקה ־ נוכיח כי ‪ G‬הוא 5 צביע גם אם )‪(i‬על המעגל החיצוני שלו‬
‫ישנם שני קדקודים סמוכים עם רשימות שונות באורך 1, ואילו )‪(ii‬שאר הקדקודים על המעגל הם בעלי רשימות‬
‫באורך לפחות 3.‬
‫במקרה הבסיס 3 = ‪ G :n‬הוא משולש, בו לשני קדקודים יש רשימות שונות באורך 1, ואילו עבור הקדקוד‬
‫השלישי נותר צבע פנוי בכדי להשלים צביעה חוקית.‬
‫במקרה הכללי: יהי ‪ 4 ≤ n‬כלשהו, ונניח כי )‪(iii‬טענת האינדוקציה מתקיימת לכל ‪ .n > k‬נוכיח כי במקרה‬
‫זה הטענה נכונה גם עבור ‪.k = n‬‬
‫נסמן ב‪ C‬את המעגל החיצוני ב‪ ,G‬ב‪ p‬את מספר הקדקודים על המעגל, וב ‪ v1 , ..., vp‬את הקדקודים על‬
‫המעגל )בכיוון השעון( כך ש ‪ v1 , vp‬הם הקדקודים בעלי הרשימה באורך 1.‬
‫9‬

10. ‫נבחין כי יש שתי אפשרויות ־ יש מיתר ב‪ C‬או שאין מיתר ב‪.C‬‬
‫2‪v‬‬
‫3‪v‬‬
‫‪um‬‬
‫‪vi‬‬
‫1‪v‬‬
‫1‪u‬‬
‫1‪v‬‬
‫‪vp‬‬
‫‪vp‬‬
‫‪no chord‬‬
‫‪chord‬‬
‫‪vj‬‬
‫אם יש מיתר ב‪ :C‬נסמנו ‪ vi vj‬כאשר 2 − ‪) 1 ≤ i ≤ j − 2 ≤ p‬וכמובן ‪.(vi vj = v1 vp‬‬
‫מהנחת האינדוקציה, למעגל 1‪ v1 ...vi vj ...vp v‬ולצלעות שבתוכו קיימת צביעה חוקית. צביעה זו קובעת צבעים‬
‫עבור ‪ ,vi , vj‬ולכן נוכל להפעיל את הנחת האינדוקציה גם על המעגל ‪) vi vi+1 ...vj vi‬ועל הצלעות שבתוכו( ולקבל‬
‫צביעה חוקית של כל הגרף.‬
‫באופן פורמלי: נסמן ב 1‪ G‬את הגרף הנפרש ע"י המעגל 1‪ v1 ...vi vj ...vp v‬והקדקודים שבתוכו. נבחין כי‬
‫1‪ G‬מקיים את התנאים בהנחת האינדוקציה: )‪(i‬לקדקודים ‪ v1 , vp‬יש רשימות צבעים שונות בגודל 1, )‪(ii‬לשאר‬
‫הקדקודים על המעגל החיצוני יש רשימות באורך לפחות 3, וכן )‪ .|V (G1 )| < |(V (G)|(iii‬לכן לפי הנחת‬
‫האינדוקציה, קיימת צביעה חוקית 1‪ f‬של 1‪.G‬‬
‫נסמן ב 2‪ G‬את הגרף הנפרש ע"י המעגל ‪ vi vi+1 ...vj vi‬והקדקודים שבתוכו. נבחין כי 2‪ G‬בוודאי מקיים את‬
‫התנאים )‪ (ii), (iii‬בהנחת האינדוקציה , ואילו עבור )‪ (i‬־ נקבע את הצבעים של ‪ vi , vj‬לפי השמת הצבעים של‬
‫1‪) f‬במפורש: ) ‪ .(LG2 (vj ) = f1 (vj ) , LG2 (vi ) = f1 (vi‬לכן לפי הנחת האינדוקציה קיימת ל 2‪ G‬צביעה חוקית‬
‫2‪.f‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪f (v) v ∈ V (G‬‬
‫1‬
‫1‬
‫= )‪ (f1 ∪ f2 )(v‬היא פונקציית בחירה ב‪ G‬ולכן ‪ G‬הוא 5 צביע.‬
‫כעת‬
‫) ‪f (v) v ∈ V (G‬‬
‫2‬
‫2‬
‫)נבחין כי היא מוגדרת היטב: ) 2‪(f1 (v) = f2 (v) ⇐ v ∈ V (G1 ) ∩ V (G‬‬
‫אם אין מיתר ב‪ :C‬יהיו 3‪ (3 ≤ p) v1 , u1 , ..., um , v‬השכנים של 2‪ v‬נגל כיוון השעון. פאות חסומות ב‪ G‬הן‬
‫משולשים, ולכן קיים ב‪ G‬הילוך 3‪.P = v1 u1 ...um v‬‬
‫הנחנו כי ב‪ C‬אין מיתר, ולכן ‪ u1 , ..., um‬הם קדקודים פנימיים ב‪) G‬הם לא על ‪.(C‬‬
‫נסמן לרגע } 2‪ G := G {v‬ונקבל שהפאה החיצונית של ‪ G‬תחומה ע"י מעגל ‪ C‬בו ‪ P‬מחליף את 3‪.v1 v2 v‬‬
‫נסמן ב‪ c‬את הצבע היחיד ברשימה של 1‪ 3 ≤ |L(v2 )| .v‬ולכן קיימים שני צבעים שונים }‪.x, y ∈ L(v2 ) {c‬‬
‫נשמור את ‪ x, y‬ל 2‪ v‬ע"י כך שנמחק אותם מהרשימות של ‪.u1 , ..., um‬‬
‫כעת ‪ G‬מקיים את התנאים בהנחת האינדוקציה: )‪3 ≤(ii) ,L(v1 ) = L(vp ) ,|L(v1 )| = |L(vp )| = 1(i‬‬
‫|)‪ |L(v‬לכל ‪ v‬במעגל החיצוני, וכן )‪ .|V (G )| < |V (G)|(iii‬נפעיל, אם כן, את הנחת האינדוקציה על ‪ G‬ונקבל‬
‫צביעה חוקית על 2‪.G − v‬‬
‫פרט ל 3‪ ,v‬הצבעים ‪ x‬ו‪ y‬אינם שייכים לרשימות של השכנים של 2‪ ;v‬אם 3‪ v‬נצבע באחד הצבעים ‪ x/y‬־ עדיין‬
‫נותר צבע פנוי לצביעת 2‪ v‬ובכך להשלמת צביעה חוקית של ‪.G‬‬
‫רשימת מקורות‬
‫]1[‬
‫‪Proofs from THE BOOK - Martin Aigner, Günter M. Ziegler‬‬
‫]2[‬
‫‪Introduction to Graph Theory - Douglas B. West‬‬
‫]3[‬
‫‪The complexity of planar graph choosability - Shai Gunter‬‬
‫01‬