1. El documento presenta 6 problemas de sucesiones y progresiones aritméticas. Resuelve los primeros términos de 3 sucesiones y determina si otra sucesión es convergente o divergente. Luego, calcula las cotas de 3 sucesiones para determinar si son crecientes o decrecientes. Por último, resuelve problemas sobre sumas de números múltiplos de 6, pares de 3 cifras y una progresión aritmética.
4. Entonces:
6𝑛2 − 5
[6𝑛2 + 14𝑛 + 9][6𝑛2 + 2𝑛 + 1]
> 0
Comontomavalores igualesalosenterospositivosmayoresquecero,elresultadoesmayor
que cero se dice la sucesión es creciente.
Por análisisse puede verque la sucesión tiene unacotasuperior 𝑀 =
1
2
cuandon crece la
sucesióntiendeaeste valor, ytiene unacota inferior 𝑁 =
4
9
.Sucesiónacotada.
b) 𝑂𝑐 =
5𝑛+1
𝑛2
𝑂1 =
5(1) + 1
(1)2 =
6
1
= 6
𝑂2 =
5(2) + 1
(2)2 =
11
4
𝑂3 =
5(3) + 1
(3)2 =
16
9
𝑂4 =
5(4) + 1
(4)2 =
21
16
𝑂5 =
5(5) + 1
(5)2 =
26
25
𝑂6 =
5(6) + 1
(6)2 =
31
36
𝑂𝑐+1 − 𝑂𝑐 > 0 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑂𝑐+1 − 𝑂𝑐 < 0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
5(𝑛 + 1) + 1
(𝑛 + 1)2 −
5𝑛 + 1
𝑛2 =
𝑛2(5(𝑛 + 1) + 1) − (5𝑛 + 1)(𝑛 + 1)2
𝑛2(𝑛 + 1)2
𝑛2(5𝑛 + 5 + 1) − (5𝑛 + 1)(𝑛2 + 2𝑛 + 1)
𝑛2(𝑛 + 1)2 =
(5𝑛3 + 6𝑛2) − (5𝑛3 + 11𝑛2 + 7𝑛 + 1)
𝑛2(𝑛 + 1)2
(5𝑛3 + 6𝑛2) − (5𝑛3 + 11𝑛2 + 7𝑛 + 1)
𝑛2(𝑛 + 1)2 =
−(5𝑛2 + 7𝑛 + 1)
𝑛2(𝑛 + 1)2 < 0
Como n toma valores iguales a los enteros positivos mayores que cero el denominador
siempre serámayorque cero peroel numeradortomasiempre valoresnegativosentonces
el resultado es que esta sucesión es decreciente.
La sucesióntiene unacotasuperiorM=6cuando n=1,yuna cotainferiorN=0,yaque cuando
n crece al infinito el valor de la sucesión tiende a ser cero. Así esta sucesión es acotada.
5. C) 𝑌𝑛 = (
1
𝑛
) 𝑛 ≥ 1
𝑌1 =
1
1
= 1
𝑌2 =
1
2
=
1
2
𝑌3 =
1
3
=
1
3
𝑌4 =
1
4
=
1
4
𝑌5 =
1
5
=
1
5
𝑌6 =
1
6
=
1
6
𝑂𝑐+1 − 𝑂𝑐 > 0 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑂𝑐+1 − 𝑂𝑐 < 0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
1
𝑛 + 1
−
1
𝑛
=
𝑛 − ( 𝑛 + 1)
𝑛( 𝑛 + 1)
=
−1
𝑛(𝑛 + 1)
Comon solopuede tomarvaloresmayoresoigualesa1 el valorde la relaciónsiempreserá
negativo así pues se puede afirmar que la sucesión es decreciente.
Puede verse que lasucesióntienecomocotasuperiorM=1 y comocota inferiorN=0ya que
a medida que n crece el término de la sucesión tiende a cero.
4. Halle la suma de los números múltiplos de 6 menores o iguales a 9126. Y diga ¿Cuántos
términos hay?
Primer término es 6, y el último es 9126 entonces:
𝑈𝑛 = 𝑈1 + 𝑟(𝑛 − 1)
Reemplazando:
9126 = 6 + 6(𝑛 − 1)
Despejando n:
𝑛 = 1 +
(9126 − 6)
6
= 1521 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
Suma:
𝑆 𝑛 =
𝑛(𝑈1 + 𝑈 𝑛)
2
=
1521(6 + 9126)
2
= 6944886
5. Halle lasuma de losnúmerosparesde tres cifras.Y diga¿Cuántostérminoshay?
Este problema tiene una razón de 2, el primer término es 100 y el último es 998 entonces: