1. Talleres de Formaci´n Matem´tica
o a
Maracaibo, 26 al 31 de julio de 2004
Resoluci´n de
o
Problemas Matem´ticos
a
Jos´ Heber Nieto Said
e
2. Prefacio
Estas notas constituyen el material de apoyo de un taller para estudiantes
Licenciatura en Matem´ticas dirigido a desarrollar la habilidad para resolver
a
problemas.
Aunque por lo general los problemas juegan un rol importante en cual-
quier curso de matem´tica y la habilidad para resolverlos es un aspecto
a
importante de la evaluaci´n, los profesores suelen centrar sus esfuerzos en
o
los aspectos t´cnicos espec´
e ıficas de su asignatura y no en los aspectos gene-
rales de la resoluci´n de problemas. El objetivo de esta obra en cambio es
o
ayudar al lector a desarrollar su habilidad general para resolver problemas.
Es bueno dejar en claro que el desarrollo de esta habilidad es b´sica-
a
mente el resultado del trabajo personal, de la pr´ctica adquirida resolviendo
a
problemas y de la reflexi´n sobre esa pr´ctica. No es posible convertirse en
o a
un solucionista experto mediante la mera lectura pasiva de un libro, del
mismo modo que no es posible convertirse en un buen nadador o pianista
simplemente leyendo un manual. Sin embargo el conocimiento de las t´cni- e
cas apropiadas y de los errores t´ ıpicos que es preciso evitar puede ser tan
util para el solucionista como lo es para el nadador o el pianista.
´
Con el fin de que la obra sea de utilidad para el mayor n´mero posible
u
de estudiantes se ha procurado que los problemas analizados no requieran
de conocimientos especializados. Sin embargo las mismas t´cnicas y estra-
e
tegias que ejemplificamos con problemas elementales se aplican a los m´s a
avanzados.
5. Introducci´n
o
La palabra problema proviene del griego πρoβαλλειν, “lanzar adelante”.
Un problema es un obst´culo arrojado ante la inteligencia para ser superado,
a
una dificultad que exige ser resuelta, una cuesti´n que reclama ser aclarada.
o
Todos vivimos resolviendo problemas: desde el m´s b´sico de asegurar la
a a
cotidiana subsistencia, com´n a todos los seres vivos, hasta los m´s com-
u a
plejos desaf´ planteados por la ciencia y la tecnolog´ La importancia de
ıos ıa.
la actividad de resoluci´n de problemas es evidente; en definitiva, todo el
o
progreso cient´ıfico y tecnol´gico, el bienestar y hasta la supervivencia de la
o
especie humana dependen de esta habilidad. No es de extra˜ar por lo tanto
n
que la misma se haya convertido en un nuevo objeto de estudio, atrayendo
por igual la atenci´n de psic´logos, ingenieros, matem´ticos, especialistas
o o a
en inteligencia artificial y cient´
ıficos de todas las disciplinas. En el campo
educativo se ha reconocido ampliamente su importancia. y en muchas Uni-
versidades el desarrollo de la creatividad y de la habilidad para resolver
problemas es una parte integral del curriculum.
Pero lamentablemente todav´ es muy com´n que se expongan ante el
ıa u
alumno los productos y resultados de la resoluci´n de problemas, pero no el
o
proceso mismo. Si examinamos un libro de texto con problemas resueltos
de matem´tica, encontraremos por lo general soluciones tersas y acabadas.
a
Rara vez el autor incluye comentarios sobre los intentos fallidos de soluci´n,
o
los casos particulares examinados antes de llegar a la soluci´n general o los
o
refinamientos realizados a una primera soluci´n no totalmente satisfactoria.
o
Estos y otros elementos del proceso son cuidadosamente eliminados y lo que
se nos presenta es el producto final, conciso y elegante. Hay muchas posibles
razones para que esto sea as´ un estilo de exposici´n matem´tica consa-
ı: o a
grado por la tradici´n, criterios est´ticos de concisi´n y elegancia, razones
o e o
econ´micas de las editoriales, etc. Pero la consecuencia es que el estudiante
o
obtiene una visi´n falseada de lo que es resolver problemas y de la actividad
o
1
6. 2
matem´tica en general.
a
Si tiene la suerte de tener un profesor que entienda y valore el proceso de
resolver problemas entonces las actividades de aula suplir´n las deficiencias
a
del texto. Pero si no es as´ y el profesor sigue al libro al pie de la letra, al
ı
enfrentarse al primer fracaso el estudiante terminar´ frustrado, perder´ la
a a
confianza en s´ mismo y creer´ que la resoluci´n de problemas es una acti-
ı a o
vidad incomprensible, accesible solamente a unos pocos superdotados.
Nuestro principal objetivo en esta obra es ayudar al lector a desarrollar
su habilidad para resolver problemas. Es bueno dejar claro desde el principio
que el desarrollo de esta habilidad es el resultado del trabajo personal, de la
pr´ctica adquirida resolviendo problemas y de la reflexi´n sobre esa pr´ctica.
a o a
No es posible convertirse en un solucionista experto mediante la mera lectura
pasiva de un libro, del mismo modo que no es posible convertirse en un buen
nadador o pianista simplemente leyendo. Sin embargo el conocimiento de las
t´cnicas apropiadas y de los errores t´
e ıpicos que es preciso evitar puede ser
tan util para el solucionista como lo es para el nadador o el pianista.
´
7. Cap´
ıtulo 1
Principios Generales
“La principal raz´n de existir del matem´tico es re-
o a
solver problemas, y por lo tanto en lo que realmente
consisten las matem´ticas es en problemas y solu-
a
ciones.”
Paul R. Halmos [14]
En este cap´ ıtulo nos ocuparemos de los m´todos y principios generales
e
que resultan utiles para la resoluci´n de problemas. Pero recordemos que la
´ o
unica manera de aprender a resolver problemas es . . . resolviendo problemas!
´
Por lo tanto la lectura de este cap´
ıtulo solamente ser´ util si se combina con
a´
la pr´ctica constante. Para quienes tengan poca experiencia es recomendable
a
pasar r´pidamente por las p´ginas siguientes, para volver a ellas m´s tarde,
a a a
como referencia, mientras est´n trabajando en la resoluci´n de problemas
e o
concretos. Quienes se interesen por el estudio en profundidad de la habilidad
para resolver problemas pueden consultar [27].
1.1. Resoluci´n de Problemas y Creatividad
o
Evidentemente la resoluci´n de problemas est´ estrechamente relaciona-
o a
da con la creatividad, que algunos definen precisamente como la habilidad
para generar nuevas ideas y solucionar todo tipo de problemas y desaf´ ıos.
La especie humana es creativa por naturaleza. Todo ser humano nace
con un gran potencial para la creaci´n, pero mientras algunos lo aprovechan
o
al m´ximo, otros casi no lo utilizan. Sin embargo la creatividad, al igual que
a
8. 4 Principios Generales
cualquier otra habilidad humana, puede desarrollarse a trav´s de la pr´ctica
e a
y el entrenamiento adecuado. Lamentablemente tambi´n puede atrofiarse, si
e
no se ejercita adecuadamente.
El pensamiento creativo se ha dividido en divergente y convergente. El
primero consiste en la habilidad para pensar de manera original y elabo-
rar nuevas ideas, mientras que el segundo se relaciona con la capacidad
cr´ıtica y l´gica para evaluar alternativas y seleccionar la m´s apropiada.
o a
Evidentemente ambos tipos de pensamiento juegan un rol fundamental en
la resoluci´n de problemas.
o
Tres aspectos de la creatividad han recibido mucha atenci´n: el proceso
o
creativo, las caracter´
ısticas de la personalidad creativa, y las circunstancias
que posibilitan o favorecen el acto creativo. Como consecuencia de estos es-
tudios se han desarrollado t´cnicas y m´todos generales dirigidos a desarro-
e e
llar el potencial creativo. En esta obra nos concentraremos en las t´cnicas
e
y estrategias espec´ıficas que han demostrado ser m’s utiles para la resolu-
´
ci´n de problemas matem´ticos. Sin embargo haremos a continuaci´n una
o a o
breve rese˜a de algunos de los m´todos m´s generales, remitiendo al lector
n e a
interesado a la bibliograf´ correspondiente.
