SlideShare une entreprise Scribd logo

צביעה של גרפים מקריים

•
•
Dalya Gartzman
Dalya Gartzman

The chromatic number of random graphs. Made for a talk given in a graduate guided reading course on random graphs, TAU,IL. Based on Topics in Random Graphs course by Prop. Michael Krivelevich.

FormationTechnologie
1  sur  9
Télécharger pour lire hors ligne
‫קורס קריאה בגרפים מקריים ־ הרצאה מספר 7‬ ‫צביעה של גרפים מקריים ־ דליה גרצמן‬ ‫31.21.13‬ ‫תקציר‬ ‫בגרף דטרמיניסטי ‪ G pV, E q‬צביעה היא חלוקה של קדקודי הגרף לקבוצות בלתי תלויות; מספר הצביעה של ‪ G‬הוא‬ ‫המספר המינימלי של קבוצות בלתי תלויות המהוות חלוקה של קדקודי ‪ .G‬ומה קורה כאשר ‪ ?G G pn, pq‬כיצד ניתן אז‬ ‫להעריך את מספר הצביעה?. נראה כאן כי למעשה מספר הצביעה של ‪ G G pn, pq‬נמצא )בהסתברות גבוהה( בסביבת‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ . 2 log n‬נמשיך ונדבר על צביעה רשימתית ונראה שלמרות שלכל קדקוד יש אולי רשימה אחרת של צבעים אפשריים, עדיין‬ ‫2‬ ‫מספר הבחירה נמצא )בהסתברות גבוהה( קרוב מאוד למספר הצביעה.‬ ‫הערה 1.0 היום לאורך כל המפגש נשתמש בסימון ‪.log x : log2 x‬‬ ‫1‬ ‫1.1‬ ‫צביעה קדקודית‬ ‫הקדמה‬ ‫יהי ‪ G pV, E q‬גרף.‬ ‫קבוצה ‪ A‬‬ ‫הגדרה 1.1‬ ‫‪ V‬נקראת בלתי תלויה אם היא אינה פורשת אף קשת מ־‪.E‬‬ ‫הגודל המקסימלי של קבוצה בלתי תלויה ב־‪ G‬נקרא מספר האי־תלות של ‪ ,G‬ומסומן ב־‪.α pGq‬‬ ‫‪k‬־צביעה של ‪ G‬היא חלוקה ‪ V1  ¤ ¤ ¤  Vk‬‬ ‫באופן שקול, ‪ f : V Ñ rk s‬היא ‪k‬־צביעה אם לכל ‪ E  pv, uq‬מתקיים ‪.f puq $ f pv q‬‬ ‫‪ V‬כך ש־ ‪ Vi‬בלתי תלויה לכל ‪.i‬‬ ‫‪ G‬הוא ‪k‬־צביע אם קיימת לו ‪k‬־צביעה.‬ ‫המספר הכרומטי של ‪ ,G‬המסומן ב־‪ ,χ pGq‬הוא הטבעי המינימלי ‪ k‬עבורו ‪ G‬הוא ‪k‬־צביע.‬ ‫טענה 2.1‬ ‫‪¤ χ pGq‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫|‪V‬‬ ‫‪. α|pGq‬‬ ‫תהא ‪ V1  ¤ ¤ ¤  Vk‬‬ ‫‪°k‬‬ ‫‪k V‬־צביעה של ‪ .k χ pGq ,G‬אז ‪ |Vi | ¤ k ¤ α pGq‬‬ ‫1 ‪i‬‬ ‫המשפט המרכזי לפרק:‬ ‫¨‬ ‫ ‬ ‫משפט 3.1 יהי 1 ,‪ .G G n‬אז בהסתברות גבוהה מתקיים‬ ‫2‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 log n‬‬ ‫‪.χ pGq p1   o p1qq‬‬ ‫1‬ ‫ | ‪.|V‬‬
‫2.1‬ ‫הוכחת החסם התחתון‬ ‫יהי ‪ n ¥ k‬מספר טבעי. אז תוחלת מספר הקבוצות בגודל ‪ k‬הבלתי תלויות ב־‪ G‬נתונה עי‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫ ¢ ¢‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫¤‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ ‪f pk q f pk, nq‬‬ ‫עבור ‪k‬־ים גדולים כמובן נצפה שתוחלת זו תהיה קטנה, ולכן נוכל לסמן‬ ‫‪ max tk|f pkq ¥ 1u‬‬ ‫כלומר לכל ‪  k‬‬ ‫¦ ‪ k‬מתקיים 1   ‪k s‬‬ ‫‪indep. sets of size‬‬ ‫¦‪k‬‬ ‫#‪.E r‬‬ ‫¦ ‪.k‬‬ ‫טענה 4.1 ‪ p2   o p1qq log n‬‬ ‫הוכחה: אנו מחפשים מתי 1 ‪:f pk q‬‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫‪log n ¡ log k‬‬ ‫‪ðñ‬‬ ‫ ¢‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫‬ ‫‪kikkj‬‬ ‫‪hk log k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫!‪k log n ¡ log k‬‬ ‫‪ðñ n {k! 2p q ðñ‬‬ ‫‪ðñ k 2 log n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫‪k‬‬ ‫1‬ ‫ ¢‬ ‫‪n ¡pkq‬‬ ‫2 2‬ ‫‪k‬‬ ‫מסקנה 5.1 1   ¦ ‪ α pGq ¤ k‬בהסתברות גבוהה.‬ ‫הוכחה: מהגדרת ¦ ‪ k‬מתקיים 1   ‪ .f pk ¦   1q‬לכן:‬ ‫1  ¦ ‪¨   1 ¨ k‬‬ ‫ ¢‬ ‫2¡ ‪¤ 2 p q n ¡ pk¦   1q ¡pk¦ 1q n ¡ 2 log n‬‬ ‫1‬ ‫2 2   ¦‪   ¨   ¨p ¦  q k‬‬ ‫‪ 2 log n n O n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫1‬ ‫2 ¤ 2  ¦ ‪k‬‬ ‫1  ¦ ‪k‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪n‬‬ ‫ ‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫‪f p k ¦   2q‬‬ ‫‪f pk ¦   1 q‬‬ ‫ואז נקבל‬ ‫‪ o p1 q‬‬ ‫ ¢‬ ‫1‬ ‫¦‬ ‫¦‬ ‫‪sets of size k ¦   2s f pk   2q f pk   1q ¤ O‬‬ ‫‪n‬‬ ‫.‪indep‬‬ ‫#‪E r‬‬ ‫וממרקוב נקבל את הדרוש‬ ‫‪pp# indep. sets of size k¦   2q ¥ 1q ¤ E r# indep. sets of size k¦   2s o p1q‬‬ ‫‪ñ Pr pα pGq ¤ k¦   1q 1 ¡ o p1q‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫לבסוף, מטענה‬ ‫2.1‬ ‫נקבל את החסם התחתון המבוקש:‬ ‫‪n‬‬ ‫‪¥ k¦ n 1 p1   o p1qq 2 log n‬‬ ‫ ‬ ‫3.1‬ ‫הוכחת החסם העליון‬ ‫בשביל הוכחת החסם העליון נידרש למספר כלים:‬ ‫2‬ ‫‪n‬‬ ‫‪α pGq‬‬ ‫¥ ‪.χ pGq‬‬
‫1.3.1‬ ‫אש ינסון ‪pJansonq‬‬ ‫אש ינסון, באופן כללי, מציב חסם עליון על ההסתברות של משתנה מקרי שלם ואי שלילי, להיות אפס.‬ ‫במפורש:‬ ‫1. סביבת העבודה:‬ ‫)א(‬ ‫תהא ‪ Ω‬קבוצה סופית. נבנה תת קבוצה אקראית של ‪ Ω‬באופן הבא: כל ‪ Ω  r‬נבחר בהסתברות ‪pr € Rq pr‬‬ ‫באופן בלתי תלוי באיברים האחרים.‬ ‫דוגמא טיפוסית: ‪ 1 ,Ω E pKnq‬‬ ‫2‬ ‫¨‬ ‫‪,pr‬‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫‪Pr‬‬ ‫ ‬ ‫,‪.R G n‬‬ ‫)ב( תהא ‪ I‬קבוצת אינדקסים ונתבונן במשפחה של תק של ‪ Ω‬־ ‪.tAi ui€I‬‬ ‫)ג( השאלה הנשאלת היא: מהי ההסתברות שאף אחת מהקבוצות ‪ Ai‬אינה נמצאת כולה ב־‪.?R‬‬ ‫2. לצורך מענה על שאלה זו:‬ ‫)א( לכל ‪ Ai‬נגדיר את האינדיקטור המתאים לה‬ ‫‪€R‬‬ ‫6‬ ‫18‬ ‫‪Ai‬‬ ‫7‬ ‫‪Xi‬‬ ‫‪0 otherwise‬‬ ‫נקבל אז:‬ ‫‪pr‬‬ ‫¹‬ ‫€‬ ‫ ‪pXi 1q E rXis‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫‪r Ai‬‬ ‫)ב( נגדיר בנוסף משתנה מקרי שהוא סכום האינדקטורים‬ ‫‪Xi‬‬ ‫¸‬ ‫€‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i I‬‬ ‫ונסמן‬ ‫‪pr‬‬ ‫¹¸‬ ‫€ €‬ ‫ ‪E rXi s‬‬ ‫‪i I r Ai‬‬ ‫¸‬ ‫ ‪µ E rX s‬‬ ‫€‬ ‫‪i I‬‬ ‫)ג( אז ניתן לנסח את השאלה באופן הבא:‬ ‫? ‪pX 0q‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫• מקרה קצה: אם ‪ tAi u‬זרות בזוגות, כלומר יש אי תלות בין ההסתברויות שלהן להיות מוכלות ב־‪ ,R‬אז נקבל‬ ‫)1(‬ ‫‪ e¡µ‬‬ ‫‬ ‫‪pr‬‬ ‫¹‬ ‫€‬ ‫‪r Ai‬‬ ‫)ד(‬ ‫£‬ ‫¡‬ ‫‪exp‬‬ ‫¹‬ ‫€‬ ‫¤‬ ‫‬ ‫‪pr‬‬ ‫‪i I‬‬ ‫¹‬ ‫€‬ ‫£‬ ‫¡1‬ ‫‪r Ai‬‬ ‫¹‬ ‫€‬ ‫ ‪pXi 0q‬‬ ‫‪i I‬‬ ‫‪ppAi € Rq ” pAj € Rqq‬‬ ‫¸‬ ‫  ‬ ‫‪i j,i j‬‬ ‫3‬ ‫€‬ ‫ ‪pX 0q‬‬ ‫‪i I‬‬ ‫מכיוון שבמקרה הכללי ישנם חיתוכים בין הקבוצות, נרשום ‪ i j‬אם ‪$ φ‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫¹‬ ‫‪ Ai ˆ Aj‬ונגדיר‬ ‫∆‬ ‫‪Pr‬‬
