E. Résumé de la thèse
Sommaire de thèse
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La méthode de solution est basée sur des transformées intégrales et est exact. Les présents résultats
montrent une déviati...
est à noter que la présence de déplacements bornés au point d'application de la charge concentrée
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Problems of Concentrated Loads and Green’s Functions in Dipolar Gradient Elasticity
Dimitrios S. Anagnostou
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The three-dimensional axisymmetric Bouss...
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Résumé de Thèse

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Résumé de Thèse

  1. 1. E. Résumé de la thèse
  2. 2. Sommaire de thèse La thèse est intitulée « Problématiques en chargements concentrés et fonctions Green dans la théorie d’élasticité du type dipolaire gradient » et son sujet est la solution des problèmes de charges concentrées dans le cadre de la théorie d’élasticité du type dipolaire gradient. La thèse se compose d'un résumé en grec et en anglais, de cinq chapitres, des annexes et des références. Le contenu de chaque chapitre est décrit dans ce qui suit. Chapitre 1: Introduction à la Théorie d’Élasticité Générale du type dipolaire gradient dans Toupin-Mindlin Ils sont présentés les fondements de la théorie de gradient dipolaire selon Mindlin et Toupin et ils sont exposés les concepts et les équations régissant la théorie. Chapitre 2 : Théorie de Gradient de Déformation (Strain Gradient Theory) Ils sont présentes les principes de la théorie du gradient de la déformation (forme II) et elles sont données les équations de base en coordonnées cartésiennes, au cas tri-dimensionnel général et au cas de la déformation plane. Chapitre 3 : Problème du type Flamant-Boussinesq à l’elasticitité dipolaire de gradient. Ce chapitre étudie la réponse d'un corps bi-dimensionnel régi par élasticité dipolaire gradient sous la forme d'un demi-espace. Notre préoccupation principale est de déterminer des écarts possibles par les prédictions de l’élastostatique linéaire classique sous conditions de déformation plane / contrainte plane quand une théorie plus raffinée est utilisée pour attaquer les problèmes. D’une importance particulière est le comportement des nouvelles solutions proches du point d'application des charges où il existe des singularités et des discontinuités pathologiques dans les solutions classiques. L'utilisation de la théorie de l'élasticité gradient est destinée ici à modéliser la microstructure du matériau et à intégrer les effets de taille dans l'analyse de la contraint d'une manière que la théorie classique ne peut pas permettre. Une version simple mais rigoureuse des théories d'élasticité généralisées de Toupin et Mindlin est employée telle qu’elle implique une réponse linéaire isotrope et ne requière qu’une seule constante de matériau (le coefficient qu’on appelle gradient) supplémentaire en dehors de constantes de Lamé standards. Cette théorie, qui peut être considéré comme une extension de première étape à la théorie de l'élasticité classique, considère une fonction de densité d’énergie de déformation, qui, outre sa dépendance sur les conditions de souche standard, dépend aussi des gradients de contrainte.
