Cours ConiquesCours Coniques

1. c Christophe Bertault - MPSI
Coniques
Historiquement, les coniques ont été définies comme intersection d’un cône et d’un plan dans l’espace — d’où leur nom. Au
moyen de quelques dessins, vous vous convaincrez facilement que c’est bien là un point de vue naturel sur les coniques. Cela dit,
nous définirons pour notre part les coniques en les observant non pas dans l’espace, mais dans le plan.
1 Définition par excentricité, foyer et directrice
Définition (Conique définie par son excentricité, un foyer et une directrice) Soient F un point, D une droite ne
contenant pas F et e > 0. On appelle conique d’excentricité e, de foyer F et de directrice associée D l’ensemble C des points M
du plan tels que :
MF = e d(M, D).
Ellipse Parabole Hyperbole
• Si e < 1, on dit que C est une ellipse.
• Si e = 1, on dit que C est une parabole.
• Si e > 1, on dit que C est une hyperbole.
Explication
Tâchons de réécrire cette définition un peu abstraite. Soit M un point du plan. Notons H le
projeté orthogonal de M sur D. Alors d(M, D) = MH. Du coup :
M ∈ C ⇐⇒ MF = eMH.
Peut-on avoir MH = 0 si M ∈ C ? Si c’était le cas, on aurait aussi MF = 0 donc F = M = H ∈ D
contrairement aux hypothèses. Ansi MH = 0 quand M est un point de la conique.
d(M, D)
MF
H
F
D
M
Conclusion : C est l’ensemble des points M du plan tels que
MF
MH
= e, i.e. la ligne de niveau e de la fonction M −→
MF
MH
; c’est
parfois ainsi qu’on la définit.
Donnons-nous, pour toute cette partie, un point F, une droite D ne contenant pas F et e > 0. Notons
en outre C la conique d’excentricité e, de foyer F et de directrice associée D et P le projeté orthogonal
de F sur D et d = FP > 0. Par définition, le produit p = ed est appelé le paramètre de C et la droite
(PF) est appelé son axe focal.
Notons en outre I =
−→
PF
d
et J l’unique vecteur pour lequel (F, I, J) est un repère orthonormal direct
du plan. Pour tout point M de coordonnées (x, y) dans (F, I, J), dont H désigne le projeté orthogonal
sur D :
M ∈ C ⇐⇒ MF = eMH ⇐⇒ MF2
= e2
MH2
⇐⇒ x2
+ y2
= e2
(x + d)2
⇐⇒ (1 − e2
)x2
+ y2
− 2epx − p2
= 0.
d F
D
P
J
I
Définition (Conique à centre) On suppose ici que e = 1, i.e. que C est soit une ellipse soit une hyperbole.
• Alors C possède un unique centre de symétrie appelé le centre de C.
• Notons Ω ce centre et F (resp. D ) le symétrique de F (resp. D) par rapport à Ω. Alors C est aussi la conique
d’excentricité e, de foyer F et de directrice associée D . En outre F et F sont les deux seuls foyers de C et D et D ses deux
seules directrices associées. — Pour une illustration de tout ceci, tournez quelques pages.
En pratique Vous devez savoir déterminer le centre d’une conique à centre. Le résultat est donc à connaître avec
sa démonstration.
1