‫כעת אנו מוכנים לניסוח של אש ינסון:‬ ‫משפט 6.1 )אש ינסון( תחת הסימונים לעיל,‬ ‫∆‬ ‫2‬ ‫ ‪pX 0q ¤ e¡µ‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫אם בנוסף מתקיים ∆ ¤ ‪) µ‬נקרא גם הגרסא המורחבת של אש ינסון( אז‬ ‫2‪µ‬‬ ‫∆2‬ ‫¡ ‪p X 0q ¤ e‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫∆ הוא חסם עליון על סכום השונויות המשותפות של ‪ tXi u‬ולכן מהווה חסם עליון של השגיאה‬ ‫הסבר על רגל אחת:‬ ‫ב־)1(‬ ‫במקרה בו אין אי תלות מוחלטת.‬ ‫2.3.1‬ ‫אי תלות ומספר צביעה‬ ‫תכנית הפעולה להוכחת החסם העליון:‬ ‫1. נראה חסם על עליון על מספר הצביעה של גרף המקיים תכונה מסוימת.‬ ‫2. נראה שבהסתברות גבוהה הגרף ‪ G G pn, pq‬מקיים תכונה זו.‬ ‫3. נסיק את החסם העליון המבוקש.‬ ‫טענה 7.1‬ ‫יהיו 1 ¥ ‪¥ m ¥ k‬‬ ‫‪ n‬שלמים, ויהי ‪ G‬גרף על ‪ n‬קדקודים שבו כל תק של ‪ m‬קדקודים פורשת קבוצה בלתי תלויה‬ ‫בגודל ‪ k‬לפחות. אז‬ ‫‪ m‬‬ ‫¤ ‪χ pGq‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫הוכחה: נוכיח עי הסרה איטרטיבית של קדקודי הגרף:‬ ‫מצב התחלתי: 1 ‪.GI : G , i‬‬ ‫1. כל עוד |‪ m ¤ |V pGI q‬־ נמצא קבוצה בלתי תלויה ‪ Ci‬ב־ ‪ GI‬בגודל ‪ ,|Ci | k‬נצבע אותה בצבע חדש, ונעדכן את המצב:‬ ‫1   ‪.GI : GI ¡ Ci , i : i‬‬ ‫2. נצבע את שאר קדקודי הגרף ‪ GI‬בצבע שונה לכל קדקוד.‬ ‫שלב 1 מבוצע לכל היותר ‪ n{k‬פעמים ולכן בסיומו נעשה שימוש בלכל היותר ‪ n{k‬צבעים; נוסיף לכך לכל היותר ‪ m‬צבעים‬ ‫שישמשו אותנו בשלב 2 ונקבל את הדרוש.‬ ‫¨‬ ‫ ‬ ‫נסמן ‪ m n{ log2 n‬ונראה ש־ 1 ,‪n‬‬ ‫2‬ ‫¨‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫טענה 8.1 יהי 2 ,‪ .G G m‬נסמן‬ ‫אז עבור 3 ¡ ¦‪ k‬‬ ‫‪ G G‬מקיים את התכונה בטענה לעיל עם ‪ p1 ¡ o p1qq 2 log n‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ ¢ 4‬ ‫‪m ¡p k q‬‬ ‫| ‪; k ¦ k ¦ pmq max k‬‬ ‫1¥ 2 2‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ k‬מתקיים‬ ‫©‬ ‫2‬ ‫‪m‬‬ ‫4‪k‬‬ ‫¡‬ ‫‪¡Ω‬‬ ‫‪.Pr pα pGq   k q e‬‬ ‫4‬ ‫‪.k‬‬
kI p1   o p1qq k¦ ‫ ולכן עבור‬k¦ p2   o p1qq log m ‫מטענה )4.1( אנו יודעים ש־‬ .f pk, mq 2¡p2q ‫הוכחה: נסמן‬  m¨ k k ‫מתקיים‬ f pk I   1, mq f pk I , mq I mI ¡ k ¤ 2¡kI m¡1 op1q k  1 ‫ נקבל‬k .f pk, mq f pk, mq f pk   1, mq p   ¤ f pk   2, mq ¤ f f kpk¦,2, mq f pk   1, mq mq loooomoooon k¦ ¡ 3‫מכך ש־‬ ¥ m3 op1q 1 :‫נפעיל כעת את הגרסא המורחבת של אש ינסון בכדי לקבל את החסם המבוקש‬ ‫ ולכל‬R E pKm q zE pGq ‫ )כלומר‬G G pm, pq‫ להיות אוסף הלא־קשתות ב־‬R ‫ וניקח את‬Ω E pKm q AS  S ¨ k ‫| נסמן את‬S | k ,rms  S ‫לכל‬ .(Pr pe € Rq  rms¨ 2 ‫נגדיר‬ ‫ מתקיים‬E pKm q  e 1 2 :‫ קדקודים‬k ‫כעת הקבוצות שלנו תהיינה כל קבוצות הקשתות הנפרשות על‬ ‫ כנל ממ אינדיקטור הבודק‬S ‫. בהתאם לסימונים באש ינסון, נגדיר לכל‬S ‫הקשתות הפוטנציאליות על‬ XS 2 ‫להיות קבוצת ה־‬ :G‫ בלתי תלויה ב־‬S ‫האם‬ 6 81 7  k¨ AS €R 0 ptherwise :G‫ ב־‬k ‫ונגדיר גם ממ הסופר את הקבוצות הבלתי תלויות בגודל‬ X ¸ €r s | | XS S m S k :‫נקבל אז‬ .Pr pα pGq   k q Pr pX µ : E rX s ¸ €r s | | E rXS s ¢ 0q :µ, ∆ ‫בכדי להעריך הסתברות זו, עלינו להעריך את‬ m ¡pkq 2 2 k S m S k ¥ m3 op1q S I ‫| ¤ 2, ואם זה מתקיים נסמן‬S ˆ S I| ¤ k ¡ 1 ‫ תלויות אםם‬AS , ASI ‫עבור ∆ נשים לב ש־‬ ¢ 2p q¡p q k¡1 ¢ ¢ ¢ ¸ m ¸ k m¡k 1 Pr pXS 1 ” XS I 1q k¡i 2 ok o o i o i2 lo mo nlo mo nloooomoooon loooooomoooooon S S I :‫. אז‬S k 2 ∆ S SI ˆ S ¢ m ¡pkq 2 2 ¤ k k¡1 ¢ ¢ ¸ k m SI S z ¡ ¡ k 2¡pp q¡p qq µ ¤ k¸1 g piq i k¡i i2 looooooooooooooomooooooooooooooon i2 k 2 i 1 PrpAS ‰AS I €Rq i 2 pq : g i g p2q ¢ ¢ k 2 ¢ m ¡ k ¡ppkq¡p2qq 2 2 2 k¡2 k4 Ω µ 2 m p1   o p1qq k22¡p q k 2 5 ¢  m¡k¨ m k ¡2  m¨ k k :g p2q ‫ננסה לרגע להעריך את‬ q2 k q p1   o p1qq µk2 pm ¡ kq!!2 ¤ m pk ¡ 11q pm ¡ 2 pm ¡
‫1¡‪°k‬‬ ‫באותו אופן של חישוב, ניתן לראות שלכל ‪ i‬מתקיים ‪ g p2q 4 g piq‬ולכן הסכום ‪ g piq‬‬ ‫2 ‪i‬‬ ‫‪ ,g p2q‬כלומר‬ ‫‬ ‫¢‬ ‫4‪k‬‬ ‫2‪ Ω µ m‬‬ ‫‬ ‫2‬ ‫נשלט עי פעמיים האיבר המוביל,‬ ‫¡‬ ‫¢‬ ‫1 ‪k‬‬ ‫¸‬ ‫4‪k‬‬ ‫2 ‪g piq µ ¤ 2 ¤ Ω µ‬‬ ‫¤‪∆µ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫2‪i‬‬ ‫לבסוף, מכיוון שמתקיים‬ ‫14‬ ‫‬ ‫4‪k‬‬ ‫2‪m‬‬ ‫¢‬ ‫2‪µ‬‬ ‫‪Ω‬‬ ‫∆‬ ‫‪µ‬‬ ‫נוכל להפעיל את הגרסא המורחבת של אש ינסן ולקבל את הדרוש‬ ‫©‬ ‫3.3.1‬ ‫2‪m‬‬ ‫4‪k‬‬ ‫¡‬ ‫‪ e¡Ω‬‬ ‫2‪¡ µ‬‬ ‫∆2 ‪Pr pα pGq   k q Pr pX 0q ¤ e‬‬ ‫הוכחת החסם העליון‬ ‫ ‬ ‫¨‬ ‫1‬ ‫‪n‬‬ ‫נזכור: יש לנו 2 ,‪ G G n‬ואנו רוצים להראות ‪.χ pGq ¤ p1   o p1qq 2 log n‬‬ ‫¨‬ ‫ ‬ ‫נסמן, כמו קודם, ‪ ,m n{ log2 n‬ונקבע 0‪ .|V0 | m ,rns  V‬אז 1 ,‪.G rV0 s G m‬‬ ‫2‬ ‫לכן, מטענה‬ ‫8.1‬ ‫מתקיים‬ ‫©‬ ‫2‬ ‫‪m‬‬ ‫4‪k‬‬ ‫¡‬ ‫‪pα pG rV0sq   kq e¡Ω‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫מהפעלת חסם האיחוד על פני כל ה־‪m‬־קבוצות של קדקודים נקבל‬ ‫$‬ ‫‬ ‫‪ k p2   o p1qq log n , m n{ log2 n‬‬ ‫©‬ ‫‪ o p1 q‬‬ ‫2‪m‬‬ ‫4‪k‬‬ ‫©‬ ‫ ¢‬ ‫¡‬ ‫‪n ¡Ω‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪m‬‬ ‫2‪n‬‬ ‫‪log8 n‬‬ ‫¡‬ ‫‪¡Ω‬‬ ‫‪2 e‬‬ ‫‪n‬‬ ‫¤ ‪phV0 € rns , |V0| m : α pG rV0s   kqq‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫¤‬ ‫לכן בהסתברות גבוהה ‪ G‬מקיים את התנאים בטענה 7.1 עם ‪ k¦ pmq ¡ 3 , m n{ log2 n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  m p2   o pnqq log n   log2 n p1   o p1qq 2 log n‬‬ ‫1‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ .k‬זה נותן לבסוף:‬ ‫¤ ‪χ pGq‬‬ ‫¥‬ ‫2‬ ‫1.2‬ ‫צביעה רשימתית‬ ‫מספר בחירה בגרפים דטרמינסטיים‬ ‫צביעה רשימתית הינה הכללה של מושג הצביעה של גרפים, במובן שבו לכל קדקוד יכולה להיות רשימה אחרת של צבעים‬ ‫אפשריים. במפורש:‬ ‫הגדרה 1.2 תהא ‪ tS pvq |v € V u‬‬ ‫בחירה ‪ c : V Ñ Z‬המקיימת:‬ ‫‪ S‬משפחה של רשימות צבעים ‪ .pZ  S q‬נאמר אז ש־‪ G‬הוא ‪S‬־בחיר אם קיימת פונקצית‬ ‫‪piiq d pv, wq € E : c pvq $ c pwq‬‬ ‫6‬ ‫‪: c pv q € S pv q‬‬ ‫‪piq dv € V‬‬
