1. Homotecia
Una homotecia es una transformación afín que, a partir de
un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo
factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de
1 deja un único punto fijo, llamado centro de la
transformación.
Homotecia con
centro O y λ>1

2. Propiedades
La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente
conserva:
*El alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados:
(A,B,C) y (A', B', C') en la figura
*El centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la
imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la
figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
*El paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En
la figura (BE) // (CD) porque (BE) //(CD).
Además la homotecia conserva:
el cociente de longitudes: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio
en la figura.

3. Más aún: recta es otra recta paralela.
1.-La imagen de una
2.-Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
3.-Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la
identidad de E: todos los puntos son fijos).
4.-Si k ≠ 0, admite como trasformación recíproca (cuando k = 0, no es biyectiva).
5.-Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este
centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: o = .
6.-Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una
homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. Se dice que el
conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.
7.-k = - 1 corresponde a la simetría de centro C, o una rotación alrededor de C de
ángulo π radianes (180º).
8.-|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
9.-|k| < 1 implica una reducción.
10.- k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro Ω con
una homotecia sin inversión.

4. Homotecias en el plano
Una homotecia en el plano es una transformación del plano en sí mismo en
donde una recta y su homóloga son paralelas. De esta definición, se sigue
fácilmente que las homotecias conservan ángulos, es decir son
transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman
un grupo y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias.
Consideremos la homotecia en la cual la recta OA se transforma en la recta
O'B, siendo O' el homólogo de O y B el homólogo de A. Necesariamente, las
rectas OO' y AB son invariantes en esta homotecia y el punto H1, centro de la
homotecia, es invariante. En esta homotecia la circunferencia de centro O y
radio OA se transforma en la circunferencia de centro O' y de radio O'B y la
razón de la homotecia es la razón (positiva) de los segmentos O'B y OA.
Si por el contrario, el punto A se transforma en B' entonces la recta AB' es
invariante y es el punto H2 el centro de homotecia. En este caso, la razón de
la homotecia es negativa.

5. Ejesdos circunferencias, éstas siempre se pueden considerar como
Dadas de homotecia
homotéticas una de la otra.
En la figura, la circunferencia S2 puede considerarse homotética de s1
bien es en la homotecia de razón positiva, con centro en P1, o de razón
negativa, con centro de homotecia en N1.
Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la
circunferencia S2 es homotética de la circunferencia s1, y la homotecia
de centro P3 en la que la circunferencia s3 es homotética a la
circunferencia s2. La composición de estas dos homotecias es la
homotecia de centro en P2 que transforma la circunferencia s1 en la
circunferencia s3. Es por esta razón que los centros de homotecia
positivos, P1, P2 y P3 están alineados. En general, dadas tres
circunferencias existen seis centros de homotecia, alineados tres a tres
sobre cuatro rectas.
Estas rectas son las llamadas ejes de homotecia de las tres
circunferencias dadas.