Baca selengkapnya melalui tautan berikut: https://emanmendrofa.blogspot.com/2014/11/operasi-himpunan.html

1. Oleh: EmanueliMendrofa, S.Pd
Mata Kuliah: Teori Himpunan dan Logika Matematika

2. Irisan Dua Himpunan
Irisan(interseksi)himpunanAdanBadalahsuatuhimpunanyanganggota-anggotanyamenjadianggotaAdananggotaB.
DitulisA∩B={x|x∈Adanx∈B}dandibacaAirisanB.
Contoh:
1.Diketahui:
S={a,b,c,d,e,f,g}
A={a,b,c}
B={b,c,d,e}
C={d,e,f}
TunjukkandiagramVenndariA∩BdanB∩C

3. Jawaban
AnggotaSyangmenjadianggotaAanBadalahbdancmakaA∩B={b,c}
AnggotaSyangmenjadianggotaBdanCadalahddanemakaB∩C={d,e}
A ∩B dan B ∩C ditunjukkan dengan daerah terarsir.
a
A
b
e
d
c
S
g
f
B
b
B
d
f
e
S
g
a
C
c

4. 2.MisalkanE={2,3,5,7,11}danF={3,6,9,12}
MakaE∩F={3}
3.MisalkanKadalahhimpunanmahasiswaProdiMatematikaKelasBSemesterIdanLadalahhimpunanlaki-lakidanperempuanlanjutusia(50tahunkeatas).
MakaK∩L=Ø
HaliniberartiKdanLadalahsalinglepasatauK//L.
Catatan:
A∩BdanB∩Amerupakanduahimpunanyangsama
KeduahimpunanAdanBmasing-masingmemuatA∩B

5. Gabungan Dua Himpunan
Gabungan(union)duahimpunanAdanBberartipenyatuananggota- anggotahimpunanAdanB.GabunganduahimpunanAdanBditulisA∪B={x|x∈Aataux∈B}dandibacaAgabunganB.
Apabiladiketahuin(A)dann(B)makaberlakun(A∪B)=n(A)+n(B)– n(A∩B)
Contoh:
1.DiketahuiS={x|x≤10,x∈N},A={1,2,3,6,8}danB={4,6,8,9}.
TunjukkanA∪BdengandiagramVenn.
Jawaban:
S={x|x≤10,x∈N}
S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
(A∩B)={6,8}

6. Diagram Venn
A ∪Bditunjukkan dengan daerah terarsir.
4
3
2
5
6
8
7
10
9
A
S
B
1

7. 2.JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}makaP∪Q={a, b,c,d,e,f}
Catatan:
P∪QdanQ∪Pmerupakanduahimpunanyangsama
KeduahimpunanPdanQmasing-masingmerupakanhimpunanbagianpadaP∪Q
3.Padasebuahtamankanak-kanakdiketahui43anaksukamelukis,46anaksukamenyanyi,20anaksukakeduanya, dan11anaktidaksukakeduanya.Tentukanjumlahanakditamankanak-kanaktersebut.

8. Jawaban:
Misal
P=banyakanaksukamelukis
Q=banyakanaksukamenyanyi
R=banyakanaktidaksukamelukisdanmenyanyi
n(P)=43
n(Q)=46
n(P∩Q)=20
N(R)=11
n(P∪Q)=n(P)+n(Q)–n(P∩Q)=43+46–20=69
Jumlahanak=n(P∪Q)+n(R)=69+11=80
Jadi,jumlahanakditamankanak-kanaktersebut80.

9. Komplemen Suatu Himpunan
KomplemensuatuhimpunanPadalahhimpunanyangterdiriatassemuaanggotasemestaStetapibukananggotahimpunanP.
DitulisP푐={x|x∈Sdanx∉P}.Komplemenseringjugaditulisdengan P.
Untukkomplemensuatuhimpunan,berlakun(S)=n(A∪B)+ n(A∪B)푐
Contoh:
1.DiketahuiS={x|-4<x≤3,x∈Z}danA={x|0≤x≤2,x∈ Z}.TunjukkanA푐dengandiagramVenn.
Jawaban:
S={x|-4<x≤3,x∈Z}
S={-3,-2,-1,0,1,2,3}

10. A={x|0≤x≤2,x∈Z}
A={0,1,2}
A푐={-3,-2,-1,3}
DiagramVenn
A푐ditunjukkandengandaerahterarsir.
S
1
2
3
0
-1
-2
-3
A

11. 2.JikaP={a,b,c}danS={a,b,c,d,e,f,g,h}makaP푐= {d,e,f,g,h}
3.A∪A푐=SdanA∩A푐 =Ø
4.Sc=ØdanØc=S
5.A푐푐 =A
6.Dari48orangmahasiswa,27orangmahasiswagemarmatematika,20orangmahasiswagemarfisika,7oranggemarmatematikadanfisika.Tentukanlahbanyaknyamahasiswatidakgemarmatematikadanfisika,buatlahdiagramVenn-nya.

12. Jawaban:
Misalkan:A=gemarmatematika
B=gemarfisika
n(S)=48
n(A)=27
n(B)=20
n(A∩B)=7
n(A∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B)
=27+20–7=40
n(S)=n(A∪B)+n(A∪B)푐
48=40+n(A∪B)푐
n(A∪B)푐=48-40=8
S
A
B
8 orang
13 orang
7 orang
20 orang

13. Selisih (Difference) Dua Himpunan
HimpunanPselisihQadalahhimpunanyanganggotanyahimpunanPtetapibukananggotahimpunanQ.DitulisP–Q={x|x∈Pdanx∉Q}atauP∩Q푐={x|x∈Pdanx∈ Q푐}.P–QdanP∩Q푐merupakanduahimpunanyangsama.
Contoh:
1.JikaP={a,b,c}danQ={1,2}makaP–Q=P={a,b,c}
2.JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}makaP–Q={a,b}
3.DiketahuiS={x|-4<x≤8,x∈Z}danV={x|-2<x≤5,x∈Z},danW={x|2<x,x∈Z}.
TunjukkandengandiagramVennhimpunanV–W.

14. S={x|-4<x≤8,x∈Z}={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}
V={x|-2<x≤5,x∈Z}={-1,0,1,2,3,4,5}
W={x|2<x,x∈Z}={3,4,5,6,7,8}
W푐={-3,-2,-1,0,1,2}
V∩W={-1,0,1,2,3,4,5}∩{3,4,5,6,7,8}={3,4,5}
V∪W={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}
V-W푐=V∩W푐={-1,0,1,2,3,4,5}∩{-3,-2,-1,0,1,2}
V-W푐={-1,0,1,2}
W푐ditunjukkandengandaerahterarsir.
6
2
1
0
3
5
4
7
8
V
S
W
-1
-2
-3

15. Jumlah Dua Himpunan
JumlahhimpunanAdanB(dinotasikanA+B)adalahhimpunansemuaelemenAatausemuaelemenBtetapibukanelemenkeduanya.
Secaranotasioperasijumlahdapatditulis:
A+B={x|x∈Aataux∈B,danx∉A∩B}
Contoh:
1.JikaA={x|x²-8x+12=0}danB={x|x²-4=0}
makaA+B={-2,6}
2.P={x|x²-8x+12=0}danQ={1,3,5}maka
P+Q={1,2,3,5,6}

16. 3.DiketahuiS={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u},
A=(a,b,c,d,e}danB={a,e,i,o,u}
TunjukkanA+BdengandiagramVenn.
Jawaban:
A=(a,b,c,d,e}
B={a,e,i,o,u}
A+Bditunjukkandengandaerahterarsir.
i
d
c
h
a
e
f
g
u
A
S
B
b
j
k
o
l
m
n
p
q
r
s
t

17. Beda Setangkup / Selisih Simetris
SelisihsimetrisduahimpunanAdanBditulisA⨁B.Bedasetangkup/selisihsimetrisadalahhimpunanyangelemen- elemen(unsur-unsur)dariPataudariQtetapitidakkedua- duanya.
Notasi:A⨁B=(A∪B)–(A∩B)=(A–B)∪(B–A)
Contoh:
JikaA={2,4,6}danB={2,3,5}maka:
(A∪B)={2,3,4,5,6}
(A∩B)={2}
A⨁B={3,4,5,6}

18. Atau
A–B={4,6}
B–A={3,5}
A⨁B={3,4,5,6}
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
a)A ⨁B = B ⨁A (sifat komutatif)
b)(A ⨁B) ⨁C = A ⨁(B ⨁C) (sifat asosiatif)

