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:2
: Méthodes Quantitatives
: Mathématiques Economiques
: Mr BENMOUSSA
Eléments du cou...
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Mathématiques Economiques

PROGRAMME

Les Fonctions :
- Fonctions trigonométriques.
- Fonctions ex.
...
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Mathématiques Economiques

Chapitre 1 : FONCTIONS TRIGONOM2TRIQUES.

I-

Définition : cercle trigono...
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sin (π + α) = - sin α
cos (π + α) = - cos α
tg (π + α) = tg α

π+α

sin (...
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III-

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Dérivées des fonctions trigonométriques :
f ′ (x)

f (x)
sin x
cos ...
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4- Dérivée :
cos x ≥ 0 ⇔ -

π

cos x ≤ 0

y ′ = cos x ⇔

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⇔

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−π
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y′
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5- La courbe :
y
y = tg x

x

Remarque : les...
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⇒ cos2x = (1- 2 )2 = 1- 2 2 + 2.
⇒ sin2x = 1- (1- 2 2 + 2).
⇒ sin2x = 2 2...
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b-

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⇒ cos 2x = cos
⇒

2x =

π
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2x = -

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π
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x

Chapitre 2 : FONCTION « y = e »

I-

Définition :

e0 = 1
e = 2,718.
II...
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2- On considère que : f(x) =

ex −1
ex +1

lim f(x) = -1.
−∞

ex
lim f(x)...
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VI-

Mathématiques Economiques

Equations et inéquations:

* ea = eb ⇒ a = b.
* ea > eb ⇒ a > b. Car...
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Chapitre 3 : FONCTIONS LOGARITHMES.

I-

Définition :

On appelle logarit...
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y
y = log x

0

x

i
1

Exercices :
Etude des fonctions :
a- y = 3 log x ...
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III-

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Limites :

* lim ln x = +∞.
+∞
* lim ln x = -∞.
0+

* lim
+∞

ln x
...
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* lim f(x) = lim (x2. e x ) = +∞
−∞
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2

1
x

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x

* lim f(x) = li...
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* Représentation graphique:
y

y = x log x – 3x.

e2

e3
x

-e2

3- Etude...
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* lim f(x) = lim (x – 2) e
−∞

Mathématiques Economiques
−

1
x

= -∞.

−∞

* lim f(x) = lim (x – 2)...
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Mathématiques Economiques

Chapitre 4 : INTEGRALES

I-

Principes :

1- 1er cas :
Un train roule à l...
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d = ∑ di =

Mathématiques Economiques

15

∫ f (t )

dt = S.

0

C’est la somme des aires des petits...
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Mathématiques Economiques

2- Propriétés :
Si « f » est constante ⇒ I =

b

∫ kf ( x) dx.
a

I = k (...
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Mathématiques Economiques

Toute fonction f(x) continue sur I possède plusieurs primitives.
Si « f »...
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V-

∫ U '.V

Mathématiques Economiques

Intégration par partie :

∫ U .V ' .

= U.V -

Exemples :
Ca...
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1

5 ( x 4 + 1) 2
=
1
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+1

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=

15 3
( x + 1) 2 .
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e

I = ∫ log...
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e

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dx.
2
1 x

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On pose : V = log x
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P(x)

Q(x)
p(x)

r(x)
P( x)
r ( x)
= p(x) +
Q( x)
Q( x)

avec d° r(x) < d...
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[∫
dx - ∫
dx] +
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( x + 1)
( x + 1) 2
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[log (x + 1) +...
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  1. 1. Semestre Module Elément Enseignant :2 : Méthodes Quantitatives : Mathématiques Economiques : Mr BENMOUSSA Eléments du cours Les Fonctions Les Intégrales simples Les Intégrales doubles Extrêmes de fonctions de deux variables Numérisation & Conception Mr Mohamed-Fadil ZIADI Le Portail des Etudiant d’Economie www.e-tahero.net contact@e-tahero.net
  2. 2. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques PROGRAMME Les Fonctions : - Fonctions trigonométriques. - Fonctions ex. - Fonction log x. - Elasticité. II- Les Intégrales simples : - Par parties. - Par changement de variables. - Fractions rationnelles. - Fractions irrationnelles. - Intégrales impropres. IIIIV- Les Intégrales doubles. Extrêmes de fonctions de deux variables. © www.e-tahero.net – Z.M.F I- Portail des Etudiants d’Economie -2-
  3. 3. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Chapitre 1 : FONCTIONS TRIGONOM2TRIQUES. I- Définition : cercle trigonométrique : π/2 Sin tan + Sin α π -1 α cosα 2π 1 Cos 3π 2 Rayon = 1. R=1 ⇒ α -1 ≤ cos α ≤ 1 -1 ≤ sin α ≤ 1 - ∞ < tg α < + ∞ 0 0 Tg α -α 1 Sin α © www.e-tahero.net – Z.M.F Cos α 0 π π π π 4 2 2 2 2 2 6 3 2 1 2 3 0 1 1 0 Sin (- α) = - sin α cos (- α) = cos α tg (- α) = - tg α Portail des Etudiants d’Economie π-α -3- 3 3 ½ 3 2 3 sin (π - α) = sin α cos (π - α) = - cos α tg (π - α) = - tg α
  4. 4. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques sin (π + α) = - sin α cos (π + α) = - cos α tg (π + α) = tg α π+α sin ( π 2 +α cos ( π 2 π 2 + α) = cos α +α) = - sin α π tg ( + α) = 2 II- 1 = - cotg α. tgα Formules trigonométriques: Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b. Cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b. Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b. Sin 2a = 2 sin a cos a. Cos 2a = cos2 a – sin2 a. Théorème de Pythagore : A B α O OA2 = AB2 + OB2 ⇒ 12 = sin2 α + cos2 α ⇒ cos2 α + cos2 α = 1 © www.e-tahero.net – Z.M.F ⇒ cos 2 α + sin 2 α 1 = . 2 cos α cos 2 α 1 ⇒ 1 + tg2 α = cos 2 α sin 2α 2 sin α . cos α = . cos 2α cos 2 α − sin 2 α 2 sin α .2 cos α cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α cos 2 α tg 2α = Portail des Etudiants d’Economie = -2- 2tgx . 1 − tg 2α
  5. 5. Professeur BENMOUSSA III- Mathématiques Economiques Dérivées des fonctions trigonométriques : f ′ (x) f (x) sin x cos x tg x cos (ax + b) sin (ax + b) IV- V- 1 = 1 + tg2 x 2 cos x - a . sin ( ax + b) a . cos (ax + b) Fonctions réciproques : Y = cos x Y = sin x Y = tg x cos x - sin x ⇔ x = arcos y ⇔ x = arc sin y ⇔ x = arc tg y Etude de la fonction (y = sin x) : 1- Domaine de définition : Df = ℜ. 2- Parité : Si f (-x) = f (x). ⇒ la fonction est paire. Si f (-x) = - f (x) ⇒ la fonction est impaire. Donc sin (-x) = - sin (x) ⇒ y est une fonction impaire. 3- Périodicité : © www.e-tahero.net – Z.M.F Une fonction est périodique de période T. ⇔ f (x + T) = f (x). y = sin (x) sin sin (α + 2π) = sin α. Sin (α + 4π) = sin α. Sin (α + kπ) = sinα. Sin α α Donc dans ce cas T = 2π Portail des Etudiants d’Economie -2- cos cos α
  6. 6. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 4- Dérivée : cos x ≥ 0 ⇔ - π cos x ≤ 0 y ′ = cos x ⇔ π ⇔ 2 ≤ x ≤ π 2 3π ≤x≤ 2 2 5- Tableau de variation : x π 0 y′ y 3π 2 2 + - 2π + 1 0 0 -1 6- La courbe : y 1 π 3π 2 2 x 2π -1 © www.e-tahero.net – Z.M.F T=2π VI- Etude de la fonction (y = cos x) : La dérivée de cette fonction est la suivante : y ′ = - sin x. La table de variation se présente comme suit : Portail des Etudiants d’Economie -3-
  7. 7. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques x y′ y π 0 2π - + - 1 1 -1 y 1 0   π   π 2  3π 2    2π -1 VII- Etude de la fonction (y = tg x) : 1- Période : Tg (α + π) = tg α ⇒ tg α est périodique et T = π. 2- Parité : tg (-x) = -tg x ⇒ y = tg x est impaire. © www.e-tahero.net – Z.M.F 3- Dérivée : y′= 1 cos 2 x ≠ 0. 4- Le tableau de variation : Portail des Etudiants d’Economie -4-  x
  8. 8. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques −π 2 x y′ y π 2 + +∞ -∞ 5- La courbe : y y = tg x x Remarque : les asymptotes : VIII- Exercices : © www.e-tahero.net – Z.M.F 1/ Calculer le (sin x) et la (tg x), sachant que cos x = 1 2/ Résoudre dans RR les équations : a2 sin 3 x = 1. b- cos 2 x = 3 2 Solution : 1- On sait que sin2x + cos2x = 1 ⇒ sin2x = 1- cos2x. On sait aussi que : cos x = 1- 2 . Portail des Etudiants d’Economie -5- 2 .
  9. 9. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques ⇒ cos2x = (1- 2 )2 = 1- 2 2 + 2. ⇒ sin2x = 1- (1- 2 2 + 2). ⇒ sin2x = 2 2 - 2 = 2( 2 - 1). ⇒ sin x = ± 2( 2 − 1) = ± 2 −1 × 2 • tg = ? On sait que 1+ lg2 = ⇒ tg2 x = ⇒ tg x = 2 1 . cos 2 x 1 -1. cos 2 x 1 (1 − 2 ) 2 -1= 2 ⇒ tg2 x = - (1 − 2 ) (1 − 2 ) 2- a- 2 sin (3x) = 1 ⇒ sin 3x = 1 2 ⇒ sin 3x = sin π (1 − 2 ) = ± © www.e-tahero.net – Z.M.F 2 ( 2 − 1) . * x = α + 2kπ. * x = - α + 2kπ. π sin 3x = sin . 3x = π 6 6 + 2kπ. ; (k∈Ζ) π 3x = (π - ) + 2kπ. 6 ⇒ 2kπ 18 3 5π 2kπ + x= 18 3 x= π (1 − 2 ) 2 * x = α + 2kπ. * x = (π - α) + 2kπ. cos x = cos α ⇒ ⇒ 2( 2 − 1) . 6 Observation: sin x = sin α ⇒ Donc : = 2 . −2 ⇒ tg2 x = ± 1 − (1 − 2 ) 2 + Portail des Etudiants d’Economie ; (k∈Ζ) -6- .
  10. 10. Professeur BENMOUSSA b- Mathématiques Economiques 3 . 2 cos 2x = ⇒ cos 2x = cos ⇒ 2x = π 6 2x = - 6 + 2kπ. π 6 x= ; (k∈Ζ) + 2kπ. 2kπ 12 2 π 2kπ x=- + 12 2 ⇒ π π + ; (k∈Ζ) Consequences: Il existe quatre solutions : • x1 = • x2 = π 12 . π 12 • x3 = - π 12 π 12 . + π. © www.e-tahero.net – Z.M.F • x4 = - +π. Portail des Etudiants d’Economie -7-
  11. 11. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques x Chapitre 2 : FONCTION « y = e » I- Définition : e0 = 1 e = 2,718. II- Propriétés : 1- y’ = ex. 2- ea+b = ea.eb 3- ea.b = (ea)b 4- ea eb III- = ea-b Etude de la fonction f(x) = ex : 1- ex est strictement croissante. 2- Df = ℜ = ]− ∞,+∞[ 3- lim ex = + ∞ . +∞ lim 0 en −1 = 1. h x lim e = 0. −∞ Exercice: 1- Simplifier les expressions suivantes: a- ex . e-2x b- (e2x)2 . (e-3x)4. c- (ex + e-x)2 – (ex – e-x)2. 2- Soit la fonction : ex −1 . ex +1 et lim f(x). f(x) = a- Calculer lim f(x) −∞ +∞ e −1 ). 3x © www.e-tahero.net – Z.M.F x 3- Calculer lim ( 0 Solution: 1- a- ex.e-2x = e-x. b- (e2x)2 . (e-3x)4 = e4x . e-12x = e-8x. c- (ex + e-x) – (ex – e-x) = 4. Portail des Etudiants d’Economie -8-
  12. 12. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 2- On considère que : f(x) = ex −1 ex +1 lim f(x) = -1. −∞ ex lim f(x) = x +∞ e [ 1− 1 1+ 1 ex ] ex 1 = 0. ex Car on sait que lim +∞ ex −1 3- lim 0 3x IV- = 1. 1 ex −1 = lim . 3 0 x 1 = . 3 Tableau de variation: x y’ y -∞ 0 + 1 +∞ +∞ 0 Car on sait que : y’ = ex ≠ 0. La courbe : y y = ex 1 x © www.e-tahero.net – Z.M.F 0 Vlim +∞ Autres limites : ex x = +∞. x lim x e = 0. −∞ Portail des Etudiants d’Economie -9-
  13. 13. Professeur BENMOUSSA VI- Mathématiques Economiques Equations et inéquations: * ea = eb ⇒ a = b. * ea > eb ⇒ a > b. Car ex est strictement croissante. VII- Exercices : 1- Calculer lim f(x) = lim (ex – x + 1). +∞ +∞ 2- Etudier le sens de variation de la fonction : f(x) = (x – 2)ex. Solution : 1- lim (ex – x + 1) = lim ( +∞ +∞ ex 1 - 1 + ) = +∞. x x 2- Df = ℜ = ]− ∞,+∞[ . On sait qu’au règle générale : (f.g)’ = f’.g + f.g’ f’(x) = ex + (x – 2)ex = ex (1 + x – 2) = ex (x – 1). x f’(x) f(x) -∞ 1 0 - +∞ + 0 +∞ y 0 І 1 © www.e-tahero.net – Z.M.F -e Portail des Etudiants d’Economie - 10 - x
