O documento apresenta cálculos de operações com números complexos, resolvendo as expressões (a) a (e). A expressão (a) calcula a soma de z1 e z3, resultando em 1 + i. A expressão (b) calcula a diferença entre z1 e z4, resultando em 4 - 3i. A expressão (c) calcula o produto entre z2 e z3, resultando em -16 - 13i.

1. 1) Sejam 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊
calcule:
a) 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟑
Temos que: 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊 e 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊, então:
𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟑= 𝟒 + 𝟓𝒊 + −𝟑 − 𝟒𝒊
Lembrando as propriedades da adição:
𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖
= 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖
Resposta:
4 + 5𝑖 + −3 − 4𝑖 = 4 + 5𝑖 − 3 − 4𝑖
= 4 − 3 + 5 − 4 𝑖 = 𝟏 + 𝒊
by Renata Pinto

2. 1) Sejam 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊
calcule:
b) 𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟒
Temos que: 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊, então:
𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟒= 𝟒 + 𝟓𝒊 − 𝟐𝒊
Lembrando as propriedades da subtração:
𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖
Resposta:
4 + 5𝑖 − 2𝑖 = 4 − 5 − 2 𝑖 = 𝟒 − 𝟑𝒊
by Renata Pinto

3. 1) Sejam 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊
calcule:
c) 𝒛 𝟐 𝒛 𝟑
Temos que: 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊 e 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊, então:
𝒛 𝟐 𝒛 𝟑 = 𝟒 − 𝒊 −𝟑 − 𝟒𝒊
Lembrando as propriedades da multiplicação:
𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖²
= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖
Resposta:
4 − 𝑖 −3 − 4𝑖 = −12 − 16𝑖 + 3𝑖 + 4𝑖2
= 12 − 4 + −16 + 3 𝑖 = −𝟏𝟔 − 𝟏𝟑𝒊
by Renata Pinto

4. 1) Sejam 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊
calcule:
d)
𝒛 𝟑
𝒛 𝟏
Temos que: 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊, então:
𝒛 𝟑
𝒛 𝟏
=
−𝟑−𝟒𝒊
𝟒+𝟓𝒊
Lembrando as propriedades da divisão:
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖
=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖
×
𝑐 − 𝑑𝑖
𝑐 − 𝑑𝑖
=
𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 − 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑𝑖²
𝑐² + 𝑑²𝑖²
=
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
𝑐² + 𝑑²
=
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑐² + 𝑑²
+
𝑏𝑑 − 𝑎𝑑
𝑐² + 𝑑²
𝑖
Resposta:
−3 − 4𝑖
4 + 5𝑖
=
−3 − 4𝑖
4 + 5𝑖
×
4 − 5𝑖
4 − 5𝑖
=
−12 − 15𝑖 − 16𝑖 − 20𝑖²
4² + 5²𝑖²
=
−12 − 20 + (−16 − 15)𝑖
16 + 25
=
−𝟑𝟐 − 𝒊
𝟒𝟏
by Renata Pinto

5. 1) Sejam 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊
calcule:
e) 𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟑
Temos que: 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊 e 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊, então:
𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟑= 𝟒 + 𝟓𝒊 − −𝟑 − 𝟒𝒊
Lembrando as propriedades da subtração:
𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖
Resposta:
4 + 5𝑖 − −3 − 4𝑖 = 4 + 3 + 5 + 4 𝑖 = 𝟕 + 𝟗𝒊
by Renata Pinto
Atenção à regra
dos sinais

6. 2) Demonstre as propriedades:
a) 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟐 + 𝒛 𝟏  Propriedade da adição - comutativa
b) 𝒛 𝟏. 𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟐. 𝒛 𝟏  Propriedade da multiplicação - comutativa
c) 𝒛 𝟏. 𝒛 𝟐 + 𝒛 𝟑 = 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 + 𝒛 𝟏 𝒛 𝟑  ∀ 𝒛 𝟏, 𝒛 𝟐, 𝒛 𝟑 ∈ ∁ » Propriedade da
multiplicação - distributiva
d) 𝒛 + 𝒛 = 𝟐. 𝐚(𝐩𝐚𝐫𝐭𝐞 𝐫𝐞𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝒛)  1ª Propriedade dos conjugados
𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒂 − 𝒃𝒊 = 𝒂 + 𝒂 + 𝒃𝒊 − 𝒃𝒊 = 𝟐𝒂
e) 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐  3ª Propriedade dos conjugados
f) |𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐| ≤ |𝒛 𝟐| + |𝒛 𝟏|  3ª Propriedade dos módulos
by Renata Pinto

7. Resposta:
𝒛 = 𝒙² − 𝟑𝒚 ↔ 𝑧 = 2 + 3𝑖 2
− 3 1 − 𝑖
Usando as propriedades da multiplicação, vamos calcular
0 x² = 2 + 3𝑖 2
x² = 2 + 3𝑖 2 + 3𝑖 = 4 + 6𝑖 + 6𝑖 + 9𝑖² = 4 + 9 +
6 + 6 𝑖 = −5 + 12𝑖, sendo, então: 𝑥² = −5 + 12𝑖,
substituindo na equação, teremos:
𝑧 = −5 + 12𝑖 − 3 1 − 𝑖 = −5 + 12𝑖 − 3 + 3𝑖 = −𝟖 + 𝟏𝟓𝒊
by Renata Pinto
3) Se 𝒙 = 𝟐 + 𝟑𝒊 e 𝒚 = 𝟏 − 𝒊, calcule 𝒛 = 𝒙² − 𝟑𝒚.

8. 4) Se o complexo 𝒂 + 𝒃𝒊 é produto dos dois complexos 𝒛 = 𝟐 + 𝒊
e 𝒘 = 𝟑 − 𝟒𝒊, calcule o valor de 𝒂 − 𝒃.
Resposta:
O enunciado nos diz que:
𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝒛 × 𝒘 ou 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟐 + 𝒊 𝟑 − 𝟒𝒊 , aplicando a
propriedade da multiplicação, teremos:
𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟐 + 𝒊 𝟑 − 𝟒𝒊 = 𝟔 − 𝟖𝒊 + 𝟑𝒊 − 𝟒𝒊2 = 𝟔 + 𝟒 +
𝟑 − 𝟖 𝒊 = 𝟏𝟎 − 𝟓𝒊, ou seja, 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟏𝟎 − 𝟓𝒊, onde:
𝒂 = 𝟏𝟎 e 𝒃 = −𝟓
O enunciado pede o valor de 𝒂 − 𝒃, isto é:
𝒂 − 𝒃 = 𝟏𝟎 − −𝟓 = 𝟏𝟎 + 𝟓 = 𝟏𝟓
by Renata Pinto

9. 5) Calcule o valor de:
a) 𝒊 𝟏𝟕𝟗
Resposta:
179: 4 = 44 𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟑. Então:
𝑖179 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑖3 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑙𝑒𝑣𝑎 a −𝑖.
𝑖179
= 𝑖3
= −𝒊
by Renata Pinto
Basta dividirmos
o expoente por 4
e usarmos o resto
como referencia.
Colinha:
𝑖 = −1
𝑖² = −1
𝑖³ = −𝑖
𝑖4
= 1

10. 5) Calcule o valor de:
b)
𝒊 𝟗𝟕+𝒊 𝟗𝟖
𝒊
Resposta:
97: 4 = 24, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟏 𝑒 98: 4 = 24, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟐. Então, aplicando a
propriedade da divisão, teremos:
𝒊 + 𝒊 𝟐
𝒊
=
𝒊 + 𝒊 𝟐
𝒊
×
𝒊
𝒊
=
𝒊 𝟐 + 𝒊 𝟑
𝒊 𝟐
=
−𝟏 − 𝒊
−𝟏
= 𝟏 + 𝒊
by Renata Pinto
Colinha:
𝑖 = −1
𝑖² = −1
𝑖³ = −𝑖
𝑖4 = 1

11. Teremos, assim:
𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟑 + 𝟐𝒊 = 𝒛
Com isso:
𝒛 = 𝟑 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝒛 = 𝟗 + 𝟒
𝒛 = 𝟏𝟑
Resposta:
Assim:
𝒛 𝒛 + 𝒛 = 𝟏𝟖 + 𝟏𝟐𝒊, corresponde a:
𝑎 + 𝑏𝑖(2𝑎) = 18 + 12𝑖
2𝑎² + 2𝑎𝑏𝑖 = 18 + 12𝑖
Parte real Parte real
P. Imaginária P. Imaginária
by Renata Pinto
6) Calcule |z| sabendo que 𝒛 𝒛 + 𝒛 = 𝟏𝟖 + 𝟏𝟐𝒊.
Sabemos que 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 e que 𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊
Pelas propriedades dos conjugados, temos:
1)𝑧 + 𝑧 = 2𝑎(𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑧)
Igualando as partes:
Parte Real: 2𝑎² = 18 ≫ 𝒂 = 𝟑
Parte Imaginária: 2𝑎𝑏𝑖 = 12𝑖, substituindo a:
2.3𝑏𝑖 = 12𝑖 ≫ 6𝑏𝑖 = 12𝑖 ≫ 𝒃 = 𝟐

