1. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 29
4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA
2. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 30
2
30°
33133
2
16
28
15
31
21533
123 224 162
115115
4. Statički proračun stubišta
4.1. Stubišni krak
4.1.1. Analiza opterećenja
Slika 4.1. Tlocrt i poprečni presjek stubišnog kraka i podesta
3. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 31
Krakovi stubišta ponašaju se kao uzdužno nosive ploče, dok su podesti poprečno nosivi.
Proračun za takav sustav, koji je u nastavku primijenjen, nalazi se u knjizi Betonske konstrukcije –
riješeni primjeri; Radić i suradnici; Zagreb 2006. (str. 111-118.).
Stalno opterećenje:
Parket na nagaznoj površini: n
P P
0,31
= 0,03 6,5 =
0,28
a
d γ
a
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ......................... 0,22 kN/m2
Parket vertikale gazišta: v
P P
0,13
= 0,02 6,5 =
0,28
b
d γ
a
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ......................... 0,06 kN/m2
Estrih na nagaznoj površini stube: M M 0 03 21d ,γ⋅ = ⋅ = ......................................... 0,63 kN/m2
Žbuka vertikale gazišta: M M
0,16
= 0,02 21=
0,28
b
d γ
a
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ............................ 0,24 kN/m2
Stube:
0 16
25
2 2
b ,
γ⋅ = ⋅ = ............................................. 2,00 kN/m2
AB ploča 15 cm:
0 15 25
=
cos cos30
h ,γ
α
⋅ ⋅
=
°
........................................... 4,33 kN/m2
Žbuka – podgled: M 0 02 18
=
cos cos30
d ,γ
α
⋅ ⋅
=
°
...........................................0,42 kN/m2
Ukupno stalno………..……………...…………..…………………..………. kg = 7,90 kN/m2
Korisno opterećenje:
Uporabno opterećenje za stubišta…….……………...…………………………….. 3,00 kN/m2
Ukupno korisno………..…………...…………..…………………..…..…… kq = 3,00 kN/m2
U gornjim izrazima:
a – širina stube
na – širina nagazne površine
b – visina stube
vb – visina vertikale nagazne površine
h – visina AB ploče
d – debljine slojeva
γ – jedinične težine materijala
4.1.2. Statički proračun
4. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 32
4.1.2.1. Karakteristične vrijednosti momenata savijanja i poprečnih sila
Slika 4.2. Statička shema opterećenja stubišta i dijagram momenata savijanja
Karakteristične vrijednosti reakcija i poprečnih sila nad ležajem:
kN/m9,21=
3,19
3
621
2
242
24297
=
L
32
==
p2S
Sk
g
k
g
k
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⋅⋅ ,,
,,
bL
Lg
VR
kN/m3,5=
3,19
3
621
2
242
24203
=
L
32
==
p2S
Sk
q
k
q
k
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⋅⋅ ,,
,,
bL
Lq
VR
Položaj maksimalnog momenta savijanja u polju (mjesto gdje je poprečna sila jednaka nuli):
Dijagram poprečne sile je horizontalan od oslonca do početka kraka (nema opterećenja). Položaj
nultočke određuje se od mjesta gdje počinje krak (dijagram poprečnih sila ima nagib).
g, q
A B
b =1,23P1 b =1,62P2L =2,24s
1
3bP1
1
3bP2
g, q
L=3,19
5. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 33
m1,17=,21/7,99=/gg
kVx = s obzirom na to da su stalno i korisno opterećenje na istom mjestu na
nosaču, položaj je proračunat za stalno opterećenje – isti rezultat bi se dobio za korisno i za
proračunsko opterećenje.