  14. 14. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Chapitre 3 : FONCTIONS LOGARITHMES. I- Définition : On appelle logarithmes de base « a » : y= log( x) . log(a ) Cas particulier : quand a = e ⇒ y = log x (c’est le logarithme népérien). y = log x = ∫ x 1 1 dx. x x > 0. Pour: x = 1 ⇒ log 1 = 0 = Pour : x = 0 ⇒ log x = - ∞. 1 ∫ 1 1 dx. x + 1- Dérivée : y = log x ⇒ y’ = 1 . x 2- Propriétés: * log (a.b) = log a + log b. a = log a – log b. b 1 * log = - log a. a * log * log an = n. log a II- Etudier la fonction y = log x : * Df = ]0,+∞[ © www.e-tahero.net – Z.M.F * y’ = 1 ≠0. x x y’ y 0+ 1 + 0 -∞ Portail des Etudiants d’Economie - 11 - +∞ +∞
  15. 15. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques y y = log x 0 x i 1 Exercices : Etude des fonctions : a- y = 3 log x + 2. b- y = log (x – 2). Solutions : a- Df = ]0,+∞[ f’(x) = 3 . x x f’(x) f(x) 0+ 1 + 2 +∞ +∞ -∞ b- Df = ]2,+∞[ © www.e-tahero.net – Z.M.F f’(x) = 1 x−2 x f’(x) f(x) 2 3 + 0 -∞ Portail des Etudiants d’Economie - 12 - +∞ +∞
  16. 16. Professeur BENMOUSSA III- Mathématiques Economiques Limites : * lim ln x = +∞. +∞ * lim ln x = -∞. 0+ * lim +∞ ln x = 0x * lim x lnx = 00 ln x =1 x −1 ln( x + 1) =1 * lim 0 x * lim 1 IV- Exercices: 1 1- Etude de la fonction : y = x2 e x . Et tracer le graphique. 2- Etude de la fonction : y = x logx – 3x. − 1 3- Etude de la fonction : y = (x – 2) e x . Solution : 2 1 x 1- Etude de la fonction : y = x e . * Df = ℜ * = ]− ∞,0[ ∪ ]0,+∞[ 1 x * y’ = 2x. e + x2 (- 1 ). e x2 car on a (x ≠ 1). 1 x 1 = (2x – 1). e x . 1 On a: y’ = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ou e x = 0. 1 x 1 ⇔ x= 2 1 x on sait que e > 0 donc : e ≠ 0. © www.e-tahero.net – Z.M.F Donc le tableau de variation est le suivant : x y’ y -∞ 1 2 0 - - +∞ Portail des Etudiants d’Economie + +∞ +∞ 1 2 e 4 0 - 13 - +∞
  17. 17. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 1 * lim f(x) = lim (x2. e x ) = +∞ −∞ −∞ 2 1 x 2 1 x * lim f(x) = lim (x . e ) = +∞ +∞ +∞ * lim f(x) = lim (x . e ) = 0 0− 0− 2 1 x * lim f(x) = lim (x . e ) = 1 0+ 0+ y e2 4 0 1 2 x 2- Etude de la fonction : y = x log x – 3x. * Df = ]0,+∞[ . * y’ = (x log x)’ – (3x)’ = log x + x (log x)’ – 3 y’ = log x – 2. © www.e-tahero.net – Z.M.F On a : y’ = 0 ⇔ log x – 2 = 0. ⇔ x = e2 . * Tableau de variation : x y’ y e2 0 0 +∞ + +∞ e * lim f(x) = lim x.(log x – 3) = +∞. +∞ +∞ * lim f(x) = lim x. log x – 3x = 0 0+ 0+ Portail des Etudiants d’Economie +∞ - 14 - -2
  18. 18. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques * Représentation graphique: y y = x log x – 3x. e2 e3 x -e2 3- Etude de la fonction : y = (x – 2) e − 1 x : * Df = ℜ * = ]− ∞,0[ ∪ ]0,+∞[ * f’ (x) = e =e =e =e − 1 x − 1 x − 1 x − 1 x 1 + (x – 2). − 1 .e x 2 x x − 2 −x + .e x2 x+2 (1 + 2 ). x 2 x + x+2 ( ). x2 1 − 1 On a f’(x) = 0 ⇔ e x ( − x2 + x + 2 )=0 x2 1 x © www.e-tahero.net – Z.M.F On sait que e ≠ 0 et x2 ≠ 0. Donc x2 + x + 2 = 0 ∆ = 9 = 32. x1 = 1 et x2 = -2. * Tableau de variation : x y’ y -∞ -2 + 0 - - -4 2 -∞ Portail des Etudiants d’Economie 1 0 -∞ - 15 - +∞ + +∞
  19. 19. Professeur BENMOUSSA * lim f(x) = lim (x – 2) e −∞ Mathématiques Economiques − 1 x = -∞. −∞ * lim f(x) = lim (x – 2) e +∞ +∞ * lim f(x) = lim (x – 2) e 0− − 1 x − 1 x = +∞. = -∞. 0− * lim f(x) = lim (x – 2) e 0+ 0+ − 1 x = 0. * Asymptotes obliques: f ( x) ( x − 2).e - lim = lim +∞ +∞ x x f ( x) ⇒ lim = 1. +∞ x − 1 x 1 − x 2 = lim . (1 - ) . e x . +∞ x x - lim [f(x) – x] = lim (x – 2). e +∞ +∞ = lim x e +∞ − 1 x = lim x [ e +∞ On met: Donc : lim +∞ X=- − − 1 x -2 e 1 x - x. − 1 x - x. − 1 - 1] – 2 e x . 1 . x 1 [eX – 1] – 2 eX = -3. X * Représentation graphique : © www.e-tahero.net – Z.M.F - 1 e -4 e Portail des Etudiants d’Economie - 16 -
  20. 20. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Chapitre 4 : INTEGRALES I- Principes : 1- 1er cas : Un train roule à la vitesse de v = 70 m s Durant un temps de t = 15 secondes. Quelle est la distance parcourue par le train ? On sait que : d = v.t donc : d = 70 * 15 = 1050 m. v (ms ) v1 = 70 t (secondes) t1 = 15 d = v.t = aire du rectangle hachuré. 2- 2ème cas : La vitesse du train n’est pas constante et varie en fonction du temps « t », donc v= v(t). On sait que : d = v.t. Donc : d(t) = v(t) . t. v (ms ) V(t) v1 = 70 © www.e-tahero.net – Z.M.F S 0 t (secondes) t1 = 15 Portail des Etudiants d’Economie - 17 -
  21. 21. Professeur BENMOUSSA d = ∑ di = Mathématiques Economiques 15 ∫ f (t ) dt = S. 0 C’est la somme des aires des petits rectangles. II- Intégrale d’une fonction sur un intervalle : 1- Définition : f(x) f(x) v1 = 70 S 0 x a b b I= ∫ f ( x) dx = aire S. a Remarque: L’intégrale (aire) peut être positif ou négatif. v (ms ) © www.e-tahero.net – Z.M.F 0 t (secondes) a Portail des Etudiants d’Economie b - 18 -
  22. 22. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 2- Propriétés : Si « f » est constante ⇒ I = b ∫ kf ( x) dx. a I = k (b – a). 3- Valeur moyenne d’une fonction f(x) : 1 M= (b − a ) III- b ∫ f ( x) dx. a Propriétés générales d’une intégrale : 1- Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I = [a, b] admet un intégrale. 2- Propriétés : a * ∫ f ( x) dx = 0. a b * ∫ f ( x) a dx = - ∫ f ( x) dx. a b b * ∫ c f ( x) dx + a ∫ b b * c f ( x) dx = ∫ kf ( x) dx a ∫ dx. a b =k ∫ f ( x) dx. a b * ∫ f ( x) b f ( f + g )( x) dx = a a * Si f(x) ≤ g(x) ⇒ IV- ∫ b f ( x) dx + ∫ g ( x) dx. a ∫ f (x) ≤ ∫ g (x) . Primitives d’une fonction : © www.e-tahero.net – Z.M.F 1- Théorème : Soit f(x) une fonction continue sur I = [a, b] . L’application : F : x → F(x) = ∫ f (t ) dt est dérivable sur I, et la dérivé de F(x) est F’(x) = f(x). 2- Propriétés : Portail des Etudiants d’Economie - 19 -
