Este documento presenta varios ejercicios relacionados con el cálculo del volumen de sólidos de revolución utilizando los métodos de los discos y de las capas. Incluye ejemplos de cómo formular e integrar expresiones para encontrar el volumen al girar diferentes regiones planas alrededor de ejes u otras líneas. También cubre la verificación del volumen de figuras geométricas como esferas y conos mediante estos métodos.

1. Actividades para el estudiante
TALLER
A. En los ejercicios siguientes, formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado
al girar la región alrededor del eje x.
1.
3.
2.
4.
B.- En los ejercicios siguientes formular la integral que da el volumen del sólido generado al girar la
región alrededor del eje y
5.
6.
64

2. C. En los ejercicios siguientes encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por
las graficas de las ecuaciones al girar alrededor de las rectas dadas.
7. y = x, y = 0,
a) el eje x
8. y = 2 x 2 , y = 0,
x =4
b) el eje y
a) el eje y
c) la recta x=4
d) la recta x=6
9. y = x 2 , y = 4 x − x 2
c) la recta y=8
10. y = x + 6,
a) el eje x
a) el eje x
b) la recta y=6
11. Si la porción de la recta y =
x =2
b) el eje x
d) la recta x=2
y = 6 − 2x − x2
b) la recta y=3
1
x , que queda en el primer cuadrante se gira alrededor del eje x,
2
se genera un cono. Encontrar el volumen del cono que se extiende de x=0 a x=6.
12. Usar el método de discos para verificar que el volumen de un cono circular recto es
1 3
π h,
r
3
donde r es el radio de la base y h es la altura.
TAREA
A. En los ejercicios siguientes, formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado
al girar la región alrededor del eje x.
1.
2.
B.- En los ejercicios siguientes formular la integral que da el volumen del sólido generado al girar la
región alrededor del eje y
65

3. 3.
4.
C. En los ejercicios siguientes encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por
las graficas de las ecuaciones al girar alrededor de la recta y=4.
5. y = x y = 3,
7. y =
1
,
1+ x
x =0
y = 0, x = 0, x = 3
6. y =
1 3
x , y = 4,
2
8. y = sec x,
x =0
y = 0, 0 ≤ x ≤
9. Usar el método de discos para verificar el volumen de una esfera
π
3
4 3
π .
r
3
10. Una esfera de radio r es cortada por un plano situado h (h<r) unidades sobre el ecuador.
Encontrar el volumen del sólido (el segmento esférico) sobre el plano.
11. Un cono de altura H con base de radio r es cortado en un plano paralelo a la base y situado h
unidades sobre ella. Encontrar el volumen del sólido (el tronco de un cono) que queda debajo del
plano.
1.7.3 Calculo de Volumen por el método de las capas
En esta sección se estudiará un método alternativo para encontrar el volumen de un sólido de
revolución. El método se denomina método de las capasporque usa capas cilíndricas. Más
adelante, en esta sección, se hará una comparación de las ventajas de los métodos de los discos y
de las capas.
Para iniciar consideremos un rectángulo representativo como se muestra en la figura 1.7.12, donde
w es la anchura del rectángulo, h es la altura y p es la distancia entre el eje de revolución y el
centro del rectángulo.
66

4. Cuando este rectángulo gira alrededor de su
eje de revolución, forma una capa cilíndrica (o
tubo) de espesor w. Para encontrar el volumen
de esta capa, considerar dos cilindros. El radio
del cilindro más grande corresponde al radio
exterior de la capa y el radio del cilindro más
pequeño corresponde el radio interno de la
capa. Porque p es el radio medio de la capa, se
sabe que el radio exterior es p+(w/2) y el radio
interno es p - (w/2).
Figura 1.7.12
p+
w
Radio externo
2
y
p−
w
2
Radio interno
Así que el volumen de la capa es:
Volumen de la capa = (volumen del cilindro) - (volumen de hueco)
2
2
w
w


V = π p +  h −π p −  h
2
2


V = 2π
phw
V = 2π( radio medio)( altura )(espesor )
Esta fórmula se puede utilizar para calcular el volumen de un sólido de revolución.
Asumir que la región plana en la figura 1.7.13, gira alrededor de una recta para formar el sólido
indicado.
Figura 1.7.13
y
Si se considera un rectángulo horizontal de anchura ∆ , entonces, cuando la región plana gira
alrededor de la recta paralela al eje x, el rectángulo genera una capa representativa cuyo volumen
es:
∆V = 2π [ p ( y ) h( y ) ]∆y
67