‫הערה 2.2‬ ‫)דוגמא( נניח ‪ S pvq rks‬לכל ‪ ,v‬אז ‪ G‬הוא ‪S‬־בחיר )עם ‪ rks‬‬ ‫‪ (S‬אםם הוא ‪k‬־צביע.‬ ‫הגדרה 3.2 נאמר ש־‪ G‬הוא ‪k‬־בחיר אם ‪ G‬הוא ‪S‬־בחיר לכל משפחה ‪ S‬המקיימת ‪ |S pv q| k‬לכל ‪.v‬‬ ‫מספר הבחירה, או מספר הצביעה הרשימתית הוא ה־‪ k‬המינימלי עבורו ‪ G‬הוא ‪k‬־בחיר, ומסומן ב־‪.ch pGq‬‬ ‫שאם נתונה משפחה ‪ S tS pvq |v € V u‬עבור גרף ‪ G tV, E u‬המקיימת ‪ S puq ˆ S pvq φ‬לכל ‪pv, uq € E‬‬ ‫נשים לב‬ ‫אזי ‪ G‬הוא ‪S‬־בחיר )מכיוון שכל בחירה של צבעים לקודקודים תהיה חוקית(.‬ ‫מהדוגמא בהערה‬ ‫2.2‬ ‫נסיק אבחנה פשוטה:‬ ‫‪¥ χ pGq‬‬ ‫‪) ch pGq‬מפני שצביעה רשימתית היא מקרה פרטי של צביעה‬ ‫רגילה(.‬ ‫ונראה דוגמא מתי האי שוויון הוא חזק:‬ ‫וכמובן שדוגמא זו ניתנת להכללה:‬ ‫טענה 4.2 יהי‬ ‫¨1¡‪ 2k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ ‪ .n‬אז ‪.ch pKn,n q ¡ k‬‬ ‫הוכחה: אנו רוצים להראות שקיימת השמה של ‪ k‬צבעים לכל קדקוד, כך שלא ניתן לבחור ממנה צביעה חוקית. ואכן:‬ ‫נסמן ‪ G pA ‰ B, E q‬עם ‪ |B | n‬‬ ‫|‪ |A‬צדדי הגרף. ישנן בדיוק‬ ‫¨1¡‪ 2k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‬ ‫‪ n‬קבוצות בגודל ‪ k‬של ‪ ,r2k ¡ 1s‬ולכן‬ ‫קיימת התאמה חחע ועל בין קבוצות בגודל ‪ k‬של ‪ r2k ¡ 1s‬וקדקודים בצד ‪ A‬ובצד ‪ .B‬נסמן התאמות אלו‬ ‫¨‪ r2k¡1s‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪Ø‬‬ ‫¨‪ r2k¡1s‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪,f : A Ø‬‬ ‫‪ .g : B‬כעת נגדיר את ‪ S‬באופן הבא‬ ‫‪€A‬‬ ‫‪v€B‬‬ ‫‪v‬‬ ‫6‬ ‫‪8f v‬‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪7g pv q‬‬ ‫ ‪S pv q‬‬ ‫ונראה ש־‪ G‬אינו ‪S‬־בחיר עבור השמה זו.‬ ‫תהא ‪Ñ r2k ¡ 1s‬‬ ‫‪ c : A ‰ B‬פונקצית בחירה המקיימת ‪ S pv q  c pv q‬לכל ‪ ,v‬ונסמן‬ ‫‪ tc pbq |b € B u‬‬ ‫‪ tc paq |a € Au‬‬ ‫‪TB‬‬ ‫‪TA‬‬ ‫מתקיים אז ש־‪ :|TA| ¥ k‬אילו 1 ¡ ‪ |TA| ¤ k‬היינו מקבלים ‪ |r2k ¡ 1s zTA| ¥ k‬כלומר הייתה תק של צבעים ‪r2k ¡ 1s  X‬‬ ‫בגודל ‪ ,k‬שלא שומשה כלל לבחירת הצבעים של ‪ .A‬אבל ‪ X‬היא רשימת הצבעים של קדקוד מסוים ¦‪ A  a‬ולכן לא יתכן‬ ‫‪ .S pa¦q  c pa¦q‬סתירה. באותו אופן כמובן גם ‪.|TB | ¥ k‬‬ ‫קיבלנו: ‪ ,TA , TB € r2k ¡ 1s‬וכן ‪ ,|TA | , |TB | ¥ k‬ולכן ‪ ,TA ˆ TB $ φ‬כלומר קיים צבע שנבחר עבור קדקודים בשני צידי‬ ‫הגרף ולכן הקשת המחברת אותם היא מונוכרומטית, כלומר ‪ c‬אינה פונקצית בחירה חוקית.‬ ‫כאן אנו רואים דוגמא‬ ‫כיצד מספר הבחירה יכול להיות גדול משמעותית ממספר הצביעה. בהמשך נראה שדוגמאות אלו‬ ‫הן נדירות, ולמעשה בגרפים מקריים מספר הצביעה ומספר הבחירה יהיו קרובים מאוד זה לזה.‬ ‫7‬
‫מספר בחירה בגרפים מקריים‬ ‫2.2‬ ‫המשפט המרכזי לפרק:‬ ‫משפט 5.2‬ ‫‪pKahnq‬‬ ‫יהי ‪ .G G pn, pq‬אז בהסתברות גבוהה‬ ‫‪.ch pGq p1   o p1qq χ pGq‬‬ ‫משפט 6.2‬ ‫למה 7.2‬ ‫יהיו ‪ 1 ¤ k ¤ m ¤ n‬שלמים, ויהי ‪ pV, E q‬‬ ‫‪ G‬גרף על ‪ n‬קדקודים שבו כל קבוצה של ‪ m‬קדקודים פורשת קבוצה‬ ‫בלתי תלויה בגודל ‪ .k‬אז‬ ‫‪ m‬‬ ‫המסקנה של טענה זו דומה למסקנה בטענה‬ ‫7.1‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫¤ ‪ch pGq‬‬ ‫וכן ההוכחה תהיה דומה.‬ ‫תהא ‪ S tS pvq |v € V u‬משפחה של רשימות צבעים המקיימת ‪ |S pvq| n{k   m‬לכל ‪ v‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫‪ .V‬נראה ש־‪ G‬הוא‬ ‫‪S‬־בחיר.‬ ‫נעשה זאת, שוב, עי הסרה איטרטיבית של קדקודי הגרף:‬ ‫מצב התחלתי: 1 ‬ ‫‪.GI : G , j‬‬ ‫1. כל עוד קיים צבע ‪ c‬המופיעה ברשימות של לפחות ‪ m‬קדקודים, נוכל לבחור מתוכם ‪ k‬קדקודים המהווים קבוצה בלתי‬ ‫תלויה ‪ .Ij‬נצבע את ‪ k‬הקדקודים של הקבוצה הבלתי תלויה ‪ Ij‬בצבע ‪ ,c‬נסיר אותם מהגרף, ונסיר את הצבע ‪ c‬מהרשימות‬ ‫של כל שאר הקדקודים בגרף.‬ ‫‪.GI‬‬ ‫2.‬ ‫נעדכן: 1   ‪ GI : GI ¡ Ij , j : j‬וכן ‪ S pvq : S pvq z tcu‬לכל ‪ v‬‬ ‫לאחר לכל היותר ‪ n{k‬איטרציות של השלב הראשון, השתמשנו בלכל היותר ‪ n{k‬צבעים, ונותרו לנו לכל היותר ‪ m‬קדקודים,‬ ‫שברשימת הצבעים של כל האחד מהם נותרו לפחות ‪ m‬צבעים, כולם שונים מהצבעים שהשתמשנו בהם בשלב הראשון.‬ ‫נראה כעת שניתן לצבוע את הקדקודים הנותרים בצבע שונה לכל אחד:‬ ‫נגדיר גרף דוצ ‪‰ Y, F q‬‬ ‫‪ Γ pX‬באופן הבא:‬ ‫¨‬ ‫ ‬ ‫‪GI‬‬ ‫¨‬ ‫ ‬ ‫‪V GI‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪ tpv, cq € X ¢ Y | c € S pvqu‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪is the output of the 1st stage‬‬ ‫‪S pv q‬‬ ‫¤‬ ‫‪v €V pGI q‬‬ ‫‪X‬‬ ‫קיבלנו:‬ ‫‪ X‬מתקיים ‪dΓ pv q |S pv q| ¥ m‬‬ ‫)א( לכל ‪ v‬‬ ‫)ב( לכל ‪ Y  c‬מתקיים ‪ dΓ pcq‬מספר הקדקודים ב־ ‪ GI‬ש־‪ c‬מופיע ברשימת הצבעים שלהם. מכיוון ששלב 1 הסתיים,‬ ‫‪ dΓ pcq   m‬לכל ‪.Y  c‬‬ ‫נראה כעת שתנאי הול מתקיים עבור צד ‪) X‬כלומר שלכל ‪ X  W‬מתקיים |‪:(|W | ¤ |NΓ pW q‬‬ ‫• אם | ‪ m ¥ |W‬נקבל את קיום התנאי מיידית מסעיף א' לעיל.‬ ‫8‬
‫•‬ ‫אם | ‪ m   |W‬נזכור כי מצד אחד ‪ dΓ pcq   m‬לכל ‪ c‬‬ ‫‪ ,NΓ pW q‬ומצד שני יתכן שצבע ב־‪ NΓ pW q‬מחובר גם‬ ‫לקדקודים שאינם ב־ ‪ W‬ולכן סכום הדרגות של הקדקודים ב־‪ NΓ pW q‬הוא לפחות סכום דרגות הקדקודים ב־ ‪.W‬‬ ‫במפורש:‬ ‫‪p q‬‬ ‫|‪  m ¤ |NΓ pW q‬‬ ‫‪dΓ pcq‬‬ ‫¸‬ ‫‪€ p q‬‬ ‫¤ ‪dΓ pv q‬‬ ‫¸‬ ‫€‬ ‫‪v W‬‬ ‫‪c NΓ W‬‬ ‫‪pℵq‬‬ ‫¤‬ ‫| ‪m ¤ |W‬‬ ‫|‪|W |   |NΓ pW q‬‬ ‫‪ñ‬‬ ‫ואכן תנאי הול מתקיים עבור צד ‪ ,X‬משמע ישנו זיווג המרווה את צד ‪ X‬שהינו השמה של צבע אחר לכל אחד מהקדקודים‬ ‫הנותרים, סהכ לכל היותר ‪ m‬צבעים נוספים, המסיימים את ההוכחה.‬ ‫כעת אנו מוכנים להוכחת המשפט המרכזי:‬ ‫♠‬ ‫הוכחה: )הוכחת משפט 5.2( נגדיר ‪ m n{ log2 n‬ו־‪ k¦ pmq ¡ 3 pq p2   o p1qq log n‬‬ ‫8.1 ראינו שבהסתברות גבוהה, כל תק של ‪ V pGq‬בגודל ‪ ,m‬פורשת קבוצה בלתי תלויה בגודל ‪ k‬לפחות.‬ ‫‪ ♠) k‬מטענה 4.1(. בטענה‬ ‫שבהסתברות גבוהה מתקיים‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  m p1   o p1qq 2 log n‬‬ ‫בסעיף‬ ‫2.1‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫¤ ‪.ch pGq‬‬ ‫ראינו שמתקיים‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 log n‬‬ ‫‪.χ pGq ¥ p1   o p1qq‬‬ ‫ולבסוף, נזכור שתמיד מתקיים ‪ χ pGq ¤ ch pGq‬ונקבל את הדרוש:‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 log n‬‬ ‫‪.ch pGq p1   o p1qq‬‬ ‫9‬ ‫אז מלמה‬ ‫7.2‬ ‫נקבל‬

