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  1. 1. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Ecole Sup´erieure de la Statistique et de l’Analyse de l’information Cours 2016-2017
  2. 2. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Introduction
  3. 3. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Exemple: On consid`ere un test pour une infection. On suppose que la sensitivit´e du test est ´egale `a 99% (la probabilit´e qu’un infect´e soit d´etect´e positif) la sp´ecificit´e du test est ´egale `a 97% (la probabilit´e qu’une personne saine soit d´etect´ee n´egative). la proportion des personnes infect´ees dans une population est ´egale `a 1%. Question : Comment peut-on ´evaluer l’efficacit´e du test ?
  4. 4. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Exemple: On consid`ere un test pour une infection. On suppose que la sensitivit´e du test est ´egale `a 99% (la probabilit´e qu’un infect´e soit d´etect´e positif) la sp´ecificit´e du test est ´egale `a 97% (la probabilit´e qu’une personne saine soit d´etect´ee n´egative). la proportion des personnes infect´ees dans une population est ´egale `a 1%. Question : Comment peut-on ´evaluer l’efficacit´e du test ? R´eponse : Calculer la probabilit´e qu’une personne d´etect´ee positif au test soit infect´ee ?
  5. 5. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Une simulation de l’exp´erience avec R On simule une population avec un taux d’infection ´egal `a 1%. > N=10000 # Taille de la population > p=0.01 # Probabilit´e d'infection > population=rbinom(N,1,prob = p) > N_infected=sum((population==1)) > ## Nombre d'infect´es > N_infected [1] 100 > ## Le vecteurs des infect´es > infected=which(population==1)
  6. 6. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Une simulation de l’exp´erience avec R On simule le test > sensitivity=.99 > specificity=.97 > test=rbinom(N,1,(population==1)*sensitivity+ + (population==0)*(1-specificity)) > N_test=sum((test==1)) > ## Nombre de positifs. > N_test [1] 414
  7. 7. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Une simulation de l’exp´erience avec R La matrice de confusion test x population > confusion=xtabs(˜population+test) > confusion test population 0 1 0 9585 315 1 1 99 Donc la probabilit´e qu’une personne ayant eu un r´esultat positif au test soit d´etect´ee infect´ee se calcule de la fa¸con suivante > confusion[2,2]/(confusion[1,2]+confusion[2,2]) [1] 0.2391304
  8. 8. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 D’un point de vu th´eorique. Deux ´ev`enements quand on tire au hasard un individu de la population P r´eagit positivement au test. M est malade. Ce qu’on sait: P(M) = 0.01 P(P|M) = 0.99 (sensitivit´e) P(P|M) = 0.99 (sensitivit´e)
  9. 9. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 D’un point de vu th´eorique. Question : Comment peut-on compter sur ce test? R´eponse : Calculer la probabilit´e qu’un individu d´etect´e positif soit malade. ⇐⇒ P(M|P) ?
  10. 10. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 D’un point de vu th´eorique. Question : Comment peut-on compter sur ce test? R´eponse : Calculer la probabilit´e qu’un individu d´etect´e positif soit malade. ⇐⇒ P(M|P) ? T. de Bayes P(M|P) = P(M ∩ T) P(P) = P(P|M)P(M) P(P|M)P(M) + (1 − P(P|M))P(M)
  11. 11. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Une deuxi`eme question? Question: Cette personne passe ce test une deuxi`eme fois et il est encore d´etect´ee positif. Quelle est la la probabilit´e qu’elle soit infect´ee?
  12. 12. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Une deuxi`eme question? Question: Cette personne passe ce test une deuxi`eme fois et il est encore d´etect´ee positif. Quelle est la la probabilit´e qu’elle soit infect´ee? Simulation avec R Simulons une deuxi`eme fois le test > test2=rbinom(N,1,(population==1)*sensitivity+ + (population==0)*(1-specificity))
  13. 13. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Une deuxi`eme question? Croisement des variables ‘population‘, ‘test‘ et ‘test2‘ > confusion2=xtabs(˜population+test2+test) > confusion2[,,1] ## test=0 test2 population 0 1 0 9307 278 1 0 1 > confusion2[,,2] ## test=1 test2 population 0 1 0 302 13 1 1 98
  14. 14. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Une deuxi`eme question? Donc la probabilit´e qu’une personne infect´ee sachant qu’elle a r´eagit positivement deux fois au test est > b=(confusion2[2,2,2]+confusion2[2,1,2]) > a=confusion2[2,2,2] > a/b [1] 0.989899
  15. 15. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Moralit´e Tirer une personne au hasard d’une population, on a P(M) = 0.01 Sachant qu’il a r´eagit positivement au test P(M | T) = 0.23 Une information a priori change la probabilit´e sur un ´ev`enement, Comment peut-on appliquer sur les probl`emes d’estimations de param`etres?