ıa
1.1.1. Invertir el problema
Cada concepto tiene uno contrario y la oposici´n entre ellos genera una
o
tensi´n favorable al hecho creativo. Esta idea, que tiene profundas ra´
o ıces
tanto en la filosof´ oriental como en la occidental, se refleja en la sabidur´
ıa ıa
popular en aforismos tales como: “Para saber mandar hay que aprender
a obedecer” o “Para ser un buen orador hay que saber escuchar”. Como
ejemplo de esta t´cnica supongamos que deseamos dise˜ar un zapato que
e n
sea muy c´modo. El problema inverso ser´ dise˜ar un zapato inc´modo.
o ıa n o
Pero el an´lisis de este problema nos llevar´ seguramente a descubrir los
a a
factores que causan incomodidad, y al evitarlos habremos dado un buen
paso hacia la soluci´n del problema original. Vea [38].
o
1.1.2. Pensamiento lateral
Consiste en explorar alternativas inusuales o incluso aparentemente ab-
surdas para resolver un problema. En otras palabras: evitar los caminos
trillados, intentar lo que nadie ha intentado, ensayar percepciones y puntos
de vista diferentes. Vea [5].
9. 1.1 Resoluci´n de Problemas y Creatividad
o 5
1.1.3. Principio de discontinuidad
La rutina suprime los est´ ımulos necesarios para el acto creativo, por
lo tanto si experimenta un bloqueo temporal de su capacidad creadora in-
terrumpa su programa cotidiano de actividades y haga algo diferente a lo
acostumbrado. Vaya a dar un paseo por sitios que no conoce, ensaye una
nueva receta de cocina, escuche m´sica diferente a la que escucha habi-
u
tualmente, lea un libro que no ten´ pensado leer, asista a alg´n tipo de
ıa u
espect´culo diferente a sus favoritos.
a
1.1.4. Imitaci´n
o
La mayor parte de los grandes artistas comienzan imitando a sus maes-
tros. M´s a´n se ha llegado a afirmar, en parte en broma y en parte en serio,
a u
que “la originalidad no es otra cosa que un plagio no detectado”. En cual-
quier caso es claro que la imitaci´n puede ser un primer paso v´lido hacia
o a
la originalidad. En particular observe y no vacile en imitar las t´cnicas de
e
resoluci´n de problemas empleadas con ´xito por sus compa˜eros, maestros
o e n
o colegas.
1.1.5. Tormenta de cerebros (Brainstorming)
Es una t´cnica desarrollada en el mundo de la publicidad, en el cual el
e
´xito depende de la generaci´n de nuevas y brillantes ideas. Para ello se
e o
re´ne un grupo de personas y se les invita a expresar todas las ideas que
u
se les ocurran en relaci´n a un problema o tema planteado, sin importar lo
o
estrafalarias o rid´
ıculas que parezcan. La evaluaci´n y la cr´
o ıtica se posponen,
esperando crear un clima estimulante que favorezca el surgimiento de algunas
ideas realmente utiles. La utilidad de esta t´cnica es dudosa fuera de ciertos
´ e
campos o situaciones muy espec´ ıficas.
1.1.6. Mapas mentales
Es una t´cnica desarrollada por Tony Buzan (vea [6] y [7]) que trata de
e
representar en forma gr´fica el car´cter asociativo de la mente humana. Se
a a
comienza con la idea principal ubicada en el centro de la hoja y alrededor
de ella se van colocando las ideas asociadas y sus respectivos v´
ınculos. Uti-
lizando diversos colores y s´
ımbolos esta t´cnica puede llegar a ser muy util
e ´
para organizar las ideas que van surgiendo en torno a un problema.
10. 6 Principios Generales
1.1.7. Programaci´n neuroling¨´
o uıstica (PNL)
Tambi´n conocida como “la ciencia de la experiencia subjetriva”, es un
e
conjunto de t´cnicas muy desarrolladas a trav´s de las cuales se trata de
e e
caracterizar el contexto (f´
ısico, fisiol´gico, psicol´gico, ambiental, etc.) en
o o
el cual somos m´s creativos, para luego reproducirlo a voluntad. Los prac-
a
ticantes de la PNL han incluso “modelado” el comportamiento de algunos
personajes famosos, tales como Walt Disney, para tratar de aprovechar sus
modos y procedimientos m´s creativos. Vea [10] y [11].
a
1.1.8. Factores afectivos
La resoluci´n de problemas no es un asunto puramente intelectual. Las
o
emociones, y en particular el deseo de resolver un problema, tienen tambi´n e
una gran importancia. La incapacidad que manifiestan algunos alumnos para
resolver incluso el ejercicio m´s sencillo no es producto por lo general de una
a
deficiencia intelectual, sino de una absoluta falta de inter´s y motivaci´n. A
e o
veces no existe ni siquiera el deseo de comprender el problema, y por lo tanto
el mismo no es comprendido. El profesor que desee realmente ayudar a un
alumno con estas caracter´ ısticas deber´ ante todo despertarle su curiosidad
a
dormida, motivarlo y transmitirle deseos de logro y superaci´n. o
Algunas creencias negativas para el proceso creativo est´n asociadas a
a
una baja autoestima y pueden tener ra´ emocionales profundas. Por ejem-
ıces
plo hay quienes enfrentados a un problema creen a priori que no podr´n a
resolverlo, y que si lo intentan s´lo conseguir´n terminar con un dolor de
o a
cabeza. El maestro o profesor debe en estos casos apelar a todas sus dotes
y conocimientos como educador, aunque en casos extremos ser´ necesaria
a
tambi´n la ayuda de un orientador o la de un psic´logo.
e o
En el polo opuesto, alguien que tenga confianza en su propia capacidad
y crea que un problema es un desaf´ que vale la pena enfrentar y que re-
ıo
solverlo le proporcionar´ una satisfacci´n intelectual al mismo tiempo que
a o
ser´ una experiencia valiosa para su formaci´n, estar´ en excelentes condi-
a o a
ciones psicol´gicas para abordar el proceso resolutivo. Para profundizar en
o
estos aspectos vea [4], [24], [25], [26].
1.1.9. Bloqueos mentales
James Adams, profesor de dise˜o en la Universidad de Stanford, centra su
n
enfoque de la creatividad en la superaci´n de los bloqueos mentales, barreras
o
11. 1.2 La Creaci´n Matem´tica
o a 7
que nos impiden percibir un problema en la forma correcta y encontrarle
soluci´n. En [1] analiza diferentes tipos de bloqueos y propone ejercicios
o
para identificarlos y superarlos. Su clasificaci´n es la siguiente:
o
Bloqueos perceptivos: estereotipos, dificultad para aislar el proble-
ma, delimitar demasiado el espacio de soluciones, imposibilidad de ver
el problema desde varios puntos de vista, saturaci´n, no poder utilizar
o
toda la informaci´n sensorial.
o
Bloqueos emocionales: miedo a cometer errores, a arriesgar, a fra-
casar; deseo de seguridad y orden; preferir juzgar ideas a concebirlas;
inhabilidad para relajarse; falta de est´
ımulo; entusiasmo excesivo; falta
de control imaginativo.
Bloqueos culturales: tab´es; el peso de la tradici´n; roles predeter-
u o
minados asignados a la mujer y al hombre.