Recommandé

Aparthotels Manchester@ http://www.quayapartments.co.uk/apartments
Aparthotels Manchester@ http://www.quayapartments.co.uk/apartmentsAparthotels Manchester@ http://www.quayapartments.co.uk/apartments
Aparthotels Manchester@ http://www.quayapartments.co.uk/apartments
Harry Smith
 
Comparisons
ComparisonsComparisons
Comparisons
Zifirio
 
Gwt.org.ua (ukr)
Gwt.org.ua (ukr)Gwt.org.ua (ukr)
Gwt.org.ua (ukr)
Oleksandr Pryymak
 
Faq onlinestudents fa10_compressed
Faq onlinestudents fa10_compressedFaq onlinestudents fa10_compressed
Faq onlinestudents fa10_compressed
sklenner
 
Catedrala Saint Denis din Paris
Catedrala Saint Denis din ParisCatedrala Saint Denis din Paris
Catedrala Saint Denis din Paris
Ana Maria Catalina
 
Affordable e waste recycling for the marketing agencies of sydney
Affordable e waste recycling for the marketing agencies of sydneyAffordable e waste recycling for the marketing agencies of sydney
Affordable e waste recycling for the marketing agencies of sydney
smtwastebrokers
 
Bạn sẽ mất gì khi tiếp tục triển khai một dịch vụ tồi?
Bạn sẽ mất gì khi tiếp tục triển khai một dịch vụ tồi?Bạn sẽ mất gì khi tiếp tục triển khai một dịch vụ tồi?
Bạn sẽ mất gì khi tiếp tục triển khai một dịch vụ tồi?
HoaSao Group
 
Czech republic júlia and joana
Czech republic júlia and joanaCzech republic júlia and joana
Czech republic júlia and joana
Escola Torre Barona
 

Recommandé

Aparthotels Manchester@ http://www.quayapartments.co.uk/apartments
Aparthotels Manchester@ http://www.quayapartments.co.uk/apartmentsAparthotels Manchester@ http://www.quayapartments.co.uk/apartments
Aparthotels Manchester@ http://www.quayapartments.co.uk/apartments
Harry Smith
 
Comparisons
ComparisonsComparisons
Comparisons
Zifirio
 
Gwt.org.ua (ukr)
Gwt.org.ua (ukr)Gwt.org.ua (ukr)
Gwt.org.ua (ukr)
Oleksandr Pryymak
 
Faq onlinestudents fa10_compressed
Faq onlinestudents fa10_compressedFaq onlinestudents fa10_compressed
Faq onlinestudents fa10_compressed
sklenner
 
Catedrala Saint Denis din Paris
Catedrala Saint Denis din ParisCatedrala Saint Denis din Paris
Catedrala Saint Denis din Paris
Ana Maria Catalina
 
Affordable e waste recycling for the marketing agencies of sydney
Affordable e waste recycling for the marketing agencies of sydneyAffordable e waste recycling for the marketing agencies of sydney
Affordable e waste recycling for the marketing agencies of sydney
smtwastebrokers
 
Bạn sẽ mất gì khi tiếp tục triển khai một dịch vụ tồi?
Bạn sẽ mất gì khi tiếp tục triển khai một dịch vụ tồi?Bạn sẽ mất gì khi tiếp tục triển khai một dịch vụ tồi?
Bạn sẽ mất gì khi tiếp tục triển khai một dịch vụ tồi?
HoaSao Group
 
Czech republic júlia and joana
Czech republic júlia and joanaCzech republic júlia and joana
Czech republic júlia and joana
Escola Torre Barona
 
Journal of Educational Technology Systems-2015-53-68
Journal of Educational Technology Systems-2015-53-68Journal of Educational Technology Systems-2015-53-68
Journal of Educational Technology Systems-2015-53-68
flashinvegas
 
Villaseca
VillasecaVillaseca
Villaseca
sordinola2
 
Heidegger, martín ser y tiempo
Heidegger, martín ser y tiempoHeidegger, martín ser y tiempo
Heidegger, martín ser y tiempo
manual comic
 
Silk senset
Silk sensetSilk senset
Silk senset
Kosmet
 
Year 9
Year 9Year 9
Year 9
hodder
 
Jeff Lindsay: Building Public Infrastructure with Autosustainable Services
Jeff Lindsay: Building Public Infrastructure with Autosustainable ServicesJeff Lindsay: Building Public Infrastructure with Autosustainable Services
Jeff Lindsay: Building Public Infrastructure with Autosustainable Services
it-people
 