  16. 16. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Estimation Bay´esienne
  17. 17. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Inf´erence Bay´esienne. Soit M un mod`ele param´etrique : Soit X = (X1, . . . , Xn) ∼ Pθ un n−´echantillon o`u θ ∈ Θ ⊆ Rp. En statistique fr´equentiste on calcule un estimateur de θ qui est une statistique du n−´echantillon X : θ(X) ∈ E ⊇ Θ On statistique bay´esienne on suppose que le param`etre θ est al´eatoire et qu’une information a priori π(θ) sur ce param`etre peut ˆetre exprim´ee par une loi de probabilit´e. On calcule alors, sachant le n−´echantillon, une loi a posteriori π(θ | X1, . . . , Xn) ∝ L(X1, . . . , Xn, θ) π(θ)
  18. 18. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Qualit´e de l’estimation? Fonction de Perte L : Θ × E −→ R+ telle que L(θ, θ) = 0 pour tout θ ∈ Θ. L’erreur de l’estimation de θ est mesur´ee par L(θ, θ). Fonction de Risque θ −→ R(θ, θ) = E L(θ, θ)
  19. 19. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Exemples : Θ = E = R Perte quadratique L(θ, θ) = (θ − θ)2 et le risque associ´ee est le risque quadratique R(θ, θ) = E (θ − θ)2 Perte absolue L(θ, θ) = |θ − θ| et le risque associ´ee est le risque quadratique R(θ, θ) = E |θ − θ| Intuitivement plus le risque de l’estimateur est faible plus l’estimateur θ est consid´er´e comme performant.
  20. 20. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Exercice Soit X = (X1, . . . , Xn) telle que pour tout i = 1, . . . , n. On consid`ere X comme estimateur de θ. Calculer le risque quadratique de X dans les cas suivants X ∼ N(θ, 1) X ∼ Gamma(θ, 1) X ∼ Bernoulli(θ, 1) X ∼ Poisson(θ, 1)
  21. 21. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Dans le cas Bay´esien. En statistique baye´esienne, on consid`ere le param`etre comme ´etant al´eatoire, de loi a priori π(θ) sur Θ, ainsi le risque fr´equentiste R(θ , θ(x)) devient al´eatoire. On calcule le risque moyen selon la loi a priori. Donc : Rπ θ(x) = R(θ , θ(x)) π(θ)dθ
  22. 22. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Dans le cas Bay´esien. L’estimateur θB(X) est appel´e estimateur de Bayes associ´e `a la fonction de perte L et `a la loi a priori π c’est l’estimateur qui minimise le risque bay´esien Rπ θB (X) = min θ(x)∈E Rπ θ(x) Remarque: L’expression de l’estimateur bay´esien d´epend du choix de la loi a priori π et de la fonction perte L.
  23. 23. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Meilleur estimateur de Bayes Th´eor`eme Supposons que 1 Il existe un estimateur θ0(X) tel que Rπ θ0(X) < ∞. 2 Pour presque tout x ∈ X il existe θ(x) = argminy∈EE [L(θ, y) | X = x] 3 La fonction x −→ θ(x) est mesurable. Alors θ(X) = θB (X)
  24. 24. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Meilleur estimateur de Bayes Th´eor`eme Supposons que 1 Il existe un estimateur θ0(X) tel que Rπ θ0(X) < ∞. 2 Pour presque tout x ∈ X il existe θ(x) = argminy∈EE [L(θ, y) | X = x] 3 La fonction x −→ θ(x) est mesurable. Alors θ(X) = θB (X)
  25. 25. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Meilleur estimateur de Bayes Corollaire Consid´erons le cas Θ = E = R 1 Si L(θ, θ ) = (θ − θ )2 est la fonction perte quadratique, alors l’estimateur bay´esien est donn´e par la moyenne a posteriori θB (X) = E(θ | X) De plus Rπ θB(X) = E [V(θ | X)] 2 Si L(θ, θ ) = |θ − θ |, alors l’estimateur bay´esien est donn´e par la m´ediane a posteriori θB (X) = M´ediane(θ|X)
  26. 26. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Exercice Soit X = (X1, . . . , Xn) un ´echantillon i.i.d de loi normale de moyenne θ inconnue et de variance σ2. Consid´erons la loi a priori π = N(0, σ2 0) 1 Calculer la loi a posteriori sur θ. 2 En d´eduire l’expression de l’estimateur bay´esien associ´e `a la fonction perte quadratique. 3 Calculer le risque bay´esien de l’estimateur bay´esien. 4 R´epondre aux questions 1,2,3 avec la fonction perte L(θ, θ ) = (θ − θ )2 exp(θ2). On consid´erera le cas o`u σ2 = 1.
  27. 27. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Exercice Soient X1, X2, . . . , Xn n v.a. de loi de Poisson de param`etre θ > 0. Soit Y = n i=1 Xi. Consid´erons la fonction de perte L (θ, δ(y)) = (θ − δ (y))2 et on consid`ere la loi a priori sur de fonction densit´e π (θ) ∝ θα exp (−2θ) . 1 Calculer la loi a posteriori de θ. 2 Donner l’expression de l’estimateur de Bayes de θ.
  28. 28. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Loi a priori
  29. 29. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Le choix de la loi a priori Pour construire une loi a priori on doit distinguer 3 cas possibles : 1 On dispose d’une information a priori partielle, donn´ee par l’exp´erience. 2 On dispose d’une quantit´e limit´e : lois conjugu´ees. 3 On dispose d’une quantit´e limit´e ou mˆeme aucune information sur θ : la loi a priori de Jeffrey.
  30. 30. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Lois a priori conjugu´ees. Une loi a priori conjugu´ee sur θ pour un mod`ele statistique donn´e est une loi a priori qui donne une la loi a posteriori sur θ appartenant `a la mˆeme famille de probabilit´e la loi a priori.
  31. 31. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Exercice. Calculer dans les cas suivants la loi a priori conjugu´ee sur θ et calculer la loi a posteriori: 1 N(θ, σ2) o`u σ2 est connue. 2 Poisson(θ) 3 Γ(ν, θ) o`u ν est connue. 4 Binomiale(N, θ) 5 N(µ, θ−1) o`u µ est connue.
  32. 32. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Loi a priori de Jeffrey. 1 (X1, . . . , Xn) ∼ f( • | θ). 2 La loi de Jefferey se construit `a partir seulement la connaissance de la densit´e f( • | θ). 3 Cette famille de lois est bas´ee sur le calcul de l’information de Fischer: I(θ) = Eθ ∂ log f(X | θ) ∂θ 2 4 Dans le cas de mod`eles r´eguliers. I(θ) = Eθ ∂2 log f(X | θ) ∂θ2 = Eθ ∂2 log ln(θ) ∂θ2 o`u ln est le log-vraisemblance. Ces lois sont souvent des lois a priori non-informatives.
  33. 33. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Loi a priori de Jeffrey. D´efinition la loi a priori de Jeffrey qu’on note π∗ c’est la loi qui admet la densit´e suivante 1 Si Θ ⊆ R q(θ) ∝ I−1/2 (θ) 2 Si Θ ⊆ Rd q(θ) ∝ |I(θ)|−1/2
  34. 34. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Exercice Calculer les lois a priori de Jeffrey correspondantes dans les mod`eles suivants. 1 N(θ, σ2) o`u σ2 est connue. 2 Poisson(θ) 3 Γ(ν, θ) o`u ν est connue. 4 Binomiale(N, θ) 5 N(µ, θ−1) o`u µ est connue.