Bloqueos ambientales: distracciones; falta de apoyo para llevar ade-
lante una idea; falta de cooperaci´n entre colegas.
o
Bloqueos intelectuales: inhabilidad para seleccionar un lenguaje
apropiado para el problema (verbal, matem´tico, visual); uso inade-
a
cuado de las estrategias; falta de informaci´n o informaci´n incorrecta.
o o
Bloqueos expresivos: t´cnicas inadecuadas para registrar y expresar
e
ideas (a los dem´s y a uno mismo)
a
1.2. La Creaci´n Matem´tica
o a
Una de las reflexiones m´s profundas que se han hecho sobre la creativi-
a
dad en matem´tica es la realizada a principios de siglo por Henri Poincar´,
a e
uno de los m´s grandes matem´ticos de su tiempo. En una conferencia pro-
a a
nunciada ante la Sociedad Psicol´gica de Par´ [30] hizo interesant´
o ıs ısimas
revelaciones sobre sus propias experiencias como creador:
“¿Qu´ es, de hecho, la creaci´n matem´tica? No consiste en
e o a
hacer combinaciones nuevas con entes matem´ticos ya conoci-
a
dos. Cualquiera podr´ hacerlo, pcro las combinaciones que se
ıa
podr´ hacer as´ ser´ un n´mero limitado y en su mayor´
ıan ı ıan u ıa
totalmente desprovistas de inter´s. Crear consiste precisamente
e
12. 8 Principios Generales
no en construir las combinaciones in´tiles, sino en construir las
u
que son utiles y que est´n en ´
´ a ınfima minor´ Crear es discernir,
ıa.
es escoger. . . ”
“A menudo, cuando se trabaja en un problema dif´ ıcil, no se
consigue nada la primera vez que se comienza la tarea. Luego se
toma un descanso m´s o menos largo y uno se sienta de nuevo
a
ante la mesa. Durante la primera media hora se contin´a sin u
encontrar nada. Despu´s, de repente. la idea decisiva se presenta
e
ante la mente. . . ”
“Hay que hacer otra observaci´n a prop´sito de las condicio-
o o
nes de este trabajo inconsciente. Se trata de que tal trabajo no
es posible, y en todo caso no es fecundo, si no est´ por una parte
a
precedido y por otra seguido de un per´ ıodo de trabajo conscien-
te. Estas inspiraciones s´bitas no se presentan . . . m´s que tr´s
u a a
algunos d´ de esfuerzos voluntarios, aparentemente est´riles, en
ıas e
los que uno ha cre´ no hacer nada interesante, y piensa haber
ıdo
tomado un camino falso totalmente. Estos esfuerzos no fueron,
por tanto, tan est´riles como se pensaba. Pusieron en movimien-
e
to la m´quina inconsciente y sin ellos ´sta no habr´ funcionado
a e ıa
ni hubiera producido nada. . . ”
Poincar´ esboza luego una teor´ del trabajo del yo subliminal, en la
e ıa
cual atribuye un rol fundamental a la sensibilidad y el sentido est´tico del
e
matem´tico en el proceso de selecci´n, durante el trabajo inconsciente, de
a o
las combinaciones m´s significativas.
a
Una conclusi´n pr´ctica: cuando un problema se resiste a nuestros mejo-
o a
res esfuerzos, nos queda todav´ la posibilidad de dejarlo durante un tiempo,
ıa
descansar, dar un paseo, y volver a ´l m´s tarde. Sin embargo solamente
e a
aquellos problemas que nos han apasionado, manteni´ndonos en una con-
e
siderable tensi´n mental, son los que vuelven m´s tarde, transformados, a
o a
la mente consciente. La inspiraci´n o iluminaci´n s´bita, que los antiguos
o o u
consideraban un don divino, hay que merecerla.
1.3. La metodolog´ de P´lya
ıa o
En 1945 el insigne matem´tico y educador George P´lya (1887–1985)
a o
public´ un libro que r´pidamente se convirtir´ en un cl´sico: How to solve
o a ıa a
it [31]. En el mismo propone una metodolog´ en cuatro etapas para resolver
ıa
13. 1.3 La metodolog´ de P´lya
ıa o 9
problemas. A cada etapa le asocia una serie de preguntas y sugerencias que
aplicadas adecuadamente ayudar´n a resolver el problema. Las cuatro etapas
a
y las preguntas a ellas asociadas se detallan a continuaci´n:
o
Etapa I: Comprensi´n del problema.
o
¿Cu´l es la inc´gnita? ¿Cu´les son los datos? ¿Cual es la condici´n?
a o a o
¿Es la condici´n suficiente para determinar la inc´gnita? ¿Es insufi-
o o
ciente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?
Etapa II: Concepci´n de un plan.
o
¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿Ha visto el mismo
problema planteado en forma ligeramente diferente?
¿Conoce un problema relacionado con ´ste? ¿Conoce alg´n teorema
e u
que le pueda ser util? Mire atentamente la inc´gnita y trate de recordar
´ o
un problema que le sea familiar y que tenga la misma inc´gnita o una
o
inc´gnita similar.
o
He aqu´ un problema relacionado con el suyo y que se ha resuelto ya.
ı
¿Podr´ utilizarlo? ¿Podr´ emplear su resultado? ¿Podr´ utilizar su
ıa ıa ıa
m´todo? ¿Podr´ utilizarlo introduciendo alg´n elemento auxiliar?
e ıa u
¿Podr´ enunciar el problema en otra forma? ¿Podr´ plantearlo en
ıa ıa
forma diferente nuevamente? Refi´rase a las definiciones.
e
Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero
alg´n problema similar. ¿Podr´ imaginarse un problema an´logo un
u ıa a
tanto m´s accesible? ¿Un problema m´s general? ¿Un problema m´s
a a a
particular? ¿Un problema an´logo? ¿Puede resolver una parte del pro-
a
blema? Considere s´lo una parte de la condici´n; descarte la otra parte;
o o
¿en qu´ medida la inc´gnita queda ahora determinada? ¿en qu´ forma
e o e
puede variar? ¿Puede usted deducir alg´n elemento util de los datos?
u ´
¿Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la
inc´gnita? ¿Puede cambiar la inc´gnita? ¿Puede cambiar la inc´gnita
o o o
o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva inc´gnita
o
y los nuevos datos est´n m´s cercanos entre s´
e a ı?
¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condici´n? ¿Ha
o
considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al pro-
blema?
14. 10 Principios Generales
Etapa III: Ejecuci´n del plan.
o
Al ejecutar el plan, compruebe cada uno de los pasos.
¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrarlo?
Etapa IV. Visi´n retrospectiva.
o
¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento?
¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe?
¿Puede emplear el resultado o el m´todo en alg´n otro problema?
e u
La primera etapa es obviamente insoslayable: es imposible resolver un
problema del cual no se comprende el enunciado. Sin embargo en nuestra
pr´ctica como docentes hemos visto a muchos estudiantes lanzarse a efectuar
a
operaciones y aplicar f´rmulas sin reflexionar siquiera un instante sobre lo
o
que se les pide. Por ejemplo si en el problema aparece una funci´n comienzan
o
de inmediato a calcularle la derivada, independientemente de lo que diga el
enunciado. Si el problema se plantea en un examen y luego, comentando los
resultados, el profesor dice que el c´lculo de la derivada no se ped´ y m´s
a ıa a
a´n que el mismo era irrelevante para la soluci´n del problema, algunos le
u o
responder´n: ¿o sea que no nos va a dar ning´n punto por haber calculado
a u
la derivada? Este tipo de respuesta revela una incomprensi´n absoluta de
o
lo que es un problema y plantea una situaci´n muy dif´ al profesor, quien
o ıcil
tendr´ que luchar contra vicios de pensamiento arraigados, adquiridos tal
a
vez a lo largo de muchos a˜os.
n
La segunda etapa es la m´s sutil y delicada, ya que no solamente est´ re-
a a
lacionada con los conocimientos y la esfera de lo racional, sino tambi´n con
e
la imaginaci´n y la creatividad. Observemos que las preguntas que P´lya
o o
asocia a esta etapa est´n dirigidas a llevar el problema hacia un terreno co-
a
nocido. Con todo lo utiles que estas indicaciones son, sobre todo para el tipo
´
de problemas que suele presentarse en los cursos ordinarios, dejan planteada
una interrogante: ¿qu´ hacer cuando no es posible relacionar el problema
e
con algo conocido? En este caso no hay recetas infalibles, hay que trabajar
duro y confiar en nuestra propia creatividad e inspiraci´n. o
La tercera etapa es de car´cter m´s t´cnico. Si el plan est´ bien concebi-
a a e a
do, su realizaci´n es factible y poseemos los conocimientos y el entrenamiento
o
necesarios, deber´ ser posible llevarlo a cabo sin contratiempos. Sin embar-
ıa
go por lo general en esta etapa se encontrar´n dificultades que nos obligar´n
a a
15. 1.4 El trabajo de Alan Schoenfeld 11
a regresar a la etapa anterior para realizar ajustes al plan o incluso para
modificarlo por completo. Este proceso puede reperirse varias veces.
La cuarta etapa es muchas veces omitida, incluso por solucionistas exper-
tos. P´lya insiste mucho en su importancia, no solamente porque comprobar
o
los pasos realizados y verificar su correcci´n nos puede ahorrar muchas sor-
o
presas desagradables, sino porque la visi´n retrospectiva nos puede conducir
o
a nuevos resultados que generalicen, ampl´ o fortalezcan el que acabamos
ıen
de hallar.
1.4. El trabajo de Alan Schoenfeld
Si bien la mayor´ de los matem´ticos reconocen en las estrategias heur´
ıa a ıs-
ticas de P´lya los m´todos que ellos mismos utilizan habitualmente, no es
o e
tan f´cil para el que no tiene experiencia aplicarlas exitosamente. En otras
a
palabras, dichas estrategias son m´s descriptivas que prescriptivas. Alan
a
Schoenfeld (ver [34], [35], [36]) es uno de los que m´s han estudiado esta
a
problem´tica. En su an´lisis identifica los siguientes cuatro factores relevan-
a a
tes para la resoluci´n de problemas:
o
Recursos cognitivos. Son nuestros conocimientos matem´ticos ge-
a
nerales, tanto de conceptos y resultados como de procedimientos (al-
goritmos).
Heur´ ıstica. Es el conjunto de estrategias y t´cnicas para resolver
e
problemas que conocemos y estamos en capacidad de aplicar.
Control o metacognici´n. Es la capacidad de utilizar lo que sabe-
o
mos para lograr un objetivo.
Creencias. Se refiere a aquellas creencias y opiniones relacionadas
con la resoluci´n de problemas y que pueden afectarla favorable o
o
desfavorablemente.
La importancia del primer factor es obvia. Sin embargo se ha demostra-
do (ver [9]) que no es suficiente poseer un amplio bagaje de conocimientos
matem´ticos para ser un solucionista experto. Tambi´n es necesario dominar
a e
algunas t´cnicas y estrategias que nos ayuden a atacar el problema. En do-
e
minios restringidos y bien delimitados, en los cuales los problemas a resolver
son m´s o menos rutinarios, se han desarrollado estrategias que pueden ser
a
16. 12 Principios Generales
aplicadas con ´xito incluso por un computador, con resultados tan buenos o
e
mejores que los obtenidos por los expertos humanos (estos son los famosos
sistemas expertos, producto de las investigaciones en inteligencia artificial
y ciencia cognitiva). Sin embargo para resolver problemas no rutinarios en
dominios ricos en contenido, como la matem´tica, se requiere algo m´s que
a a
conocimientos y estrategias. Ese factor adicional es lo que llamamos con-
trol; act´a como una voz interior que nos dice qu´ ideas y estrategias (entre
u e
muchas alternativas posibles) nos conviene aplicar para el problema que te-
nemos entre manos, o bien si debemos abandonar un camino que no parece
arrojar resultados o por el contrario redoblar esfuerzos y perseverar en ´l.
e
Los solucionistas inexpertos tienen evidentes deficiencias en este aspecto: se
apresuran a transitar el primer camino que se les ocurre y luego se mueven
en c´ırculos, cayendo una y otra vez en el mismo error.
El ultimo factor puede influir tambi´n de manera importante en el pro-
´ e
ceso de resoluci´n de problemas. Algunas creencias comunes, sobre todo
o
entre estudiantes de ense˜anza media, son las siguientes: “todo problema
n
se resuelve mediante alguna f´rmula”, “lo importante es el resultado y no
o
el procedimiento”, “la respuesta del libro no puede estar equivocada”. Este
tipo de creencias es un obst´culo para el desempe˜o de cualquier persona
a n
como solucionista.
Schoenfeld elabor´ tambi´n una lista de las estrategias m´s utilizadas:
o e a
1. An´lisis.
a
a) Dibuje un diagrama siempre que sea posible.
b) Examine casos especiales.
1) Seleccione algunos valores especiales para ejemplificar el pro-
blema e irse familiarizando con ´l. e
2) Examine casos l´ ımite para explorar el rango de posibilidades.
3) Si hay un par´metro entero, dele sucesivamente los valores
a
1, 2, . . . , m y vea si emerge alg´n patr´n inductivo.
u o
c) Trate de simplificar el problema.
1) Explotando la existencia de simetr´
ıa.
2) Usando argumentos del tipo “sin p´rdida de generalidad”.
e
2. Exploraci´n.
o
a) Considere problemas esencialmente equivalentes.
17. 1.4 El trabajo de Alan Schoenfeld 13
1) Reemplazando condiciones por otras equivalentes.
2) Recombinando los elementos del problema de maneras dife-
rentes.
3) Introduciendo elementos auxiliares.
4) Reformulando el problema:
Mediante un cambio de perspectiva o notaci´n.
o
Mediante argumentos por contradicci´n o contraposici´n.
o o
Asumiendo que tenemos una soluci´n y determinando sus
o
propiedades.
b) Considere un problema ligeramente modificado.
1) Escoja submetas (tratando de satisfacer parcialmente las con-
diciones).
2) Relaje una condici´n y luego trate de reimponerla.
o
3) Descomponga el dominio del problema y trabaje caso por
caso.
c) Considere problemas sustancialmente modificados.
1) Construya un problema an´logo con menos variables.
a
2) Deje todas las variables fijas excepto una, para determinar
su impacto.
3) Trate de aprovechar cualquier problema relacionado que ten-
ga forma, datos o conclusiones similares.
3. Verificaci´n de la soluci´n.
o o
a) ¿Pasa su soluci´n estas pruebas espec´
o ıficas?
1) ¿Usa todos los datos pertinentes?
2) ¿Est´ de acuerdo con estimaciones o predicciones razonables?
a
3) ¿Soporta pruebas de simetr´ an´lisis dimensional y escala?
ıa, a
b) ¿Pasa estas pruebas generales?
1) ¿Puede ser obtenida de manera diferente?
2) ¿Puede ser sustanciada por casos especiales?
3) ¿Puede ser reducida a resultados conocidos?
4) ¿Puede utilizarse para generar alg´n resultado conocido?
u
18. Cap´
ıtulo 2
Ejemplos sencillos
“Resolver un problema es hacer un descubrimiento.
Un gran problema significa un gran descubrimien-
to, pero hay una part´ıcula de descubrimiento en la
soluci´n de cualquier problema. El suyo puede ser
o
modesto, pero si pone a prueba la curiosidad que
induce a poner en juego las facultades inventivas, y
si lo resuelve por medios propios, puede experimen-
tar la tensi´n y el encanto del descubrimiento y el
o
goce del triunfo.”
George P´lya [31]
o
En este cap´ıtulo pondremos en pr´ctica los principios examinados en el
a
cap´ıtulo anterior. Para ello hemos seleccionado varios problemas sencillos
y de f´cil soluci´n, de modo que nos podamos concentrar en el proceso de
a o
resoluci´n m´s que en el contenido de los mismos.
o a
2.1. ´
Aritm´tica y Algebra
e
Algunos de los problemas m´s antiguos que se conocen son de tipo
a
aritm´tico. Es t´
e ıpico que se pida hallar una cantidad determinada por cier-
tas condiciones, o bien efectuar un reparto cumpliendo ciertos requisitos.
Los siguientes problemas pertenecen a esta categor´ ıa.
Problema 2.1. Diofanto fue un notable matem´tico griego que desarroll´ su
a o
actividad en Alejandr´ en el siglo III A.C. y del cual se conservan muy pocos
ıa
19. e ´
2.1 Aritm´tica y Algebra 15
datos biogr´ficos. Sin embargo se dice que su epitafio conten´ la siguiente
a ıa
inscripci´n:
o
Caminante: aqu´ yacen los restos de Diofanto. Y los n´me-
ı u
ros pueden mostrar cu´n larga fue su vida, cuya sexta parte
a
constituy´ su hermosa infancia. Hab´ transcurrido adem´s una
o ıa a
duod´cima parte cuando sus mejillas se cubrieron de vello. Lue-
e
go de una s´ptima parte se cas´, y transcurrido un quinquenio
e o
le hizo dichoso el nacimiento de su primog´nito, cuya existencia
e
dur´ tan s´lo la mitad de la de su padre. Luego de cuatro a˜os
o o n
buscando consuelo en la ciencia de los n´meros, descendi´ Dio-
u o
fanto a la sepultura.
¿Qu´ edad alcanz´ Diofanto? ¿A qu´ edad se cas´? ¿Cu´ntos a˜os vivi´ su
e o e o a n o
hijo?
Soluci´n. Veamos si comprendemos bien el problema. ¿Cu´l es la inc´gnita?
o a o
El n´mero de a˜os que vivi´ Diofanto (las preguntas restantes se responden
u n o
f´cilmente conociendo la respuesta a la primera). ¿Cu´les son los datos? Una
a a
serie de informaciones sobre las etapas sucesivas de su vida, desde su infan-
cia hasta su muerte. Ahora debemos concebir un plan. ¿Se ha encontrado
con un problema semejante? Es de esperar que s´ ya que la mayor´ de los
ı, ıa
problemas resolubles por m´todos algebraicos elementales son semejantes.
e
El plan general consiste en escribir ecuaciones que reflejen las condiciones
planteadas, resolver el sistema resultante y finalmente interpretar las solu-
ciones obtenidas en el contexto original del problema. Llamemos x al n´mero
u
de a˜os vividos por Diofanto. Esta cantidad debe ser igual a la suma de las
n
duraciones de las etapas de su vida, a saber: su infancia (x/6), la duod´cima
e
parte transcurrida hasta que le sali´ barba (x/12), los a˜os transcurridos
o n
hasta que contrajo matrimonio (x/7), los a˜os transcurridos hasta que na-
n
ci´ su primog´nito (5), los a˜os que ´ste vivi´ (x/2) y los 4 a˜os que Diofanto
o e n e o n
le sobrevivi´. Por lo tanto escribimos:
o
x x x x
x= + + +5+ +4 (2.1)
6 12 7 2
Agrupando t´rminos semejantes resulta:
e
1 1 1 1
(1 − − − − )x = 5 + 4
6 12 7 2
y simplificando queda
3
x = 9.
28
20. 16 Ejemplos sencillos
Por lo tanto x = 28 × 9/3 = 84. Verifiquemos el resultado:
84 84 84 84
+ + +5+ + 4 = 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84
6 12 7 2
Diofanto se cas´ cuando contaba 84/6 + 84/12 + 84/7 = 33 a˜os, y su hijo
o n
vivi´ 84/2 = 42 a˜os.
o n
Los documentos matem´ticos m´s antiguos que se conservan son dos
a a
rollos de papiro egipcios que datan aproximadamente de la XII dinast´ ıa
(2078 a 1788 A.C.). Uno de ellos, conocido como el papiro Rhind, consta de
unos 85 problemas y ejemplos pr´cticos. El siguiente es uno de ellos:
a
Problema 2.2. Dividir cien panes entre cinco hombres, de modo que las
porciones que reciban est´n en progresi´n aritm´tica y que la s´ptima parte
e o e e
de la suma de las tres mayores sea igual a la suma de las dos porciones
menores.
Soluci´n. Asegur´monos de comprender bien el problema. ¿Qu´ se nos pide?
o e e
Dividir cien panes entre cinco hombres, de modo que se cumplan ciertas con-
diciones. ¿Cu´les son los datos? El n´mero total de panes (100), la cantidad
a u
de porciones (5) y las condiciones que debe cumplir el reparto. ¿Cu´les son
a
las inc´gnitas? Obviamente, la cantidad de panes que le corresponder´ a ca-
o a
da uno. ¿Comprendemos la condici´n? En primer lugar las porciones deben
o
estar en progresi´n aritm´tica; esto significa que si escribimos las porciones
o e
en orden creciente de magnitud, la diferencia de cada una de ellas con la
siguiente es constante. En otras palabras, si llamamos x a la menor de las
porciones y r a la diferencia com´n o raz´n de la progresi´n, entonces las
u o o
cinco porciones deber´n ser x, x + r, x + 2r, x + 3r y x + 4r. Utilizando esta
a
notaci´n podemos describir la ultima condici´n del problema mediante una
o ´ o
ecuaci´n:
o
(x + 2r) + (x + 3r) + (x + 4r)
= x + (x + r) (2.2)
7
¿Es la condici´n suficiente para determinar la inc´gnita? ¿Es insuficiente?
o o
Estas preguntas vienen muy bien en este momento, ya que nos hacen ob-
servar que tenemos dos inc´gnitas x y r pero una sola ecuaci´n. En general
o o
(pero por supuesto hay excepciones) esto significa que el problema es inde-
terminado, es decir que en vez de una unica soluci´n admite varias, tal vez
´ o
hasta un n´mero infinito de ellas. Pero otra posibilidad a tener en cuenta
u
es que no tengamos suficientes ecuaciones sencillamente por haber pasado
21. e ´
2.1 Aritm´tica y Algebra 17
por alto alg´n dato o condici´n del problema. Recordemos las preguntas
u o
de P´lya: ¿Ha empleado todos los datos?, ¿Ha empleado toda la condici´n?
o o
Bueno, leyendo una vez m´s el enunciado del problema vemos que no hemos
a
utilizado el hecho de que los panes a dividir son cien. Este dato nos permite
escribir otra ecuaci´n:
o
x + (x + r) + (x + 2r) + (x + 3r) + (x + 4r) = 100 (2.3)
Bien, ya tenemos dos ecuaciones y dos inc´gnitas. El plan a seguir es simple:
o
resolver el sistema. Para ello simplificamos primero las ecuaciones 2.2 y 2.3
hasta obtener
11x − 2r = 0 (2.4)
x + 2r = 20 (2.5)
de donde resulta x = 5/3 y r = 55/6. Las cinco porciones ser´n entonces:
a
5/3 = 1 2 , 5/3 + 55/6 = 65/6 = 10 5 , 65/6 + 55/6 = 20, 20 + 55/6 = 175/6 =
3 6
29 1 y finalmente 175/6 + 55/6 = 115/3 = 38 1 .
6 3
Visi´n retrospectiva: ¿Puede usted verificar el resultado? Esto es f´cil: 5/3 +
o a
65/6 + 20 + 175/6 + 115/3 = 100 y 65/6 − 5/3 = 20 − 65/6 = 175/6 − 20 =
115/3 − 175/6 = 55/6. ¿Puede obtener el resultado en forma diferente?
Bueno, si se tiene cierta experiencia resolviendo problemas con progresiones
aritm´ticas se observa que muchas veces resulta m´s c´modo representar la
e a o
progresi´n de manera sim´trica, alrededor de un t´rmino central. En nuestro
o e e
caso, si llamamos z al t´rmino central y r a la raz´n, los cinco t´rminos ser´n
e o e a
z − 2r, z − r, z, z + r y z + 2r. Ahora la condici´n de que las partes suman
o
cien se escribe as´ı:
(z − 2r + +(z − r) + z + (z + r) + (z + 2r) = 100
que se reduce a 5z = 100 y por tanto z = 20. La otra condici´n es
o
20 + (20 + r) + (20 + 2r)
= (20 − 2r) + (20 − r)
7
que luego de simplificar nos da 60 + 3r = 7(40 − 3r), de donde podemos
despejar r = (280 − 60)/24 = 55/6. Obtenemos por supuesto la misma
soluci´n que antes, pero el procedimiento luce m´s limpio y elegante: en lugar
o a
de resolver un sistema de dos ecuaciones con dos inc´gnitas s´lo tenemos que
o o
resolver un par de ecuaciones de primer grado. Esto se debe a que la simetr´ıa
hace que se cancelen los t´rminos con r en la primera ecuaci´n.
e o
22. 18 Ejemplos sencillos
Problema 2.3. Tres recipientes contienen agua. Si se vierte 1/3 del conte-
nido del primer recipiente en el segundo, y a continuaci´n 1/4 del contenido
o
del segundo en el tercero, y por ultimo 1/10 del contenido del tercero en el
´
primero, entonces cada recipiente queda con 9 litros de agua. ¿Qu´ cantidad
e
de agua hab´ originalmente en cada recipiente?
ıa
Soluci´n. Este problema puede tratarse en principio con el mismo m´todo
o e
que los anteiores: si llamamos x, y, z a los contenidos iniciales de los recipien-
tes es posible escribir unas ecuaciones que reflejen las condiciones del pro-
blema. Por ejemplo, despu´s de la primera operaci´n el contenido del primer
e o
recipiente ser´ (2/3)x y el del segundo y + x/3. Luego de la segunda opera-
a
ci´n el contenido del segundo recipiente ser´ (3/4)(y + x/3) = x/4 + (3/4)y
o a
y el del tercero z + (1/4)(y + x/3) = x/12 + y/4 + z. Luego de la tercera
operaci´n el contenido del tercer recipiente ser´ (9/10)(x/12 + y/4 + z) y el
o a
del primero (2/3)x + (1/10)(x/12 + y/4 + z). Igualando ahora el contenido
final de cada recipiente con 9 obtenemos un sistema de tres ecuaciones con
tres inc´gnitas, cuya soluci´n es la respuesta buscada. Los detalles se los
o o
dejamos al lector como ejercicio.
Visi´n retrospectiva: No cabe duda de que el m´todo anterior, aunque in-
o e
falible, es bastante aburrido y proclive a errores num´ricos. ¿No habr´ otra
e a
forma de proceder m´s apropiada para este tipo de problema? S´ la hay,
a ı
y consiste en sustituir el an´lisis hacia adelante que realizamos, partiendo
a
de la configuraci´n inicial y estudiando la evoluci´n del contenido de los
o o
recipientes con cada operaci´n, por un an´lisis retrospectivo. Este tipo de
o a
an´lisis consiste en partir de la configuraci´n final y estudiar c´mo se lleg´ a
a o o o
ella. En nuestro caso los tres recipientes finalizan con 9 litros, y la ultima
´
operaci´n consisti´ en trasvasar 1/10 del contenido del tercer recipiente al
o o
primero. Pero si el tercer recipiente, luego de perder la d´cima parte de su
e
contenido, qued´ con 9 litros, es obvio que deb´ contener diez litros. Y el
o ıa
primero, como qued´ con 9 luego de ganar un litro, antes conten´ 8 litros.
o ıa
En otras palabras, despu´s de la segunda operaci´n y antes de la tercera el
e o
contenido de los recipientes era 8, 9 y 10 litros, en ese orden. Del mismo mo-
do se ve que antes de la segunda operaci´n el segundo recipiente conten´ 12
o ıa
litros, para poder quedar en 9 al perder la cuarta parte de su contenido. Y el
tercero, por consiguiente, ten´ 7 litros. Los contenidos antes de la segunda
ıa
operaci´n eran entonces 8, 12 y 7. Razonando de igual forma llegamos a que
o
inicialmente los recipientes conten´ 12, 8 y 10 litros de agua. Este an´lisis
ıan a
retrospectivo se resume en la siguiente tabla:
23. 2.2 Combinatoria 19
1◦ 2◦ 3◦
9 9 9
8 9 10
8 12 7
12 8 10
2.2. Combinatoria
Hay una clase importante de problemas en los cuales tenemos que contar
o enumerar configuraciones resultantes de combinar, de alguna manera, un
n´mero finito de elementos. La rama de la matem´tica que se ocupa de esto
u a
se conoce como combinatoria. Los siguientes son algunos ejemplos sencillos.
Problema 2.4. Un cubo s´lido de madera de lado 20 cm se pinta de rojo.
o
Luego con una sierra se hacen cortes paralelos a las caras, de cent´
ımetro en
ımetro, hasta obtener 203 = 8000 cubitos de lado 1 cm. ¿Cu´ntos de
cent´ a
esos cubitos tendr´n al menos una cara pintada de rojo?
a
Soluci´n. El problema es de f´cil comprensi´n. El primer plan que se nos
o a o
ocurre es sencillamente contar los cubitos pintados. Por ejemplo: en cada
cara del cubo hay 202 = 400 cubitos pintados, por lo tanto en total ser´n a
. . . ¿400×6? No, porque estar´ıamos contando m´s de una vez los cubitos que
a
est´n en los v´rtices y aristas del cubo. Pero al menos esto nos da una pista
a e
para mejorar el plan (y una cota superior: el n´mero de cubitos pintados
u
debe ser menor que 2400). Contemos entonces por separado los diferentes
tipos de cubitos pintados:
Los correspondientes a los v´rtices del cubo, que tienen tres caras
e
pintadas y son ocho en total.
Los correspondientes a las aristas del cubo, exclu´ ıdos los v´rtices (tie-
e
nen exactamente dos caras pintadas). Cada arista tiene contacto con
20 cubitos, pero dos de ellos son v´rtices (que ya contamos aparte) por
e
lo cual nos quedan 18. Como el cubo tiene 12 aristas, el n´mero total
u
es 18 × 12 = 216.
Los cubitos con exactamente una cara pintada. En cada cara del cubo,
las caras pintadas de estos cubitos forman un cuadrado de 18 × 18, por
lo tanto en total ser´n 18 × 18 × 6 = 1944.
a
24. 20 Ejemplos sencillos
Por consiguiente la respuesta es 8 + 216 + 1944 = 2168.
Visi´n retrospectiva: ¿Podemos obtener el resultado en forma diferente? Una
o
primera alternativa es partir de nuestro primer resultado err´neo, 2400, y
o
efectuar las correcciones necesarias. Como los cubos de los v´rtices se con-
e
taron tres veces cada uno, restemos 8 × 2 = 16. Y como los de las aristas se
contaron dos veces, restemos 216. El resultado ser´ 2400 − 16 − 216 = 2168.
a
Otra idea (posiblemente la m´s elegante) se obtiene invirtiendo el proble-
a
ma. Contemos los cubitos que no tienen ninguna cara pintada. Es claro
que estos cubitos forman un cubo interior al primero, de lado 18. Por lo
tanto son 183 = 5832. Los que tiene al menos una cara pintada se pueden
obtener ahora restando esta ultima cantidad del total de cubitos, a saber
´
203 − 183 = 8000 − 5832 = 2168.
