La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.

1. Matemáticas Avanzadas II
ECUACIONES DIFERENCIALES CON
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ing. Tecnologías de la producción
“8°A”
Presenta:
Diana Laura Ochoa Gallegos.
Jeniffer Luna López.
Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz. 31-01-15

2. En este documento encontraras un ejercicio resuelto mediante la utilización de la
transformada de Laplace se resolverá con la definición ∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
∞
0
, también
utilizaremos fracciones parciales y anti-transformada de Laplace.
L{ 𝑒𝑑} Utilizar Algebra Anti-transformada de Laplace
Solución de la ecuación Diferencial.
TRANSFORMADA DE LAPLACE ECUACIÓN DIFERENCIAL
y´´+3y´+2y=𝒆−𝒕
condición: 𝑦(0) = 𝑦´(0) = 0
L{ 𝑒−𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡∞
0
( 𝑒−𝑡) 𝑑𝑡
=∫ 𝑒−( 𝑠 + 1) 𝑡 𝑑𝑡
∞
0
=[−
1
𝑠+1
𝑒−𝑠𝑡
] 𝑏
0
F lim
𝑏→∞
[−
1
𝑠+1
𝑒−𝑠𝑏
− (−
1
𝑠+1
𝑒−𝑠(0)
]
Flim
𝑏→∞
[−
1
𝑠+1
𝑒−𝑠𝑏
+
1
𝑠+1
(𝑒0
)]
L{ 𝑒−𝑡} = −
1
𝑠+1𝑒 𝑠∞
+
1
𝑠+1
(1)
L{ 𝑒−𝑡} = −
1
𝑠+1𝑒 𝑠∞
+
1
𝑠+1
L{ 𝑒−𝑡} =
1
𝑠+1
L𝑦´´ + 3𝑦´ + 2𝑦 =
1
𝑠+1
L[ 𝑦´´] + 3 L[ 𝑦´]+ 2 L[ 𝑦] =
1
𝑠+1
S𝑠2 L[ 𝑦] − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0) + 3𝑠 L[ 𝑦] − 3𝑦(0) + 2 L[ 𝑦] =
1
𝑠+1
=0
Se convierte a0 porque 1 entre ∞si se
puede dividir.
= 0 = 0= 0 Sustituimosconcondicióninicial.

3. TenemosComofactor común
L[ 𝑦]( 𝑠2
+ 3𝑠 + 2) =
1
𝑠+1
Despejamos
L[ 𝑦] =
1
(𝑠+1)2(𝑠+2)
RESOLVER POR FRACCIONES PARCIALES
F 𝑦( 𝑡) = (
1
(𝑠+1)2(𝑠+2)
)
F
1
(𝑠+1)2(𝑠+2)
=
𝐴
𝑠+1
+
𝐵
(𝑠+1)2
+
𝐶
𝑠+2
A(s2+3s+2)+B(s+2)+c(s2+2s+1)=1
AS2+3AS+2A +BS+2B+CS2+2CS+C=1
A+C =0
3A +B +2C = 0
2A + 2B +C = 1
-3C + B +2C =0
B = 0
-2C + 2C + C=1
C = 1
A = -1
B= 1

4. SUSTITUIRPARA RESOLVERLA ANTI-TRANSFORMADA
F 𝑦( 𝑡) =L-1[−
1
𝑠+1
+
1
(𝑠+1)2
+
1
𝑠+2
]
F 𝑦( 𝑡) = −𝑒−𝑡
+ 𝑡𝑒−𝑡
+ 𝑒−2𝑡
TABLA ANTI -TRANSFORMADA DE LAPLACE