18 AL 24 DE OCTUBRE 2010.ppt
18 AL 24 DE OCTUBRE 2010.ppt18 AL 24 DE OCTUBRE 2010.ppt
18 AL 24 DE OCTUBRE 2010.ppt
CuautitlanIzcalli
 
演習発表 Sari v.1.2
演習発表 Sari v.1.2演習発表 Sari v.1.2
演習発表 Sari v.1.2
Lutfiana Ariestien
 
גרפים מקריים רגולריים
גרפים מקריים רגולרייםגרפים מקריים רגולריים
גרפים מקריים רגולריים
Dalya Gartzman
 
Lecture5 Slides
Lecture5 SlidesLecture5 Slides
Lecture5 Slides
n00ne
 
סיכום הקורס בחישוביות
סיכום הקורס בחישוביותסיכום הקורס בחישוביות
סיכום הקורס בחישוביות
csnotes
 
סיכום הקורס במבוא להצפנה
סיכום הקורס במבוא להצפנהסיכום הקורס במבוא להצפנה
סיכום הקורס במבוא להצפנה
csnotes
 
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישוביםסיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
csnotes
 
סיכום של הקורס מבוא להצפנה
סיכום של הקורס מבוא להצפנהסיכום של הקורס מבוא להצפנה
סיכום של הקורס מבוא להצפנה
csnotes
 

Contenu connexe

En vedette

Journal of Educational Technology Systems-2015-53-68
Journal of Educational Technology Systems-2015-53-68Journal of Educational Technology Systems-2015-53-68
Journal of Educational Technology Systems-2015-53-68
flashinvegas
 
Silk senset
Silk sensetSilk senset
Silk senset
Kosmet
 
Year 9
Year 9Year 9
Year 9
hodder
 
Jeff Lindsay: Building Public Infrastructure with Autosustainable Services
Jeff Lindsay: Building Public Infrastructure with Autosustainable ServicesJeff Lindsay: Building Public Infrastructure with Autosustainable Services
Jeff Lindsay: Building Public Infrastructure with Autosustainable Services
it-people
 
18 AL 24 DE OCTUBRE 2010.ppt
18 AL 24 DE OCTUBRE 2010.ppt18 AL 24 DE OCTUBRE 2010.ppt
18 AL 24 DE OCTUBRE 2010.ppt
CuautitlanIzcalli
 

En vedette (8)

Journal of Educational Technology Systems-2015-53-68
Journal of Educational Technology Systems-2015-53-68Journal of Educational Technology Systems-2015-53-68
Journal of Educational Technology Systems-2015-53-68
 
Villaseca
VillasecaVillaseca
Villaseca
 
Heidegger, martín ser y tiempo
Heidegger, martín ser y tiempoHeidegger, martín ser y tiempo
Heidegger, martín ser y tiempo
 
Silk senset
Silk sensetSilk senset
Silk senset
 
Year 9
Year 9Year 9
Year 9
 
Jeff Lindsay: Building Public Infrastructure with Autosustainable Services
Jeff Lindsay: Building Public Infrastructure with Autosustainable ServicesJeff Lindsay: Building Public Infrastructure with Autosustainable Services
Jeff Lindsay: Building Public Infrastructure with Autosustainable Services
 
18 AL 24 DE OCTUBRE 2010.ppt
18 AL 24 DE OCTUBRE 2010.ppt18 AL 24 DE OCTUBRE 2010.ppt
18 AL 24 DE OCTUBRE 2010.ppt
 
演習発表 Sari v.1.2
演習発表 Sari v.1.2演習発表 Sari v.1.2
演習発表 Sari v.1.2
 

Similaire à צביעה של גרפים מקריים

Lecture5 Slides
Lecture5 SlidesLecture5 Slides
Lecture5 Slides
n00ne
 

Similaire à צביעה של גרפים מקריים (6)

גרפים מקריים רגולריים
גרפים מקריים רגולרייםגרפים מקריים רגולריים
גרפים מקריים רגולריים
 
Lecture5 Slides
Lecture5 SlidesLecture5 Slides
Lecture5 Slides
 
סיכום הקורס בחישוביות
סיכום הקורס בחישוביותסיכום הקורס בחישוביות
סיכום הקורס בחישוביות
 
סיכום הקורס במבוא להצפנה
סיכום הקורס במבוא להצפנהסיכום הקורס במבוא להצפנה
סיכום הקורס במבוא להצפנה
 
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישוביםסיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
 
סיכום של הקורס מבוא להצפנה
סיכום של הקורס מבוא להצפנהסיכום של הקורס מבוא להצפנה
סיכום של הקורס מבוא להצפנה
 