Problema 2.5. En cada una de las 64 casillas de un tablero de ajedrez hay
un grano de az´car. Una hormiga comienza en un v´rtice del tablero, come
u e
el az´car, y se traslada a una casilla adyacente, desplaz´ndose en direcci´n
u a o
horizontal o vertical (pero nunca en diagonal). Contin´a de este modo hasta
u
acabar con todo el az´car, y sin pasar dos veces por una misma casilla. ¿Es
u
posible que su trayecto finalice en el v´rtice diagonalmente opuesto al inicial?
e
Soluci´n. Este problema es de naturaleza diferente a los anteriores. No se
o
nos pide calcular nada, por lo cual muchos pensar´n que no es un verdadero
a
problema de matem´tica. Sin embargo, si hacemos abstracci´n de la hormiga
a o
y el az´car (que obviamente se han incluido para hacer m´s atractivo el
u a
enunciado) vemos que el problema trata de la existencia de trayectorias con
ciertas caracter´ısticas geom´tricas.
e
Por alguna raz´n, la mayor´ de las personas a quienes les he planteado
o ıa
este problema contestan de inmediato que s´ Cuando les pido que dibujen
ı.
en la pizarra la trayectoria, demuestran que no han comprendido cabalmente
el enunciado: trazan l´ ıneas diagonales, pasan m´s de una vez por la misma
a
casilla o simplemente finalizan en un v´rtice que no es el opuesto al inicial,
e
y a´n as´ creen haber solucionado el problema. Cuando por fin comprenden
u ı
las condiciones, luego de dos o tres intentos fallidos cambian s´bitamen-
u
te de posici´n y contestan que es imposible. Ahora bien, es claro que una
o
respuesta afirmativa queda suficientemente justificada con s´lo exhibir una
o
trayectoria que cumpla las condiciones pedidas. ¿Pero c´mo podemos jus-
o
tificar una respuesta negativa? Es muy importante comprender la enorme
diferencia que existe entre las afirmaciones “no puedo hallar ninguna solu-
ci´n” y “no existe ninguna soluci´n”. Para poder afirmar esto ultimo hay
o o ´
25. 2.3 Geometr´
ıa 21
b´sicamente dos maneras de proceder. Una de ellas consiste en dibujar todas
a
las trayectorias posibles que parten de un v´rtice y recorren todo el tablero,
e
desplaz´ndose en direcci´n horizontal o vertical y sin pasar dos veces por
a o
ninguna casilla. Una vez hecho esto podemos examinar las trayectorias y
verificar que ninguna finaliza en el v´rtice opuesto al inicial. Un inconve-
e
niente de este procedimiento es que resulta muy lento y engorroso para un
ser humano, aunque ser´ factible realizarlo con ayuda del computador. Otro
ıa
inconveniente es que si se nos ocurre generalizar el problema para tableros
m´s grandes r´pidamente el problema se vuelve inmanejable, incluso para
a a
el computador. M´s a´n, si queremos una respuesta general, para tableros
a u
de n × n, este procedimiento resulta completamente in´til.
u
La segunda manera de proceder es demostrar que no existe trayectoria
alguna que cumpla las condiciones exigidas. Para esto resulta util el hecho
´
de que las casillas de un tablero de ajedrez est´n pintadas de dos colores,
a
digamos blanco y negro, en forma alternada. La observaci´n clave es que
o
cada movimiento unitario en direcci´n horizontal o vertical nos lleva de una
o
casilla a otra de diferente color. Ahora bien, como el tablero tiene 8 × 8 = 64
casillas, comenzando en cualquiera de ellas se requieren 63 movimientos para
recorrerlas todas. Pero es claro que despu´s de 1, 3, 5 o cualquier n´mero
e u
impar de movimientos estaremos en una casilla de color diferente a la inicial.
Esto demuestra que la respuesta al problema que nos ocupa es negativa, ya
que un v´rtice y el opuesto son del mismo color.
e
Visi´n retrospectiva: Una generalizaci´n obvia de este problema consiste en
o o
considerar tableros de n × n, para cualquier entero positivo n. Es claro que
si n es par entonces la respuesta es negativa, por el mismo argumento usado
para el caso 8 × 8. En cambio si n es impar el argumento no se aplica. De
hecho es f´cil ver que la respuesta es afirmativa. Otras generalizaciones que
a
se resuelven con el mismo m´todo: especificar dos casillas cualesquiera como
e
inicio y fin de la trayectoria; cambiar el tipo de movimiento b´sico, usando
a
por ejemplo saltos de caballo; plantear el problema en tres dimensiones, por
ejemplo en un cubo.
El lector interesado en estos temas puede consultar [29].
2.3. Geometr´
ıa
La otra clase importante de problemas que encontramos en la matem´ti-
a
ca elemental son los de geometr´ El lector interesado en este tema puede
ıa.
26. 22 Ejemplos sencillos
consultar [12].
Hay una gran variedad de problemas geom´tricos: problemas de construc-
e
ci´n, de c´lculo, de demostraci´n, etc. El siguiente es un ejemplo sencillo.
o a o
Problema 2.6. Los lados del tri´ngulo ABC miden AB = 26cm, BC =
a
17cm y CA = 19cm. Las bisectrices de los ´ngulos de v´rtices B y C se
a e
cortan en el punto I. Por I se traza una paralela a BC que corta a los lados
AB y BC en los puntos M y N respectivamente. Calcule el per´ ımetro del
tri´ngulo AM N .
a
Soluci´n. La primera de las estrategias que Schoenfeld coloca en su lista
o
es hacer un diagrama, toda vez que sea posible. Si bien esta recomendaci´n o
se aplica a todo tipo de problemas, es casi insoslayable si el problema es
de car´cter geom´trico. Muchas veces el enunciado de estos problemas va
a e
acompa˜ado de un dibujo, pero otras veces (como en este caso) no es as´
n ı,
y hacerlo es la primera tarea que debemos realizar. Tal vez usted haya o´ ıdo
frases tales como “un dibujo no constituye demostraci´n”, “razonar en base
o
a un dibujo puede conducir a errores”, etc. Todo eso es cierto, sin embargo
un dibujo nos ayuda en primer lugar a comprender el problema. Adem´s a
estimular´ nuestra imaginaci´n y es posibleque nos sugiera alg´n plan para
a o u
hallar la soluci´n. Si tiene a mano instrumentos geom´tricos uselos; sin em-
o e ´
bargo incluso un bosquejo aproximado suele ser de mucha ayuda (¡H´galo a
antes de seguir leyendo!).
Hay muchas maneras de resolver este problema. El que tenga afici´n a los
o
c´lculos complicados podr´ por ejemplo comenzar por hallar el ´rea del
a ıa a
tri´ngulo ABC (usando la f´rmula de Heron). Dividiendo el ´rea entre el
a o a
semiper´ımetro se obtiene el radio de la circunferencia inscripta, es decir la
distancia de I a los lados del tri´ngulo ABC. Con estos datos es posible
a
27. 2.3 Geometr´
ıa 23
calcular, por proporcionalidad, las longitudes de AM , M N y AN . Sin em-
bargo esto es bastante engorroso. ¿No habr´ una manera m´s sencilla? Si
a a
miramos el dibujo detenidamente, buscando alguna relaci´n interesante, ob-
o
servaremos (sobre todo si el dibujo est´ bien hecho) que los tri´ngulos BM I
a a
y CN I parecen is´sceles. Si esto fuese cierto la soluci´n ser´ inmediata, ya
o o ıa
que de las igualdades M I = M B y IN = N C se obtiene:
AM + M N + AN = AM + M I + IN + AN = AM + M B + AN + N C
= AB + AC = 26 + 19 = 45.