  35. 35. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Mod`ele Bernoulli
  36. 36. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Mod`ele Bernoulli y1, . . . , yn un n−´echantillon de loi Bernoulli B(p). La loi a priori conjugu´ee g(p) = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) pα−1 (1 − p)β−1 De moyenne E(p) = α α + β De Variance Var(p) = αβ (α + β)2(α + β + 1)
  37. 37. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Mod`ele Bernoulli (Exemple) Calcul d’une loi a priori: On croit que la m´ediane et 90i`eme percentile de p sont respectivement ´egales `a 0,3 et 0,5. > library(LearnBayes) > quantile2=list(p=.9,x=.5) > quantile1=list(p=.5,x=.3) > beta.select(quantile1,quantile2) [1] 3.26 7.19 La loi a posteriori g(p | donn´ees ) ∝ ps+α−1 (1 − p)N−s+β−1
  38. 38. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Mod`ele Bernoulli (Exemple) Repr´esentation des lois a priori, a posteriori et vraisemblance. > a = beta.select(quantile1,quantile2)[1] > b = beta.select(quantile1,quantile2)[2] > s = 11 > f = 16 > curve(dbeta(x,a+s,b+f), from=0, to=1, + xlab="p",ylab="Density",lty=1,lwd=4) > curve(dbeta(x,s+1,f+1),add=TRUE,lty=2,lwd=4) > curve(dbeta(x,a,b),add=TRUE,lty=3,lwd=4) > legend(.7,4,c("Prior","Likelihood","Posterior"), + lty=c(3,2,1),lwd=c(3,3,3))
  39. 39. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Mod`ele Bernoulli (Exemple) Repr´esentation des lois a priori, a posteriori et vraisemblance. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 012345 p Density Prior Likelihood Posterior
  40. 40. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Mod`ele Bernoulli (Exemple) Calcul de la probabilit´e P(p ≥ .5 | donn´ees ). > 1 - pbeta(0.5,a+s,b+f) [1] 0.0690226 Estimer une valeur future y (le nombre de fois de la r´ealisations d’´ev`enement de probabilit´e p quand l’exp´erience s’est r´ep´et´ee n fois). On calcule la densit´e pr´edictive de y : f(y) = f(y | p)g(p)dp. Deux type densit´es pr´edictives : a priori si g est la loi a priori ou a posteriori si g est la loi a posteriori
  41. 41. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Mod`ele Bernoulli (Exemple) On lance une pi`ece de monnaie n fois, on observe y fois piles, on consid`ere une loi a priori sur p. Supposons qu’on veut jeter m fois la pi`ece et on veut pr´edire le nombre y d’apparitions de la face Pile. Solution fr´equentiste: estimer p par p = y/n, et pr´edire y par y = mp = my/n ?
  42. 42. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Mod`ele Bernoulli (Exemple) On lance une pi`ece de monnaie n fois, on observe y fois piles, on consid`ere une loi a priori sur p. Supposons qu’on veut jeter m fois la pi`ece et on veut pr´edire le nombre y d’apparitions de la face Pile. Solution bay´esienne: calculer la densit´e pr´edictive a posteriori de y. g(y | y) = g(y, p | y)dp = g(y | p) g(p | y)dp
  43. 43. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 La loi Beta-Binomiale On a d´ej`a vu que si p ∼ Beta(a, b) alors p | y ∼ Beta(y + a, n − y + b). La loi densit´e pr´edictive a posteriori s’´ecrit g(y | y) = 1 B(y + a, n − y + b) 1 0 Cy mpy (1 − p)m−y py+a(1 − p)n−y+b dp = Cy m B(y + y + a, m − y + n − y + b) B(y + a, n − y + b) On dit que y suit une loi Beta-Binomiale de param`etres m, y + a, n − y + b.
  44. 44. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Application On observe pour n = 40, y = 13 et on veut pr´edire les probabilit´es d’observer le nombre de Piles apr`es m = 13 > library(emdbook) > y=13 > n=40 > ### a priori beta 2,4 > a=2 > b=4 > m=13 > yy=0:m > ## Calcul de la loi predictive a posteriori. > predy=sapply(yy,function(x) + dbetabinom(x,shape1 = y+a,shape2 = n-y+b,size = m)) > names(predy)=yy > plot(yy,predy,xlab="y",ylab="loi predictive a posteriori", + type="h",lwd=3)
  45. 45. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Application On observe pour n = 40, y = 13 et on veut pr´edire les probabilit´es d’observer le nombre de Piles apr`es m = 13 0 2 4 6 8 10 12 0.000.050.100.150.20 y loipredictiveaposteriori
  46. 46. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Exemple : combien de fois on a jet´e un d´e Supposons qu’on a jet´e plusieurs fois une pi`ece de monnaie ´equilibr´ee et on vous dit qu’on a obtenu “face” 13 fois. Question : Pourrions-nous estimer le nombre de jets de la pi`ece ? Solution : On consid`ere un a priori non-informative sur n : g(n) ∝ 1 et la vraisemblance est alors L(n) ∝ C13 n 1 2 n . Ainsi la loi a posteriori s’exprime g(n | x) ∝ L(n)g(n) = C13 n 1 2 n .
