4 sistemas com um grau de liberdade

Vibração e Ruido

Universidade Metodista de Angola
Faculdade de Engenharia Mecâtronica
Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala

1

Programa

 3-Sistemas com um grau de Liberdade
 3.1-Resposta em vibração livre não amortecida
 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento
viscoso
 3.3-Resposta me Vibração livre amortecida
 3.4-Movimento harmonico da base de suporte
 3.5-Transmissibilidade. Isolamento de vibrações

Davyd da Cruz Chivala 2

3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.1-Resposta em vibração livre não amortecida




3.1-Resposta em vibração livre não amortecida




3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso





 Assumindo solução do tipo q(t ) = Ce λt (1) teremos:
 mλ2 + cλ + k = 0 que se pode tambem escrever λ2 + c λ + k = 0
2
c  c  k m m
 A solução desta equação λ1, 2 = − ±   −
2m 2m  m
λ t
subistituindo na eq.1 teremos: q(t ) = C1e + C2eλ t 1 2

 c 2   c 2 
−  c  k t −  c  k t
 +   −   −   − 
q (t ) = C1e
 2m  2m  m   2m  2m  m 
  
+ C2 e   (2)
 

2
 c  k
  −

t

 
2
−  c  − k

t 
2m  
c     2m  m 
−
q(t ) = e C1e 
  2m  m   

+ C2 e  

 
 

 Analizando (2) temos:
c
−
1. o termo e 2 m eh exponencialmente decrescente

2
 c  k

 
 >
2. Quando  2m  os expoentes serão numeros reais e
m
não ocorrera oscilações, nestas condições o sistemas
chaman-se superamortecidos
2
 c  k
 <
3. Quando  
 2m m os expoentes serão numeros

imaginarios e ocorrerão oscilações , caracteristica de um
movimento oscilatorio subamortecido
2
 c  k
4. Quando 
 
= tem caracteristica de amortecimento
 2m  m
critico, quando perturbabo o sistema não oscila e volta
rapidamente para a posição de equilibrio.



 Coeficiente de amortecimento cc = 2mωn
C C
 Factor de amortecimento ξ = =
Cc 2 km


3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido (0 < ξ < 1)
2
c  c  k
 A equação λ1, 2 =− ±   − tambem pode ser escrita
2m  2m  m

 da seguinte forma λ1, 2 = −ξωn ± ωn ξ 2 − 1 subistituindo em

(2) temos q (t ) = e −ξωnt C1eωn ξ 2 −1t
+ C2 e −ωn ξ 2 −1t 
e apois manipulações

 


matematicas chega-se a: q(t ) = e −ξωnt [A cos(ωd t ) + B sin (ωd t )] (3)



 Em que ωd = ωn 1 − ξ 2 conhecida como frequencia
angular natural amortecida
A e B obtidas por condições iniciais de deslocamento e de
velocidade A = q(0 )
q(0 ) + ξωn q(0 )

B=
ωn 1 − ξ 2
 outra forma comun de apresentar (3)
q(t ) = Ce −ξω t sin (ωd t + φ )
n

(q(0) + ξωn q(0))2 + (q(0)ωd )2

C=
ωd
 q(0 )ωd 
φ = tan −1  
 q(0 ) + ξωn q(0 ) 


3.2.2-Movimento superamortecido (ξ > 1)
 −ξ + ξ −1 ω n t
 2  −ξ 2 − ξ 2 −1 ω t
q(t ) = Ae
   n
2

 A solução eh dada por  
+ Be  

 A e B são obtidas por condições iniciais

A=
( )
q(0 ) + ξ + ξ 2 − 1 ωn q(0 )

2ωn ξ 2 − 1

B=
( )
q(0 ) + ξ − ξ 2 − 1 ωn q(0 )

2ωn ξ 2 − 1


3.2.2-Movimento superamortecido (ξ > 1)


3.2.3-Movimento superamortecido (ξ = 1)

A solução é dada por q(t ) = e [(q(0) + ωntq(0))t + q(0)]
−ω t
  n




3.3-Decremento logaritmico

 (0 < ξ < 1)

q(t ) = Ce −ξωnt sin (ωd t + φ )

 q0   Ce −ξωnt sin (ωd t + φ )  t1 = t0 + t d
δ = ln  ln −ξωnt1
 q   Ce 
 1  sin (ωd t1 + φ ) 



3.3-Decremento logaritmico

 apois manipulações algebricas temos:
2πξ
δ=
1− ξ 2

 Ou ainda da forma
 δ
ξ=
 4π 2 + δ 2



Exercicio

 Calcula a equação do movimento e a frequencia natural
não amortecida do sistema



Exercicio

 Considere um sistema massa-mola-amortecedor com
massa m=20kg e de deslocamento inicial x0=0.01m
conforme figura abaixo. Estime os coeficientes
equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste
sistema


Exercicio


Exercicio

 Uma haste delgada fina uniforme de massa m e de
comprimento l eh articulada em A e esta ligada a quatro
molas lineares e uma torcional, como mostra a figura
abaixo. Determine a frequencia natural não amortecida
se K = 2000 N m, K t = 1000 N .m rad , l = 5m


Exercicio


Exercicio

 Determine a equação de movimento e frequençia natural
da barra rigida OA de comprimento l e massa m,
conforme figura abaixo.


Exercicio


3.4-Vibrações forçadas

 Considere a equação do movimento massa-mola-
amortecedor no caso em que temos uma força
harmonica actuando no sistema

 mq + cq + kq = F (t ) sendo F(t) harmonica teremos: F (t ) = F sin (ωt )
 
 Em que F é a amplitude da força e é medida em N

 mq + cq + kq = F sin (ωt ) esta equação é diferencial não
 
ordinaria e a solução é dada pela soma das




q(t ) = qh (t ) + q p (t ) ou seja a soma da solução
homogenia que ja foi calculada nos pontos anteriores e
de uma solução particular que adimite-se que seja do
tipo: q = Aeiωt

 subistituindo em mq + cq + kq = F (t ) teremos:
 
(
 )
− mω 2 + k + iωc Aeiωt = Feiωt e a solução particular é dada por:

k − mω 2 − iωc
q(t ) =
1 i ωt
Fe = Feiωt
− mω 2 + k + iωc (
k − mω 2 + (ωc )
2 2
)



 q(t ) = Feiωt = H (ω )Feiωt aonde
(k − mω ) + (ωc )
2 2 2

H (ω ) = =
A

( )
em que a parte imaginaria é:
k − mω 2 + (ωc )
2 2
F



q (t ) =
(
− cω cos ωt + k − mω 2 sin ωt ) F=
F 
sin  ωt − tg −1
cω 

(k − mω ) + (ωc )
2 2 2
(k − mω ) + (ωc )
2 2 2  k − mω 2 



 A equação q(t ) = qh (t ) + q p (t ) tem solução:
 cω 
q(t ) = e −ξωnt ( A1 cos ωa t + A2 sin ωa t ) +
F
sin  ωt − tg −1 2 
(k − mω ) + (ωc )
2 2 2  k − mω 

 A solução geral é composta por um termo transitorio e
um estacinario.

 A amplitude da resposta forçada é dada por:
 F F 1 ω
A= = β=
(k − mω ) + (ωc )
2 2 2 k (1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2
ωn



O factor de ampliação é dado por:
Ap k
M (ξ , β ) =
A 1
= =
Ast F (1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2


3.4.1-Ressonância
 Ocorre quando a frequencia de exitação é igual a
frequencia natural do sistema
 Em projectos deve-se sempre evitar estar zona pois
induzem vibrações de grandes amplitudes ao sistema


3.4.1-Ressonância
 O pico de resonância que é o valor maximo de M é
obtido por:

dM (ξ , β ) ω
= 0 ⇒ β = 1 − 2ξ 2 =
dβ ωn
1
 E M max =
2ξ 1 − ξ 2


3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em
maquinas rotativas
 No caso em que temos maquinas rotativas com massa
desbalanceada, o sistema é excitado por esta massa a
sua velocidade angularω com a sua excentricidade ε




maquinas rotativas
 A força de desbalance é: Fe (t ) = m0 eω 2 sin (ωt )

 A equação do movimento é dada mq + cq + kq = m0 eω 2 sin (ωt )
 

 A amplitude de vibração em regime permanente sera
dada por

m0 eω 2 k
qp =
(1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2


maquinas rotativas
 A quantidade m0 e representa a quantidade de
desbalanceamento do sistema. Em geral m0 e é obtido a
partir de teste experimental para procurar adidionar
 massas para corrigir este desbalanceamento, uma vez
que esta excitação em niveis muito grandes pode

 Comprometer o funcionamento de uma maquina e
siminuir o seu tempo de vida util. Dividindo

m0 eω 2 k
qp = por m obtém-se o factor de
(1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2

Amplição adimensional Λ(ξ , β )

maquinas rotativas

mq p β2
= Λ (ξ , β ) =
m0 e (1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2


maquinas rotativas
1 1
 Λ max = e ocorre quando β max =
2ξ 1 − ξ 2 2ξ 1 − ξ 2


3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte

 No caso em que a base de suporte do sistema sofre um
movimento harmonico



 A equação diferencial do movimento:

 mq + c(q − y ) + k (q − y ) = 0
   ou mq + cq + kq = cy + ky
  

 O deslocamento do suporte é harmonico dado por y = Yeiωt

 E a resposta sera da forma q = Aei (ωt −φ ) subistituindo na
equação do mov. Teremos

1 + (2ξβ ) 2ξβ 2
2

e φ = tg
−1
A=Y

(1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2 (1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2



 A relação A/Y é conhecida como transmissibilidade
1 + (2ξβ )
2
A
=
 Y (1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2


3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações

 Transmissibilidade de forças, consiste em estudar
mecanismo de modo a minimiza os esforços transmitidos
as fundações ou lugar aonde esta apoiada as maquinas

 As forcas transmitidas são por dois processos: atravez
da rigides K z dos amortecedores C



 A força transmitida f tr = Kq + cq



 Admitindo excitação harmonica, a magnitude e fase da
força aplicada e das outras forças sera:

 F ap = Fap eiωt e a resposta ao sistema sera dado por

1
 A= Fap assim a força transmitida sera
k − mω + iωc
2


k + i ωc
Ftr = KA + iωcA = Fap
k − mω + iωc
2

1 + (2ξβ )
2
Ftr
 Transmissibilidade=TR= =
Fap (1 −β ) + (2ξβ )
2 2 2

 Graficamente temos:



 Verifica-se que Fap e Ftr são iguais no ponto em que β = 2
 Ou seja Ftr soh eh maior que Fap quando ω > 2ωn

Exercicios

1. Uma maquina com 45kg, eh montada em cima de um
isolador não-amortecido, composto de quatro molas em
paralelo com rigidez de 2×10 2 N m em cada mola.
Quando opera a uma velocidade de 32Hz, a amplitude
em regime permanente corresponde 0 1.5mm. Qual eh a
magnitude da força que excita esta maquina nesta
velocidade?


Exercicios


4 sistemas com um grau de liberdade

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à 4 sistemas com um grau de liberdade

Similaire à 4 sistemas com um grau de liberdade (20)

4 sistemas com um grau de liberdade