Udaljenost maksimalnog momenta savijanja od ležaja A: m581171
3
231
=x
3
p1
,,
,b
'x =++=
Karakteristične vrijednosti momenata savijanja u polju:
kNm/m9,14=
2
1717,90
-1,589,21=
2
=
22
kg
k
g
k
,xg
'xRM
⋅
⋅
⋅
−⋅
kNm/m3,48=
2
17103
-1,583,5=
2
=
22
kq
k
q
k
,,xq
'xRM
⋅
⋅
⋅
−⋅
4.1.2.2. Proračunske vrijednosti momenta savijanja i poprečne sile
Proračunska poprečna sila nad ležajem:
kN/m6817535121935151351 q
k
g
kEd ,,,,,V,V,V =⋅+⋅=⋅+⋅=
Proračunski moment savijanja u polju:
m/m56174835114935151351 q
k
g
kEd kN,,,,,M,M,M =⋅+⋅=⋅+⋅=
4.1.3. Dimenzioniranje uzdužne armature
Materijal:
Beton: C20/25
( ck ck,cubeC f / f valjak/kocka)
cdf – proračunska čvrstoća betona
22
C
ck
cccd kN/cm3331N/mm331301
51
20
01 ,,,
,
,
f
f =⋅=⋅=⋅=
γ
α
Čelik: B500B
( yk tk 500 540f / f /= )
ydf – proračunska granica popuštanja čelika
22
S
yk
yd kN/cm47843N/mm78434
151
500
,,
,
f
f ====
γ
6. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 34
Visina ploče stubišta: 15h = cm
Zaštitni sloj betona (razred izloženosti XC1): 2 0c ,= cm
Udaljenost do težišta armature: 1 2 2 0 1 0 2 2 5d c / , , / ,φ= + = + = cm
Statička visina presjeka: 1 15 2 5 12 5d h d , ,= − = − = cm
Bezdimenzijski moment savijanja:
29600840
3331512100
1756
lim2
cd
2
Ed
Ed ,,
,,fdb
M
=<=
⋅⋅
=
⋅⋅
= μμ
Za Rd 0 085,μ = očitano:
cε = -2,7 ‰ ξ = 0,119
s1ε = 20,0 ‰ ζ = 0,953
Potrebna površina armature u polju:
/mcm393
478435129530
1756 2
yd
Ed
reqs1, ,
,,,fd
M
A =
⋅⋅
=
⋅⋅
=
ζ
Razdjelna armatura:
1. uvjet 2
s1,raz s1,prov0 2 0 2 3 93 0 79 cm /mA , A , , ,= ⋅ = ⋅ =
2. uvjet 2
s1,raz c0 001 0 001 100 12 5 1 25 cm /mA , A , , ,= ⋅ = ⋅ ⋅ = → mjerodavno
Minimalna armatura za polje:
2
s1,min 0 0013 0 0013 100 12 5 1 63 cm /mA , b d , , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = → mjerodavno
2ctm
s1,min
yk
2 2
0 26 0 26 100 12 5 1 43 cm /m
500
f ,
A , b d , , ,
f
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
– gdje je ctmf vlačna čvrstoća betona
Maksimalna armatura za polje:
2
s1,max c0 040 0 040 100 15 60 0 cm /mA , A , ,= ⋅ = ⋅ ⋅ =
2
s1,max c0 022 0 022 100 15 33 0 cm /mA , A , ,= ⋅ = ⋅ ⋅ =
7. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 35
2cd
s1,max lim
yd
13 33
0 365 100 12 5 13 99 cm /m
434 78
f ,
A b d , , ,
f ,
ω= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = → mjerodavno
– limω varira ovisno o razredu betona
Odabrana armatura mora biti veća od potrebne i mora se nalaziti u području između minimalne i
maksimalne armature: maxs1,provs1,mins1, AAA <<
Glavna armatura:
ODABRANO: 2 2
s1,prov s1,req10/20cm ( =3 93 cm /m) 3 39 cm /mA , A ,φ > =
Razdjelna armatura:
ODABRANO: 2 2
s1,raz,prov s1,raz,req8/25cm ( =2 01cm /m) 1 25 cm /mA , A ,φ > =
Napomena: Proračunatom armaturom za polje armira se i područje spoja podesta i kraka
stubišta.
4.1.4. Dimenzioniranje poprečne armature
– nosivost elementa na poprečne sile bez poprečne armature:
( )
1 3
Rd,c Rd,c l ck 1 cp100
/
V C k f k b dρ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
⎣ ⎦
Rd,c 0 18 1 5 0 12C , / , ,= =
200 200
1 1 2 26 2 0
125
k , ,
d
= + = + = < – d → statička visina u [mm]
2
s1,prov 3 93 cmA ,= – ploština vlačne armature u ploči po m'
s1
1
3 93
0 00314 0 02
100 12 5
A ,
, ,
b d ,
ρ = = = <
⋅ ⋅
1 0 15k ,=
cp 0σ =
1000 mmb = – širina ploče u vlačnom području
( )
1 3
Rd,c Rd,c l ck 1 cp100
/
V C k f k b dρ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
⎣ ⎦
( )
1 3
Rd,c 0 12 2 00 100 0 00314 20 0 15 0 1000 125 55348 7 N 55 35 kN
/
V , , , , , ,⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = =
⎣ ⎦
8. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 36
– minimalna vrijednost za Rd,cV je:
3 2 1 2 3 2 1 2
min ck0 035 0 035 2 20 0 443/ / / /
v , k f , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
( ) ( )Rd,c,min min 1 cp 0 443 0 1000 125 55339 8 N 55 34 kNV v k b d , , ,σ= + ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = =
– provjera:
kN3555kN6817 cRd,Ed ,V,V =<= → Nije potrebno proračunati poprečnu armaturu.
9. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 37
2
30°
33133
2
16
28
15
31
21533
123 224 162
115115
4.2. Podest
4.2.1. Analiza opterećenja
Slika 4.3. Tlocrt i poprečni presjek stubišnog kraka i podesta
10. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 38
Stalno opterećenje:
Parket na nagaznoj površini: P P = 0,03 6,5 =d γ⋅ ⋅ .…………...…………………… 0,20 kN/m2
Estrih: M M 0 03 21 0d , ,γ⋅ = ⋅ = ...……………………………. 0,63 kN/m2
Žbuka: M 0 02 18 0d , ,γ⋅ = ⋅ = ...………………………………0,36 kN/m2
AB ploča 15 cm: =0 15 25h ,γ⋅ ⋅ = …..…………….……….…………. 3,75 kN/m2
Ukupno stalno………..……………...…………..…………………..………. kg = 4,94 kN/m2
Korisno opterećenje:
Uporabno opterećenje za stubišta…….……………...…………………………….. 3,00 kN/m2
Ukupno korisno………..…………...…………..…………………..…..…… kq = 3,00 kN/m2
4.2.2. Statički proračun
4.2.2.1. Karakteristične vrijednosti momenata savijanja i poprečnih sila
Proračunska duljina ploče podesta:
cmhLL 24515
2
1
2230
2
1
2p =⋅⋅+=⋅⋅+=
– gdje je: L – duljina podesta (u smjeru nosivosti)
h – debljina ploče
Karakteristične vrijednosti reakcija i poprečnih sila nad ležajem:
kN/m33,57=
31,232
2,45219
+
2
2,454,94
=
322
==
p1
p
g
k,stub.pkg
k
g
k
⋅
⋅⋅
⋅
⋅
+
⋅ ,
b
LRLg
VR
kN/m14,13=
31,232
2,453,5
+
2
2,453,00
=
322
==
p1
p
q
k,stub.pkq
k
q
k
⋅
⋅⋅
⋅
⋅
+
⋅
b
LRLq
VR
Karakteristične vrijednosti momenata savijanja u polju:
kNm/m20,56=
31,238
2,459,21
+
8
2,454,94
=
388
=
22
p1
2g
stub.k,
2
kg
k
pp
⋅
⋅⋅
⋅
⋅
+
⋅
b
LRLg
M
kNm/m8,66=
31,238
2,453,5
+
8
2,453,0
=
388
=
22
p1
2q
k,stub.
2
kq
k
pp
⋅
⋅⋅
⋅
⋅
+
⋅
b
LRLq
M
11. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 39
– gdje su: q
k,stub.
g
k,stub. ; RR ; q
k,stub.
g
k,stub. ;VV – karakteristične reakcije i poprečne sile kraka stubišta
nad ležajem
p1b – širina podesta
4.2.2.2. Proračunske vrijednosti momenta savijanja i poprečne sile
Proračunska poprečna sila nad ležajem:
kN/m5166131451573335151351 q
k
g
kEd ,,,,,V,V,V =⋅+⋅=⋅+⋅=
Proračunski moment savijanja u polju:
kNm/m,,,,,M,M,M g
d 754066851562035151351 q
kkE =⋅+⋅=⋅+⋅=
4.2.3. Dimenzioniranje uzdužne armature
Materijal:
Beton: C20/25
( ck ck,cubeC f / f valjak/kocka)
cdf – proračunska čvrstoća betona
22
C
ck
cccd kN/cm3331N/mm3313
51
20
01 ,,
,
,
f
f ==⋅=⋅=
γ
α
Čelik: B500B
( yk tk 500 540f / f /= )
ydf – proračunska granica popuštanja čelika
22
C
yk
yd kN/cm47843N/mm78434
151
500
,,
,
f
f ====
γ
Visina ploče stubišta: 15h = cm
Zaštitni sloj betona (razred izloženosti XC1): 2 0c ,= cm
Udaljenost do težišta armature: 1 2 2 0 1 2 2 2 6d c / , , / ,φ= + = + = cm
Statička visina presjeka: 1 15 2 6 12 4d h d , ,= − = − = cm
12. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 40
Polje
Bezdimenzijski moment savijanja:
29601990
3331412100
4075
lim2
cd
2
Ed
Ed ,,
,,fdb
M
=<=
⋅⋅
=
⋅⋅
= μμ
Za Rd 0 200,μ = očitano:
cε = -3,5 ‰ ξ = 0,280
s1ε = 9,0 ‰ ζ = 0,884
Potrebna površina armature u polju:
/mcm558
478434128840
4075 2
yd
Ed
reqs1, ,
,,,fd
M
A =
⋅⋅
=
⋅⋅
=
ζ
Razdjelna armatura:
Razdjelna armatura je uzdužna armatura iz kraka stubišta cmφ10/20 .