Ahora bien, ¿podremos probar que los tri´ngulos BM I y CN I son is´sce-
a o
les? Para probar por ejemplo que BM I es is´sceles es suficiente probar que
o
los ´ngulos ∠M BI y ∠M IB son iguales. Pero sabemos que M N es paralela
a
a BC, por lo tanto ∠M IB = ∠IBC ya que son ´ngulos alternos internos.
a
Pero BI es la bisectriz de ∠ABC, por lo tanto ∠M BI = ∠IBC y hemos
completado la demostraci´n (por supuesto que para el tri´ngulo CN I se
o a
razona de modo an´logo).
a
Visi´n retrospectiva: Si revisamos los datos del problema vemos que hay
o
uno de ellos que no fue utilizado: la longitud del lado BC. En realidad para
cualquier tri´ngulo con AB = 26 cm y CA = 19 la soluci´n ser´ la misma,
a o ıa
26 + 19 = 45. ¿Y si variamos AB y CA? Bueno, es f´cil ver que la respuesta
a
ser´ siempre AB + CA. En otras palabras, los valores 26 y 19 no juegan
a
ning´n papel especial, y mucho menos BC = 17. Estos datos en vez de ayu-
u
dar a resolver el problema m´s bien estorban, dirigiendo nuestra atenci´n
a o
hacia detalles sin importancia. Son elementos distractores , que aumentan la
dificultad del problema suministrando m´s informaci´n que la estrictamente
a o
necesaria para resolverlo. Para aclarar mejor este punto supongamos que el
enunciado del problema hubiese sido:
En un tri´ngulo ABC las bisectrices de los ´ngulos de v´rtices B
a a e
y C se cortan en el punto I. Por I se traza una paralela a BC que
corta a los lados AB y BC en los puntos M y N respectivamente.
Calcule el per´ımetro del tri´ngulo AM N en funci´n de los lados
a o
AB y AC.
Este problema, a pesar de ser m´s general, es probablemente m´s f´cil de
a a a
resolver ya que nuestra atenci´n se enfocar´ directamente hacia los lados
o a
AB y AC. Este es el sentido de la recomendaci´n de P´lya: “eonsidere un
o o
problema m´s general”, la cual parece parad´jica ya que un problema m´s
a o a
28. 24 Ejemplos sencillos
general deber´ ser por l´gica m´s dif´ Sin embargo una abstracci´n ade-
ıa o a ıcil. o
cuada, al eliminar la hojarasca innecesaria, puede permitirnos ver el camino
con m´s claridad. Ahora bien, ¿es posible detectar y evitar el efecto de es-
a
tos elementos distractores? Es bastante dif´ıcil, ya que a priori no podemos
saber cu´les datos son esenciales y cu´les superfluos para resolver un pro-
a a
blema. Sin embargo es razonable desconfiar de los datos que parecen muy
particulares para la naturaleza del problema. Pero hay que tener cuidado,
ya que hay propiedades que s´ dependen de valores muy particulares de los
ı
datos (esto es muy com´n en problemas de aritm´tica, por ejemplo).
u e
Muchos problemas no se pueden clasificar de manera clara dentro de una
rama de la matem´tica, sino que se encuentran en la frontera entre dos o
a
m´s de ellas. El siguiente, por ejemplo, pertenece tanto a la geometr´ como
a ıa
a la combinatoria.
Problema 2.7. ¿En cu´ntas regiones queda dividido el plano por 6 rectas
a
en posici´n gen´rica (es decir tales que no haya dos de ellas paralelas ni tres
o e
concurrentes en un punto)?
Soluci´n. Evidentemente una recta divide el plano en dos regiones, y dos
o
rectas no paralelas lo dividen en cuatro. Pero ya para tres rectas el problema
comienza a complicarse. Si trazamos unos cuantos diagramas veremos que
la tercera recta atraviesa siempre a tres de las cuatro regiones determinadas
por las dos primeras, pero no a la cuarta, y por lo tanto la respuesta para
tres rectas parece ser siete. ¿Pero podemos estar seguros de esto? ¿Y qu´ pa-
e
sar´ cuando tracemos la cuarta, la quinta y la sexta recta? Lamentablemente
a
los dibujos se complican demasiado, algunas rectas se cortan fuera de la ho-
ja y no es f´cil contar las regiones sin equivocarnos. Adem´s pareciera que
a a
la respuesta depende de como dibujemos las rectas. Volvamos entonces al
principio. ¿Podr´ imaginarse un problema an´logo un tanto m´s accesible?
ıa a a
Bueno, en vez de disminu´ el n´mero de rectas podemos disminu´ la di-
ır u ır
mensi´n, es decir considerar en cu´ntas regiones queda dividida una recta
o a
por cierto n´mero de puntos. Este problema s´ es f´cil, n puntos dividen a
u ı a
la recta en n + 1 regiones (a saber n − 1 segmentos y 2 semirrectas). ¿Y no
podemos aprovechar este resultado para el problema en el plano? Veamos,
si ya hemos trazado n − 1 rectas entonces al trazar la n-sima ´sta cortar´ a
e a
las anteriores en n − 1 puntos diferentes (por la hi´tesis de genericidad). Por
o
lo tanto la n-sima recta quedar´ dividida en n partes por esos puntos de
a
intersecci´n. Pero es claro que cada una de esas partes estar´ contenida por
o a
29. 2.3 Geometr´
ıa 25
completo en una regi´n de las determinadas por las primeras n − 1 rectas,
o
regi´n que quedar´ dividida en dos por la n-sima recta. Por lo tanto hemos
o a
descubierto que al trazar la n-sima recta el n´mero de regiones aumenta en
u
n unidades. Apliquemos ahora este resultado desde el comienzo y de mane-
ra sucesiva. Inicialmente hay una sola regi´n: el plano. Al trazar la primera
o
recta el n´mero de regiones aumenta en una unidad, y tendremos 1 + 1 = 2
u
regiones. Al trazar la segunda recta el n´mero de regiones aumenta en dos
u
unidades, y tendremos 2 + 2 = 4 regiones. Al trazar la tercera recta el n´me-
u
ro de regiones aumenta en tres unidades, y tendremos 4 + 3 = 7 regiones.
Hasta aqu´ los resultados concuerdan con lo que ya sab´
ı ıamos. Ahora resulta
f´cil continuar: para cuatro rectas son 7 + 4 = 11 regiones, para cinco rectas
a
son 11 + 5 = 16 regiones, para seis rectas son 16 + 6 = 22 regiones.
Visi´n retrospectiva: Resulta natural preguntarse cu´l ser´ el n´mero de re-
o a a u
giones en que queda dividido el plano por un n´mero n cualquiera de rectas
u
en posici´n gen´rica. Recordando que la suma de los enteros desde 1 hasta
o e
n es n(n + 1)/2 es f´cil obtener
a
1 + 1 + 2 + 3 + · · · + n = 1 + n(n + 1)/2 = (n2 + n + 2)/2
Hay otras generalizaciones y problemas similares a los cuales se puede aplicar
el mismo m´todo.
e
30. Cap´
ıtulo 3
Algunas Estrategias B´sicas
a
En este cap´ıtulo se enuncian algunas estrategias b´sicas y se ilustra su
a
aplicaci´n a la soluci´n de varios problemas, muchos de ellos tomados de
o o
competencias matem´ticas internacionales.
a
3.1. Figuras y diagramas
El proverbio una figura vale m´s que mil palabras tiene plena validez en
a
la resoluci´n de problemas matem´ticos. Por eso nuestra primera estrategia
o a
es:
Estrategia 1. Dibuje una figura o un diagrama siempre que sea
posible.
La importancia de este principio es obvia cuando se trata de resolver un
problema de geometr´ Pero hay muchos problemas que, sin ser de geome-
ıa.
tr´ admiten una interpretaci´n geom´trica, lo cual ampl´ mucho el verda-
ıa, o e ıa
dero alcance de esta estrategia. Los siguientes ejemplos ilustran lo dicho.
Problema 3.1.1 (Olimpiada Bolivariana 2000).
Sean a1 , A1 , a2 , A2 , a3 , A3 n´meros reales positivos tales que ai + Ai = k,
u
donde k es una constante dada.
a) Demostrar que
a1 A2 + a2 A3 + a3 A1 < k 2 .