  3. 3. La méthode de solution est basée sur des transformées intégrales et est exact. Les présents résultats montrent une déviation par rapport aux solutions d’élasticité classique (solutions de Flamant- Boussinesq). En effet, des déplacements continuées et bornés sont prévus au niveau des points d'application des charges. Un tel comportement des champs de déplacement est, bien sûr, plus naturel que le comportement singulier présent dans les solutions classiques. En outre, les charges et les composants de déplacement sont reliés de manière qui est attendue par le théorème réciproque (du type Betti-Rayleigh) d’élasticité gradient. Chapitre 4 : Problème du Type Kelvin dans Élasticité Dipolaire Gradient Ce chapitre étudie la réponse d'un corps bi-dimensionnel, sous la forme d'un espace complet dans conditions de déformation plane et régi par l'élasticité dipolaire gradient, à une charge concentrée. La même version de la théorie est employée ici aussi. C’est une simplification considérable acquise dans l'analyse du problème en question, justifiée par la observation que le problème est anti-symétrique par rapport au plan horizontal. De cette façon, le problème initial peut être divisé en deux problèmes auxiliaires. Ceci facilite grandement l'application de transformées intégrales. Une analyse asymptotique et aussi bien que numérique implique que l'élimination de la singularité logarithmique indésirable dans le champ de déplacement est réalisé avec notre approche et la nouvelle solution est bornée et continue au point d'application de la charge. Chapitre 5: Le problème Axisymétrique du Type Boussinesq dans Élasticité Dipolaire Gradient Le problème axisymétrique de Boussinesq en trois dimensions, d'un demi-espace isotrope soumis à une charge normale concentrée, est étudié dans le cadre de l’élasticité dipolaire gradient. Notre préoccupation principale est de déterminer les éventuels écarts avec les prévisions d’élastostatique linéaire classique quand une théorie plus raffinée est utilisée pour attaquer le problème. Comme précédemment, une version linéaire de cette théorie est utilisée, dans laquelle seulement une constante de matériau de microstructure est introduite en plus des constantes de Lamé standards. La méthode de solution est basée sur des transformées intégrales et est exact. Les présents résultats montrent une déviation importante par rapport aux prévisions d'élasticité classique. En effet, les déplacements continus et bornés sont prévus au niveau des points d'application de la charge concentrée. En particulier, le déplacement vertical atteint une (délimitée) valeur au point d'application de la charge qui dépend de l'intensité de la charge et du coefficient de Poisson constant. En outre, le déplacement radial devient nul là - ceci est justifié par l’axisymmetrie du problème de Boussinesq. Il
  4. 4. est à noter que la présence de déplacements bornés au point d'application de la charge concentrée implique que l'énergie de déformation totale dans une petite région entourant le point singulier disparaît, comme la taille de la région tend vers zéro. Par conséquent, un analogue du théorème de Kirchhoff garantit l'unicité de la solution pour le problème de la charge concentrée de l'élasticité gradient. Chapitre 6: Problème de type dipolaire Cerruti dans Gradient élasticité. Le problème classique Cerruti, d'un demi-espace isotrope en trois dimensions, soumis à une charge concentrée surface tangentielle, est revu dans le contexte de l’élasticité dipolaire gradient. La méthode de solution est basée sur des transformées intégrales et est exact. Une importance particulière est le comportement de la nouvelle solution près du point d'application de la charge où singularités pathologiques existent dans la théorie classique. Les présents résultats montrent une déviation significative par rapport aux résultats prédits par la théorie de l’élasticité classique. En effet, les déplacements continus et délimités se trouvent au point d'application de la charge. Un tel comportement du champ de déplacement est, bien sûr, plus naturel que le comportement singulier présent dans la solution classique. En particulier, le déplacement vertical disparaît - ceci est justifié par le comportement respectif de la composante verticale de déplacement dans le problème homologue de deux dimensions (problème de Flamant-Boussinesq). En outre, le déplacement en direction perpendiculaire à la charge sur la surface du semi-espace disparaît - ceci est justifié par l’anti-symétrie du problème. Enfin, le déplacement le long de la charge atteint une (délimitée) valeur constante sous le point d'application de charge qui dépend de l'intensité de charge et du coefficient de Poisson. En fait, la valeur de ce déplacement au point d'application de la charge dépend de façon presque linéaire du coefficient de Poisson et donc une expression approchée peut être obtenus. Il est à noter que la présence de déplacements bornés au point d'application de la charge concentrée implique que l'énergie de déformation totale dans une petite région entourant le point singulier disparaît, puisque la taille de la région tend vers zéro. Par conséquent, un analogue du théorème de Kirchhoff garantit l'unicité de la solution pour le problème de la tangentielle de charge concentrée de l'élasticité de gradient. Epilogue Chacun des solutions décrites peut être utilisé comme une fonction Green dans le cadre de chargements plus généraux. Additionnement, les résultats peuvent être utilisés pour construire
  5. 5. équations intégrales pour de problèmes de contact bi-dimensionnels et tri-dimensionnels dans la théorie dipolaire de gradient d’élasticité. L’existence de champs limités a peut-être des conséquences importantes à problèmes de contact plus généraux (par exemple au problème Sadowsky) et à la méthode des Éléments Finis de Frontière. En plus, elle inspire l’espoir d’appliquer dans l’avenir la méthode de la théorie de gradient utilisée ici, pour « corriger », au niveau de la couche de limités, d’autres résolutions classiques anomales. Finalement, l’existence d’une résolution analytique, comme la présente, est avantageuse contre les résolutions numériques, spécialement au niveau de nouveaux aspects de recherche où des résolutions de référence (benchmark) n’existent pas.