12. 7) Determinar 𝒙 ∈ 𝑹 de modo que (𝟒 + 𝟑𝒊)(𝒙 − 𝟔𝒊)seja
imaginário puro.
Aplicamos as propriedades da multiplicação:
𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖²
= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖
Resposta:
4 + 3𝑖 𝑥 − 6𝑖 = 4𝑥 − 20𝑖 + 3𝑥𝑖 − 18𝑖2
= 4𝑥 + 18 + −20 + 3𝑥 𝑖
Parte Real Parte Imaginária
Devemos encontrar um x para que a parte real seja zero. Então:
𝟒𝒙 + 𝟏𝟖 = 𝟎 → 𝒙 = −
𝟏𝟖
𝟒
→ 𝒙 = −
𝟗
𝟐
by Renata Pinto
O enunciado pede que o resultado seja um
“imaginário puro”, para isso devemos fazer
com que a parte real seja igual a zero.

13. Lembrando que no exercício 1:
𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊
by Renata Pinto
8) Represente graficamente: 𝒛 𝟓 =
𝟏−𝒊
𝟐
; 𝒛 𝟔 = 𝟐 − 𝟑𝒊;
𝒛− = 𝒛 𝟔
−𝟏
e 𝒛 𝟏, 𝒛 𝟐, 𝒛 𝟑, 𝒛 𝟒 do exercício 1.

14. Continuando...
Para representarmos: 𝒛− = 𝒛 𝟔
−𝟏
, devemos observar que:
𝒛− = (𝟐 − 𝟑𝒊)−𝟏 temos que, o inverso de um Número Complexo é:
𝒛− =
𝟏
𝟐 − 𝟑𝒊
=
𝟏
𝟐 − 𝟑𝒊
×
𝟐 + 𝟑𝒊
𝟐 + 𝟑𝒊
=
𝟐 + 𝟑𝒊
𝟒 − 𝟗𝒊²
=
𝟐 + 𝟑𝒊
𝟒 − 𝟗(−𝟏)
=
𝟐 + 𝟑𝒊
𝟏𝟑
Graficamente, teremos:
by Renata Pinto
𝑧−1 =
1
𝑧
=
1
𝑎 + 𝑏𝑖
=
1
𝑎 + 𝑏𝑖
×
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎 − 𝑏𝑖
=
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎² − 𝑏2 𝑖²
=
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎² − 𝑏2(−1)
=
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎² + 𝑏²

15. 𝑎)| 𝒁| = 2
𝑏)| 𝒁| ≤ 5
𝑐)| 𝒁| > 3
𝑑) 𝟑 < | 𝒁| < 5
by Renata Pinto
9) Represente o conjunto de números complexos que
são soluções da equação (graficamente):

16. Sabendo que a correspondência entre Complexo na forma de
Par Ordenado (um ponto de um gráfico) e a Forma Algébrica é:
𝒛 𝒂, 𝒃 = 𝒂 + 𝒃𝒊
𝒛 −𝟐, −𝟏 = −𝟐 − 𝒊
Temos:
𝑧 − 𝑧0 = 4
𝑧 − −2 − 𝑖 = 4
𝒛 + 𝟐 + 𝒊 = 𝟒
by Renata Pinto
10) Encontre a equação ou uma equação para um círculo de
raio 4 com centro (-2,-1) em função dos complexos.

17. Seja 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, então
𝒛 + 𝟑𝒊 = 𝒂 − 𝒃𝒊 + 𝟑𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝒊 − 𝟑𝒊 = 𝒛 − 𝟑𝒊
by Renata Pinto
11) Mostre que 𝒛 + 𝟑𝒊 = 𝒛 − 𝟑𝒊.
12) Se 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 é um número complexo escrever 𝒛−𝟏
em
função de z.
Pelo inverso temos que:
𝒛−𝟏 =
𝟏
𝒛
o que nos leva a função
𝒛
|𝒛|²