צביעה של גרפים מקריים

  • 1. ‫קורס קריאה בגרפים מקריים ־ הרצאה מספר 7‬ ‫צביעה של גרפים מקריים ־ דליה גרצמן‬ ‫31.21.13‬ ‫תקציר‬ ‫בגרף דטרמיניסטי ‪ G pV, E q‬צביעה היא חלוקה של קדקודי הגרף לקבוצות בלתי תלויות; מספר הצביעה של ‪ G‬הוא‬ ‫המספר המינימלי של קבוצות בלתי תלויות המהוות חלוקה של קדקודי ‪ .G‬ומה קורה כאשר ‪ ?G G pn, pq‬כיצד ניתן אז‬ ‫להעריך את מספר הצביעה?. נראה כאן כי למעשה מספר הצביעה של ‪ G G pn, pq‬נמצא )בהסתברות גבוהה( בסביבת‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ . 2 log n‬נמשיך ונדבר על צביעה רשימתית ונראה שלמרות שלכל קדקוד יש אולי רשימה אחרת של צבעים אפשריים, עדיין‬ ‫2‬ ‫מספר הבחירה נמצא )בהסתברות גבוהה( קרוב מאוד למספר הצביעה.‬ ‫הערה 1.0 היום לאורך כל המפגש נשתמש בסימון ‪.log x : log2 x‬‬ ‫1‬ ‫1.1‬ ‫צביעה קדקודית‬ ‫הקדמה‬ ‫יהי ‪ G pV, E q‬גרף.‬ ‫קבוצה ‪ A‬‬ ‫הגדרה 1.1‬ ‫‪ V‬נקראת בלתי תלויה אם היא אינה פורשת אף קשת מ־‪.E‬‬ ‫הגודל המקסימלי של קבוצה בלתי תלויה ב־‪ G‬נקרא מספר האי־תלות של ‪ ,G‬ומסומן ב־‪.α pGq‬‬ ‫‪k‬־צביעה של ‪ G‬היא חלוקה ‪ V1  ¤ ¤ ¤  Vk‬‬ ‫באופן שקול, ‪ f : V Ñ rk s‬היא ‪k‬־צביעה אם לכל ‪ E  pv, uq‬מתקיים ‪.f puq $ f pv q‬‬ ‫‪ V‬כך ש־ ‪ Vi‬בלתי תלויה לכל ‪.i‬‬ ‫‪ G‬הוא ‪k‬־צביע אם קיימת לו ‪k‬־צביעה.‬ ‫המספר הכרומטי של ‪ ,G‬המסומן ב־‪ ,χ pGq‬הוא הטבעי המינימלי ‪ k‬עבורו ‪ G‬הוא ‪k‬־צביע.‬ ‫טענה 2.1‬ ‫‪¤ χ pGq‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫|‪V‬‬ ‫‪. α|pGq‬‬ ‫תהא ‪ V1  ¤ ¤ ¤  Vk‬‬ ‫‪°k‬‬ ‫‪k V‬־צביעה של ‪ .k χ pGq ,G‬אז ‪ |Vi | ¤ k ¤ α pGq‬‬ ‫1 ‪i‬‬ ‫המשפט המרכזי לפרק:‬ ‫¨‬ ‫ ‬ ‫משפט 3.1 יהי 1 ,‪ .G G n‬אז בהסתברות גבוהה מתקיים‬ ‫2‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 log n‬‬ ‫‪.χ pGq p1   o p1qq‬‬ ‫1‬ ‫ | ‪.|V‬‬
  • 2. ‫2.1‬ ‫הוכחת החסם התחתון‬ ‫יהי ‪ n ¥ k‬מספר טבעי. אז תוחלת מספר הקבוצות בגודל ‪ k‬הבלתי תלויות ב־‪ G‬נתונה עי‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫ ¢ ¢‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫¤‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ ‪f pk q f pk, nq‬‬ ‫עבור ‪k‬־ים גדולים כמובן נצפה שתוחלת זו תהיה קטנה, ולכן נוכל לסמן‬ ‫‪ max tk|f pkq ¥ 1u‬‬ ‫כלומר לכל ‪  k‬‬ ‫¦ ‪ k‬מתקיים 1   ‪k s‬‬ ‫‪indep. sets of size‬‬ ‫¦‪k‬‬ ‫#‪.E r‬‬ ‫¦ ‪.k‬‬ ‫טענה 4.1 ‪ p2   o p1qq log n‬‬ ‫הוכחה: אנו מחפשים מתי 1 ‪:f pk q‬‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫‪log n ¡ log k‬‬ ‫‪ðñ‬‬ ‫ ¢‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫‬ ‫‪kikkj‬‬ ‫‪hk log k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫!‪k log n ¡ log k‬‬ ‫‪ðñ n {k! 2p q ðñ‬‬ ‫‪ðñ k 2 log n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫‪k‬‬ ‫1‬ ‫ ¢‬ ‫‪n ¡pkq‬‬ ‫2 2‬ ‫‪k‬‬ ‫מסקנה 5.1 1   ¦ ‪ α pGq ¤ k‬בהסתברות גבוהה.‬ ‫הוכחה: מהגדרת ¦ ‪ k‬מתקיים 1   ‪ .f pk ¦   1q‬לכן:‬ ‫1  ¦ ‪¨   1 ¨ k‬‬ ‫ ¢‬ ‫2¡ ‪¤ 2 p q n ¡ pk¦   1q ¡pk¦ 1q n ¡ 2 log n‬‬ ‫1‬ ‫2 2   ¦‪   ¨   ¨p ¦  q k‬‬ ‫‪ 2 log n n O n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫1‬ ‫2 ¤ 2  ¦ ‪k‬‬ ‫1  ¦ ‪k‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪n‬‬ ‫ ‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫‪f p k ¦   2q‬‬ ‫‪f pk ¦   1 q‬‬ ‫ואז נקבל‬ ‫‪ o p1 q‬‬ ‫ ¢‬ ‫1‬ ‫¦‬ ‫¦‬ ‫‪sets of size k ¦   2s f pk   2q f pk   1q ¤ O‬‬ ‫‪n‬‬ ‫.‪indep‬‬ ‫#‪E r‬‬ ‫וממרקוב נקבל את הדרוש‬ ‫‪pp# indep. sets of size k¦   2q ¥ 1q ¤ E r# indep. sets of size k¦   2s o p1q‬‬ ‫‪ñ Pr pα pGq ¤ k¦   1q 1 ¡ o p1q‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫לבסוף, מטענה‬ ‫2.1‬ ‫נקבל את החסם התחתון המבוקש:‬ ‫‪n‬‬ ‫‪¥ k¦ n 1 p1   o p1qq 2 log n‬‬ ‫ ‬ ‫3.1‬ ‫הוכחת החסם העליון‬ ‫בשביל הוכחת החסם העליון נידרש למספר כלים:‬ ‫2‬ ‫‪n‬‬ ‫‪α pGq‬‬ ‫¥ ‪.χ pGq‬‬
  • 3. ‫1.3.1‬ ‫אש ינסון ‪pJansonq‬‬ ‫אש ינסון, באופן כללי, מציב חסם עליון על ההסתברות של משתנה מקרי שלם ואי שלילי, להיות אפס.‬ ‫במפורש:‬ ‫1. סביבת העבודה:‬ ‫)א(‬ ‫תהא ‪ Ω‬קבוצה סופית. נבנה תת קבוצה אקראית של ‪ Ω‬באופן הבא: כל ‪ Ω  r‬נבחר בהסתברות ‪pr € Rq pr‬‬ ‫באופן בלתי תלוי באיברים האחרים.‬ ‫דוגמא טיפוסית: ‪ 1 ,Ω E pKnq‬‬ ‫2‬ ‫¨‬ ‫‪,pr‬‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫‪Pr‬‬ ‫ ‬ ‫,‪.R G n‬‬ ‫)ב( תהא ‪ I‬קבוצת אינדקסים ונתבונן במשפחה של תק של ‪ Ω‬־ ‪.tAi ui€I‬‬ ‫)ג( השאלה הנשאלת היא: מהי ההסתברות שאף אחת מהקבוצות ‪ Ai‬אינה נמצאת כולה ב־‪.?R‬‬ ‫2. לצורך מענה על שאלה זו:‬ ‫)א( לכל ‪ Ai‬נגדיר את האינדיקטור המתאים לה‬ ‫‪€R‬‬ ‫6‬ ‫18‬ ‫‪Ai‬‬ ‫7‬ ‫‪Xi‬‬ ‫‪0 otherwise‬‬ ‫נקבל אז:‬ ‫‪pr‬‬ ‫¹‬ ‫€‬ ‫ ‪pXi 1q E rXis‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫‪r Ai‬‬ ‫)ב( נגדיר בנוסף משתנה מקרי שהוא סכום האינדקטורים‬ ‫‪Xi‬‬ ‫¸‬ ‫€‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i I‬‬ ‫ונסמן‬ ‫‪pr‬‬ ‫¹¸‬ ‫€ €‬ ‫ ‪E rXi s‬‬ ‫‪i I r Ai‬‬ ‫¸‬ ‫ ‪µ E rX s‬‬ ‫€‬ ‫‪i I‬‬ ‫)ג( אז ניתן לנסח את השאלה באופן הבא:‬ ‫? ‪pX 0q‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫• מקרה קצה: אם ‪ tAi u‬זרות בזוגות, כלומר יש אי תלות בין ההסתברויות שלהן להיות מוכלות ב־‪ ,R‬אז נקבל‬ ‫)1(‬ ‫‪ e¡µ‬‬ ‫‬ ‫‪pr‬‬ ‫¹‬ ‫€‬ ‫‪r Ai‬‬ ‫)ד(‬ ‫£‬ ‫¡‬ ‫‪exp‬‬ ‫¹‬ ‫€‬ ‫¤‬ ‫‬ ‫‪pr‬‬ ‫‪i I‬‬ ‫¹‬ ‫€‬ ‫£‬ ‫¡1‬ ‫‪r Ai‬‬ ‫¹‬ ‫€‬ ‫ ‪pXi 0q‬‬ ‫‪i I‬‬ ‫‪ppAi € Rq ” pAj € Rqq‬‬ ‫¸‬ ‫  ‬ ‫‪i j,i j‬‬ ‫3‬ ‫€‬ ‫ ‪pX 0q‬‬ ‫‪i I‬‬ ‫מכיוון שבמקרה הכללי ישנם חיתוכים בין הקבוצות, נרשום ‪ i j‬אם ‪$ φ‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫¹‬ ‫‪ Ai ˆ Aj‬ונגדיר‬ ‫∆‬ ‫‪Pr‬‬
