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Chap9

  1. 1. Chapter 9Fonctions g´n´ratrices des variables e eal´atoires ` valeurs dans N e aSommaire 9.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 9.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 9.3 Loi et fonction g´n´ratrice . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 9.4 Fonction g´n´ratrice et ind´pendance e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 9.5 Fonction g´n´ratrice et moments . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Objectifs:• Introduire un objet qui caract´rise la loi d’une variable al´atoire ` valeurs dans N: la fonction g´n´ratrice. e e a e e Mots-cl´s: e• fonction g´n´ratrice, rayon de convergence. e e Outils:• liens entre la loi et la fonction g´n´ratrice, e e• calcul de l’esp´rance et de la variance ` partir de la fonction g´n´ratrice. e a e e Techniques de d´monstration: R´sultats sur les s´ries enti`res. e e e e9.1 D´finition e D´finition 9.1 Soit X une variable al´atoire a valeurs dans N. On d´finit sa fonction g´n´ratrice gX par e e ` e e e +∞ gX (s) = sk P(X = k). k=0Remarque: 1. Si X ne prend qu’un nombre fini de valeurs, gX est un polynˆme en s, elle est donc d´finie sur R o etout entier. 2. Si X prend un nombre d´nombrable de valeurs, gX est une s´rie enti`re en s: on doit donc se demander pour e e equelles valeurs de s cette s´rie est bien d´finie. La th´orie des s´ries enti`res assure qu’il existe RX tel que e e e e e • si |s| < RX , alors gX (s) converge (et mˆme converge absolument) e • si |s| > RX , alors gX (s) diverge, 68
  2. 2. • si |s| = RX , on ne sait pas.Cette grandeur RX est appel´e rayon de convergence de gX . Remarquons ici que e +∞ +∞ gX (1) = 1k P(X = k) = P(X = k) = 1, k=0 k=0et donc RX > 1. la fonction g´n´ratrice d’une variable al´atoire ` valeurs dans N est toujours d´finie au moins sur [−1, 1]. e e e a e 3. Par la formule de transfert, on remarque que quand gX (s) est fini, on a gX (s) = E(sX ).9.2 CalculsLoi de Bernoulli de param`tre p e gX (s) = ps1 + (1 − p)s0 = (1 − p) + ps.Le rayon de convergence est +∞.Loi binomiale de param`tres n, p e n n n k n gX (s) = p (1 − p)n−k sk = (ps)k (1 − p)n−k = (1 − p + ps)n . k k k=0 k=0Le rayon de convergence est +∞.Loi uniforme sur {0, 1, . . . , n} n 1 k 1 1 − sn+1 gX (s) = s = . n+1 n+1 1−s k=0Attention, cette formule n’est valable que pour s = 1, mais on peut la prolonger par continuit´ par 1 en 1. eLe rayon de convergence est +∞.Loi g´om´trique de param`tre p e e e +∞ +∞ gX (s) = sk p(1 − p)k−1 = ps ((1 − p)s)k−1 . k=1 k=1On reconnait la s´rie g´om´trique de raison (1 − p)s: elle converge si et seulement si e e e 1 |(1 − p)s| < 1 ⇔ |s| < . 1−p 1 1Le rayon de convergenc est donc 1−p > 1 et pour tout |s| < 1−p , ps gX (s) = . 1 − (1 − p)sLoi de Poisson de param`tre λ e +∞ +∞ λk (λs)k gX (s) = sk exp(−λ) = exp(−λ) . k! k! k=0 k=0On reconnait la s´rie exponentielle, donc le rayon de convergence est +∞ et e gX (s) = exp(−λ + λs) = exp(−λ(1 − s)). 69
  3. 3. 9.3 Loi et fonction g´n´ratrice e e Th´or`me 9.2 Soit X une variable al´atoire a valeurs dans N. Sa fonction g´n´ratrice gX est infiniment d´rivable e e e ` e e e sur ] − RX , RX [, et la d´riv´e n-`me est donn´e par e e e e +∞ (n) gX (s) = k(k − 1) . . . (k − n + 1)P(X = k)sk−n = E(X(X − 1) . . . (X − n + 1)sX−n ). k=n En particulier, (n) gX (0) ∀n ∈ N, P(X = n) = . n! Ceci signifie que la fonction g´n´ratrice caract´rise la loi. e e e D´monstration: C’est le th´or`me de d´rivation d’une s´rie enti`re (et le th´or`me de transfert pour e e e e e e e e la deuxi`me formule) e♦ En pratique: Pour retrouver la loi si on connait la fonction g´n´ratrice, on regarde les d´riv´es successives en e e e e0: (n) g (0) ∀n ∈ N, P(X = n) = X . n!9.4 Fonction g´n´ratrice et ind´pendance e e e Proposition 9.3 Soit X et Y deux variables al´atoires ind´pendantes a valeurs dans N. Alors e e ` gX+Y (s) = gX (s)gY (s). D´monstration: Comme X et Y sont ind´pendantes, e e gX+Y (s) = E(sX+Y ) = E(sX sY ) = E(sX )E(sY ) = gX (s)gY (s).♣ Exercice: Soit X et Y deux variables al´atoires ind´pendantes de lois de Poisson de param`tres respectifs λ > 0 e e eet µ > 0. D´terminer, en calculant sa fonction g´n´ratrice, la loi de X + Y . e e e♣ Exercice: Soit X1 , X2 , ..., Xn des vaiid de loi de Bernoulli de param`tre p. D´terminer la loi de X1 +X2 +· · ·+Xn . e e9.5 Fonction g´n´ratrice et moments e e Proposition 9.4 Soit X une variable al´atoire a valeurs dans N de rayon de convergence RX > 1. Alors X admet e ` des moments de tout ordre et +∞ (n) ∀n ≥ 0, gX (1) = k(k − 1) . . . (k − n + 1)P(X = k)1k−n = E(X(X − 1) . . . (X − n + 1)). k=n En particulier, gX (1) = E(X) et gX (1) = E(X(X − 1)). D´monstration: C’est une application de la formule de la d´riv´e n-i`me. e e e eRemarque: En fait, on a un r´sultat plus fort quand RX = 1: X est int´grable si et seulement si GX est d´rivable e e e1. On n’utilisera pas ce r´sultat cette ann´e. e e 70
  4. 4. ♣ Exercice: Calculer ` l’aide de la fonction g´n´ratrice l’esp´rance et la variance de la loi g´om´trique de param`tre a e e e e e ep et de la loi de Poisson de param`tre λ. e 71

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