eminecan06[at]gmail.com

1. BYM506E-Electromagnetic Waves in Medicine 2010 - Bahar Cebirsel Görüntü Elde Etme Algoritmaları(Algebraic Reconstruction Algorithms) Emine Can Istanbul Teknik Üniversitesi Biyomedikal Mühendisliği Yüksek Lisans Programı

2. İçindekiler Görüntü Elde Etme Yöntemleri Sınıflandırma Tekrarlı Yöntem Görüntü İzdüşüm Gösterimi Ray Sum Kaczmarz Yöntemi Doğru Sonuca Ulaşmayı Etkileyen Faktörler Uygulama Çeşitleri ART SIRT SART

4. İzdüşümlerin 180o-360o’de düzgün dağılmaması

5. Avantajı: Daha basit

7. Tekrarlı Yöntem Temel düşünce: 1- Ölçülen veri ile bağlantılı olarak tahmini cisim yaratma 2- Tahmini cisimin izdüşümlerini hesaplama 2- Gerçek izdüşüm ile ve hesaplanan izdüşüm verileri arasındaki farkı hesaplama 3- Farka göre tahmini cisim değerlerin düzeltilmesi 4- Sonuç tatmin edene kadar ölçümü tekrarlama

10. RAY-SUM M: Toplam ışın sayısı Ağırlık faktörü: i ışını tarafından = j karesinde kaplanan alan karenin toplam alanı

11. Kaczmarz Method 1 İki değişkenli ray-sum denklemleri: 2 f1 f2 Stevan Kaczmarz Polonyalı Matematikçi:1895-1940 Lviv (Lemberg) Galicia, Austria-Hungary

12. Kaczmarz Yöntemi f2 Tek çözüm noktası X(f1, f2) f(2) f(1) Başlangıçta tahmini nokta  f(0) f1

13. Kaczmarz yöntemi matematiksel hesabı ‘ i bulmak için 1. denklemde ‘ı yerine koy ‘yi bulmak için 2. denklemde ‘i yerine koy. ‘yi bulmak için i. denklemde ‘ i yerine koy.

14. İspatı:

15. f2 üzerindeki herhangi bir C noktasını belirten bir vektörünün üzerindeki izdüşümünün uzunluğu sabittir.  f(1) G H  Başlangıçtaki tahmini nokta f(0) vektörü ‘i ifade eder ve ‘e dik bir vektördür. C f1 O U A D F

16. boyunca birim vektör tanımı: O ‘in merkeze olan dik uzaklığı:

17. ‘i elde etmek için ‘dan çıkarılır. vektörünün uzunluğu: O vektörünün yönü birim vektörün yönü ile aynı olduğundan aşağıdaki gibi yazılabilir:

18. Doğru Sonuca Ulaşmayı Etkileyen Faktörler İki doğrusunun biriyle yaptığı açı: Eğer p1 ve p2 birbirine dik olsalardı 2 adımda tam doğru sonuca ulaşılabilirdi. ve arasındaki açı çözüme yaklaşma aralığını (convergence range) etkiler. M tane doğrusu birbirilerine dik olsalardı doğru sonuca ulaşmamız için sadece M tane denklemden geçmemiz yeterli olurdu.

19. 2) p doğrularının yakınlığı: Kabul ettiğimiz geometriye göre komşu doğrular birbirine paraleldir. Bu nedenle birbirine uzak dogruları seçmek doğru sonuca ulaşma olasılığını artırır.

20. 2 ) M ve N oranı: M>N ise ( doğru denklemi sayısı bilinmeyen sayısından fazla ise) bir tek çözüm yoktur. Kaczmarz yönteminin sonucu doğruların birbirine en yaklaştığı yeri gösterir. N>M ise tek bir sonuç yoktur, sonsuz sayıda sonuç çıkar.