  47. 47. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Exemple : combien de fois on a jet´e un d´e Code R > n=13:100 > posteriori=function(n,p) choose(n,13)*pˆ13*(1-p)ˆ(n > ### le cas p=.5 > postn=sapply( n,function(n) posteriori(n,.5)) > postn=postn/sum(postn) > #### Graphique et comparer avec 2*13=26. > plot(n,postn,type="h",lwd=.8,col="red",xlab="n", + ylab="a posteriori") > abline(v=26,col="blue",lwd=1.5)
  48. 48. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Exemple : combien de fois on a jet´e un d´e 20 40 60 80 100 0.000.020.040.060.08 n aposteriori
  49. 49. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016
  50. 50. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Probl`eme : Syst`eme ´electoral aux USA : 50 ´etats + District of Colombia. dans chaque ´etat, le candidat doit gagner les votes des grands ´electeurs. pour gagner le vote des grands ´electeurs, il faut que le candidat(te) gagne les ´elections dans chaque ´etat. Formellement : Soit θHj (resp. θTj ) : la probabilit´e de voter pour Hillary (resp. Trump) dans l’un l’´etat j = 1, . . . , 51. GEj le nombre de grands ´electeurs et GEH (resp. GET ) le nombre de votes des grands ´electeurs obtenus par Hillary (resp. Trump) : GEH = 51 j=1 GEj 1l{θHj >θTj }. pour que Hillary gagne il faut que GEH > 269 (au total il y a 538 GE).
  51. 51. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Le mod`ele Bay´esien Sur un ´echantillon de N ´electeurs dans un ´etat j : yHj , yTj personnes d´eclarent voter resp. pour Hillary et Trump. N − yHj − yTj est le nombre d’´electeurs qui d´eclarent ne pas voter pour les deux candidats. La vraisemblance : L(yHj , yTj | θHj , θTj ) ∝ θ yHj Hj θ yTj Tj (1−θHj −θTj ) N−yHj −yTj La loi a priori conjugu´ee : la loi de Dirichlet. gj(θHj , θTj , θj) ∼ Dirichlet(α1, α2, α3) o`u θj = 1 − θHj − θTj .
  52. 52. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 La loi a posteriori X = (X1, . . . , Xk) ∼ Dirichlet(α1, . . . , αk), f(x1, . . . , xk) = 1 Γ(α0) k i=1 Γ(αi) xαi−1 i o`u ∀ i = 1 . . . k − 1, xi ∈ [0, 1], xk = 1 − x1 − . . . − xk−1 et α0 = k i=1 αi.
  53. 53. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 La loi a posteriori La loi a posteriori g(θHj , θTj , θj | yHj , yTj , N − yHj − yTj ) ∝ L(yHj , yTj | θHj , θTj ) gj(θHj , θTj , θj) ∝ θ α1+yHj −1 Hj θ α2+yTj −1 Tj θ α3+N−yHj −yTj −1 j Donc la loi a posteriori est Dirichlet(α1 + yHj , α2 + yTj , α3 + N − yHj − yTj ).
  54. 54. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Algorithme d’estimation Pour estimer la probabilit´e P GEH > 269 | y on va utiliser une m´ethode de Monte Carlo. A partir d’un algorithme de simulation de la v.a. GEH on g´en`ere un n−´echantillon (GEH)1, . . . , (GEH)n de mˆeme loi que GEH | y et P GEH > 269 | y ≈ 1 n n i=1 1l{(GEH )i>269}. Algorithme de Simulation 1 Simulation de la loi a posteriori des (θHj , θTj ) 2 Simulation de GEH | y
  55. 55. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Donn´ees. Les donn´ees sont t´el´echarg´ees du site > library(readr) > pres_polls <- read_csv("http://www.electoral-vote.com/evp2016/Pres/pres_polls.csv") C’est une base de donn´ees qui donne les r´esultats de sondages de plusieurs bureaux qui ont effectu´es de sondages dans diff´erentes de la compagne ´electorale. On va consid´erer dans cet exemple des donn´ees de SurveyMonkey et on va supposer que chaque enquˆete a ´et´e sur un ´echantillon de taille 1000. P´eriode des sondages: Mai-Octobre 2016. Dans notre exemple, on 535 GE, donc le gagnant devrait avoir plus de 267 GE