  23. 23. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Toute fonction f(x) continue sur I possède plusieurs primitives. Si « f » admet une primitive « F » sur I, alors « G = F + k » est aussi primitive de « f ». Avec « k » constante. L’intervalle « I » ℜ ℜ Fonction « f » a x ℜ xn ; n∈ℵ + − ℜ * ou ℜ * 1 x2 1 xn 1 + − ℜ * ou ℜ * + ℜ* ℜ + * r x ℜ 1 1+ x2 Cos x Sin x ℜ ℜ π  π   − 2 + kπ ; 2 + kπ    ]kπ ; π + kπ [ « u » est dérivable sur I et strictement positive sur I « u » est dérivable sur I et strictement positive sur I 1 (cos) 2 1 1+ cotan2x = (sin) 2 1+ tan2x = u’ × un ; n ∈(Q/ {− 1} ) « u » est dérivable sur I © www.e-tahero.net – Z.M.F x ; r∈( Q/ {− 1} ) u' u u' 1+ u2 v' v2 u’ + v’ « v » est dérivable et ne s’annule pas sur I « u et v » sont dérivables sur I « u et v » sont dérivables sur I « u et v » sont dérivables sur I et v ≠ 0 « v » est dérivable sur I et « u » est dérivable sur v(I) ℜ ℜ sin (ax + b) ; a ≠ 0 Portail des Etudiants d’Economie Primitive « F » ax + b 1 2 x +c 2 1 n+1 x +c n +1 1 - +c x −1 +c (n − 1) x n −1 2 x +c 1 xr+1 + c r +1 Artan x + c Sin x + c - cos x + c Tan x + c - cotan x + c 1 un+1 + c n +1 2 u +c Arctan (u) + c 1 +c v u+v+c - u’v + uv’ u.v + c u ' v − uv' v2 u’(v(x)) × v’(x) u +c v (uov)(x) + c Cos (ax + b) ; a ≠ 0 ( 1 ) sin (ax + b) + c a - ( 1 ) cos (ax + b) + c a - 20 -
  24. 24. Professeur BENMOUSSA V- ∫ U '.V Mathématiques Economiques Intégration par partie : ∫ U .V ' . = U.V - Exemples : Calculer les intégrales suivantes : π I = ∫ x. cos x .dx . 1- 0 On pose: I = [x. sin V=x U’ = cos x V’ = 1 U = sin x π x]π0 - ∫ sin x .dx 0 x]π0 = [x. sin + [cos x]π0 = (π. Sin π - 0) + (cos π - cos 0). I = -2. 2 x I = ∫ ( x 2 + ) dx. 2- I = ∫ x 2 dx + I= 2 ∫x dx. x3 + 2 log x + k. 3 4 I = ∫ x x 2 + 4 dx. 3- 2 1 I= 2 4 ∫ 2 x( x 2 + 4) dx. 2 1  2  x2 + 4  1  I=  2  1   +1   2  © www.e-tahero.net – Z.M.F 1 2 +1 3 1 dx . = ( x 2 + 4) 2 . 3 Car on sait que: 4- I= ∫ 5x 3 m ∫ U '.U = U m +1 . m +1 x 4 + 1 dx. 1 I = ∫ 5 x 3 ( x 4 + 1) 2 dx. Portail des Etudiants d’Economie - 21 -
  25. 25. Professeur BENMOUSSA 1 5 ( x 4 + 1) 2 = 1 4 +1 3 Mathématiques Economiques +1 3 = 15 3 ( x + 1) 2 . 16 e I = ∫ log x dx. 5- 1 On pose : U’ = 1 V = log x I = [x log U=x V’ = x]e1 1 x e - ∫ dx = [x log x –x]e1. 1 I = 1. π π 2 I = ∫ sin(2 x + ) dx. 6- 4 0 1 cos (ax + b). a 1 π 1 π π Donc: I = [- cos (2x + )] = - [cos (π + ) – cos ]. 2 4 2 4 4 ∫ sin(ax + b) On sait que : On sait que : cos (π + Donc : I = - π 4 dx = - ) = -cos π 4 . 1 2 2 1 [] = . 2 2 2 2 2 1 I = ∫ (2t − 4)e t dt. 7- 0 On pose : U = (2t – 4) V’ = et U’ = 2 V = et . 1 1 0 0 © www.e-tahero.net – Z.M.F I = ∫ (2t − 4)e t dt = [et (2t – 4)]10 - ∫ 2e t dt. = [e (-2) – (-4)] – 2 [et]10. = -4e + 6. Portail des Etudiants d’Economie - 22 -