21. M>N f2 2 değişkenli bir sistemin 3 doğru denklemi ile ifadesi Başlangıçta tahmini nokta f1

22. Yukarıdaki formülde: formülün hesaplaması, sonucun saklanması,ağırlık katsayılarının düzeltilip yeniden işleme konması gerekli ağırlık sayısı arttıkça zorlaşır. Kaczmarz yöntemi uygulama problemi

23. Çözüm: Kaczmarz denklemini daha uygulanabilir bir hale getirmek IN OUT

24. (i-1) sonucuna bağlı olarak hesaplanmış pi değeri. (i-1) numaralı çözümün İ. doğruda izdüşümünü aldığımızda bir önceki değeri olan j elemanının bir sonraki değeri hata farkı hesaplanarak elde edilir.

25. Uygulama Çeşitleri ART (MART) Multiplicative Algebric Reconstruction Technique SIRT Simultaneous Iterative Reconstruction Technique SART (SMART) Simultaneous Multiplicative Algebric Reconstruction Technique Dr. Richard Gordon Professor, Department of Radiology, University of Manitoba

26. ART (MART) (Multiplicative Algebric Reconstruction Technique)- Yöntemi Kaczmarz denklemindeki ağırlıklıkara , ışının karenin merkezinden geçip geçmediğine bağlı olarak 1 ve 0 olarak değer verilir. Bilgisayarda uygulama kolaylaşır. Bu durumda denklemin paydası yandaki gibi basitleşir. Ni = Merkezleri gelen ışının içinde kalan görüntü karelerinin sayısı Düzeltme faktörünün aldığı son şekil:

27. yaklaşık değer olarak atatığımızdan dolayı görüntüde oluşan değerler, formül aşağıdaki şekilde değiştirilerek, çözülebilir. : i ışınının görüntü bölgesine düşen uzunluğu

28. ART Hatası ve Yumuşatma Katsayısı Ağırlıkları 1 ve 0 olarak kabullenmenin yaratacağı gürültüler ART’de oluşabilecek hatadır. Gürültüyü azaltmak için “hata farkı” “yumuşatma katsayısı” ile çarpılır. Tekrar sayısı arttıkça alfa değeri küçülür şekilde ayarlanabilir.

29. SIRT ( Simultaneous Iterative Reconstruction Technique) Hata farkı ART ile aynı şekilde hesaplanır, fakat düzeltme işlemi her projeksiyondan sonra değil tüm izdüşümler tamamlandığında, eş zamanlı olarak yapılır. Böylece bir izdüşümdeki hata diğerine daha az yansır. Sonuç: kalitede artış & yakınsamada yavaşlama

30. SMART = SART= SIRT+(M)ART ART deki gibi hata hesabı yapılır ve hata düzeltme işlemi bir izdüşümde tüm ışınlara eşzamanlı olarak uygulanır. Hata ışın boyunca geriye yayılır Sürekli olan görüntünün ışın integrallerine bilineer elemanlar kullanılarak aralıklı (discrete) bir yaklaşım uygulanır, hatayı azaltır. Bu uygulama tek iterasyonda (tekrarda) daha iyi sonuç verir. ARTye göre hesaplamada avantajlıdır. Ultrason ve Mikrodalga Tomografisinde kullanılır. ( Bu görüntüleme sistemlerinde ışın yoğunluğu ışın geometrisinin kavisli olmasından dolayı görüntü boyunca değişen oranlardadır) SIRT ‘daki gibi eş zamanlı tekrar basamakları vardır. Heuristickullanım: Hamming window Sonuç: Kalitede artış& Hızlı yakınsama Tek iterasyonda anlamlı sonuç verme.

31. İleri İzdüşüm Yöntemi Modellemesi Temel fonksiyon Aralıklı ( discrete) fonksiyon haline getirme:

32. SART Matematiksel Modeli

33. Uygulama 128X128 matris Her biri 127 ışınlı 100 izdüşüm( projeksiyon)

36. Karşılaştırma Doğru izdüşümü Işın izdüşümü

37. Teşekkürler..! Kaynak: Kak Avinash C., Slaney Malcolm, “Principles of Computerized Tomographic Imaging” 1999