Minimalna armatura za polje:
2
s1,min 0 0013 0 0013 100 12 4 1 61cm /mA , b d , , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = → mjerodavno
2ctm
s1,min
yk
2 2
0 26 0 26 100 12 4 1 42 cm /m
500
f ,
A , b d , , ,
f
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
Maksimalna armatura za polje:
2
s1,max c0 040 0 040 100 15 60 0 cm /mA , A , ,= ⋅ = ⋅ ⋅ =
2
s1,max c0 022 0 022 100 15 33 0 cm /mA , A , ,= ⋅ = ⋅ ⋅ =
2cd
s1,max lim
yd
13 33
0 365 100 12 4 13 88cm /m
434 78
f ,
A b d , , ,
f ,
ω= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = → mjerodavno
Odabrana armatura mora biti veća od potrebne i mora se nalaziti u području između minimalne i
maksimalne armature: maxs1,provs1,mins1, AAA <<
Glavna armatura:
ODABRANO: 2 2
s1,prov s1,reqcm ( =9 42 cm /m) 8 51cm /mA , A ,φ12 /12 > =
13. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 41
Razdjelna armatura:
Razdjelna armatura je uzdužna armatura iz kraka stubišta cmφ10/20 .
Ležaj
Moment savijanja nad ležajem uzima se kao četvrtina momenta savijanja u polju.
Bezdimenzijski moment savijanja:
29600500
3331412100
4075250
lim2
cd
2
Ed
Ed ,,
,,
,
fdb
M
=<=
⋅⋅
⋅
=
⋅⋅
= μμ
Za Rd 0 050,μ = očitano:
cε = -1,8 ‰ ξ = 0,083
s1ε = 20,0 ‰ ζ = 0,970
Potrebna površina armature nad ležajem:
/mcm951
478434129700
4075250 2
yd
Ed
reqs1, ,
,,,
,
fd
M
A =
⋅⋅
⋅
=
⋅⋅
=
ζ
ODABRANO: 2 2
s1,prov s1,req8 cm ( =2 51cm /m) 1 94 cm /mA , A ,φ / 20 > =
4.2.4. Dimenzioniranje poprečne armature
– nosivost elementa na poprečne sile bez poprečne armature:
( )
1 3
Rd,c Rd,c l ck 1 cp100
/
V C k f k b dρ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
⎣ ⎦
Rd,c 0 18 1 5 0 12C , / , ,= =
200 200
1 1 2 27 2 0
124
k , ,
d
= + = + = < – d → statička visina u [mm]
2
s1,prov 9 42 cmA ,= – ploština vlačne armature u ploči po m'
s1
1
9 42
0 00759 0 02
100 12 4
A ,
, ,
b d ,
ρ = = = <
⋅ ⋅
1 0 15k ,=
14. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i Prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 42
cp 0σ =
1000 mmb = – širina ploče u vlačnom području
( )
1 3
Rd,c Rd,c l ck 1 cp100
/
V C k f k b dρ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
⎣ ⎦
( )
1 3
Rd,c 0 12 2 00 100 0 00759 20 0 15 0 1000 124 73686 9 N 73 69 kN
/
V , , , , , ,⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = =
⎣ ⎦
– minimalna vrijednost za Rd,cV je:
3 2 1 2 3 2 1 2
min ck0 035 0 035 2 20 0 443/ / / /
v , k f , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
( ) ( )Rd,c,min min 1 cp 0 443 0 1000 124 54932 N 54 93 kNV v k b d , ,σ= + ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = =
– nosivost:
kN6973kN5166 cRd,Ed ,V,V =<= → Nije potrebno proračunati poprečnu armaturu.
*Napomena: U nastavku je dana skica armiranja stubišta radi uvida u postavljanje proračunate
armature. Studenti nisu obavezni crtati armaturu stubišta.