2. c Christophe Bertault - MPSI
Démonstration Contentons-nous de démontrer l’existence d’un centre de symétrie. Nous partons de l’équation
(1−e2
)x2
+y2
−2epx−p2
= 0 obtenue précédemment dans le repère (F, I, J). Par hypothèse e = 1, donc e2
−1 = 0.
Reconnaissant le début d’une identité remarquable, nous en déduisons que l’équation :
(1 − e2
) x −
ep
1 − e2
2
+ y2
=
p2
1 − e2
est également une équation cartésienne de C.
Introduisons alors le point Ω de coordonnées
ep
1 − e2
, 0 dans le repère (F, I, J) et travaillons désormais dans
le repère (Ω, I, J). Pour tout point de coordonnées (x, y) dans (F, I, J) et (x , y ) dans (Ω, I, J), nous avons les
formules de changement de repère :
x = x −
ep
1 − e2
y = y
. La précédente équation cartésienne de C devient
donc, dans le repère (Ω, I, J) : (1 − e2
)x 2
+ y 2
=
p2
1 − e2
.
Déduisons-en pour finir que Ω est comme annoncé un centre de symétrie de C. Soit donc M ∈ C de coordonnées
(x , y ) dans (Ω, I, J). Le symétrique M de M par rapport à Ω a pour coordonnées (−x , −y ) dans (Ω, I, J). Est-il
lui aussi un point de C ? Bien sûr que oui, car il satisfait l’équation précédente :
(1−e2
)(−x )2
+(−y )2
= (1−e2
)x 2
+y 2 M∈C
=
p2
1 − e2
. C’est terminé.
Remarque On peut montrer que les paraboles (cas e = 1) n’ont pas de centre de symétrie et qu’elles possèdent un unique
foyer et une unique directrice associée.
Théorème (Ellipse) On suppose ici que e < 1, i.e. que C est une ellipse de centre Ω.
• Il existe alors deux réels a et b vérifiant 0 < b < a pour lesquels
l’équation
x2
a2
+
y2
b2
= 1 est une équation cartésienne de C dans le
repère (Ω, I, J). Cette équation est appelée l’équation réduite de C.
• Le réel a est appelé le demi-grand axe de C et b son demi-petit
axe. Leurs doubles 2a et 2b sont appelés respectivement le grand axe
et le petit axe de C. Les points A, A , B, B de la figure ci-contre sont
appelés les sommets de C.
• Si c = ΩF, alors a2
= b2
+ c2
, e =
c
a
et ΩP =
a
e
.
Ω
FF
AA
B
B
PP
J
I
C
DD
a
c
b
a
e
a
p
Démonstration
• Partons de l’équation de C (1 − e2
)x2
+ y2
=
p2
1 − e2
obtenue précédemment dans le repère (Ω, I, J).
Multiplions-la par
1 − e2
p2
et posons a =
p
1 − e2
> 0 et b =
p
√
1 − e2
> 0 — c’est possible car 0 < e < 1.
L’équation devient aussitôt
x2
a2
+
y2
b2
= 1, et puisque e > 0, on a b = a
√
1 − e2 < a comme voulu.
• Jusqu’ici, nous n’avons pas expliqué pourquoi les ellipses ont la forme qu’elles ont. Pour le justifier à présent,
paramétrons C. Pour tout point M de coordonnées (x, y) dans (Ω, I, J) :
M ∈ C ⇐⇒
x
a
2
+
y
b
2
= 1 ⇐⇒ ∃ t ∈ R/
x
a
,
y
b
= (cos t, sin t)
⇐⇒ ∃ t ∈ R/ (x, y) = (a cos t, b sin t).
Ceci montre que C est le support de la courbe paramétrée f :
R −→ R2
t −→ a cos t I + b sin t J
. Comme
f(t + π) = −f(t) pour tout t ∈ R, on peut se contenter d’étudier f sur un intervalle de longueur π à
condition d’effectuer à la fin une symétrie par rapport à Ω. Choisissons l’intervalle −
π
2
,
π
2
puisque le
cosinus est pair et le sinus impair. Alors nous pouvons même nous contenter de l’intervalle 0,
π
2
si nous
effectuons à la fin une symétrie par rapport à la droite passant par Ω dirigée par I.
L’étude des variations est triviale : t −→ a cos t est strictement décroissante sur 0,
π
2
et t −→ b sin t
strictement croissante. En calculant f , on montre aisément que f est régulière sur R et que f (0) = b J et
f
π
2
= −a I (tangentes verticale et horizontale respectivement). Le tracé de C s’en déduit.
2