  6. 6. Dimitrios S. Anagnostou Ph.D. Thesis submitted to Mechanics Division School of Applied Mathematics and Natural Sciences National Technical University of Athens Problems of Concentrated Loads and Green's Functions in Dipolar Gradient Elasticity Supervisor: H.G. Georgiadis Professor
  7. 7. Problems of Concentrated Loads and Green’s Functions in Dipolar Gradient Elasticity Dimitrios S. Anagnostou Mechanics Division, Department of Applied Sciences, National Technical University of Athens Summary Introduction The subject of this work is the solution of concentrated load problems within the framework of Dipolar Gradient Elasticity. The dissertation consists of a summary in Greek and English, Five Chapters, Appendices and the References. The content of each chapter is outlined in what follows. Chapter 1: Introduction to the General Toupin - Mindlin’s Dipolar Gradient Elasticity It is briefly explained, why in elastic problems where abrupt changes of displacements, strains and stresses occur, a new elastic theory, enhanced by higher order gradient terms and internal length scale parameters, is required. Next, the theoretical foundations of Toupin-Mindlin Dipolar Gradient Theory are outlined and the basic concepts, quantities and governing equations are presented. Chapter 2: Dipolar Gradient Elasticity Theory Τhe basic equations of Dipolar Gradient Elasticity are briefly presented. The three dimensional case and the case of plane strain are also examined. Chapter 3: Problem of the Flamant-Boussinesq Type in Dipolar Gradient Elasticity This chapter studies the response of a two dimensional body governed by dipolar gradient elasticity in the form of a half-space. Our main concern is to determine possible deviations from the predictions of plane-strain / plane-stress classical linear elastostatics when a more refined theory is employed to
  8. 8. attack the problems. Of special importance is the behavior of the new solutions near to the point of application of the loads where pathological singularities and discontinuities exist in the classical solutions. The use of the theory of gradient elasticity is intended here to model material microstructure and incorporate size effects into stress analysis in a manner that the classical theory cannot afford. A simple but yet rigorous version of the generalized elasticity theories of Toupin (Arch. Ration. Mech. Anal. 11:385–414, 1962) and Mindlin (Arch. Ration. Mech. Anal. 16:51–78, 1964) is employed that involves an isotropic linear response and only one material constant (the so- called gradient coefficient) additional to the standard Lamé constants (Georgiadis et al., J. Elast. 74:17–45, 2004). This theory, which can be viewed as a first-step extension of the classical elasticity theory, assumes a strain-energy density function, which besides its dependence upon the standard strain terms, depends also on strain gradients. The solution method is based on integral transforms and is exact. The present results show departure from the ones of the classical elasticity solutions (Flamant–Boussinesq solutions). Indeed, continuous and bounded displacements are predicted at the points of application of the loads. Such a behavior of the displacement fields is, of course, more natural than the singular behavior present in the classical solutions. In addition, loads and displacement components are connected in the way that is expected by the reciprocal theorem (of Betti-Rayleigh type; proved by Georgiadis and Grentzelou) of gradient elasticity. Chapter 4: Problem of the Kelvin Type in Dipolar Gradient Elasticity This chapter studies the response of a two dimensional body governed by dipolar gradient elasticity to a concentrated load in the form of full space under plane strain conditions. The same version of the theory is employed also here. Considerable simplification is gained in the analysis of the problem in question, by observing that the problem is anti-symmetric with respect to the horizontal plane. In this way, the original problem can be split into two auxiliary problems. This greatly facilitates application of integral transforms. Asymptotic and as well as numerical analysis implies that elimination of the undesirable logarithmic singularity in the displacement field is achieved with our approach and the new solution is bounded and continuous at the point of load application.