5. Se puede aproximar el volumen del sólido por n capas de espesor
∆ , de altura h(y) y radio
y
medio p(yi).
n
n
i =1
i =1
Volumen del sólido ≈ ∑2π [ p ( yi )h( yi )]∆y = 2π ∑[ p( yi ) h( yi )]∆y
Esta aproximación mejora al hacer
∆ → (n → )
0
∞
. Así, el volumen del sólido es:
Volumen del sólido = Lim 2π
∆ →0
d
= 2π ∫
c
n
∑[ p( y )h( y )]∆y
i=
1
i
i
[ p( y )h( y )]dy
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de las capas, usar alguna de
las formulas siguientes, como se muestra en la figura 1.7.14.
Eje de revolución horizontal
Volumen = V = 2π ∫ [ p ( y ) h( y )]dy
c
d
Eje de revolución horizontal
Eje de revolución vertical
Volumen = V = 2π∫ [ p ( x )h( x )]dx
a
b
Eje de revolución vertical
Figura 1.7.14
Ejemplo 1. Uso del método de capas para encontrar un volumen.
Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región acotada por:
y = x − x 3 y el eje x (0≤x≤1) alrededor del eje y.
Solución. Porque el eje de revolución es vertical, usar un rectángulo representativo vertical, como
x
se muestra en la figura 1.7.15. La anchura ∆ indica que x es la variable de integración. La
distancia del centro del rectángulo al eje de revolución es p ( x) = x, y la altura del rectángulo es:
h( x ) = x − x 3
68

6. = 2π∫ [ p ( x )h( x )]dx =
b
V
a
(
1
)
2π∫ x x − x 3 dx
0
1
(
)
V = 2π∫ x 2 − x 4 dx
0
 x3 x5  1
− 
5 0
3
V = 2π 
simplificando
integrando
1 1 
− 
3 5
V = 2π 
V=
4π
15
Figura 1.7.15
Ejemplo 2.
2
Encontrar el volumen del sólido de revolución al girar la región acotada por la grafica de x = e − y y
el eje y (0≤y≤1) alrededor de eje x.
Solución. Debido a que el eje de revolución es horizontal, usar un rectángulo representativo
y
horizontal, como se muestra en la figura 1.7.16. La anchura ∆ indica que y es la variable de
2
integración. La distancia del centro del rectángulo al eje de revolución es p ( y ) = e − y . La distancia
y va de 0 a 1, por lo tanto el volumen es:
d
= 2π ∫
V=
c
1
(
[ p( y )h( y )]dy =
)
2π∫ y e −y dy
0
2
[ ]
−y
= −π e
2


V = π 1 −
1
0
1

= − π  −1
e


1

e
V ≈ 1.986
Figura 1.7.16
69

7. = 2π∫ [ p ( x )h( x )]dx =
b
V
a
(
1
)
2π∫ x x − x 3 dx
0
1
(
)
V = 2π∫ x 2 − x 4 dx
0
 x3 x5  1
− 
5 0
3
V = 2π 
simplificando
integrando
1 1 
− 
3 5
V = 2π 
V=
4π
15
Figura 1.7.15
Ejemplo 2.
2
Encontrar el volumen del sólido de revolución al girar la región acotada por la grafica de x = e − y y
el eje y (0≤y≤1) alrededor de eje x.
Solución. Debido a que el eje de revolución es horizontal, usar un rectángulo representativo
y
horizontal, como se muestra en la figura 1.7.16. La anchura ∆ indica que y es la variable de
2
integración. La distancia del centro del rectángulo al eje de revolución es p ( y ) = e − y . La distancia
y va de 0 a 1, por lo tanto el volumen es:
d
= 2π ∫
V=
c
1
(
[ p( y )h( y )]dy =
)
2π∫ y e −y dy
0
2
[ ]
−y
= −π e
2


V = π 1 −
1
0
1

= − π  −1
e


1

e
V ≈ 1.986
Figura 1.7.16
69