1. Tujuan:
Ruang Hasil Kali Dalam
1. Memahami Ruang Euclid sebagai contoh dari Ruang Hasil Kali
Dalam.
2. Memahami definisi umum Ruang Hasil Kali Dalam dan sifat-
sifatnya.
3. Memahami definisi norm, jarak, keortogonalan.
4. Memahami himpunan orthogonal dan orthonormal.
Dipelopori oleh Euclid of Alexandria (
Ruang Euclid
Greek: Εὐκλείδης) (c. 325–c.
265 BC), menulis buku The Element berisi 6 postulat, diantaranya:

2. Geometri Euclid menjadi satu-satunya bentuk geometri sampai
pada awal abad ke -19 dimana diterima adanya geometri Non-
Euclid, yang didasarkan perbedaan pengertian 2 garis
sejajar/parallel.

3. Ruang Euclid
n
R :
- merupakan ruang vektor karena dapat dilakukan 2 operasi:
penjumlahan dan perkalian dengan scalar, sehingga 8 aksioma
berlaku.
- merupakan ruang hasil kali dalam karena mempunyai operasi hasil
kali dalam (bernama perkalian titik untuk ruang Euclid):
1 1 2 2 n nu v u v u v u v⋅ = + + +
 

untuk setiap u

dan v

vektor di
n
R .
Sifat-sifat perkalian titik:
Jika u

, v

dan w

adalah vektor di
n
R , k adalah skalar
1. u

∙ v

= v

∙ u

2. u

∙ ( v

+ w

) = u

∙ v

+ u

∙ w

3. k( u

∙ v

)= (k u

) ∙ v

4. v

∙ v

> 0 jika v

≠ 0, dan v

∙ v

= 0 jika v

= 0
Norm: panjang dari vektor
1/2 2 2 2
1 2( ) nv v v v v v= = + + +
  
 
Jarak antara 2 vektor:
2 2 2
1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( )n nd u v u v u v u v u v= − = − + − + + −
 

Ruang Hasil Kali Dalam (umum):

4. Definisi: suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V
adalah suatu fungsi yang mengaitkan dua vektor u

dan v

di V
dengan suatu bilangan Real, diberi symbol ,u v
 
, sehingga berlaku
aksioma di bawah ini. Untuk u

, v

dan w

di V,
1. , ,u v v u=
   
2. , , ,u v w u w v w+ = +
      
3. , ,ku v k v u=
   
4. , 0v v ≥
 
dimana , 0v v =
 
jika dan hanya jika v

=0.
Contoh hasil kali dalam :
1. Perkalian titik di ruang Euclid.
2. 1 1 2 2, 3 2u v u v u v= +
 
3. 1 1 1 2 2 2, n n nu v w u v w u v w u v= + + +
 
 di mana 1 2, , , nw w w adalah
bilangan real positif, disebut bobot (weight).
Contoh bukan hasil kali dalam:
4. 1 2 2 1, 3 2u v u v u v= +
 
Norm (panjang) vektor di ruang hasil kali dalam:
1/2
,v v v=
  
Jarak antara 2 vektor:
1/2
( , ) ,d u v u v u v u v= − = − −
     
Latihan:
Hasil Kali Dalam (hkd) Euclid berbobot: 1 1 2 2 3 3, 2 3u v u v u v u v= + +
 
- Tunjukan hkd tersebut memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam.

5. - Tuliskan definisi dari norm dan jaraknya.
Sudut antara dua vektor:
,
cos
v w
v w
θ =
 
 
Dua vektor u

dan v

orthogonal jika: ,u v
 
=0.
Teorema Pythagoras yang diperumum:
2 2 2
u v u v+ = +
   
Definisi: Suatu himpunan vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam
disebut himpunan orthogonal jika setiap pasangan berbeda dari
himpunan tersebut orthogonal.
Suatu himpunan orthogonal di mana setiap vektornya bernorm 1
(satu) disebut orthonormal.
Misal : 1 2 3(0,1,0), (1,0,1), (1,0, 1)u u u= = = −
  
pada ruang
Euclid yang memiliki perkalian titik.
1. Tunjukan himpunan { }1 2 3, ,S u u u=
  
orthogonal.
2. Apakah S orthonormal? Ubah S menjadi himpunan orthonormal.
3. Apakah S dapat menjadi basis?

6. Dalam ruang hasil kali dalam, suatu basis yang terdiri dari vektor
orthonormal disebut basis orthonormal.
Teorema:
Jika { }1 2, , , nS v v v=
  
 adalah suatu basis orthonormal untuk ruang
hasil kali dalam V, dan u

adalah sebarang vektor di V, maka
1 1 2 2, , , n nu u v v u v v u v v= + + +
         

Artinya: u

merupakan kombinasi linier dari 1 2, , , nv v v
  
 dengan
masing-masing koefisiennya adalah 1 2, , , , , , nu v u v u v
     
 .
Latihan:
Jika
2
1 2p x= +

,
2
3q x x= + +

dan 2
3 2v x x= − +

adalah tiga vektor di
2P (ruang vektor polinom berderajat dua), dan hasil kali dalam
0 0 1 1 2 2,p q a b a b a b= + +
 
.
Apakah himpunan tiga vektor itu orthonormal?