Makalah struktur aljabar grupoida
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

Makalah struktur aljabar grupoida

le

  • 5,824 vues

Makalah struktur aljabar grupoida

Makalah struktur aljabar grupoida
dianto irawan
sungai penuh jambi

Statistiques

Vues

Total des vues
5,824
Vues sur SlideShare
5,721
Vues externes
103

Actions

J'aime
0
Téléchargements
125
Commentaires
0

1 intégré 103

http://fantasikudianto.blogspot.com 103

Accessibilité

Catégories

Détails de l'import

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Droits d'utilisation

© Tous droits réservés

Report content

Signalé comme inapproprié Signaler comme inapproprié
Signaler comme inapproprié

Indiquez la raison pour laquelle vous avez signalé cette présentation comme n'étant pas appropriée.

Annuler
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Êtes-vous sûr de vouloir
    Votre message apparaîtra ici
    Processing...
Poster un commentaire
Modifier votre commentaire

Makalah struktur aljabar grupoida Presentation Transcript

  • 1. MAKALAH STRUKTUR ALJABAR “GRUPOIDA”OLEH DIANTO IRAWAN 4/20/2012
  • 2. DAFTAR ISI KATA PENGANTAR Pengertian Operasi Biner Sifat-sifat Operasi Biner Table Cayley  Pengertian Grupoida Sifat-sifat Grupoida DAFTAR PUSTAKA4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 3. GRUPOIDA  dengan perkataan lain operasi biner * tidak tutup jika dengan a *b4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 4. b) Jikat T = S x S maka operasi biner adalah tertutup, sebab setiap pasangan berurutan anggota dari S dipasankan dengan anggota dari S  Definisi tersebut akan ditunjukkan dengan contoh berikut : Contoh I Misalnya S = himpunan semua bilangan asli Operasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai pengurangan pada bilangan, artinya a * b = a – b. operasi pengurangan adalah operasi biner yang tidak tertutup.4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 5. 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 6. Contoh 2 S = Himpunan semua bilangan asli. Operasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai penjumlahan pada bilangan, artinya a * b = a + b Operasi penjumlahan adalah operasi biner yang tertutup. 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 7. SIFAT-SIFAT OPERASI BINER Definis 4.2 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 8. Contoh A = {1, 2, 3… } a. Operasi pengruangan pada himpunan A : Tidak tertutup, Tidak komulatif, 7 – 3 ≠3 – 7 Tidak asosiatif (7-3) – 1 ≠ 7 – 93 – 1) .  b. Operasi penjumlahan pada himpunan A mempunyai sifat :4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 9. Tabel Cayley Tabel cayley merupakan salah satu cara untuk mendefinisikan operasi biner pada himpunan, khusunya himpunan berhingga Misalnya himpunan S = {a, b, c} dengan operasi * didefinisikan dengan tabel 1. * a a b b c c b  Anggota yang dioperasikan dicantumkan pada bari pertama (paling atas) dan pada kolom b a c b pertama (paling kiri). c c b a Hasil kali anggota S dinyatakan dalam bujur sangkar yang didalam, mulai baris kedua dan kolom kedua.4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 10. Cara membaca tabel Cayley sebagai berikut :Anggota yang akan dioperasikan dari sebelah kiri kita baca padakolom paling kiriAnggota yang akan dioperasikan dari sebelah kanan kita baca padabaris paling atas. Perhatikan hasil oprasi pada daerah yang diarsir, c*b=b  Pembacaan Tabel 1 selanjutnya sebagai berikut : a*b=a b*a=a c*a=c a*b=c b*a=b c*b=c a*c=b b*c=b c*c=a4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 11. Untuk selanjutnya sifat-sifat oeprasi biner melalui Tabel sebagai berikut : 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 12. PENGERTIAN GRUPOIDA Struktur Aljabar suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner yang tertutup. Apabila himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur Aljabar tersebut dinyatakan dengan S, *). Apabila himpunan S dilengkapi dengan dua operasi biner * dan 0; maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*,0) atau (S,0,*). Struktur aljabar yang paling sederhana adalah grupoida Definisi 4.3  Suatu struktur dan perkalian pada himpunan bilangan dinyatakan dengan + dan x A = {1,2,3 … } B = { ….. 2,-1, 0,1 ,2 .. ) Q = { x | x bilangan rasional } R = { x | x bilangan real }4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 13. Struktur Aljabar berikut adalah grupoida : (A, +) dan ( A, x) (B, +) dan (B, x) (Q, +) dan (Q, x) (R, +) dan (R, x) Contoh 12  M1 adalah himpunan matriks ordo m x n M2 adalah himpunan matriks ordo n x n Perhatikan contoh 3 dan 4 (M1, +), (M2, +) dan (M2,x) adalah grupoida4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 14. SIFAT-SIFAT GRUPOIDA 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 15. Contoh(A, +) dengan A = {1, 2, 3 …. } adalah grupoidaSifat-sifatnya adalah :Tidak memenuhi delemen identitas penjumlahan sebab ∀a∈A memenuhi0 + a = a + 0 = a dan 0 ∈A memenuhi a + b = b + aAsosiatif, ∀a,b,c ∈A memenuhi (a + b ) + c = a (b + c)  Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengan suatu tabel Cayley. 