19. Hukum-hukum Himpunan
Hukumidentitas
A ∪Ø= A
A∩S = A
Hukumnullatau dominasi
A∩Ø= Ø
A ∪S = S
Hukumkomplemen
A ∪A푐= S
A ∩A푐= Ø

20. Hukum-hukum Himpunan
Hukumidempotent
A ∪A = A
A∩S = A
HukuminvolusiA푐푐 = A
Hukumpenyerapan(absorpsi)
A ∪(A ∩B) = A
A∩(A∪B) = A

21. Hukum-hukum Himpunan
Hukumkomutatif
A ∪B = B ∪A
A∩B = B∩A
Hukumasosiatif
A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
Hukumdistributif
A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C)
A∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C)

22. Hukum-hukum Himpunan
HukumDe Morgan
(A∩B)푐= A푐∪B푐
(A∪B)푐= A푐∩B푐
Hukum0/1
Øc=S
Sc=Ø

23. Contoh soal tentang Hukum/Dalil De Morgan
Diketahui : Himpunan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Himpunan A = {1, 2, 3}
Himpunan B = {3, 4}
Ditanya: Tunjukkan kedua dalil/hukum De Morgan melalui
himpunan di atas . . . ?
Jawaban :
A ∩B= {3}
(A∩B)푐= {1, 2, 4, 5, 6}
A푐= {4, 5, 6}
B푐= {1, 2, 5, 6}
A푐∪B푐= {4, 5, 6} ∪{1, 2, 5, 6} = {1, 2, 4, 5, 6}
Jadi, (A∩B)풄= A풄∪B풄

24. A ∪B= {1, 2, 3, 4}
(A∪B)푐= {5, 6}
A푐= {4, 5, 6}
B푐= {1, 2, 5, 6}
A ∩B = {3}
A푐∩B푐= {4, 5, 6}∩{1, 2, 5, 6} = {5, 6}
Jadi, (A∪B)풄= A풄∩B풄

25. Sifat-sifat yang Berlaku Pada Operasi Himpunan yaitu:
1.n(S) = n(A ∪B) + n(A∪B)푐
2.n(A ∪B) = n(A) + n(B) –n(A ∩B)
3.n(S) = n(A) + n(B) –n(A ∩B) + n(A∪B)푐
4.n(A푐) = n(S) -n(A)
5.n(A∩B) = n(A) + n(B) –n(A∪B)
6.n(A + B) = n(A ∪B) –n(A ∩B)
7.n(A -B) = n(A) –n(A ∩B)
8.n(A + A) = 0
9.n(A ∪S) = n(S)
10.n(A∩S) = n(A)
11.n(A -S) = 0
12.n(A ∪A푐) = n(S)
13.n(A ∩A푐) = 0

26. Contoh Soal Sifat-sifat yang Berlaku Pada Operasi Himpunan
Contoh 1:
Tentukan nilai X dengan diagram venn berikut ini:
Jika n(S) = 16
5
x
3
6
B
A
S

27. Jawaban
Diketahui : n(S) = 16
n(A) = 3 + x
n(B) = 5 + x
n(A∪B)푐= 6
Ditanya :nilai x [n(A ∩B)]...?
Penyelesaian:
n(S)= n(A) + n(B) –n(A ∩B) + n(A∪B)푐
16= (3 + x) + (5 + x) –x + 6
16= 3 + x + 5 + x –x + 6
16= 14 + x
Atau bisa ditulis:
14 + x = 16
14 + x –14 = 16 –14
x = 2
(kedua sisi dikurang 14)

28. Contoh 2:
Perhatikan gambar berikut:
Jika n(S) = 27, tentukan nilai x dan n(A)!
5
6
3x
x
B
A
S

29. Jawaban
Diketahui : n(S) = 27
n(A) = 3x + 6
n(B) = 11
n(A∪B)푐= x
n(A ∩B) = 6
Ditanya :nilai x dan n(A)...?
Penyelesaian:
n(S)= n(A) + n(B) –n(A ∩B) + n(A∪B)푐
27= (3x + 6) + 11 –6 + x
27= 3x + 6 + 11–6 + x
27= 4x + 11
Atau bisa ditulis:
4x + 11 = 27
4x + 11 –11 = 27 –11
4x = 16
(kedua sisi dikurang 11)

30. 4x = 16 4x4= 164
x= 4
Jadi, nilai n(A) = 3x + 6
= 3 . 4 + 6
= 12 + 6
= 18
(kedua sisi dibagi 4)