  26. 26. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques e 8- I= log x dx. 2 1 x ∫ On pose : V = log x U’ = V’ = 1 x2 1 x U=- 1 x e 1 1 .log x]e1 + ∫ 2 dx. x 1 x 1 1 = [ - . Log e + 1. log 1] – [ - 1]. e e 2 + 1. =e I = [- π 9- I = ∫ 2t sin t dt. 0 On pose : V = 2t U’ = sin t V’ = 2 U = -cos t. π I = - [2t.cos t]π0 + ∫ 2 cos t dt. 0 = - [2 π cos π - 0] + 2 [sin t]π0. = 2 π. VI- Décomposition : 1+ x . ( x + 4) 2 ( x − 1) 1+ x A B C R(x) = = + + . 2 2 ( x + 4) ( x − 1) ( x + 4) ( x − 1) ( x + 4) 3 * Calculer B : B = 5 2 * Calculer C : C = 25 2 * Calculer A : A = 25 © www.e-tahero.net – Z.M.F Décomposition de : R(x) = 3- Lorsque d° P(x) ≥ d° Q(x) : La méthode des calcules est la division euclidienne. Portail des Etudiants d’Economie - 23 -
  27. 27. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques P(x) Q(x) p(x) r(x) P( x) r ( x) = p(x) + Q( x) Q( x) avec d° r(x) < d° Q(x). Exemple : P( x) x4 = . Q( x) x( x + 1) 2 On a d° P(x) > d° Q(x). x (x + 1)2 = x (x2 + 2x + 1). = x3 + 2x2 + x. x4 x4 + 2x3 + x2 x3 + 2x2 + x x-2 3 2 - 2x – x 2x + 4x2 + 2x 3 3x2 + 2x x4 x4 3x 2 + 2 x = 3 = (x – 2) + 3 . x( x + 1) 2 x + 2x x + 2x 2 + x 3x + 2 = (x – 2) + . ( x + 1) 2 x4 ∫ x(x + 1) 2 dx. 3x + 2 I = ∫ x − 2 dx + ∫ dx. ( x + 1) 2 Calcul de I = © www.e-tahero.net – Z.M.F On pose: I1 = ∫ x − 2 dx. I2 = I2 = 3x + 2 ∫ ( x + 1) 2 3x + 2 ∫ ( x + 1) dx. = 3 = 3 2 2 dx. x ∫ (x + 1) 2 dx + 2x + 1 − 1 dx + 2 + 2x + 1 ∫x Portail des Etudiants d’Economie 2 ∫ ( x + 1) 2 dx. 2 ∫ ( x + 1) 2 - 24 - dx
  28. 28. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 3 2x + 1 1 [∫ dx - ∫ dx] + 2 2 ( x + 1) ( x + 1) 2 3 1 2 = [log (x + 1) + ]. 2 x +1 x +1 = Donc : I + I1 + I2. Exercice : Calculer : 2x + 1 ∫ ( x + 1)( x dx + 1) P( x) 2x + 1 A Bx + C = = + 2 . R(x) = 2 Q( x) x +1 ( x + 1)( x + 1) ( x + 1) 2 * Calculer A : A = [R(x) × (x+1)]x = -1 = - 1 2 * Calculer B : 2x 2 Ax = 3 x x Bx 2 =A+B=0 x2 1 ⇒B=-A= . 2 + * Calculer C : On donne à x = 0. Donc 1 = A + C ⇒ A + C = 1. 1 ⇒ C = 1 – A. ⇒C= 3 . 2 3 1  x+  2 2 dx +  2 I= ∫ ∫ ( x 2 + 1) dx. ( x + 1) 1 I = - log x + 1 + I2 2 3 1  x+  1 x+3 2 2 I2 = ∫  2 dx = ∫ 2 dx. 2 x +1 ( x + 1) 1 x 3 dx = ∫ x 2 + 1 dx + 2 ∫ x 2 + 1 dx. 2 1 2x 3 dx = ∫ x 2 + 1 dx + 2 ∫ x 2 + 1 dx. 4 1 3 = log (x2 + 1) + artang x. 4 2 1 1 3 artang x. I = - log x + 1 + log (x2 + 1) + 2 4 2 © www.e-tahero.net – Z.M.F −1 Portail des Etudiants d’Economie - 25 - 2 ∫ ( x + 1) 2 dx.

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