  56. 56. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Mise en oeuvre sur R > i=grep("Monkey",pres_polls$Pollster) > d1=pres_polls[i,] > p1=as.matrix(d1[,5:6]) > p1=cbind(p1,100-rowSums(p1))/100 > voters=sapply(1:nrow(p1), + function(j)rmultinom(1,size = 1000,prob = p1[j,])) > voters=t(voters) > hil_voters=voters[,1] > trump_voters=voters[,2] > other_voters=voters[,3] > hil_voters=tapply(hil_voters,d1$State,sum) > trump_voters=tapply(trump_voters,d1$State,sum) > other_voters=tapply(other_voters,d1$State,sum) > d1=cbind.data.frame(names(hil_voters),hil_voters, + trump_voters,other_voters) > colnames(d1)=c("States","Hillary","Trump","Others") > ev=tapply(pres_polls$EV,pres_polls$State,unique) > i=match(d1$States,names(ev)) > d1$EV=ev[i]
  57. 57. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Estimation de P GEH > 267 | y Simulation de la v.a. GEH ‘a partir de la simulation de la loi a posteriori 1 On simule pour chaque j = 1, . . . , 51, N = 5000 r´eplications `a partir de la loi a posteriori de θHj , θTj : (θ (1) Hj , θ (1) Tj ), . . . , (θ (N) Hj , θ (N) Tj ) 2 On calcule ensuite pj,N = 1 N N i=1 1l{θ (i) 0j >θ (i) Tj } pj,N s’interpr`ete comme la probabilit´e a posteriori que dans l’´Etat j on vote en faveur de Obama.
  58. 58. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Simulation des ´elections. . . suite 3. Pour chaque j, on tire j,N ∼ Bernoulli(pj,N ), ceci sera fait n = 1000 fois. On obtient pour chaque j, (1) j,N , . . . , (n) j,N 4. le n−´echantillon de mˆeme loi que de GEH est alors (GEH)i = 51 j=1 GEj (i) j,N , ∀ i = 1 . . . n.
  59. 59. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 Mise en oeuvre sous R Calcul de pj,N > prob.Hillary = function(j) { + p = rdirichlet(5000, 1 + c(d1$Trump[j], d1$Hillary[j], d1$Others[j])) + mean(p[, 2] > p[, 1]) + } > Hillary.win.probs = sapply(1:50, prob.Hillary) Calcul de GEH. > sim.election = function() { + winner = rbinom(50, 1, Hillary.win.probs) + sum(d1$EV * winner) + } > sim.EV = replicate(10000, sim.election())
  60. 60. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 R´esultats. > library(ggplot2) > dt = data.frame(sim.EV) > gr <- ggplot(dt, aes(x = sim.EV)) + geom_bar(fill = "red") > gr <- gr + xlab("Nombre de GE") + ylab("") > gr <- gr + geom_vline(xintercept = round(sum(d1$EV)/2)) > gr <- gr + theme_bw() > gr >
  61. 61. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 R´esultats. 0 300 600 900 250 300 350 400 Nombre de GE
  62. 62. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 En consid´erant tous les sondages. > p1 = as.matrix(pres_polls[, 5:6]) > p1 = cbind(p1, 100 - rowSums(p1))/100 > voters = sapply(1:nrow(p1), function(j) rmultinom(1, size = 1000, prob = p1[j, + ])) > voters = t(voters) > hil_voters = voters[, 1] > trump_voters = voters[, 2] > other_voters = voters[, 3] > hil_voters = tapply(hil_voters, pres_polls$State, sum) > trump_voters = tapply(trump_voters, pres_polls$State, sum) > other_voters = tapply(other_voters, pres_polls$State, sum) > d1 = cbind.data.frame(names(hil_voters), hil_voters, trump_voters, other_voters) > colnames(d1) = c("States", "Hillary", "Trump", "Others") > ev = tapply(pres_polls$EV, pres_polls$State, unique) > i = match(d1$States, names(ev)) > d1$EV = ev[i]
  63. 63. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 En consid´erant tous les sondages. Calcul de pj,N > Hillary.win.probs = sapply(1:51, prob.Hillary) Calcul de GEH. > sim.election = function() { + winner = rbinom(51, 1, Hillary.win.probs) + sum(d1$EV * winner) + } > sim.EV = replicate(10000, sim.election())
  64. 64. Introduction `a la Statistique Bay´esienne Dhafer Malouche Introduction Estimation Bay´esienne Loi a priori Mod`ele Bernoulli Pr´ediction des Elections pr´esidentielles US-2016 R´esultats. 0 1000 2000 3000 280 300 320 340 360 Nombre de GE

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