3. c Christophe Bertault - MPSI
• Quand nous avons montré l’existence de Ω, nous avons montré que ses coordonnées dans (F, I, J) sont
ep
1 − e2
, 0 , de sorte que c = ΩF =
ep
1 − e2
. Etant données les expressions de a et b en fonction de e et p,
on montre sans difficulté que a2
= b2
+ c2
et que e =
c
a
.
• L’égalité FB = FB = F B = F B = a représentée sur la figure est une conséquence immédiate du théorème
de Pythagore.
Théorème (Parabole)
On suppose ici que e = 1, i.e. que C est une parabole. Notons S le milieu du segment FP .
Alors dans le repère (S, I, J), l’équation y2
= 2px est une équation cartésienne de C appelée
son équation réduite et S est un point de C appelé son sommet.
SP
F I
J
C
D
p
2
p
2
Démonstration Pour commencer, remarquons que dans le cas de la parabole où e = 1, on a p = ed = d = PF.
• Partons de l’équation (1 − e2
)x2
+ y2
− 2epx − p2
= 0 de C dans le repère (F, I, J). Comme ici e = 1,
elle s’écrit en fait y2
= 2px + p2
= 2p x +
p
2
. Notons alors S le milieu de PF , de coordonnées
−
d
2
, 0 = −
p
2
, 0 dans (F, I, J). Dans le repère (S, I, J), l’équation précédente de C s’écrit y2
= 2px.
C’est ce que nous voulions.
• Le tracé de C ne pose aucune difficulté. Dans le repère orthonormal direct (S, −J, I), l’équation de C est tout
simplement y =
x 2
2p
, car on a les formules de changement de repère
x = −y
y = x
. On a donc affaire à
une parabole au sens bien connu du terme — bref, une fonction polynomiale de degré 2.
Théorème (Hyperbole) On suppose ici que e > 1, i.e. que C est une hyperbole de centre Ω.
• Il existe alors deux réels a > 0 et b > 0 pour lesquels l’équation
x2
a2
−
y2
b2
= 1 est une équation cartésienne de C dans le repère (Ω, I, J).
Cette équation est appelée l’équation réduite de C.
• Le réel a est appelé le demi-axe de C et son double 2a l’axe de
C. Les points A, A de la figure ci-contre sont appelés les sommets de
C.
• Si c = ΩF, alors c2
= a2
+ b2
, e =
c
a
et ΩP =
a
e
.
• Les droites d’équation y = ±
b
a
x dans le repère (Ω, I, J) sont
asymptotes de C.
Ω
FF AA PP
I
J
C
DD
a
e
p
b
c
a
Démonstration
• Partons de l’équation de C (1 − e2
)x2
+ y2
=
p2
1 − e2
obtenue précédemment dans le repère (Ω, I, J).
Multiplions-la par
1 − e2
p2
et posons a =
p
e2 − 1
> 0 et b =
p
√
e2 − 1
> 0 — c’est possible car e > 1.
L’équation devient aussitôt
x2
a2
−
y2
b2
= 1.
• Jusqu’ici, nous n’avons pas expliqué pourquoi les hyperboles ont la forme qu’elles ont. Pour le justifier à
présent, paramétrons C. Pour tout point M de coordonnées (x, y) dans (Ω, I, J) :
M ∈ C ⇐⇒
x
a
2
−
y
b
2
= 1 ⇐⇒ x = ±a
y2
b2
+ 1 (poser à présent y = t)
⇐⇒ ∃ t ∈ R/ (x, y) = a
t2
b2
+ 1, t ou ∃ t ∈ R/ (x, y) = −a
t2
b2
+ 1, t .
3

4. c Christophe Bertault - MPSI
Ceci montre que C est la réunion des supports de deux courbes paramétrées, f :



R −→ R2
t −→ a
t2
b2
+ 1 I + t J
et g :



R −→ R2
t −→ −a
t2
b2
+ 1 I + t J
. Ces deux supports étant symétriques par rapport à la droite pas-
sant par Ω dirigée par J, nous pouvons n’étudier que f. Un raisonnement sur les parité/imparité montre
que l’étude peut être faite sur R+ seulement. Nous devrons effectuer au final une symétrie par rapport aux
droites passant par Ω dirigées par I et J.
L’étude des variations est triviale : les deux coordonnées de f sont strictement croissantes sur R+ — pas
besoin de calculer les dérivées ici, un raisonnement sur la composition de fonctions monotones fait l’affaire.
En calculant f , on montre aisément que f est régulière sur R et que f (0) = J (tangente verticale).
Pour la branche infinie au voisinage de ∞, c’est un simple calcul de limites :
t
a
t2
b2
+ 1
=
b
a
1 +
b2
t2
−→
t→∞
b
a
, puis :
t −
b
a
× a
t2
b2
+ 1 = t − t2 + b2 =
t −
√
t2 + b2 t +
√
t2 + b2
t +
√
t2 + b2
=
t2
− (t2
+ b2
)
t +
√
t2 + b2
=
−b2
t +
√
t2 + b2
−→
t→∞
0,
ce qui montre bien que la droite y =
b
a
x est asymptote de f au voisinage de ∞. Le tracé de C s’en déduit.
• Quand nous avons montré l’existence de Ω, nous avons montré que ses coordonnées dans (F, I, J) sont
ep
1 − e2
, 0 , de sorte que c = ΩF =
ep
e2 − 1
(car e > 1). Etant données les expressions de a et b en fonction
de e et p, on montre sans difficulté que c2
= a2
+ b2
et que e =
c
a
.
Explication Comment l’excentricité d’une conique s’interprète-t-elle géométriquement ? Nous avons laissé cette
question de côté jusqu’ici. Les figures suivantes illustrent la façon dont, à mesure que e croît à partir de 0, l’ellipse se tranforme
en parabole puis aussitôt en hyperbole. Dans tous les cas, la conique représentée a pour directrice la droite D d’équation x = −1
et pour foyer le point F = (0, 0).
F
D
e = 1
e =
1
2
e =
1
4
e =
3
4
e = 2e = 2 e = 4e = 4
4

5. c Christophe Bertault - MPSI
2 Définition bifocale des coniques à centre
Théorème (Définition bifocale de l’ellipse) Soient F et F deux points distincts et a un réel vérifiant 2a > FF . L’ensemble
des points M du plan tels que MF + MF = 2a est l’ellipse de foyers F et F et de demi-grand axe a.
Explication
Ce résultat possède une interprétation « jardinière » facile à retenir. Quand un jardinier
veut créer un parterre de fleurs de forme elliptique, il lui suffit de planter deux piquets
F et F , d’accrocher les extrêmités d’une corde de longueur 2a > FF à chacun de ces
piquets, et de suivre la méthode de tracé figurée ci-contre :
ΩF FI
J
Démonstration Notons Ω le milieu du segment [FF ], c = ΩF, I =
−−→
ΩF
c
et J l’unique vecteur pour lequel
(Ω, I, J) est un repère orthonormal direct. Notons enfin e =
c
a
et D la droite d’équation x = −
a
e
dans (Ω, I, J).
L’hypothèse 2a > FF ne signifie rien d’autre que a > c, i.e. e < 1.
• Soit M un point de coordonnées (x, y). On suppose que MF + MF = 2a. Multipliant par MF − MF ,
nous obtenons MF2
− MF 2
= 2a MF − MF . Or MF2
= (x + c)2
+ y2
et MF 2
= (x − c)2
+ y2
, et donc
MF −MF =
2cx
a
= 2ex. Additionnons ce résultat avec l’égalité MF +MF = 2a. Cela donne MF = a+ex,
donc : MF2
= (a + ex)2
.
Notons à présent H = −
a
e
, y le projeté orthogonal de M sur D. On a : MH2
= x +
a
e
2
.
Il est alors facile de vérifier que MF2
= e2
MH2
, i.e. que MF = eMH. Nous avons bien montré que M est
un point de l’ellipse d’excentricité e, de foyer F et de directrice associée D — comme voulu, car cette ellipse
est bien l’ellipse de foyers F et F et de demi-grand axe a.
• Réciproquement, soit M un point de l’ellipse décrite à l’instant.
Alors MF2
= e2
MH2
, i.e. (x + c)2
+ y2
= e2
x +
a
e
2
. Développons cette identité, retranchons-lui 4cx,
nous obtenons : (x − c)2
+ y2
= e2
x −
a
e
2
. Cette quantité se trouve être égale à MF 2
. Après une
petite racine carrée, nous avons donc prouvé deux relations intéressantes :
MF = e x +
a
e
et MF = e x −
a
e
.
Or M est un point de l’ellipse, donc nous savons que −
a
e
x
a
e
. Finalement :
MF + MF = e x +
a
e
+ e
a
e
− x = 2a comme voulu.
Théorème (Définition bifocale de l’hyperbole) Soient F et F deux points distincts et a un réel vérifiant 0 < 2a < FF .
L’ensemble des points M du plan tels que MF − MF = 2a est l’hyperbole de foyers F et F et de demi-axe a.
Démonstration Notons Ω le milieu du segment [FF ], c = ΩF, I =
−→
ΩF
c
et J l’unique vecteur pour lequel
(Ω, I, J) est un repère orthonormal direct. Notons enfin e =
c
a
et D la droite d’équation x =
a
e
dans (Ω, I, J).
L’hypothèse 2a < FF ne signifie rien d’autre que a < c, i.e. e > 1.
• Soit M un point de coordonnées (x, y) tel que MF − MF = 2a. Supposons d’abord que MF − MF = 2a.
Multipliant par MF + MF , nous obtenons MF2
− MF 2
= 2a MF + MF . Or MF2
= (x − c)2
+ y2
et MF 2
= (x + c)2
+ y2
, et donc MF + MF = −
2cx
a
= −2ex. Additionnons ce résultat avec l’égalité
MF − MF = 2a. Cela donne MF = a − ex, donc : MF2
= (a − ex)2
.
Notons à présent H =
a
e
, y le projeté orthogonal de M sur D. On a : MH2
= x −
a
e
2
.
Il est alors facile de vérifier que MF2
= e2
MH2
, i.e. que MF = eMH. Nous avons bien montré que M est
un point de l’hyperbole d’excentricité e, de foyer F et de directrice associée D — comme voulu, car cette
hyperbole est bien l’hyperbole de foyers F et F et de demi-grand axe a.
On procède de même dans le cas où MF − MF = 2a.
5