  • 4. ‫כעת אנו מוכנים לניסוח של אש ינסון:‬ ‫משפט 6.1 )אש ינסון( תחת הסימונים לעיל,‬ ‫∆‬ ‫2‬ ‫ ‪pX 0q ¤ e¡µ‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫אם בנוסף מתקיים ∆ ¤ ‪) µ‬נקרא גם הגרסא המורחבת של אש ינסון( אז‬ ‫2‪µ‬‬ ‫∆2‬ ‫¡ ‪p X 0q ¤ e‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫∆ הוא חסם עליון על סכום השונויות המשותפות של ‪ tXi u‬ולכן מהווה חסם עליון של השגיאה‬ ‫הסבר על רגל אחת:‬ ‫ב־)1(‬ ‫במקרה בו אין אי תלות מוחלטת.‬ ‫2.3.1‬ ‫אי תלות ומספר צביעה‬ ‫תכנית הפעולה להוכחת החסם העליון:‬ ‫1. נראה חסם על עליון על מספר הצביעה של גרף המקיים תכונה מסוימת.‬ ‫2. נראה שבהסתברות גבוהה הגרף ‪ G G pn, pq‬מקיים תכונה זו.‬ ‫3. נסיק את החסם העליון המבוקש.‬ ‫טענה 7.1‬ ‫יהיו 1 ¥ ‪¥ m ¥ k‬‬ ‫‪ n‬שלמים, ויהי ‪ G‬גרף על ‪ n‬קדקודים שבו כל תק של ‪ m‬קדקודים פורשת קבוצה בלתי תלויה‬ ‫בגודל ‪ k‬לפחות. אז‬ ‫‪ m‬‬ ‫¤ ‪χ pGq‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫הוכחה: נוכיח עי הסרה איטרטיבית של קדקודי הגרף:‬ ‫מצב התחלתי: 1 ‪.GI : G , i‬‬ ‫1. כל עוד |‪ m ¤ |V pGI q‬־ נמצא קבוצה בלתי תלויה ‪ Ci‬ב־ ‪ GI‬בגודל ‪ ,|Ci | k‬נצבע אותה בצבע חדש, ונעדכן את המצב:‬ ‫1   ‪.GI : GI ¡ Ci , i : i‬‬ ‫2. נצבע את שאר קדקודי הגרף ‪ GI‬בצבע שונה לכל קדקוד.‬ ‫שלב 1 מבוצע לכל היותר ‪ n{k‬פעמים ולכן בסיומו נעשה שימוש בלכל היותר ‪ n{k‬צבעים; נוסיף לכך לכל היותר ‪ m‬צבעים‬ ‫שישמשו אותנו בשלב 2 ונקבל את הדרוש.‬ ‫¨‬ ‫ ‬ ‫נסמן ‪ m n{ log2 n‬ונראה ש־ 1 ,‪n‬‬ ‫2‬ ‫¨‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫טענה 8.1 יהי 2 ,‪ .G G m‬נסמן‬ ‫אז עבור 3 ¡ ¦‪ k‬‬ ‫‪ G G‬מקיים את התכונה בטענה לעיל עם ‪ p1 ¡ o p1qq 2 log n‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ ¢ 4‬ ‫‪m ¡p k q‬‬ ‫| ‪; k ¦ k ¦ pmq max k‬‬ ‫1¥ 2 2‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ k‬מתקיים‬ ‫©‬ ‫2‬ ‫‪m‬‬ ‫4‪k‬‬ ‫¡‬ ‫‪¡Ω‬‬ ‫‪.Pr pα pGq   k q e‬‬ ‫4‬ ‫‪.k‬‬
  • 5. kI p1   o p1qq k¦ ‫ ולכן עבור‬k¦ p2   o p1qq log m ‫מטענה )4.1( אנו יודעים ש־‬ .f pk, mq 2¡p2q ‫הוכחה: נסמן‬  m¨ k k ‫מתקיים‬ f pk I   1, mq f pk I , mq I mI ¡ k ¤ 2¡kI m¡1 op1q k  1 ‫ נקבל‬k .f pk, mq f pk, mq f pk   1, mq p   ¤ f pk   2, mq ¤ f f kpk¦,2, mq f pk   1, mq mq loooomoooon k¦ ¡ 3‫מכך ש־‬ ¥ m3 op1q 1 :‫נפעיל כעת את הגרסא המורחבת של אש ינסון בכדי לקבל את החסם המבוקש‬ ‫ ולכל‬R E pKm q zE pGq ‫ )כלומר‬G G pm, pq‫ להיות אוסף הלא־קשתות ב־‬R ‫ וניקח את‬Ω E pKm q AS  S ¨ k ‫| נסמן את‬S | k ,rms  S ‫לכל‬ .(Pr pe € Rq  rms¨ 2 ‫נגדיר‬ ‫ מתקיים‬E pKm q  e 1 2 :‫ קדקודים‬k ‫כעת הקבוצות שלנו תהיינה כל קבוצות הקשתות הנפרשות על‬ ‫ כנל ממ אינדיקטור הבודק‬S ‫. בהתאם לסימונים באש ינסון, נגדיר לכל‬S ‫הקשתות הפוטנציאליות על‬ XS 2 ‫להיות קבוצת ה־‬ :G‫ בלתי תלויה ב־‬S ‫האם‬ 6 81 7  k¨ AS €R 0 ptherwise :G‫ ב־‬k ‫ונגדיר גם ממ הסופר את הקבוצות הבלתי תלויות בגודל‬ X ¸ €r s | | XS S m S k :‫נקבל אז‬ .Pr pα pGq   k q Pr pX µ : E rX s ¸ €r s | | E rXS s ¢ 0q :µ, ∆ ‫בכדי להעריך הסתברות זו, עלינו להעריך את‬ m ¡pkq 2 2 k S m S k ¥ m3 op1q S I ‫| ¤ 2, ואם זה מתקיים נסמן‬S ˆ S I| ¤ k ¡ 1 ‫ תלויות אםם‬AS , ASI ‫עבור ∆ נשים לב ש־‬ ¢ 2p q¡p q k¡1 ¢ ¢ ¢ ¸ m ¸ k m¡k 1 Pr pXS 1 ” XS I 1q k¡i 2 ok o o i o i2 lo mo nlo mo nloooomoooon loooooomoooooon S S I :‫. אז‬S k 2 ∆ S SI ˆ S ¢ m ¡pkq 2 2 ¤ k k¡1 ¢ ¢ ¸ k m SI S z ¡ ¡ k 2¡pp q¡p qq µ ¤ k¸1 g piq i k¡i i2 looooooooooooooomooooooooooooooon i2 k 2 i 1 PrpAS ‰AS I €Rq i 2 pq : g i g p2q ¢ ¢ k 2 ¢ m ¡ k ¡ppkq¡p2qq 2 2 2 k¡2 k4 Ω µ 2 m p1   o p1qq k22¡p q k 2 5 ¢  m¡k¨ m k ¡2  m¨ k k :g p2q ‫ננסה לרגע להעריך את‬ q2 k q p1   o p1qq µk2 pm ¡ kq!!2 ¤ m pk ¡ 11q pm ¡ 2 pm ¡
  • 6. ‫1¡‪°k‬‬ ‫באותו אופן של חישוב, ניתן לראות שלכל ‪ i‬מתקיים ‪ g p2q 4 g piq‬ולכן הסכום ‪ g piq‬‬ ‫2 ‪i‬‬ ‫‪ ,g p2q‬כלומר‬ ‫‬ ‫¢‬ ‫4‪k‬‬ ‫2‪ Ω µ m‬‬ ‫‬ ‫2‬ ‫נשלט עי פעמיים האיבר המוביל,‬ ‫¡‬ ‫¢‬ ‫1 ‪k‬‬ ‫¸‬ ‫4‪k‬‬ ‫2 ‪g piq µ ¤ 2 ¤ Ω µ‬‬ ‫¤‪∆µ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫2‪i‬‬ ‫לבסוף, מכיוון שמתקיים‬ ‫14‬ ‫‬ ‫4‪k‬‬ ‫2‪m‬‬ ‫¢‬ ‫2‪µ‬‬ ‫‪Ω‬‬ ‫∆‬ ‫‪µ‬‬ ‫נוכל להפעיל את הגרסא המורחבת של אש ינסן ולקבל את הדרוש‬ ‫©‬ ‫3.3.1‬ ‫2‪m‬‬ ‫4‪k‬‬ ‫¡‬ ‫‪ e¡Ω‬‬ ‫2‪¡ µ‬‬ ‫∆2 ‪Pr pα pGq   k q Pr pX 0q ¤ e‬‬ ‫הוכחת החסם העליון‬ ‫ ‬ ‫¨‬ ‫1‬ ‫‪n‬‬ ‫נזכור: יש לנו 2 ,‪ G G n‬ואנו רוצים להראות ‪.χ pGq ¤ p1   o p1qq 2 log n‬‬ ‫¨‬ ‫ ‬ ‫נסמן, כמו קודם, ‪ ,m n{ log2 n‬ונקבע 0‪ .|V0 | m ,rns  V‬אז 1 ,‪.G rV0 s G m‬‬ ‫2‬ ‫לכן, מטענה‬ ‫8.1‬ ‫מתקיים‬ ‫©‬ ‫2‬ ‫‪m‬‬ ‫4‪k‬‬ ‫¡‬ ‫‪pα pG rV0sq   kq e¡Ω‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫מהפעלת חסם האיחוד על פני כל ה־‪m‬־קבוצות של קדקודים נקבל‬ ‫$‬ ‫‬ ‫‪ k p2   o p1qq log n , m n{ log2 n‬‬ ‫©‬ ‫‪ o p1 q‬‬ ‫2‪m‬‬ ‫4‪k‬‬ ‫©‬ ‫ ¢‬ ‫¡‬ ‫‪n ¡Ω‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪m‬‬ ‫2‪n‬‬ ‫‪log8 n‬‬ ‫¡‬ ‫‪¡Ω‬‬ ‫‪2 e‬‬ ‫‪n‬‬ ‫¤ ‪phV0 € rns , |V0| m : α pG rV0s   kqq‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫¤‬ ‫לכן בהסתברות גבוהה ‪ G‬מקיים את התנאים בטענה 7.1 עם ‪ k¦ pmq ¡ 3 , m n{ log2 n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  m p2   o pnqq log n   log2 n p1   o p1qq 2 log n‬‬ ‫1‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ .k‬זה נותן לבסוף:‬ ‫¤ ‪χ pGq‬‬ ‫¥‬ ‫2‬ ‫1.2‬ ‫צביעה רשימתית‬ ‫מספר בחירה בגרפים דטרמינסטיים‬ ‫צביעה רשימתית הינה הכללה של מושג הצביעה של גרפים, במובן שבו לכל קדקוד יכולה להיות רשימה אחרת של צבעים‬ ‫אפשריים. במפורש:‬ ‫הגדרה 1.2 תהא ‪ tS pvq |v € V u‬‬ ‫בחירה ‪ c : V Ñ Z‬המקיימת:‬ ‫‪ S‬משפחה של רשימות צבעים ‪ .pZ  S q‬נאמר אז ש־‪ G‬הוא ‪S‬־בחיר אם קיימת פונקצית‬ ‫‪piiq d pv, wq € E : c pvq $ c pwq‬‬ ‫6‬ ‫‪: c pv q € S pv q‬‬ ‫‪piq dv € V‬‬