1. Jika pada tabel Cayley terdapat suatu baris yang urutan anggotanya sama dengan garis paling atas maka anggota pada kolom paling kiri merupakan suatu elemen identitas kiri4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 16. Contoh (A, +) dengan A = {1, 2, 3 …. } adalah grupoida Sifat-sifatnya adalah : Tidak memnuhi delemen identitas penjumlahan sebab ∀a∈A memenuhi 0 + a = a + 0 = a dan 0 ∈A memenuhi a + b = b + a Asosiatif, ∀a,b,c ∈A memenuhi (a + b ) + c = a (b + c) Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengan suatu tabel Cayley.  1. Jika pada tabel Cayley terdapat satu baris yang urutannya sama dengan urutan baris paling atas dan satu kolom yang urutan anggotanya sama dengan kolom paling kiri keduanya menuju elelem yang sama yaitu elemen identitas. 2. Jika letak anggota pada bujursangkar simetris terdapat garis diagonal utama maka grupoida adalah komulatif4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 17. 3. Jika pada tabel Cayley terdapat satu baris yang urutannya sama dengan urutan baris paling atas dan satu kolom yang urutan anggotanya sama dengan kolom paling kiri keduanya menuju elelem yang sama yaitu elemen identitas. 4. Jika letak anggota pada bujursangkar simetris terdapat garis diagonal utama maka grupoida adalah komulatif CONTOH  S = {a,b,c} dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel * a b c a*a=a a*b=a a a b c a*c=c b a b c A elemen identitas kiri dari S c c b a b*a=a b*b=b b*c=c4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN b elemen identitas kiri S
  • 18. Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemen identitas kiri a dan b S = {a, b, c } dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel * a b c a*a=a b*a=b a a a a c*a=c a elemen identitas kanan dari S  b b b b c c c c Demikian pula untuk b dan c Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemen identitas kanan a,b, dan c Contoh S = { a, b , c d} dengan operasi biner * dinyatakan dengan Tabel 44/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 19. * a b c d b*a=a b*b=b a b a d c b*c=c b a b c a b*d=d c d c b c b elemen identitas kiri dari S d c d a b a*b=a b*b=b c*b=c d*b=d  B elemen identitas kanan dari S Karena b adalah elemen identitas kiri dan elemen identitas kanan, maka b merupakan elemen identitas dari S. Jadi (S,*) grupoida komulatif dengan elemen identitas b.4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 20. Sifat-sifat yang lain dari grupoida adalah sebagai berikut : 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 21. Contoh A = { 1, 2, 3, … } B = { …., -2, -1, 0, 1, 2, …} dan B* = B – {0} Q = {x | x bilangan rasional} dan Q* = Q – {0} R = {x | x bilangan real} dan R* = R – {0} 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 22. Apabila operasi biner * pada grupoida G dinyatakan dengan tabel Cayley maka a. (G, *) memenuhi hukum pelenyatapan kiri jika dan hanya jika setiap bari dalam tebel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan  b. (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kanan jika dan jika hanya jika setiap kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang memenuhi berlainan c. (G,*) memenuhi hukum persamaan kiri jiak dan jika setiap kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan d. (G,*) memenuhi hukum persamaan kanan jika dan hanya jika setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN
  • 23. Jadi dapat disimpulkan 1. Jika baris dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semunya berlainan maka (G,*) memenuhi hukum pelenyapan kiri dan hukum persamaan kanan 2. Jika setiap kolom dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan maka (G,*) memenuhi hukum pelenyapan kanan dan hukum persamaan kiriContoh {G,*) grupoida dengan G ={ p,q,r) dan * dinyatakan dalam tabel a. Setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang * p q r semuanya berlainan. Jadi (G,*) memenuhi hukum p p q r pelenyapan kiri dan memnuhi persamaan kanan q p q r b. Setiap kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang r p q r semuanya sama. Jadi (G,*) tidak memenuhi hukum pelenyapan kanan dan tidak memenuhi hukum4/20/2012 persamaan kiri. IRAWAN OLEH DIANTO
  • 24. DAFTAR PUSTAKA Materi Pokok Struktur Aljabar, 1-12 ; PGTM 3929/ 4 SKS oleh Suherti Soebagio-A, Sukirman,- Jakarta : Universitas Terbuka. 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN