Propuesta Solucionario 5 - Integración por sustitución Trigonométrica
1. Propuesta Solucionario 5
Ing. Electrónica
David Steven Hoyos - Andrés Fermín Mella*
Integración por sustitución Trigonométrica Pag 39
1)
1
3 dx f (x) = x f (x) = a sen θ
(25 − x2 ) 2
a=5
x = 5 sen θ x2 = 25 sen2 θ
dx = 5 cos θ dθ
5 cos θ
3 dθ
(25 − 25 sen2 θ) 2
5 cos θ
dθ
125 (1 − sen2 θ) 3 2
1 cos θ
dθ
25 (cos2 θ) 3 2
1 cos θ
dθ
25 cos3 θ
1 1
dθ
25 cos2 θ
1
sec2 θ dθ
25
1
(tan θ) + c
25
5
x
1 x θ
√ +c √
25 25 − x2 25 − x2
4)
5−x
dx
2x2 +x−1
El profesor ya la resolvio en clase, es sólo completar el cuadrado y hacer la sustitución
Trigonométrica.
* David Steven Hoyos Gil - Andres Fermín Mella
1
2. 5)
√
25 − x2
dx f (x) = x f (x) = a sen θ
x
a=5
x = 5 sen θ x2 = 25 sen2 θ
√ dx = 5 cos θ dθ
25 − 25 sen2 θ (5 cos θ)
dθ
5 sen θ
cos2 θ
5 dθ
sen θ
1 − sen2 θ
5 dθ
sen θ
5 (csc θ − sen θ) dθ
5 (− ln | csc θ + cot θ| + cos θ) + c
5
x
√
5 25 − x2 √ θ
−5 ln + + 25 − x2 + c √
x x 25 − x2
9)
1
√ dx f (x) = x a=3
x2 −9
x = 3 sec θ x2 = 9 sec2 θ
dx = 3 sec θ tan θ dθ
3 sec θ tan θ
√ dθ
9 sec2 θ − 9
sec θ tan θ
√ dθ
sec2 θ − 1
sec θ dθ
ln | sec θ + tan θ| + c
x √
x2 − 9
√
x x2 − 9 θ
ln + +c
3 3 3
3. 11)
x2
3 dx f (x) = x a=1
(1 − x2 ) 2
x = sen θ x2 = sen2 θ
dx = cos θ dθ
sen2 θcosθ
3 dθ
(1 − sen2 θ) 2
sen2 θcosθ
3 dθ
(cos2 θ) 2
sen2 θcosθ
dθ
(cos3 θ)
tan2 θ dθ
sec2 θ − 1 dθ
tan θ − θ + c
1 x
x θ
√
2
− sen−1 x + c √
1−x 1 − x2
14)
√
4y 2 + 9
dy f (y) = 2y a=3
y4
2y = 3 tan θ 4y 2 = 9 tan2 θ
3 4
y = 3 tan θ
2
y4 = tan4 θ
2
3
dy = 2 sec2 θ dθ
4
√
2 9 tan2 θ + 93
sec2 θ dθ
3 tan4 θ 2
8 sec3 θ
dθ
9 tan4 θ
8 cos θ
dθ u = sen θ du = cos θ dθ
9 sen4 θ
8
u−4 du
9
8 u−3
. +c
9 −3
8
− csc3 θ + c
27