  • 7. ‫הערה 2.2‬ ‫)דוגמא( נניח ‪ S pvq rks‬לכל ‪ ,v‬אז ‪ G‬הוא ‪S‬־בחיר )עם ‪ rks‬‬ ‫‪ (S‬אםם הוא ‪k‬־צביע.‬ ‫הגדרה 3.2 נאמר ש־‪ G‬הוא ‪k‬־בחיר אם ‪ G‬הוא ‪S‬־בחיר לכל משפחה ‪ S‬המקיימת ‪ |S pv q| k‬לכל ‪.v‬‬ ‫מספר הבחירה, או מספר הצביעה הרשימתית הוא ה־‪ k‬המינימלי עבורו ‪ G‬הוא ‪k‬־בחיר, ומסומן ב־‪.ch pGq‬‬ ‫שאם נתונה משפחה ‪ S tS pvq |v € V u‬עבור גרף ‪ G tV, E u‬המקיימת ‪ S puq ˆ S pvq φ‬לכל ‪pv, uq € E‬‬ ‫נשים לב‬ ‫אזי ‪ G‬הוא ‪S‬־בחיר )מכיוון שכל בחירה של צבעים לקודקודים תהיה חוקית(.‬ ‫מהדוגמא בהערה‬ ‫2.2‬ ‫נסיק אבחנה פשוטה:‬ ‫‪¥ χ pGq‬‬ ‫‪) ch pGq‬מפני שצביעה רשימתית היא מקרה פרטי של צביעה‬ ‫רגילה(.‬ ‫ונראה דוגמא מתי האי שוויון הוא חזק:‬ ‫וכמובן שדוגמא זו ניתנת להכללה:‬ ‫טענה 4.2 יהי‬ ‫¨1¡‪ 2k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ ‪ .n‬אז ‪.ch pKn,n q ¡ k‬‬ ‫הוכחה: אנו רוצים להראות שקיימת השמה של ‪ k‬צבעים לכל קדקוד, כך שלא ניתן לבחור ממנה צביעה חוקית. ואכן:‬ ‫נסמן ‪ G pA ‰ B, E q‬עם ‪ |B | n‬‬ ‫|‪ |A‬צדדי הגרף. ישנן בדיוק‬ ‫¨1¡‪ 2k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‬ ‫‪ n‬קבוצות בגודל ‪ k‬של ‪ ,r2k ¡ 1s‬ולכן‬ ‫קיימת התאמה חחע ועל בין קבוצות בגודל ‪ k‬של ‪ r2k ¡ 1s‬וקדקודים בצד ‪ A‬ובצד ‪ .B‬נסמן התאמות אלו‬ ‫¨‪ r2k¡1s‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪Ø‬‬ ‫¨‪ r2k¡1s‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪,f : A Ø‬‬ ‫‪ .g : B‬כעת נגדיר את ‪ S‬באופן הבא‬ ‫‪€A‬‬ ‫‪v€B‬‬ ‫‪v‬‬ ‫6‬ ‫‪8f v‬‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪7g pv q‬‬ ‫ ‪S pv q‬‬ ‫ונראה ש־‪ G‬אינו ‪S‬־בחיר עבור השמה זו.‬ ‫תהא ‪Ñ r2k ¡ 1s‬‬ ‫‪ c : A ‰ B‬פונקצית בחירה המקיימת ‪ S pv q  c pv q‬לכל ‪ ,v‬ונסמן‬ ‫‪ tc pbq |b € B u‬‬ ‫‪ tc paq |a € Au‬‬ ‫‪TB‬‬ ‫‪TA‬‬ ‫מתקיים אז ש־‪ :|TA| ¥ k‬אילו 1 ¡ ‪ |TA| ¤ k‬היינו מקבלים ‪ |r2k ¡ 1s zTA| ¥ k‬כלומר הייתה תק של צבעים ‪r2k ¡ 1s  X‬‬ ‫בגודל ‪ ,k‬שלא שומשה כלל לבחירת הצבעים של ‪ .A‬אבל ‪ X‬היא רשימת הצבעים של קדקוד מסוים ¦‪ A  a‬ולכן לא יתכן‬ ‫‪ .S pa¦q  c pa¦q‬סתירה. באותו אופן כמובן גם ‪.|TB | ¥ k‬‬ ‫קיבלנו: ‪ ,TA , TB € r2k ¡ 1s‬וכן ‪ ,|TA | , |TB | ¥ k‬ולכן ‪ ,TA ˆ TB $ φ‬כלומר קיים צבע שנבחר עבור קדקודים בשני צידי‬ ‫הגרף ולכן הקשת המחברת אותם היא מונוכרומטית, כלומר ‪ c‬אינה פונקצית בחירה חוקית.‬ ‫כאן אנו רואים דוגמא‬ ‫כיצד מספר הבחירה יכול להיות גדול משמעותית ממספר הצביעה. בהמשך נראה שדוגמאות אלו‬ ‫הן נדירות, ולמעשה בגרפים מקריים מספר הצביעה ומספר הבחירה יהיו קרובים מאוד זה לזה.‬ ‫7‬
  • 8. ‫מספר בחירה בגרפים מקריים‬ ‫2.2‬ ‫המשפט המרכזי לפרק:‬ ‫משפט 5.2‬ ‫‪pKahnq‬‬ ‫יהי ‪ .G G pn, pq‬אז בהסתברות גבוהה‬ ‫‪.ch pGq p1   o p1qq χ pGq‬‬ ‫משפט 6.2‬ ‫למה 7.2‬ ‫יהיו ‪ 1 ¤ k ¤ m ¤ n‬שלמים, ויהי ‪ pV, E q‬‬ ‫‪ G‬גרף על ‪ n‬קדקודים שבו כל קבוצה של ‪ m‬קדקודים פורשת קבוצה‬ ‫בלתי תלויה בגודל ‪ .k‬אז‬ ‫‪ m‬‬ ‫המסקנה של טענה זו דומה למסקנה בטענה‬ ‫7.1‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫¤ ‪ch pGq‬‬ ‫וכן ההוכחה תהיה דומה.‬ ‫תהא ‪ S tS pvq |v € V u‬משפחה של רשימות צבעים המקיימת ‪ |S pvq| n{k   m‬לכל ‪ v‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫‪ .V‬נראה ש־‪ G‬הוא‬ ‫‪S‬־בחיר.‬ ‫נעשה זאת, שוב, עי הסרה איטרטיבית של קדקודי הגרף:‬ ‫מצב התחלתי: 1 ‬ ‫‪.GI : G , j‬‬ ‫1. כל עוד קיים צבע ‪ c‬המופיעה ברשימות של לפחות ‪ m‬קדקודים, נוכל לבחור מתוכם ‪ k‬קדקודים המהווים קבוצה בלתי‬ ‫תלויה ‪ .Ij‬נצבע את ‪ k‬הקדקודים של הקבוצה הבלתי תלויה ‪ Ij‬בצבע ‪ ,c‬נסיר אותם מהגרף, ונסיר את הצבע ‪ c‬מהרשימות‬ ‫של כל שאר הקדקודים בגרף.‬ ‫‪.GI‬‬ ‫2.‬ ‫נעדכן: 1   ‪ GI : GI ¡ Ij , j : j‬וכן ‪ S pvq : S pvq z tcu‬לכל ‪ v‬‬ ‫לאחר לכל היותר ‪ n{k‬איטרציות של השלב הראשון, השתמשנו בלכל היותר ‪ n{k‬צבעים, ונותרו לנו לכל היותר ‪ m‬קדקודים,‬ ‫שברשימת הצבעים של כל האחד מהם נותרו לפחות ‪ m‬צבעים, כולם שונים מהצבעים שהשתמשנו בהם בשלב הראשון.‬ ‫נראה כעת שניתן לצבוע את הקדקודים הנותרים בצבע שונה לכל אחד:‬ ‫נגדיר גרף דוצ ‪‰ Y, F q‬‬ ‫‪ Γ pX‬באופן הבא:‬ ‫¨‬ ‫ ‬ ‫‪GI‬‬ ‫¨‬ ‫ ‬ ‫‪V GI‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪ tpv, cq € X ¢ Y | c € S pvqu‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪is the output of the 1st stage‬‬ ‫‪S pv q‬‬ ‫¤‬ ‫‪v €V pGI q‬‬ ‫‪X‬‬ ‫קיבלנו:‬ ‫‪ X‬מתקיים ‪dΓ pv q |S pv q| ¥ m‬‬ ‫)א( לכל ‪ v‬‬ ‫)ב( לכל ‪ Y  c‬מתקיים ‪ dΓ pcq‬מספר הקדקודים ב־ ‪ GI‬ש־‪ c‬מופיע ברשימת הצבעים שלהם. מכיוון ששלב 1 הסתיים,‬ ‫‪ dΓ pcq   m‬לכל ‪.Y  c‬‬ ‫נראה כעת שתנאי הול מתקיים עבור צד ‪) X‬כלומר שלכל ‪ X  W‬מתקיים |‪:(|W | ¤ |NΓ pW q‬‬ ‫• אם | ‪ m ¥ |W‬נקבל את קיום התנאי מיידית מסעיף א' לעיל.‬ ‫8‬
  • 9. ‫•‬ ‫אם | ‪ m   |W‬נזכור כי מצד אחד ‪ dΓ pcq   m‬לכל ‪ c‬‬ ‫‪ ,NΓ pW q‬ומצד שני יתכן שצבע ב־‪ NΓ pW q‬מחובר גם‬ ‫לקדקודים שאינם ב־ ‪ W‬ולכן סכום הדרגות של הקדקודים ב־‪ NΓ pW q‬הוא לפחות סכום דרגות הקדקודים ב־ ‪.W‬‬ ‫במפורש:‬ ‫‪p q‬‬ ‫|‪  m ¤ |NΓ pW q‬‬ ‫‪dΓ pcq‬‬ ‫¸‬ ‫‪€ p q‬‬ ‫¤ ‪dΓ pv q‬‬ ‫¸‬ ‫€‬ ‫‪v W‬‬ ‫‪c NΓ W‬‬ ‫‪pℵq‬‬ ‫¤‬ ‫| ‪m ¤ |W‬‬ ‫|‪|W |   |NΓ pW q‬‬ ‫‪ñ‬‬ ‫ואכן תנאי הול מתקיים עבור צד ‪ ,X‬משמע ישנו זיווג המרווה את צד ‪ X‬שהינו השמה של צבע אחר לכל אחד מהקדקודים‬ ‫הנותרים, סהכ לכל היותר ‪ m‬צבעים נוספים, המסיימים את ההוכחה.‬ ‫כעת אנו מוכנים להוכחת המשפט המרכזי:‬ ‫♠‬ ‫הוכחה: )הוכחת משפט 5.2( נגדיר ‪ m n{ log2 n‬ו־‪ k¦ pmq ¡ 3 pq p2   o p1qq log n‬‬ ‫8.1 ראינו שבהסתברות גבוהה, כל תק של ‪ V pGq‬בגודל ‪ ,m‬פורשת קבוצה בלתי תלויה בגודל ‪ k‬לפחות.‬ ‫‪ ♠) k‬מטענה 4.1(. בטענה‬ ‫שבהסתברות גבוהה מתקיים‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  m p1   o p1qq 2 log n‬‬ ‫בסעיף‬ ‫2.1‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫¤ ‪.ch pGq‬‬ ‫ראינו שמתקיים‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 log n‬‬ ‫‪.χ pGq ¥ p1   o p1qq‬‬ ‫ולבסוף, נזכור שתמיד מתקיים ‪ χ pGq ¤ ch pGq‬ונקבל את הדרוש:‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 log n‬‬ ‫‪.ch pGq p1   o p1qq‬‬ ‫9‬ ‫אז מלמה‬ ‫7.2‬ ‫נקבל‬