6. c Christophe Bertault - MPSI
• Réciproquement, soit M un point de l’hyperbole décrite à l’instant.
Alors MF2
= e2
MH2
, i.e. (x − c)2
+ y2
= e2
x −
a
e
2
. Développons cette identité, ajoutons-lui 4cx, nous
obtenons : (x + c)2
+ y2
= e2
x +
a
e
2
. Cette quantité se trouve être égale à MF 2
. Après une petite
racine carrée, nous avons donc prouvé deux relations intéressantes :
MF = e x −
a
e
et MF = e x +
a
e
.
Or M est un point de l’hyperbole, donc nous savons que x −
a
e
ou que x
a
e
. Supposons par exemple que
x
a
e
— démonstration analogue dans l’autre cas :
MF − MF = e x −
a
e
− e x +
a
e
= | − 2a| = 2a comme voulu.
3 Equation polaire d’une conique de foyer l’origine
Dans cette partie, (O, ı, ) est un repère orthonormal direct du plan.
Théorème (Equation polaire d’une conique de foyer l’origine) Soient D une droite ne contenant pas O, e > 0 et C la
conique d’excentricité e, de foyer O et de directrice associée D. Alors l’équation :
r =
p
1 + e cos(θ − θ0)
est une équation polaire de C, où p est le paramètre de C et où θ0 est une mesure de l’angle représenté ci-dessous.
Démonstration
Notons P le projeté orthogonal de O sur D et (d, θ0) un couple de coordon-
nées polaires de P dans (O, ı, ). On choisit d > 0, i.e. d = d(O, D).
Travaillons d’abord dans le repère (O, uθ0 , vθ0 ). Pour tout point M de coor-
données polaires (r, θ) dans ce repère, si nous notons H le projeté orthogonal
de M sur D, alors
−−→
MH = (−r cos θ + d) uθ0 , et donc MH = |d − r cos θ|.
Du coup :
M ∈ C ⇐⇒ MO = eMH ⇐⇒ |r| = e|d − r cos θ|
⇐⇒ r = e(d − r cos θ) ou r = −e(d − r cos θ)
⇐⇒ r =
p
1 + e cos θ
ou r =
−p
1 − e cos θ
car p = ed.
O
P
M
H
ı

D
uθ0
vθ0
θ0
Notre conique C semble donc être la réunion des supports des deux courbes paramétrées r1 : θ −→
p
1 + e cos θ
et
r2 : θ −→
−p
1 − e cos θ
. Mais en réalité r2(θ + π) = −r1(θ), et donc le point de paramètre θ de r1 est égal au point
de paramètre θ + π de r2. En d’autres termes r1 et r2 ont le même support, et finalement r =
p
1 + e cos θ
est
une équation polaire de C.
Dans (O, ı, ), cette équation polaire est « décalée de θ0 » et devient comme voulu r =
p
1 + e cos(θ − θ0)
.
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7. c Christophe Bertault - MPSI
4 Tangentes
Théorème (Tangente à une conique) Soit C une conique.
(i) Si C est une ellipse d’équation réduite
x2
a2
+
y2
b2
= 1 et si M0 est un point de C de coordonnées (x0, y0), alors la
tangente à C en (x0, y0) est la droite d’équation :
x0x
a2
+
y0y
b2
= 1.
(ii) Si C est une parabole d’équation réduite y2
= 2px et si M0 est un point de C de coordonnées (x0, y0), alors la tangente
à C en (x0, y0) est la droite d’équation : y0y = p(x0 + x).
(iii) Si C est une hyperbole d’équation réduite
x2
a2
−
y2
b2
= 1 et si M0 est un point de C de coordonnées (x0, y0), alors la
tangente à C en (x0, y0) est la droite d’équation :
x0x
a2
−
y0y
b2
= 1.
En pratique Ce résultat est vraiment facile à retenir. Les x2
sont remplacés par des x0x, les y2
par des y0y et le
2x = x + x de la parabole par x0 + x.
Démonstration
(i) Nous avons déjà vu que C est le support de la courbe paramétrée régulière f :
R −→ R2
t −→ a cos t ı + b sin t 
.
Si t0 est un paramètre du point M0, i.e. si f(t0) = M0, alors la tangente TM0 en M0 est dirigée par le vecteur
f (t0) = (−a sin t0, b cos t0) = −a ×
y0
b
, b ×
x0
a
.
Enfin, pour tout point M de coordonnées (x, y) :
M ∈ TM0 ⇐⇒
−−−→
M0M et f (t0) sont colinéaires ⇐⇒ det
−−−→
M0M, f (t0) = 0
⇐⇒
x − x0 −
ay0
b
y − y0
bx0
a
= 0 ⇐⇒
x0x
a2
+
y0y
b2
= 1. Voilà.
(ii) et (iii) Imiter la preuve de l’assertion (i). Pour (ii), on remarquera que C est le support de la courbe
paramétrée f :



R −→ R2
t −→
t2
2p
I + t J
.
5 Equations cartésiennes ax2
+ bxy + cy2
+ dx + ey + f = 0
Dans cette partie, nous allons généraliser la notion de conique introduite précédemment et l’étudier ensuite. En particulier,
il a pu vous sembler étonnant que les cercles n’aient pas été des coniques jusqu’ici. Qu’à cela ne tienne, ils en seront désormais.
Définition (Conique, discriminant)
• On appelle conique tout ensemble de points dont une équation cartésienne dans un repère orthonormal est de la forme :
ax2
+ bxy + cy2
+ dx + ey + f = 0,
où a, b, c, d, e, f ∈ R sont tels que (a, b, c) = (0, 0, 0).
• On appelle discriminant de l’équation d’une telle conique le réel b2
− 4ac.
Exemple
• De part leurs équations réduites, les coniques étudiées jusqu’ici sont des coniques au sens nouveau du terme.
• Les cercles sont des coniques. Par extension, on considère que ce sont des ellipses, ce qui est bien naturel.
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8. c Christophe Bertault - MPSI
Théorème Soit C une conique d’équation ax2
+ bxy + cy2
+ dx + ey + f = 0 dans un certain repère orthonormal, où
a, b, c, d, e, f ∈ R sont tels que (a, b, c) = (0, 0, 0).
• Si b2
− 4ac < 0, alors C est soit vide, soit un point, soit une ellipse (éventuellement un cercle). On dit dans ce cas que
C est du genre ellipse.
• Si b2
− 4ac = 0, alors C est soit vide, soit une droite, soit la réunion de deux droites parallèles, soit une parabole. On
dit dans ce cas que C est du genre parabole.
• Si b2
− 4ac > 0, alors C est soit la réunion de deux droites sécantes, soit une hyperbole. On dit dans ce cas que C est
du genre hyperbole.
° ° ° Attention ! Dire qu’une conique est du genre ellipse, par exemple, ce n’est pas dire qu’elle est une ellipse ; c’est
juste une façon de parler du signe de son discriminant.
En pratique Vous devez savoir trouver l’équation réduite d’une conique en utilisant la méthode présentée ci-après.
Démonstration Partant de l’équation générale ax2
+bxy +cy2
+dx+ey +f = 0, nous allons peu à peu annuler
les coefficients en présence : d’abord b, etc. Tout cela sera très pénible. Ces annulations de coefficients vont être
obtenues au moyen de changements de repère bien choisis. On pourrait montrer que les opérations qui vont
être faites ci-dessous préservent le signe du discriminant — ainsi on est sûr que les ellipses ne deviennent
pas soudain des hyperboles par exemple — mais cela alourdirait la démonstration qui l’est déjà bien assez.
• Réduction au cas b = 0 : Soit C une conique d’équation ax2
+ bxy + cy2
+ dx + ey+ f = 0 dans un certain
repère (O, ı, ). On suppose b = 0. Soit ϕ un réel quelconque. Que devient l’équation de C dans le repère
(O, uϕ, vϕ) ? Notant (x , y ) les coordonnées dans ce nouveau repère, nous avons les formules de changement
de repère suivantes :
x = x cos ϕ − y sin ϕ
y = x sin ϕ + y cos ϕ
. Ainsi une équation de C dans (O, uϕ, vϕ) est :
a x cos ϕ − y sin ϕ
2
+ b x cos ϕ − y sin ϕ x sin ϕ + y cos ϕ + c x sin ϕ + y cos ϕ
2
+ . . . = 0.
Le coefficient de x y vaut alors :
−2a cos ϕ sin ϕ + b cos2
ϕ − sin2
ϕ + 2c cos ϕ sin ϕ = (c − a) sin(2ϕ) + b cos(2ϕ).
Or que voulons-nous faire ? Nous aimerions bien que ce coefficient soit nul. Si a = c, cela revient à dire que
cos(2ϕ) = 0 et nous pouvons choisir ϕ =
π
4
; si a = c, cela revient à dire que tan(2ϕ) =
b
a − c
et nous pouvons
choisir ϕ =
1
2
Arctan
b
a − c
. Pour la valeur de ϕ ainsi choisie, l’équation de C dans le repère (O, uϕ, vϕ) est
de la forme attendue a x 2
+ c y 2
+ d x + e y + f = 0 : le coefficient de x y est nul.
• Cas où a = 0 et c = 0 (sachant que b = 0) : Ici, le discriminant est nul.
Soit C une conique d’équation cy2
+ dx + ey + f = 0 dans un certain repère orthonormal (O, ı, ). Quitte
à diviser par c = 0, on peut en fait supposer que l’équation est de la forme y2
+ dx + ey + f = 0. Alors
y +
e
2
2
+ dx + f −
e2
4
= 0 est encore une équation de C. Notons S le point de coordonnées 0, −
e
2
dans
(O, ı, ). Dans le repère (S, ı, ), l’équation précédente de C s’écrit y2
+ dx + f −
e2
4
= 0.
Nous avons donc réussi à tuer le coefficient de y. Nous pouvons nous contenter dès lors d’étudier le cas d’une
conique C d’équation y2
+ dx + f = 0 dans un certain repère (O, ı, ).
1) Si d = 0 et f > 0, alors l’équation y2
+ f = 0 n’ayant aucune solution, C = ∅.
2) Si d = f = 0, alors C est une droite, la droite d’équation y = 0.
3) Si d = 0 et f < 0, alors C est la réunion de deux droites, les droites d’équations y = ±
√
−f.
4) Enfin, si d = 0, on peut écrire l’équation précédente de C sous la forme x = −
y2
+ f
d
qui est
l’équation d’une parabole — les axes sont inversés par rapport aux conventions habituelles.
• Cas où a = 0 et c = 0 (sachant que b = 0) : Ce cas se traite comme le précédent.
• Cas où a = 0 et c = 0 (sachant que b = 0) : Ici, le discriminant est non nul.
Soit C une conique d’équation ax2
+ cy2
+ dx + ey + f = 0 dans un certain repère (O, ı, ). Si nous faisons
l’effort de reconnaître le début de deux identités remarquables, nous pouvons réécrire cette équation sous la
forme a x +
d
2a
2
+c y +
e
2c
2
+f −
d2
4a
−
e2
4c
= 0. Notons alors Ω le point de coordonnées −
d
2a
, −
e
2c
dans (O, ı, ). Dans le repère (Ω, ı, ), l’équation précédente de C devient ax2
+ cy2
+ f −
d2
4a
−
e2
4c
= 0.
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9. c Christophe Bertault - MPSI
Nous venons de tuer les coefficients de x et y. Nous n’avons donc plus qu’à étudier le cas d’une conique C
d’équation ax2
+ cy2
+ f = 0 dans un certain repère (O, ı, ). Le discriminant associé est le réel −4ac.
1) Si −4ac < 0, alors a et c sont de même signe. Quitte à multiplier l’équation par −1, nous pouvons
supposer a > 0 et c > 0.
- Si f > 0, alors l’équation ax2
+ cy2
+ f = 0 n’a aucune solution, et donc C = ∅.
- Si f = 0, son unique solution est le couple (0, 0), de sorte que C = O .
- Si f < 0, introduisons les deux réels α > 0 et β > 0 définis par α2
= −
f
a
et β2
= −
f
c
.
Alors
x2
α2
+
y2
β2
= 1 est une équation cartésienne de C. Ainsi C est une ellipse — un cercle, si α = β.
2) Si −4ac > 0, alors a et c sont de signe contraire. En travaillant comme dans le cas 1), on peut
montrer que C est soit la réunion de deux droites sécantes, soit une hyperbole.
6 Projection orthogonale
d’un cercle de l’espace sur un plan
Théorème (Projection orthogonale d’un cercle de l’espace sur un plan) Soient P et P deux plans non orthogonaux
et C un cercle inclus dans P. Alors la projection orthogonale de C sur P est une ellipse — éventuellement un cercle.
Remarque Dans le cas où P et P sont orthogonaux, la projection orthogonale de C sur P est un segment.
Démonstration
Notons C la projection orthogonale de C sur P , R le rayon de C, Ω son centre et Ω
le projeté orthogonal de Ω sur P . Soit n un vecteur unitaire orthogonal à P et D la
droite passant par Ω dirigée par n. Donnons-nous alors ı un vecteur directeur unitaire
de la projection orthogonale de D sur P ,  l’un des deux vecteurs pour lesquels (Ω , ı, )
est un repère orthonormal de P , et enfin k l’unique vecteur pour lequel (Ω , ı, , k) est
un repère orthonormal direct de l’espace. Notons (0, 0, h) les coordonnées de Ω dans ce
repère.
Notre vecteur n est alors coplanaire aux vecteurs ı et k et il existe un réel θ pour lequel
n = cos θ ı + sin θ k. Peut-on avoir sin θ = 0 ? Certainement pas, car alors P et P
seraient orthogonaux.
P
P
Cθ
ı
k

n
Ω
Ω
• Déterminons à présent une équation de P dans (Ω , ı, , k). Pour tout point M de coordonnées (x, y, z) :
M ∈ P ⇐⇒ n ·
−−→
ΩM = 0 ⇐⇒


cos θ
0
sin θ

 ·


x
y
z − h

 = 0
⇐⇒ x cos θ + (z − h) sin θ = 0 ⇐⇒ z − h = −x cotan θ, où cotan =
cos
sin
, sachant que sin θ = 0.
• Déterminons à présent une équation de C. Pour ce faire, remarquons que C est l’intersection de la sphère de
centre Ω et de rayon R avec P. Pour tout point M de coordonnées (x, y, z) :
M ∈ C ⇐⇒ x2
+ y2
+ (z − h)2
= R2
et z − h = −x cotan θ
⇐⇒ 1 + cotan2
θ x2
+ y2
= R2
et z − h = −x cotan θ
⇐⇒
x2
(R sin θ)2
+
y2
R2
= 1 et z − h = −x cotan θ car 1 + cotan2
θ =
1
sin2
θ
.
• Déterminons enfin une équation de C . Pour tout point M de coordonnées (x, y, 0) — C est contenu dans le
plan d’équation z = 0 :
M ∈ C ⇐⇒ ∃ z ∈ R/ (x, y, z) ∈ C ⇐⇒
x2
(R sin θ)2
+
y2
R2
= 1. C’est une ellipse.
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