  9. 9. Chapter 5: Axisymmetric Problem of Boussinesq Type in Dipolar Gradient Elasticity The three-dimensional axisymmetric Boussinesq problem of an isotropic half-space subjected to a concentrated normal load is studied within the framework of dipolar gradient elasticity. Our main concern is to determine possible deviations from the predictions of classical linear elastostatics when a more refined theory is employed to attack the problem. As previously, a linear version of this theory is employed, in which, only one microstructural material constant is introduced, in addition to the standard Lamé constants. The solution method is based on integral transforms and is exact. The present results show significant departure from the predictions of classical elasticity. Indeed, continuous and bounded displacements are predicted at the points of application of the concentrated load. In particular, the vertical displacement attains a constant (bounded) value at the point of application of the load that depends upon the load intensity and Poisson’s ratio. Also, the radial displacement becomes zero there – this is justified by the axisymmetric character of the Boussinesq problem. It is worth noting that the occurrence of bounded displacements at the point of application of the concentrated load implies that the total strain energy in a small region surrounding the singular point vanishes, as the size of the region tends to zero. Consequently, an analogue of Kirchhoff’s theorem (proved by Grentzelou and Georgiadis) guarantees uniqueness of solution for the concentrated load problem in gradient elasticity. Chapter 6: Problem of Cerruti Type in Dipolar Gradient Elasticity The classical three dimensional Cerruti problem of an isotropic half-space subjected to a concentrated tangential load is revisited in the context of dipolar gradient elasticity. This generalized continuum theory encompasses the analytical possibility of size effects which are absent in the classical theory, and has proven to be very successful in modelling materials with complex microstructure. The dipolar gradient elasticity theory assumes a strain-energy density function, which besides its dependence upon the standard strain terms, depends also on strain gradients. In this way, this theory can be viewed as a first-step extension of classical elasticity. The solution method is based on integral transforms and is exact. Of special importance is the behavior of the new solution near to the point of application of the load where pathological singularities exist in the classical theory. The present results show departure from the ones predicted by the classical elasticity theory. Indeed, continuous and bounded displacements are found at the point of application of the load. Such a behavior of the
  10. 10. displacement field is, of course, more natural than the singular behavior present in the classical solution. In particular, the vertical displacement vanishes − this is justified by the respective behavior of the vertical displacement component in the two dimensional counterpart (Flamant-Boussinesq problem). Also, the displacement in direction normal to the load on the surface of the semi-space vanishes − this is justified by the anti-symmetry of the problem. Finally, the displacement along the load attains a constant (bounded) value under the point of load application that depends upon the load intensity and Poisson’s ratio. In fact, the value of this displacement at the point of application of the load varies almost linearly w.r.t. the Poisson’s ratio and thus an approximate expression can be obtained. It is worth noting that the occurrence of bounded displacements at the point of application of the concentrated load implies that the total strain energy in a small region surrounding the singular point vanishes, as the size of the region tends to zero. Consequently, an analogue of Kirchhoff’s theorem (proved by Grentzelou and Georgiadis) guarantees uniqueness of solution for the tangential concentrated load problem in gradient elasticity. In closing, we note that our solution may serve as a Green’s function for more general loadings. In addition, the present results can be used to accomplish integral-equation solutions for 3D contact problems in dipolar gradient elasticity. Furthermore, we notice that an analytical solution such as the present one has an advantage over numerical solutions, especially in new areas of research where benchmark solutions do not exist. Finally, it seems reasonable for one to test the physical meaning and usefulness of mechanical theories on the basis of their analytical results for concrete boundary value problems that simulate practical situations. In this regard, based on the current results and previous findings concerning the 2D Flamant-Boussinesq [Chapter 3] and the 3D Boussinesq [Chapter 5] problems, as well as recent results for dislocation and crack problems, we can state that gradient elasticity is superior to both classical elasticity and Cosserat elasticity. This also holds hope for future applications of the gradient theory to “correct” in a boundary-layer sense other classical singular solutions.

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