1. Univerzitet u Sarajevu
Prirodno-matematiˇcki fakultet Sarajevo
Odsjek za fiziku
II ciklus studija – op´ci smjer
Fenomenologija
skalarnih leptokvarkova
Zavrˇsni — Magistarski rad
Mentor:
doc. dr. Ilja Dorˇsner
Student:
Emina Dˇzaferovi´c
Sarajevo, juni 2013. godine
4. 1. Uvod
1 Uvod
” To see a world in a grain of sand
And a heaven in a wild flower
Hold infinity in the palm of your hand
And eternity in an hour. ”
William Blake
U ovom radu govorit ´cemo o fenomenologiji skalarnih leptokvarkova. No prije
nego krenemo sa izlaganjem materije, potrebno je ˇcitaoca uvesti u svijet ˇcestica iz
kojeg dolazi i sama tema.
Kada govorimo o fizici, govorimo o materijalnom i prostoru u kojem materi-
jalno obitava, odnosno materiji i fizikalnom polju. Dakle, imamo materiju, i nešto
izme ¯du materije, nešto što je drži takvom kakva jeste — fizikalno polje, odnosno
silu. Ako bismo smještali poˇcetak ˇcovjekovog bavljenja ˇcesticama u historijski
okvir, onda bi to bilo doba grˇckog filozofa Demokrita [2,3], 5. stolje´ce prije nove
ere. On je govorio o atomu, nedjeljivoj ˇcestici, onom od koje je sve saˇcinjeno.
Ipak, na potvrdu atoma ˇcekalo se sve do 19. stolje´ca, do unazad stotinu i malo
više godina. A onda je sve krenulo. Otkrili smo elektron, pa proton, pa neutron,
a zatim nam je zatrebao neki mali neutron, kojeg smo nazvali neutrino, pa su
onda došli na red kvarkovi, ali bitno je re´ci da su kvarkovi ˇcestice koje su najprije
postulirane, a tek kasnije otkrivene. U svakom sluˇcaju, postulirani pa otkriveni —
prisutni u fizikalnom svijetu — nisu mogli ostati tako sami u tek novom stvorenom
modelu ˇcestica, pa smo na drugu obalu stavili leptone, ˇciji najstariji ili najpozna-
tiji predstavnik je elektron. A kada je taj mali svijet ˇcestica postao veliki, onda
smo ih poˇceli klasificirati, a samo neke su našle svoje mjesto u knjigama i opštim
fizikama. Trenutno ih znamo stotine. Neke od njih su fundamentalne, dakle one
bez unutrašnje strukture (kao npr. elektron), a neke i kompozitne, složene, dakle
one sa unutrašnjom strukturom (kao npr. proton). Sigurno je da ´ce ih biti još i
više. A onda, unazad koje desetlje´ce dolaze neki novi hipotetski stanovnici u taj
ˇcarobni svijet malih dimenzija, dolaze leptokvarkovi. Dakle i leptokvarkovi su
ˇcestice. Ali glavno je pitanje kakve i sa kakvim osobinama. A na to pitanje ´cemo
pokušati odgovoriti u ovom radu.
U samom nazivu teme imamo dvije kljuˇcne rijeˇci: fenomenologija i leptokvar-
kovi. Ve´c smo se upoznali sa tim da su leptokvarkovi ˇcestice, a kakve i sa kakvim
osobinama — o tome ´cemo više saznati u radu. Što se tiˇce rijeˇci fenomenolo-
gija, evo nešto i o tome. Prva asocijacija na rijeˇc fenomenologija je filozofija, jer
se to smatra filozofskom disciplinom, odnosno pravcem. Sama rijeˇc fenomeno-
logija dolazi od grˇckih rijeˇci phainomenom (phainomai - pojavljivati se) i logos
2
5. 1. Uvod
(um). Sve što se pojavljuje, pojavljuje se u odre ¯denim doživljajima; nema “ne-
doživljenog” pojavljivanja. Cilj fenomenologije se u skladu s time opisuje kao
istraživanje doživljaja koje treba poslužiti prikazu “esencija”, naime “uma” koji
je u temelju doživljaja. To je vrlo op´cenita definicija koja nam ništa ne govori o
tome na koji se naˇcin to istraživanje provodi ili bi se trebalo provoditi; ali ona vrlo
jasno ukazuje gdje se može na´ci polje za fenomenološka istraživanja. Ono je u
podruˇcju doživljaja.
Tekst iznad bismo mogli pripisati nekom uvodnom izlaganju o tome šta je fe-
nomenologija kao filozofski pravac ili disciplina, no šta je to u svijetu fizike, ili
konkretno u svjetlu onoga ˇcime se bavi ovaj rad? Fenomenologija u 20. vijeku
se odnosi na pravac u filozofiji koji je razvio Edmund Husserl [4] i neki od nje-
govih sljedbenika. Danas se obiˇcno u kolokvijalnoj upotrebi termin “fenomen”
upotrebljava u znaˇcenju “pojave”, ali u filozofiji on ima šire i složenije znaˇcenje:
to je suština koja se pojavljuje, otkriva našoj svijesti, tj. pojavljivanje neˇceg što
stoji iza same pojave kao njena bit, smisao, temelj, izvor, bitak...
Dakle, fenomenologija u ovom radu se bavi fenomenom, suštinom, biti lep-
tokvarkova, onim što je do sada poznato o ovim hipotetskim ˇcesticama, njihovim
osobinama i fenomenima vezanim za iste. Za sve ostalo, ˇcitaoca ´cemo uputiti
na put preko ovih redaka, slika i formula, u vrijeme koje tek dolazi ili kojem tek
idemo, u svijet u kojem nove ideje i novi fenomeni tek trebaju biti otkriveni.
3
6. 1.1 Standardni Model 1. Uvod
1.1 Standardni Model
Standardni Model [6,7,8] fizike elementarnih ˇcestica je teorija koja opisuje tri od
ˇcetiri poznate fundamentalne sile kao i ˇcestice na koje te sile djeluju. Upravo ove
ˇcestice ˇcine svu vidljivu materiju u svemiru. Ipak, samim tim što ukljuˇcuje tri
fundamentalne sile — elektromagnetnu, jaku nuklearnu i slabu nuklearnu — ali
ne i gravitaciju kao ˇcetvrtu, ostaje nepotpunom teorijom.
1.1.1 Kiralna teorija
Standardni Model je kiralna gauge1
teorija. Kada kažemo kiralna teorija, to znaˇci
da gauge simetrije Standardnog Modela razliˇcito tretiraju ljevoruke u odnosu na
desnoruke ˇcestice. Da bismo govorili o ljevorukim, odnosno desnorukim ˇcesti-
cama, moramo se upoznati sa pojmom heliciteta. Helicitet predstavlja projekciju
spina na pravac ketanja, pri ˇcemu je spin osnovna osobina elementarnih ˇcestica,
kompozitnih ˇcestica (hadrona) i atomskih jezgara. Kvantno-mehaniˇcke je prirode
i ne može se opisati makroskopski. Predstavlja vrstu ugaonog momenta, a s ob-
zirom da je spinski ugaoni moment S kvantiziran, dozvoljene vrijednosti za S
su:
S = s(s + 1) (1)
pri ˇcemu je s vrijednost spina (0, 1, 2 za bozone i polucjelobrojni za fermione).
Kada je rijeˇc o jedinicama, ovdje koristimo prirodni sistem jedinica [1,7], a ne
SI. U prirodnom sistemu jedinica je
= c = 1 (2)
= [energija × vrijeme]
= [dužina × impuls] (3)
1
Gauge ili baždarena teorija je teorija u kojoj je Lagranžijan invarijantan pod kontinuiranom
grupom lokalnih simetrija. Transformacije (baždarene ili gauge transformacije) ˇcine Lievu grupu
koja predstavlja grupu simetrija ili gauge grupu za datu teoriju. Svaku Lievu grupu karakterišu
njeni generatori. Za svaki taj generator postoji odgovaraju´ce vektorsko polje, tj. gauge odnosno
baždareno polje. Ta polja su ukljuˇcena u izraz za Lagranžijan i omogu´cuju mu invarijantnost pod
lokalnom grupom transformacija. Kada je takva teorija kvantizirana, kvanti gauge polja se zovu
gauge bozoni.
4
7. 1.1 Standardni Model 1. Uvod
[brzina] = broj (4)
[energija] = [impuls] = [masa] (5)
[dužina] = [masa]−1
(6)
Jedinica koju koristimo za energiju je [9]:
1 eV = 1.602 × 10−19
J . (7)
Na osnovu (2) i (7) možemo dobiti sljede´ce:
1s = 1.519 × 1015
eV−1
(8)
1m = 0.506 × 107
eV−1
. (9)
Da bismo nastavili govoriti o helicitetu, odnosno o ˇcetverovektoru heliciteta,
potrebno je definisati ˇcetverovektore.
Ve´c znamo da vektor opisuje tri dimenzije, npr. tri dimenzije prostora, visinu,
širinu i dužinu. Slijede´ci ovaj pristup, ˇcetverovektor nije ništa drugo do vektor
koji opisuje ˇcetiri dimenizije, npr. tri dimenzije prostora i dimenziju vremena. To
zapisujemo ovako:
xµ
= {xµ
}
= (ct, x, y, z)
= (x0
, x1
, x2
, x3
) . (10)
Prostorno vremenski interval ds2
je dat relacijom:
ds2
= dxµ dxµ
= c2
dt2
− dx2
− dy2
− dz2
(11)
i invarijantan je u odnosu na Lorentzove transformacije.
Po analogiji na skalarni proizvod vektora (koji je invarijantan u odnosu na
rotacije) definišemo skalarni proizvod ˇcetverovektora tako da ostane invarijantan
u odnosu na Lorentzove transformacije:
5
8. 1.1 Standardni Model 1. Uvod
ds2
= dx · dx
= c2
dt2
− dx2
− dy2
− dz2
=
µ,ν
gµνdxµ
dxν
= gµν
dxµdxν (12)
pri ˇcemu je
gµν
= gµν =
0 µ ν
−1 µ = ν 0
1 µ = ν = 0
(13)
odnosno
gµν
= gµν =
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
. (14)
Treba napomenuti da smo u jednaˇcini (12) prešli na Einsteinovu konvenciju
po kojoj se sumiranje vrši po dva ponovljena indeksa u datom izrazu. U opštem
sluˇcaju ˇcetverovektor možemo definisati kao skup 4 broja aµ
≡ (a0
, a1
, a2
, a3
) koji
se pri homogenim Lorentzovim transformacijama
x µ
= Λµ
ν xν
, µ, ν = 0, 1, 2, 3 (15)
transformiše prema relaciji:
a µ
= Λµ
νaν
. (16)
Skalarni proizvod dva ˇcetverovektora se definiše na sljede´ci naˇcin:
a · b = gµν aµ
bν
= a0
b0
− a · b . (17)
Operator heliciteta h, za ˇcesticu impulsa p, glasi
h = 2
p
|p|
· S , (18)
gdje je S operator spina. Za fermion sa projekcijama spina +1/2 i −1/2 operator
S poprima oblik S = σ/2, gdje su σ = (σ1, σ2, σ3) Paulijeve matrice:
6
9. 1.1 Standardni Model 1. Uvod
σ1 =
0 1
1 0
, σ2 =
0 −i
i 0
, σ3 =
1 0
0 −1
. (19)
Dakle, ako se radi o projekciji u pravcu impulsa h = +1, onda je to desnoruka
ˇcestica, i obratno, ako je projekcija spina u suprotnom pravcu od pravca kretanja
ˇcestice h = −1, onda se radi o ljevorukoj ˇcestici. Preciznije govore´ci, rijeˇc je o
ˇcestici desnorukog heliciteta i ˇcestici ljevorukog heliciteta.
No, kada u Standardnom Modelu govorimo o ljevorukim i desnorukim ˇces-
ticama, ne mislimo na helicitet, ve´c kiralnost. Šta to znaˇci? Znaˇci da ˇcestice u
Standardnom Modelu razdvajamo na njihove ljevoruke i desnoruke kiralne kom-
ponente. Naime, u fizici elementarnih ˇcestica, Diracov fermion [5] se opisuje
matricom kolonom koja ima ˇcetiri komponente:
ψ =
φ1
φ2
φ3
φ4
(20)
pri ˇcemu prve dvije komponente ˇcine jedan spinor, a druge dvije drugi spinor:
ψ1 =
φ1
φ2
i ψ2 =
φ3
φ4
(21)
pa se zbog toga matrica kolona koja opisuje Diracov fermion naziva bi-spinorom.
Vratimo se sada razdvajanju ˇcestica na ljevoruke i desnoruke komponente. To
radimo pomo´cu γ5
matrice koja u kiralnoj reprezentaciji izgleda ovako:
γ5
=
I 0
0 −I
. (22)
Sada stanje ψ nekog fermiona pomo´cu tzv. operatora projekcije PR,L ≡ (1 ±
γ5
)/2 razdvajamo na ljevoruko i desnoruko:
ψL ≡ PLψ =
1 − γ5
2
ψ ljevoruko polje (23)
ψR ≡ PRψ =
1 + γ5
2
ψ desnoruko polje (24)
odnosno
7
10. 1.1 Standardni Model 1. Uvod
ψL =
0
ψ2
i ψR =
ψ1
0
. (25)
Upravo te komponente se razliˇcito transformišu pod gauge grupom Standard-
nog Modela. Ve´c nam je poznato da su kvarkovi fermioni, pa se i oni opisuju
pomo´cu Diracovih fermiona, što znaˇci da i za kvarkove vrijedi prethodno napi-
sano pa možemo dobiti donji ljevoruki kvark dL i donji desnoruki kvark dR kao i
gornji ljevoruki kvark uL i gornji desnoruki kvark uR .
Kako su uL i dL dio dvodimenzionalne reprezentacije, transformišu se kao
dublet pod SU(2)2
grupom, dok pod tom istom grupom uR i dR predstavljaju jed-
nodimenzionalne reprezentacije, tzv. singlete.
Op´cenito, ˇcestice u gauge teoriji se transformišu u odnosu na neku sime-
triju. Kada je rijeˇc o Standardnom Modelu, radi se o direktnom proizvodu grupa
SU(3)×SU(2)×U(1). SU(3) grupa ima 8 generatora (32
−1) i oni odgovaraju glu-
onima, prenosnicima jake nuklearne sile. SU(2) grupa ima 3 generatora (22
− 1) a
U(1) grupa ima jedan generator. Dva od ova ˇcetiri generatora linearnim kombini-
ranjem daju neutralni bozon3
Z (prenosnik slabe nuklearne sile) i foton (prenosnik
elektromagnetne sile, tako ¯de neutralan). Linearnom kombinacijom druga dva ge-
neratora dobijamo još dva bozona, ali naelektrisana: W+
(naboj +1e4
) i W−
(naboj
-1e), koji su tako ¯de prenosnici slabe nuklearne sile.
2
Specijalna unitarna grupa SU(N) je grupa unitarnih matrica dimenzije N × N. S dolazi od
special što oznaˇcava svojstvo da je determinanta matrice jednaka jedinici, a U dolazi od unitary
što znaˇci da se radi o unitarnim matricama, dakle U†
U = 1. Grupna operacija je množenje matrica.
Broj generatora je jednak N2
− 1.
3
To su ˇcestice sa cjelobrojnim spinom koje se povinuju Bose-Einstein statistici.
4
e - elementarni naboj koji predstavlja elektriˇcni naboj koji nosi proton ili ekvivalentno tome:
suprotan elektriˇcni naboj onome koji nosi elektron. Elementarni naboj je fundamentalna fizikalna
konstanta. Da bi se izbjegla konfuzija u vezi sa predznakom, nekad se naziva elementarni pozitivni
naboj. Ovaj naboj ima izmjerenu vrijednost koja aproksimativno iznosi e=1.602 176 565 ×10−19
C (Coulomba).
8
11. 1.1 Standardni Model 1. Uvod
Slika 1: Fermioni Standardnog Modela
U Standardnom Modelu postoje tri generacije ˇcestica [6,7,8], po petnaest fer-
miona5
u svakoj. Kako je ova teorija kiralna teorija, i razliˇcito tretira ljevoruke od
desnorukih ˇcestica, to se oˇcituje najprije u tome što ljevoruke dolaze u dubletima,
a desnoruke u singletima.
Op´cenito ih dijelimo na kvarkove i leptone. Na Slici 1 je prikaz tih ˇcestica za-
visno od generacije kojoj pripadaju, pri ˇcemu i = 1, 2, 3 predstavlja indeks SU(3)
grupe i stoji za boju kao dodatni kvantni broj kvarkova.
1.1.2 Higgsov bozon
Pored elementarnih ˇcestica, Standardni Model sadrži, kao što je ranije reˇceno, i
nosioce interakcija opisanih u ovoj teoriji. Za elektromagnetnu silu to su fotoni,
za jaku nuklearnu to su gluoni i za slabu nuklearnu to su bozoni i to W−
, W+
, i Z.
Postoji još jedan bozon u ovoj teoriji, tzv. Higgsov bozon. Dvije velike na-
uˇcne kolaboracije CMS i ATLAS koje rade na LHC-u (Veliki sudaraˇc ˇcestica) su
objavile 4. jula 2012. godine da vide signal u prikupljenim podacima koji ima
odlike tog bozona. Ako se pokaže da je to zaista Higgsov bozon, Standardni Mo-
del bi bio kompletiran, odnosno sve ˇcestice Standardnog Modela bi bile otkrivene.
Rekli smo da Standardni Model ne sadrži gravitaciju što ga ˇcini nepotpunom
teorijom, no to nije sve. Naime, ne opisuje mase neutrina, iako one postoje i mogu
biti ili Diracova ili Majorana masa.
5
To su ˇcestice sa polucjelobrojnim spinom koje se povinuju Fermi-Diracovoj statistici.
9
12. 1.1 Standardni Model 1. Uvod
1.1.3 Diracov fermion
Diracov fermion je fermion koji nije istovremeno i svoja antiˇcestica. Prema tome,
svi fermioni u Standardnom Modelu su Diracovi fermioni osim možda neutrina.
Op´cenito fermione, dakle ˇcestice sa polucjelobrojnim spinom, opisujemo Diraco-
vom jednaˇcinom:
i
∂Ψ(x, t)
∂t
= (−iα · + βm)Ψ(x, t) ≡ HΨ(x, t) (26)
pri ˇcemu je Ψ(x, t) Diracov bi-spinor koji predstavlja ˇcetverokomponentnu ma-
tricu kolonu.
Matrice α i β su hermitske 4×4 matrice date sa:
α =
σ 0
0 σ
, β =
1 0
0 −1
. (27)
Ako uvedemo Diracove γ-matrice na sljede´ci naˇcin:
γ0
= β i γi
= βαi
, (28)
i za njih vrijedi Cliffordova algebra
{γµ
, γν
} = γµ
γν
+ γν
γµ
= 2gµν
1l . (29)
Radi lakšeg i kra´ceg pisanja, u nastavku ´cemo Ψ(x, t) zamijeniti sa Ψ: Ψ(x, t) ≡
Ψ.
Diracovu jednaˇcinu možemo pisati u kompaktnijem obliku:
(iγµ
∂µ − m)Ψ = 0 , (30)
odnosno, ako uvedemo oznaku a ≡ aµγµ
imamo:
(i ∂ − m) Ψ = 0 . (31)
Odgovaraju´ci Lagranžijan izgleda ovako:
L = Ψ(i ∂ − m)Ψ , (32)
gdje je Ψ adjungovani spinor koji se definiše na sljede´ci naˇcin:
Ψ = Ψ†
γ0
. (33)
10
13. 1.1 Standardni Model 1. Uvod
Ovaj spinor ´cemo sada rastaviti na njegove kiralne komponente, ljevoruku i
desnoruku, da bismo pokazali šta je to Diracova masa koja je za neutrine Stan-
dardnim Modelom zabranjena i zašto je to tako. Razdvajanje vršimo pomo´cu
projekcionog operatora koriste´ci jednaˇcine (23) i (24).
Ali, moramo pri tome definisati matricu γ5
. Ranije smo uveli Diracove γ-
matrice, no op´cenito one mogu imati više reprezentacija. Ona koju smo ranije
naveli naziva se Diracovom, a sada ´cemo uvesti kiralnu, jer nam upravo ta re-
prezentacija treba za dobivanje kiralnih komponenti Diracovog spinora. Ona je
odabrana tako da je u njoj matrica γ5
dijagonalna:
γ0
=
0 −I
−I 0
, γ =
0 σ
−σ 0
, γ5
=
I 0
0 −I
. (34)
Zbog svojstva γ matrica da zadovoljavaju Cliffordovu algebru, vrijede sljede´ce
relacije:
P2
R,L = PR,L i PRPL = PRPL = 0 . (35)
Na osnovu toga dobivamo maseni ˇclan:
L = −m Ψ Ψ = −m (ΨLΨR + ΨRΨL). (36)
Ovo se naziva Diracovom masom. Ovaj maseni ˇclan miješa kiralne kompo-
nente polja pa su vlastita stanja mase Diracovog polja ΨD = ΨL + ΨR.
U Standardnom Modelu, ovakvo nešto bi bilo zabranjeno jer narušava gauge
invarijantnost. Naime, desnoruka fermionska polja su singleti SU(2), dok su ljevo-
ruka dubleti, i zbog toga maseni ˇclan kao dublet ne bi bio invarijantan pod SU(2)
gauge transformacijom.
Ali, Higgsov bozon je dublet pod SU(2) grupom. Dakle, gauge invarijantnost
zadržavamo korištenjem Higgsovog mehanizma u kojem svi fermioni u Standard-
nom Modelu imaju Yukawa konstante me ¯dudjelovanja6
sa poljem Higgsovog bo-
zona Φ. To možemo pisati:
LYukawa = −Yψ ΨL Φ ΨR + h.k. , (37)
gdje Yψ predstavlja matricu za Yukawa konstante me ¯dudjelovanja, a kontrakcija
u SU(2) prostoru se podrazumijeva. Higgsovo polje dobiva vakuumski oˇcekivanu
6
Za Yukawa konstante me ¯dudjelovanja možemo re´ci da su konstante koje dolaze od Yukava
interakcije (nazvane po Hideki Yukawi) izme ¯du skalarnog polja φ i Diracovog polja ψ tipa V ∝
g ¯ψφψ (skalar) ili V ∝ g ¯ψγ5
φψ (pseudoskalar). U Standardnom Modelu imamo fermione, dakle
ˇcestice Diracovog polja i Higgsov bozon, ˇcesticu skalarnog polja.
11
14. 1.1 Standardni Model 1. Uvod
vrijednost Φ =
0
v/
√
2
koja izme ¯du ostalog generiše mase fermiona. ˇClan u
Lagranžijanu koji je za to zadužen glasi:
LYukawa = −Yψ
v
√
2
(ΨL ΨR + ΨR ΨL) + interakcija. (38)
U Standardnom Modelu svi fermioni dobivaju masu na ovaj naˇcin. Masa fer-
miona opisanog poljem ψ data je sa:
mψ = Yψ
v
√
2
(39)
Jedini izuzetak je neutrino, s obzirom da ne postoje desnoruka polja za njega. Zato
je u toj teoriji neutrino bezmasivna ˇcestica. Ipak, ako se uvedu desnoruki neutrini,
tada neutrini mogu imati Diracovu masu.
1.1.4 Skalarno polje - Klein-Gordonova jednaˇcina
Za opis skalarnih polja služimo se Klein-Gordonovom jednaˇcinom [5] koja je ot-
krivena prije Diracove jednaˇcine i to 1926. godine. Naime, Diracova jednaˇcina je
dobijena linearizacijom Klein-Gordonove jednaˇcine.
U dijelu 1.1.3 bavili smo se Diracovim fermionom i Diracovom jednaˇcinom
koja opisuje fermione, dakle ˇcestice sa polucjelobrojnim spinom. U ovom dijelu
bavimo se Klein-Gordonovom jednaˇcinom koja opisuje ˇcestice sa spinom nula.
Da bismo došli do Klein-Gordonove jednaˇcine, po´ci ´cemo od principa kores-
pondencije koji kaže da energiju E i impuls p zamjenjujemo sa sljede´cim diferen-
cijalnim operatorima:
E → ˆE = i
∂
∂t
(40a)
p → ˆp = −i
∂
∂x
(40b)
Koriste´ci kontravarijantni ˇcetverovektor
pµ
≡
E
c
, p = (p0
, p1
, p2
, p3
) (41)
dobivamo:
pµ
→ ˆpµ
= i
∂
∂xµ
= i ∂µ
(42)
12
15. 1.1 Standardni Model 1. Uvod
Relativistiˇcka energija slobodne ˇcestice je data sljede´cim izrazom:
E2
= p2
c2
+ m2
c4
(43)
pa je invarijantni skalarni proizvod ˇcetverovektora impulsa:
pµ pµ
=
E2
c2
− p2
= m2
c4
(44)
Na osnovu principa korespondencije i formule za relativistiˇcku energiju imamo:
i
∂
∂t
ψ = − 2c2 2 + m2c4 ψ (45)
Nakon što (45) kvadriramo i primijenimo princip korespondencije, dobivamo
Klein-Gordonovu jednaˇcinu:
− 2 ∂2
∂t2
ψ = (− 2
c2
+ m2
c4
)ψ (46)
Ovo možemo napisati u kompaktnijem obliku:
( 2
∂µ∂µ
+ 1)ψ = 0 (47)
pri ˇcemu je
=
mc
(48)
S obzirom da je D’Alembertov operator
≡ ∂µ∂µ
(49)
Lorentz invarijantan, slijedi i da je Klein-Gordonova jednaˇcina Lorentz invari-
jantna:
( 2
+ 1)ψ = 0 (50)
odnosno u prirodnom sistemu jedinica:
( + m2
)ψ = 0 . (51)
Za kompleksno skalarno polje, Lagranžijan je:
L = (∂µφ)†
∂µφ − m2
φ†
φ (52)
pa na osnovu Euler-Lagrangeove jednaˇcine kretanja
13
16. 1.1 Standardni Model 1. Uvod
∂µ ∂L
∂(∂µφ∗)
−
∂L
∂φ∗
= 0 (53)
imamo:
( + m2
) φ = 0 (54a)
( + m2
) φ∗
= 0 . (54b)
Kako je φ kompleksno polje, može se napisati na sljede´ci naˇcin:
φ =
φ1 + i φ2
√
2
(55)
odnosno
φ†
φ =
1
2
(φ1 + i φ2)(φ1 − i φ2) (56)
pri ˇcemu su φ1 i φ2 dva realna polja od kojih svako ima samo jedan stepen slobode.
Lako se pokaže da je:
L =
2
i=1
1
2
∂µφi∂µ
φi −
1
2
m2
φiφi . (57)
Dakle, φ1 i φ2 imaju istu masu.
1.1.5 Nosioci interakcija
Kako je Standardni Model baziran na direktnom proizvodu SU(3) × SU(2) × U(1),
invarijantnost gusto´ce Lagranžijana zahtijeva uvo ¯denje kovarijantnih izvoda:
∂µ → Dµ = ∂µ − igYAµ − ig [Ta]d1
Ba=1,2,3
µ − igs[λb]d2
gb=1,...,8
µ (58)
U ovoj formuli Aµ, Ba
µ i gb
µ su gauge polja pri ˇcemu kao što smo ranije naveli,
jednom linearnom kombinacijom Aµ i B3
µ dobivamo foton, a drugom Z bozon,
dok linearna kombinacija B1
µ i B2
µ daje W+
i W−
bozone. Dalje imamo λb što bi
odgovaralo Gell-Mannovim matricama za sluˇcaj kada su kvarkovi tripleti boje; i
na kraju imamo d1 i d2 koji odgovaraju dimenzijama reprezentacija u kojima se
nalaze stanja na koja djeluju Dµ i Dµ
unutar grupe SU(2) i SU(3), redom; dok su
gb
µ bezmasivni gluoni.
14
17. 2. Leptokvarkovi
2 Leptokvarkovi
Leptokvarkovi su obojeni tripleti (SU(3)-obojene ˇcestice) koje istovremeno nose
netrivijalan i barionski (B) i leptonski (L) broj, odnosno brojeve razliˇcite od nule.
To su bozoni koji se transformišu u odnosu na spinsku reprezentaciju j = 0 ili
j = 1, dakle ˇcestice sa spinom 0 ili 1, zavisno od toga da li se radi o skalarnim ili
vektorskim leptokvarkovima. U ovom radu bavit ´cemo se samo skalarnim. Nji-
hovo postojanje je predvi ¯deno razliˇcitim modelima (Pati-Salam [10], SU(5) [11],
SO(10) [12] itd.). U takvim modelima, mase leptokvarkova su op´cenito jako ve-
like, pa ih je zbog toga jako teško, skoro nemogu´ce, direktno eksperimentalno
uoˇciti, opaziti. Oni mogu nastati npr. u pp (proton-antiproton) sudarima putem
jake interakcije preko gg (gluon-gluon) fuzije ili preko qq (kvark-antikvark) ani-
hilacije. No, proizvodnjom i raspadom leptokvarkova bavit ´cemo se u ˇcetvrtom
poglavlju.
Kvantne brojeve leptokvarkova dobivamo na osnovu kvantnih brojeva ˇcestica
Standardnog Modela. U uvodu smo vidjeli da u Standardnom Modelu imamo dva
tipa ˇcestica: leptone i kvarkove. ˇCestice koje ´cemo mi prouˇcavati ´ce simultano
me ¯dudjelovati i sa leptonima i sa kvarkovima pa otuda i naziv — leptokvarkovi.
U Standardnom Modelu, leptonski broj L7
je oˇcuvan. Zbog toga je najlakši
lepton stabilan (neutrino). Zbog toga ´ce tako ¯de i elektron (najlakši nabijeni lepton)
biti stabilan. Kako je barionski broj B8
oˇcuvan slijedi da je najlakši barion stabilan
(proton). Npr., ako pogledamo β-raspad [5], vidje´cemo oˇcuvanje leptonskog i
barionskog broja.
Pogledajmo širinu β-raspada:
Γ ∼
(gg )2
(M2
W)2
·
(m2
i − m2
f )4
m3
i
(59)
pri ˇcemu je mi masa neutrona, a mf masa protona.
Veliˇcina
(gg )2
(M2
W)2
= G2
F ∼ 10−8
GeV−4
(60)
odgovara brzini raspada za taj proces (vidjeti Sliku 2).
7
Za leptone iznosi +1 a za njihove antiˇcestice −1.
8
Za kvarkove iznosi +1/3 a za antikvarkove −1/3.
15
18. 2. Leptokvarkovi
Tablica 1: Kvantni brojevi leptona i kvarkova preko simetrije SU(3)×SU(2)×U(1)
KVARKOVI
NAZIV OZNAKA SU(3) SU(2) U(1)
ljevoruki u kvark uL 3 2 +1
6
desnoruki u antikvark uc
L 3 2 −1
6
desnoruki u kvark uR 3 1 +2
3
ljevoruki u antikvark uc
R 3 1 −2
3
ljevoruki d kvark dL 3 2 +1
6
desnoruki d antikvark dc
L 3 2 −1
6
desnoruki d kvark dR 3 1 −1
3
ljevoruki d antikvark dc
R 3 1 +1
3
LEPTONI
NAZIV OZNAKA SU(3) SU(2) U(1)
ljevoruki elektron eL 1 2 −1
2
ljevoruki pozitron ec
L 1 2 +1
2
desnoruki elektron eR 1 1 −1
desnoruki pozitron ec
R 1 1 +1
ljevoruki neutrino νL 1 2 −1
2
desnoruki antineutrino νc
R 1 2 +1
2
Vratimo se sada kvatnim brojevima leptona i kvarkova iz Tablice 1 na os-
novu kojih možemo napraviti sve mogu´ce kombinacije miješanja (jer u konaˇc-
nici leptokvark je ono što daje lepton i kvark) i vidjeti šta ´cemo dobiti. Kombi-
nacije su date u Tablici 2 pri ˇcemu smo vodili raˇcuna samo o proizvodu unutar
SU(3) × SU(2) × U(1) prostora, dok je u potpunosti zanemarena Lorentzova struk-
tura.
Me ¯du ove 34 mogu´ce kombinacije, samo su neke od njih zaista leptokvar-
kovi. Prije svega možemo uoˇciti ponavljanje nekih kombinacija kvantnih brojeva.
Dakle, tu se radi o jednoj te istoj ˇcestici, odnosno mogu´cem leptokvarku, samo
dobivenom na više naˇcina. Dalje, možemo uoˇciti kombinacije kvantnih brojeva
koje su jedna drugoj kompleksno konjugovane kao npr. 27 i 33. I to ´cemo posma-
trati kao jednu ˇcesticu, s tim da možemo dobiti i njoj kompleksno konjugovanu.
U daljem radu ´cemo uzimati u obzir samo jednu od te dvije. E sada, glavno je
pitanje koje od ovih kombinacija jesu leptokvarkovi a koje ne? Odgovor slijedi
na osnovu pravila Standardnog Modela. Izdvajamo kombinacije pod rednim bro-
jevima 1., 2., 6., 7., 10., 11., 12., 14., 15., 16., 17., 20., 21., 23., 26., 27., 29. i
33. Dobili smo 18 kombinacija, me ¯dutim, neke od njih se ponavljaju, ili su pak
16
19. 2. Leptokvarkovi
Tablica 2: Sve mogu´ce kombinacije miješanja kvarkova i leptona
Kvantni brojevi potencijalnih leptokvarkova
R.br. Kvark-Lepton SU(3) SU(2) U(1)
1. uL eL 3 1 +1
3
2. uL eL 3 3 +1
3
3. uL ec
L 3 1 −2
3
4. uL ec
L 3 3 −2
3
5. uL eR 3 2 +5
6
6. uL ec
R 3 2 −7
6
7. uL νc
R 3 3 −2
3
7a. uL νc
R 3 1 −2
3
8. uc
L eL 3 3 +2
3
9. uc
L eL 3 1 +2
3
10. uc
L ec
L 3 3 +2
3
11. uc
L ec
L 3 1 +2
3
12. uc
L eR 3 2 +7
6
13. uc
L ec
R 3 2 −5
6
14. uc
L νc
R 3 3 −1
3
14a. uc
L νc
R 3 1 −1
3
15. uR eL 3 2 −1
6
16. uR ec
L 3 2 −7
6
17. uR eR 3 1 +1
3
18. uR ec
R 3 1 −5
3
19. uR νc
R 3 2 −7
6
20. uc
R eL 3 2 +7
6
21. uc
R ec
L 3 2 +1
6
22. uc
R eR 3 1 +5
3
23. uc
R ec
R 3 1 −1
3
24. uc
R νc
R 3 2 +1
6
25. dR eL 3 2 +5
6
26. dR ec
L 3 2 −1
6
27. dR eR 3 1 +4
3
28. dR ec
R 3 1 +2
3
29. dR νc
R 3 2 −1
6
30. dc
R eL 3 2 +5
6
31. dc
R ec
L 3 2 −5
6
32. dc
R eR 3 1 −2
3
33. dc
R ec
R 3 1 −4
3
17
20. 2. Leptokvarkovi
Tablica 3: Leptokvarkovi
Koji vode ka protonskom raspadu Koji ne vode ka protonskom raspadu
SU(3) SU(2) U(1) SU(3) SU(2) U(1)
3 1 1
3
3 2 1
6
3 3 1
3
3 2 7
6
3 1 4
3
Slika 2: Beta raspad
jedna drugoj konjugovano kompleksne. Stoga brojku od 18 svodimo na brojku
od 5 razliˇcitih kombinacija, pri ˇcemu tih pet kombinacija razvrstavamo tako da
dobijemo “prave” leptokvarkove (one koji ne´ce dovesti do raspada protona) i one
koji ´ce dovesti do raspada protona. Možemo ih predstaviti u Tablici 3.
U nastavku ovog rada bavit ´cemo se samo ovim “pravim” leptokvarkovima, dakle
onim koji ne daju protonski raspad, jer su oni koji vode ka protonskom raspadu
“opasni”. Šta želimo re´ci? Znamo da su atomi, dakle materija, gra ¯deni od protona
(i neutrona). Ako se raspada proton, raspada se atom — raspada se materija. Tu
leži opasnost. E sada, u kakvoj je vezi to sa leptokvarkovima? Pa jedan od naˇcina
raspada protona je putem medijacije leptokvarkova. Naime, ako su leptokvarkovi
dovoljno lagani, mase MS , i imaju dovoljno jaku interakciju sa leptonima i kvar-
kovima (konstante me ¯dudjelovanja su λ i λ , redom), tada može do´ci do raspada
protona. Amplituda vjerovatno´ce da ´ce do´ci do protonskog raspada na leptok-
varkove je obrnuto proporcionalna kvadratu mase leptokvarkova. Dakle, što je
ve´ca masa leptokvarkova, manja je vjerovatno´ca da ´ce se proton raspasti. Dalje,
amplituda je proporcionalna kvadratu brzine raspada protona, odnosno obrnuto
proporcionalna vremenu života protona. Na osnovu ovih odnosa, možemo dobiti
donji limit za masu leptokvarkova. Npr. neka je Yukawa interakcija leptokvarka
18
21. 2. Leptokvarkovi
sa dva kvarkom data sa λ, a interakcija izme ¯du leptokvarka i leptona i kvarka data
sa λ , tada je amplituda za dati raspad data sa:
A ∝
λλ
M2
s
(61)
Dalje imamo:
Γ ∼
(λλ )2
M4
s
m5
p (62)
τ ∝
M4
s
(λλ )2m5
p
(63)
gdje τ predstavlja vrijeme života protona. Treba obratiti pažnju da jednaˇcina (61)
vodi ka jednaˇcini (58) za mf → 0. Eksperimentalna donja granica na vrijeme
života protona za neke mogu´ce kanale raspada glasi:
p −→ π0
e+
τexp > 1.3 × 1034
years [13]
p −→ π0
µ+
τexp > 1.1 × 1034
years [13] (64)
Kako nas interesuje limit na masu leptokvarkova, trebamo pretpostaviti neku
oˇcekivanu vrijednost za λ i λ . Standardni Model kaže da je uobiˇcajena vrijednost
Yukawa konstanti me ¯dudjelovanja negdje izme ¯du 1 i 10−9
jer su to vrijednosti koje
su ve´c eksperimentalno ustanovljene. Npr. ve´c smo rekli da je masa fermiona data
sa:
mF = YF
v
√
2
(65)
gdje je v = 246 GeV [14] eksperimentalno izmjerena vrijednost na osnovu masa
W±
i Z bozona. Kako je mt=171.2 GeV, mτ=1.777 GeV, mµ=105.7 GeV i me=0.511
GeV [14], dobivamo sljede´ce vrijednosti Yukawa konstanti koje su date u Tablici
4.
Zbog toga ´cemo uzeti iste vrijednosti za λ i λ navedene u Tablici 4, da bi-
smo generisali eksperimentalne granice za mase leptokvarkova. Upore ¯divanjem
eksperimentalnih granica (Yukawa konstanti) i predvi ¯denog vremena života, do-
bivamo limit na omjer konstanti me ¯dudjelovanja λ i λ i mase leptokvarkova MS ,
dat u Tablici 5.
19
22. 2. Leptokvarkovi
Tablica 4: Yukava konstante za mase fermiona
mF YF
mt ∼ 1
mτ ∼ 10−2
mµ ∼ 10−4
me ∼ 10−6
Tablica 5: Donja granica za masu leptokvarkova
λ = λ Ms(GeV)
τ > 1.3 × 1034
god τ > 1.1 × 1034
god
1 > 4.6 × 1015
> 4.4 × 1015
10−3
> 4.6 × 1012
> 4.4 × 1012
10−6
> 4.6 × 109
> 4.4 × 109
Kod procesa protonskog raspada kroz razmjenu leptokvarkova, barionski i lep-
tonski broj nisu oˇcuvani:
Slika 3: Protonski raspad
Naime, ako pogledamo lijevu stranu, vidimo 3 kvarka od kojih svaki ima ba-
rionski broj B = 1
3
pa je ukupni barionski broj lijeve strane B = 1. Leptonski broj,
s obzirom da nema leptona iznosi L = 0. Pogledajmo desnu stranu. Kako imamo
kvark i antikvark, njihovi barionski brojevi ´ce se poništiti i ukupni barionski broj
za desnu stranu iznosi B = 0. Što se tiˇce leptona, imamo pozitron ˇciji je leptonski
broj -1 pa je ukupni leptonski broj za desnu stranu L = −1. Dakle, vidimo da ba-
rionski i leptonski broj nisu saˇcuvani. Ali otkrivamo nešto drugo. To je oˇcuvanje
razlike barionskog i leptonskog broja: B − L.
20
23. 2. Leptokvarkovi
Bi − Li = 1 − 0 = 1 = Bf − Lf = 0 − (−1) = 1 (66)
Ve´c smo nešto ranije izraˇcunali konstantu GF koja je odre ¯divala brzinu raspada
neutrona. Sada ´cemo probati da odredimo analognu konstantu GLQ za protonski
raspad:
G2
LQ =
(λλ )2
M4
LQ
10−60
GeV−4
(67)
Kod β-raspada, jaˇcina me ¯dudjelovanja sa fermionima i masa W bozona daju
brzinu raspada. No, kod protonskog raspada GLQ mora biti jako mali (manji od
10−30
GeV−2
) da se proton ne bi raspao. Upravo zbog ovoga bi bilo jako teško
proizvesti odnosno eksperimentalno uoˇciti leptokvarkove koji nastaju na ovaj na-
ˇcin. Naime, ili su leptokvarkovi preteški da se uopšte proizvedu (E2
= m2
), ili
nemaju interakcija sa materijom (λ i λ su mali). Stoga ´cemo se baviti sluˇcajem
leptokvarkova koji su manje opasni (nema opasnosti od raspada materije, odnosno
konstitutivnih elemenata koji je izgra ¯duju) i ve´ca je vjerovatno´ca da ´cemo ih vi-
djeti u sudaraˇcima ˇcestica.
Nakon što smo na osnovu leptona i kvarkova, taˇcnije njihovih kvatnih brojeva,
našli leptokvarkove, tj. njihove kvantne brojeve i na osnovu toga ih podijelili u
one koji nastaju jednim odnosno drugim putem, prelazimo na idu´ce poglavlje, a
to je Proizvodnja i raspad leptokvarkova.
21
24. 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
3 Proizvodnja i raspad leptokvarkova
Suština ovog rada je upravo naˇcin proizvodnje leptokvarkova, ono prema ˇcemu
tragamo za leptokvarkovima kao ˇcesticama nove fizike; i raspad leptokvarkova,
ono po ˇcemu ´cemo znati da je ono što je detektor zabilježio upravo leptokvark za
ˇcijim dokazom postojanja tragamo.
3.1 Proizvodnja leptokvarkova
U ovom dijelu ´cemo govoriti o procesima na hadronskom i partonskom nivou.
Hadronski nivo podrazumijeva interakcije izme ¯du hadrona, tj. protona, neutrona
i drugih ˇcestica sa podstrukturom, dok partonski nivo podrazumijeva interakcije
izme ¯du gradivnih elemenata hadrona. To znaˇci da se proton, koji je hadron, sas-
toji od smjese kvarkova i gluona koji su partoni, pa kada govorimo o procesima
izme ¯du kvarkova i gluona, govorimo o partonskom nivou.
Postoje dva naˇcina proizvodnje leptokvarkova:
• proizvodnja para leptokvarkova i
• proizvodnja pojedinaˇcnih leptokvarkova.
Proces proizvodnje pojedinaˇcnih leptokvarkova je prisutan u hadronskim su-
daraˇcima, a izgleda ovako:
g + q → LQ + l (68)
Slika 4: Proizvodnja jednog leptokvarka
Procesi proizvodnje parova leptokvarkova na partonskom nivou izgledaju ovako:
q + q → LQ + LQ (Tevatron, LHC) (69a)
g + g → LQ + LQ (Tevatron, LHC) (69b)
e + q → LQ (HERA) (69c)
22
25. 3.1 Proizvodnja leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
Slika 5: Proizvodnja para leptokvarkova
U ovom dijelu rada se bavimo proizvodnjom para leptokvarkova, tj. eksperimen-
tima i procesima koji se dešavaju u Tevatronu i LHC-u.
U LHC-u imamo pp (proton-proton) sudare i pri ovakvim sudarima, leptok-
varkovi nastaju putem anihilacije kvarka i antikvarka (68a) i gluon-gluon fuzije
(68b), sa popreˇcnim presjekom koji zavisi od konstante jakog me ¯dudjelovanja αs,
ali koji je skoro pa nezavisan od λ.
Zbog prirode pp sudara (suprotnih pp sudarima u Tevatronu), gg fuzija pred-
stavlja dominantan proces za proizvodnju para skalarnih leptokvarkova u LHC-u
za male mase leptokvarkova (<1.5 TeV).
Dakle, dva procesa koja želimo analizirati su procesi (68a) i (68b), a popreˇcni
presjeci za ove procese u najnižem redu9
(Lowest Order) izgledaju ovako:
ˆσLO[qq → LQ + LQ] =
2α2
sπ
27ˆs
β3
(70)
ˆσLO[gg → LQ + LQ] =
α2
sπ
96ˆs
β(41 − 31β2
) + (18β2
− β4
− 17)log
1 + β
1 − β
.
Bitno je re´ci da popreˇcni presjek kod proizvodnje para leptokvarkova zavisi
od konstanti me ¯dudjelovanja izme ¯du gluona i leptokvarkova. Upravo ta me ¯dudje-
lovanja su odre ¯dena gauge simetrijama skalarne kvantne-hromodinamike (QCD),
pa pri predvi ¯danju produkcije para leptokvarkova možemo zanemariti Yukawa
ˇkonstante me ¯dudjelovanja [20,21]. S druge strane, proizvodnja pojedinaˇcnih le-
pokvarkova ukljuˇcuje dijagrame koji zavise od nepoznatih novih konstanti me ¯du-
djelovanja baziranih na LQ-l-q verteksu. Zbog toga se u ovom radu bavimo samo
9
Kvantno-mehaniˇcki proraˇcun najniži red (LO) u ovom smislu predstavlja prvi ˇclan u razvoju
u red kvantno-mehaniˇckog procesa po λs. Tako ¯de, mogu´ce je uzeti korekcije na najniži red kao
što su NLO (next-to-leading order), NNLO (next-to-next-to-leading order) itd.
23
26. 3.1 Proizvodnja leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
produkcijom para leptokvarkova.
3.1.1 Popreˇcni presjek na partonskom nivou za
ˆσLO[qq → LQ + LQ]
U ovom dijelu izvodimo formulu za popreˇcni presjek ˆσLO na partonskom nivou
za proces qq → LQ + LQ, koji glasi:
ˆσLO[qq → LQ + LQ] =
2α2
sπ
27ˆs
β3
(71)
gdje je
β ≡ 1 − 4M2
LQ/ˆs i
√
ˆs = ECM (energija centra mase) .
Proces izgleda ovako:
Slika 6: Proces nastanka para leptokvarkova na partonskom nivou
gdje su i, i , j, j = 1, 2, 3 indeksi boje.
Potrebno je najprije na´ci amplitudu za proces q + q → LQ + LQ.
24
27. 3.1 Proizvodnja leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
Kvadrat amplitude
|M (pA, pB → {pf }) |2
(72)
može se predstaviti ovom slikom
Slika 7: Prikaz impulsa koji doprinose vrijednosti amplitude
Tada je:
iM = −g2
svs
(p+)γµtc
ii
us
(p)
−iδca
k2
3
(k1 − k2)µ
ta
jj
. (73)
Ovdje treba prepoznati da je k3 = −k1 − k2. Dalje sumiramo po svim poˇcetnim
spinovima:
1
2
·
1
2
s,s
(iM(−iM
∗
)) ≡
1
4
s.s
|M|2
≡ |M(pA, pB → {pf })|2
= |M|2
(74)
što je dalje jednako:
25
28. 3.1 Proizvodnja leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
=
1
4
s,s
−g2
s vs
(p+)γµtc
ii
us
(p)
−iδca
k2
3
(k1 − k2)µ
ta
jj
·
−g2
s vs
(p+)γνtd
ii
us
(p)
−iδdb
k2
3
(k1 − k2)ν
tb
jj
∗
=
=
1
4
s,s
+g2
s vs
(p+)γµtc
ii
us
(p)
−iδca
k2
3
(k1 − k2)µ
ta
jj
·
· g2
sus
(p)γνtd
ii
vs
(p+)
+iδdb
k2
3
(k1 − k2)ν
tb∗
jj
=
1
4
g2
sTr /p+γµtc
ii
(k1 − k2)µ
δca
ta
jj /pγνtd∗
ii
δdb
(k1 − k2)ν
tb∗
jj
1
k4
3
. (75)
S obzirom da vrijedi da je (ta
) = (ta
)+
za SU(N), možemo dalje pisati:
=
1
4
g4
sTr /p+γµ /pγν tc
ii
tc
jj
(k1 − k2)µ
td
ii
td
jj
(k1 − k2)ν 1
k4
3
= pδ
+ pγ
Tr[γδγµγγγν]
= pδ
+ pγ
4(gδµgγν − gδγgµν + gδνgµγ) . (76)
Iz ovoga slijedi da je:
|M|2
=
1
4
g4
s · 4 pµ
+(k1 − k2)µ pν
(k1 − k2)ν − pγ
+ pγ(k1 − k2)(k1 − k2)+
+pµ
+(k1 − k2)µ pν
(k1 − k2)ν
1
k2
3
(tc
)ii (td
)ii (tc
)jj (td
)jj . (77)
Sada smo došli do dijela gdje je potrebno izvršiti usrednjavanje po kvantnom
broju boje poˇcetnog i krajnjeg stanja, tj. potrebno je izraˇcunati ovaj dio izraza
iznad:
(tc
)ii (td
)ii (tc
)jj (td
)jj . (78)
Usrednjavanjem dobivamo:
26
29. 3.1 Proizvodnja leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
(tc
)ii (td
)ii (tc
)jj (td
)jj =
1
3
·
1
3
·
i,i ,j,j
(tc
)(td
)(tc
)(td
)
=
1
9
Tr tc
td
Tr tc
td
=
1
9
[C(r)]2
δcd
δcd
=
1
9
1
2
2
· 8 =
2
9
. (79)
Dobiveni rezultat uvrštavamo u izraz za kvadrat amplitude:
|M|2
=
2
9
g4
s
2p+(k1 − k2)p · (k1 − k2) − p+ · p(k1 − k2)2
(k2
3)2
(80)
pri ˇcemu se g4
s može izraziti preko konstante jakog me ¯dudjelovanja αs:
αs =
g4
s
4π
. (81)
Da bismo nastavili dalje sa izvo ¯denjem izraza za kvadrat amplitude, potrebno je
razjasniti brojnik razlomka u zagradi u posljednjem dobivenom izrazu za kvadrat
amplitude. Naime, pµ
+ i pµ
predstavljaju ˇcetveroimpulse bezmasivnih kvarkova:
pµ
+ ≡ |p+|, p+ (82a)
pµ
≡ |p+|, −p+ (82b)
dok ˇcetveroimpulsi kµ
1 i kµ
2 izgledaju ovako:
kµ
1 ≡ k0
1, k1 (83a)
kµ
2 ≡ k0
1, −k1 . (83b)
Na osnovu prethodnih jednaˇcina, možemo pisati da je:
pµ
+ · pµ = |p+|2
+ |p+|2
= 2|p+|2
(84)
(k1 − k2)µ
(k1 − k2)µ = (2k1) · (−2k1) = −4|k1|2
(85)
i
pµ
+(k1 − k2)µ = −2p+ · k1 (86)
pµ
(k1 − k2)µ = 2p+ · k1 . (87)
27
30. 3.1 Proizvodnja leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
Uvrštavaju´ci dobivene rezultate u brojnik razlomka u izrazu za kvadrat ampli-
tude, imamo:
2p+(k1 − k2)p · (k1 − k2) − p+ · p(k1 − k2)2
= −4|p+|2
|k1|2
cos2
θ + 2|p+|2
4|k1|2
≡ 8|k1|2
|p+|2
(1 − cos2
θ) (88)
pa kvadrat amplitude postaje:
|M|2
=
2
9
α2
s(4π)2
·
8|k1|2
|p+|2
(1 − cos2
θ)
24|k0
1|4
. (89)
Sada kada imamo poznat kvadrat amplitude, diferencijalni popreˇcni presjek
izgleda ovako:
d ˆσLO =
1
2EA2EB|vA − vB|
|M(pA pB → pf )|2
×
×
f
d3
pf
(2π)3
·
1
Ef
(2π)4
· δ(4)
(pA + pB → pf ) . (90)
Za sluˇcaj konaˇcnog stanja u kojem imamo dvije ˇcestice, Lorentz-invarijantni
fazni prostor poprima jednostavniji oblik:
f
d3
pf
(2π)3
·
1
Ef
(2π)4
· δ(4)
(pA + pB → pf ) =
dΩCM
4π
·
1
8π
·
2|k1|
ECM
(91)
U našem sluˇcaju je |vA − vB| = 2, a za energiju i impuls imamo:
EA =
ECM
2
= EB = |k0
1| = |p+| i (92)
|k1| =
ECM
2
2
− M2
LQ =
ECM
2
1 −
4M2
LQ
E2
CM
. (93)
Dalje možemo pisati:
28
31. 3.1 Proizvodnja leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
d ˆσLO
dΩCM
=
1
2 ECM
2
2 ECM
2
2
·
1
4π
·
1
8π
·
2|k1|
ECM
·
·
2
9
α2
s (4π)2 8|k1|2
24|k0
1|4
· |p+|2
(1 − cos2
θ)
=
1
E2
CM 2 · 8π
·
2 · 2 · (4π) · 8 |k1|3 ECM
2
2
(1 − cos2
θ)
ECM 24 ECM
2
2
α2
s
9
=
4|k1|3
(1 − cos2
θ)
2 · 24 ECM
ECM
2
4
α2
9
=
4 ECM
2
3
1 −
4M2
LQ
E2
CM
3/2
(1 − cos2
θ) α2
s
2 · 9 · ECM
ECM
2
4
24
=
4 α2
s 1 −
4M2
LQ
E2
CM
3/2
(1 − cos2
θ)
2 · 9 E2
CM 24
· 2
=
1
9
α2
s
1 −
4M2
LQ
E2
CM
3/2
(1 − cos2
θ)
22 ECM
. (94)
Sada konaˇcno dobivamo popreˇcni presjek:
ˆσLO =
1
9
α2
s
1 −
4M2
LQ
E2
CM
3/2
22 ECM
2π
0
dφ
π
0
sin θ dθ (1 − cos2
θ)
=
1
9
α2
s
1 −
4M2
LQ
E2
CM
3/2
22 ECM
2π · − cos θ +
cos3
θ
3
|π
0
=
1
9
α2
s
1 −
4M2
LQ
E2
CM
3/2
22 ECM
2π 2 −
2
3
=
2π
27
α2
s
E2
CM
1 −
4M2
LQ
E2
CM
3/2
. (95)
29
32. 3.1 Proizvodnja leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
3.1.2 Prelazak sa partonskog popreˇcnog presjeka na hadronski popreˇcni
presjek
Naš cilj u ovom poglavlju je izraˇcunati (izvršiti predikciju) broj(a) leptokvarkova
koji bi se mogli proizvesti u CERN-u (LHC-u) 2014. godine. Da bismo to ura-
dili, potreban nam je popreˇcni presjek, ali na hadronskom nivou, dakle na nivou
protona. Znamo da se u LHC-u dešavaju pp sudari, da su dva procesa pri kojima
nastaju parovi leptokvarkova procesi izraženi formulama (68a) i (68b). Znamo ta-
ko ¯de i izraze za popreˇcne presjeke ova dva procesa (na partonskom nivou). Sada
je potrebno pre´ci sa popreˇcnog presjeka na partonskom nivou na popreˇcni presjek
na hadronskom nivou.
Na slici 7 je prikazan proces koji se odvija. Veliki zeleni krug predstavlja proton,
a mali žuti krug unutar velikog zelenog predstavlja konstituent hadrona na parton-
skom nivou (kvark, antikvark ili gluon). Malim slovom p je oznaˇcen impuls na
partonskom nivou, a velikim slovom P je oznaˇcen impuls protona. Impuls gra-
divne ˇcestice predstavlja dio ukupnog impulsa protona i to možemo zapisati na
sljede´ci naˇcin:
p1 = x1 P1
p2 = x2 P2 . (96)
Slika 8: Proces na hadronskom i partonskom nivou
Sada je energija centra mase:
30
33. 3.1 Proizvodnja leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
s = (p1 + p2)2
= 2p1 p2 = 2x1x2P1P2 (97)
odnosno, to možemo i ovako zapisati:
s = x1x2s0 (98)
na osnovu ˇcega uvodimo novu varijablu Z:
s
s0
= x1x2 ≡ Z (99)
pomo´cu koje možemo izraziti masu uˇcesnika u procesu:
M2
= s = Zso . (100)
Nakon što smo uveli novu varijablu koja zamjenjuje proizvod x1 i x2, uvodimo
i još jednu varijablu (Y) pomo´cu koje izražavamo koliˇcnik x1 i x2. Dvije nove
varijable koje smo uveli, izgledaju ovako:
Z = x1x2 (101)
e2Y
=
x1
x2
(102)
a x1 i x2 izraženi preko novih varijabli izgledaju ovako:
x1 =
√
ZeY
(103)
x2 =
√
Ze−Y
. (104)
Prelazak sa jednih promjenljivih na druge se vrši pomo´cu Jakobijana:
dZdY =
∂(Z, Y)
∂(x1, x2)
dx1dx2 (105)
odnosno, Jakobijan izgleda ovako:
∂(Z, Y)
∂(x1, x2)
=
x2 x1
1
2x1
−1
2x2
. (106)
Neka su sada ˇcestice koje uˇcestvuju u sudaru na hadronskom nivou (npr. pro-
toni) A i B, a ˇcestice na partonskom nivou kao konstituenti hadrona — a i b (kvar-
kovi, antikvarkovi ili gluoni). Da bismo proveli raˇcun za prelazak sa partonskog na
31
34. 3.1 Proizvodnja leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
hadronski popreˇcni presjek, potrebno je koristiti PDF-ove [14]. PDF-ovi (Parton
Distribution Functions) su gusto´ce vjerovatnosti nalaženja ˇcestice na partonskom
nivou koja nosi od ukupnog impulsa hadrona tek x-ti dio, a pri kvadratu energetske
skale koji oznaˇcavamo sa Q2
. Bitno je re´ci da setovi PDF-ova nisu fiksni, dakle
mijenjaju se, odnosno unapre ¯duju i to u zadnjih 30 godina. Eksperimentalno se
utvr ¯duju i time se bave kolaboracije širom svijeta kao npr. kolaboracije u HERA-i,
DESY-ju itd.
PDF za ˇcesticu a na partonskom nivou unutar hadrona A npr. oznaˇcava se sa :
fa/A. Sada izraz za popreˇcni presjek na hadronskom nivou izgleda ovako:
σAB = dx1dx2 f1/A(x1) f2/B(x2)σpar (107)
pri ˇcemu σpar oznaˇcava popreˇcni presjek na partonskom nivou.
Neka su sada q i q redom oznake za ˇcestice a i b u hadronima A i B. Na-
kon prelaska na nove koordinate uz pomo´c jakobijana, sada popreˇcni presjek na
hadronskom nivou izgleda ovako:
σAB =
1
Z0
−1
2 ln Z
1
2 ln Z
dZdY fq(
√
ZeY
) fq (
√
Ze−Y
) σ(Zs0) (108)
odnosno
σhadronic =
1
Z0
dZ σ (Zs0) ·
−1
2 ln Z
1
2 ln Z
Y fq(
√
ZeY
) fq (
√
Ze−Y
) . (109)
Dakle, proraˇcunom ovih integrala dobi´ce se totalni popreˇcni presjek.
32
35. 3.2 Raspad leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
3.2 Raspad leptokvarkova
Nakon nastanka leptokvarka, dolazi do njegovog raspada. Leptokvark se po pret-
postavci ako je Yukawa konstanta me ¯dudjelovanja dovoljno velika, treba trenutno
raspada na kvark i lepton i ono po ˇcemu dolazimo do zakljuˇcka da je prvobitno
došlo do nastanka leptokvarka je upravo njegov raspad, odnosno trag ˇcestica nas-
talih njegovim raspadom. Poznato je svojstvo “asimptotske slobode” za kvarkove,
pa zbog toga kvark ne može postojati samostalno. Šta to znaˇci? Znaˇci da ne mo-
žemo uoˇciti samostalan kvark, ve´c vidimo jet-ove kvarkova (mlazeve kvarkova),
jer kvark se automatski veže sa nastalim antikvarkom ili druga dva kvarka odgo-
voraju´ceg naboja boje. Mlazevi kvarkova se identifikuju na osnovu velike koliˇcine
energije koja se deponuje u kalorimetru. Kad je rijeˇc o drugoj ˇcestici koja nastaje
raspadom leptokvarka, rekli smo da se radi o leptonu (elektronu ili neutrinu). Ako
je upitanju elektron, njega identifikujemo na osnovu prisustva izolovane trake u
komori za pra´cenje, i deponovane energije u elektromagnetnom dijelu kalorime-
tra. Neutrini, s druge strane, kao slabointereaguju´ce ˇcestice, odlaze iz detektora,
nose´ci energiju sa sobom. Na osnovu zakona održanja impulsa i energije možemo
pretpostaviti da se radi o neutrinu. Ako impuls u krajnjem stanju nije oˇcuvan,
tj. ako postoji velika transferzalna komponenta impulsa, tada znamo da je me ¯du
izlaznim komponentama raspada bio i neutrino [19].
S obzirom da su leptokvarkovi još uvijek hipotetske ˇcestice, dakle eksperi-
mentalno nisu potvr ¯dene, u ovom dijelu ´cemo predstaviti teorijske predikcije za
njihovu proizvodnju .
Teoretsko oˇcekivanje broja ˇcestica nam daje sljede´ca relacija:
N = I · σ · t (110)
pri ˇcemu je
N = broj ˇcestica
I = intenzitet koji predstavlja broj ˇcestica po površini i po vremenu
σ = popreˇcni presjek
t = vrijeme.
U praksi relacija (110) glasi:
N = I(t) σ dt . (111)
33
36. 3.2 Raspad leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
Ovdje ´cemo provesti raˇcun za ovaj proces:
Slika 9: Proces raspada leptokvarka na partonskom nivou
Dalje razmatramo sluˇcaj raspada leptokvarka ˇciji su kvantni brojevi (3, 2, 1
6
)
(to znaˇci da je triplet od SU(3), dublet od SU(2) i ima hipernaboj Y koji iznosi 1
6
).
Vidimo da se radi o procesu u kojem se leptokvark raspada na lepton i na donji
kvark. Kad kažemo lepton, znaˇci da možemo razmatrati raspad ili u elektron ili
u neutrino, a kada kažemo donji kvark, to govori da drugi produkt raspada može
biti ili donji d kvark, ili ˇcudni (strange, eng.) s kvark ili b (botom, eng.) kvark.
U nastavku ´cemo vršiti raˇcun za op´ci sluˇcaj raspada leptokvarka mase mA u dvije
ˇcestice 1 i 2, dakle za neke op´ce mase m1 i m2.
Lagranžijan je propocionalan sljede´cem:
L ∝ YijLiPRdjφ∗
LQ
= YijLLidRjφ∗
LQ
= Yij eLidRjφ∗
LQ + νeLidRjφ∗
LQ .
pri ˇcemu leptonski i leptokvarkovski dubleti glase:
Li =
νei
ei
iφLQ =
φ1
φ2
(112)
sa nabojima leptokvarkovskog dubleta koji iznose φ1 = 2
3
i φ2 = 1
3
.
dΓ =
1
2mA
f=1,2
d3
pf
(2π)3
1
2Ef
M(mA → pf )
2
× (2π)4
δ(4)
(pA −
f
pf ). (113)
34
37. 3.2 Raspad leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
Dalje je kvadrat amplitude iz formule (113) jednak:
M(mA → pf )
2
=
1
4
s,s
|M|2
=
1
4
s,s
Yijvi(1 − γ5)ijuj (Ylkvl(1 − γ5)lkuk)†
(114)
a znamo da je:
(v (1 − γ5)u)†
= u†
(1 − γ5)†
γ0†
v = u†
γ0
(1 + γ5) v = u (1 + γ5) v (115)
pa je konaˇcno kvadrat amplitude jednak:
=
1
4 s s
Yijvi(1 − γ5)ijujY∗
lkuk(1 + γ5)klvl
=
1
4
Tr (/p1 − m1)li(1 − γ5)ij(/p2 + m2)jk(1 + γ5)kl
=
1
4
Tr (/p1 − /p1γ5 − m1 + m1γ5) (/p2 + /p2γ5 + m2 + m2γ5)
=
1
4
Tr /p1 /p2 − /p1γ5 /p2γ5
=
1
4
Tr /p1 /p2 + /p1 /p2γ5γ5
=
1
4
Tr /p1 /p2 + /p1 /p2
=
1
4
Tr 2 /p1 /p2
=
1
2
Tr γµ
p1µγν
p2ν
=
1
2
p1µ p2νTr γµ
γν
=
1
2
p1µ p2νTr
1
2
γµ
γν
+
1
2
γν
γµ
=
1
2
p1µ p2νTr 2gµν
1l
=
1
2
p1µ p2νTr gµν
1l
=
1
2
p1µ p2νgµν
Tr [1l]
= 2 p1 · p2 . (116)
Dakle, sada je kvadrat amplitude:
35
42. 3.3 Predvi ¯danja za LHC 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
Na poˇcetku ovog raˇcuna, rekli smo da ´cemo sve to vršiti za op´ce mase produ-
kata raspada m1 i m2. Kada smo dobili konaˇcni rezultat sa tim masama, uze´cemo
da se radi o raspadu na neutrino i donji kvark, pri ˇcemu je masa neutrina m1. U
tom sluˇcaju masu neutrina možemo zanemariti u odnosu na masu kvarka, pa naš
rezultat (137) postaje jednostavniji:
Γ =
(m2
A − m2
2) 2m2
A (m2
A − m2
2)
16πm5
A
=
(m2
A − m2
2)2
8πm3
A
. (138)
3.3 Predvi ¯danja za LHC
Nakon teorijskih postavki i matematiˇckog raˇcuna, u ovom dijelu prezentujemo
sljede´ce rezultate. Na osnovu formula koje smo prethodno izveli, pristupili smo
numeriˇckom proraˇcunu da bismo dobili podatke za totalni popreˇcni presjek na
LHC-u 2014. godine za energiju centra mase u iznosu od 14 TeV-a. Koristili
smo se kodom napravljenim u kompjutacionom softwareskom program Wolfram
Mathematica 8.0.
3.3.1 Tevatron
Da bismo provjerili da li naš kod zaista radi i da li su podaci koje dobivamo za
LHC zaista smisleni, najprije raˇcunamo totalni popreˇcni presjek za Tevatron10
pri
energiji centra mase
√
ˆs =1.8 TeV i za razliˇcite mase leptokvarkova, a zatim ga
upore ¯dujemo sa ve´c dobivenim podacima [15]. U Tablici 6 je prikaz rezultata iz
navedene reference, a u Tablici 7 rezultata dobivenih numeriˇckom analizom, dok
na Slici 10 vidimo zavisnost totalnog popreˇcnog presjeka od mase leptokvarkova.
10
Prije nego je zatvoren 29. septembra 2011. godine, Tevatron je bio najve´ci pp (proton-
antiproton) sudaraˇc. Smješten u Fermilabu, Tevatron je radio na ubrzavanju snopova protona i
antiprotona koji putuju u suprotnim smjerovima oko podzemnog prstena obima 4 milje pri brzini
skoro jednakoj brzini svjetlosti prije sudara u centru dva detektora.
40
43. 3.3 Predvi ¯danja za LHC 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
Tablica 6: Podaci za Tevatron prema referenci [15]
MLQ [GeV] σqq σgg σtot [pb]
150 0.741 0.244 0.985
175 0.318 0.071 0.389
200 0.142 0.022 0.164
250 0.030 0.003 0.033
Tablica 7: Podaci za Tevatron dobiveni numeriˇckom analizom
MLQ [GeV] σqq σgg σtot [pb]
150 0.733 0.255 0.988
175 0.311 0.073 0.384
200 0.137 0.023 0.160
250 0.029 0.003 0.032
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
140 160 180 200 220 240 260
σtot[pb]
MLQ
Slika 10: Zavisnost totalnog popreˇcnog presjeka od mase leptokvarkova (Teva-
tron)
Možemo konstatovati da su razlike u podacima jako male, odnosno da je sla-
41
44. 3.3 Predvi ¯danja za LHC 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
ganje jako dobro. No, bitno je pojasniti uzrok i tih malih razlika. Naime, kao
što je ranije reˇceno, da bi se izraˇcunao totalni popreˇcni presjek, potrebno je koris-
titi PDF-ove. Kako su PDF-ovi promjenljivi, tako smo mi u našem kodu koristili
zadnje objavljene PDF-ove [14], dok su u referenci [15] korišteni drugi PDF-ovi,
stari više od 15 godina11
.
3.3.2 LHC
Uz pomo´c PDF-ova inkorporiranih u kod, vršili smo razliˇcite numeriˇcke pro-
raˇcune ovisno o masi leptokvarkova. Podaci koje smo dobili za totalni popreˇcni
presjek predstavljeni su u Tablici 8, dok su podaci za broj oˇcekivanih leptokvar-
kova u LHC-u 2014. godine za energiju centra mase 14 TeV-a predstavljeni u
Tablici 9, gdje se može vidjeti da su pri proraˇcunu korištene vrijednosti za inte-
grirani luminozitet12
[24] pri detektorima ATLAS13
[22,24] i CMS14
[23,24] iz
2012. godine za period od godinu dana. Upravo iz razloga što nam je potreban
integrirani luminozitet za godinu dana, nismo mogli koristiti vrijednosti iz 2013.
godine.
11
Ne postoji jedinstven set PDF-ova ni u smislu op´ce prihva´cenosti ni u smislu roka trajanja.
Naime, u svijetu postoji više nauˇcnih grupa, kolaboracija (SLAC, FNAL, CERN, HERA, DESY)
koje se bave odre ¯divanjem PDF-ova koriste´ci razliˇcite ulazne podatke, razliˇcito parametriziraju´ci
same PDF-ove.
12
Luminozitet je jedan od najvažnijih parametara akceleratora. Predstavlja broj sudara u su-
daraˇcu ˇcestica po jedinici površine i jedinici vremena. Što je ve´ca vrijednost luminoziteta, ve´ci
je broj sudara. Integrirani luminozitet predstavlja integral luminoziteta u nekom vremenu, npr.
godinu dana. Izražava se formulom L = I d t , gdje je I trenutni luminozitet.
13
ATLAS (A Toroidal LHC ApparatuS ) je najve´ci svjetski detektor ˇcestica za op´cu namjenu.
Dug je 46 metara, visok je 25 metara, širok je 25 metara, a težak je 1000 tona i sastoji se od 100
miliona senzora koji registruju ˇcestice nastale u pp (proton-proton) sudarima u LHC-u.
14
CMS (Compact Muon Solenoid) je jedan od detektora u LHC-u, kao i ATLAS, namijenjen za
op´cu upotrebu pri pp (proton-proton) sudarima u LHC-u. Najve´ci dio zapremine CMS detektora
odlazi na višeslojni cilindar, dug 21 m sa preˇcnikom od 16 m i težine preko 13000 tona. Unutrašnji
sloj detektora ˇcini silikonski ˇcestiˇcni ure ¯daj koji služi za odre ¯divanje pozicije ˇcestica. Okružuje
ga kristalni elektromagnetni kalorimetar kojeg dalje okružuje ure ¯daj za detekciju miona. Sve to
skupa se nalazi u centralnom superprovodnom solenoidnom magnetu jaˇcine 3.8 T, dužine 13 m i
dijametra 6 m, koji omogu´cuje mjerenje impulsa naelektrisanih ˇcestica.
42
45. 3.3 Predvi ¯danja za LHC 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
Tablica 8: Totalni popreˇcni presjek na LHC-u 2014. godine za razliˇcite MLQ
MLQ [GeV] σqq σgg σtot [pb]
400 2.814520 0.259383 3.073903
450 1.443240 0.151464 1.594704
500 0.780824 0.092179 0.873003
550 0.441271 0.057995 0.499266
600 0.258556 0.037496 0.296052
650 0.156187 0.024801 0.180988
700 0.096833 0.016722 0.113555
750 0.061395 0.011462 0.072857
800 0.039694 0.007969 0.047663
850 0.026107 0.005610 0.031717
900 0.017433 0.003992 0.021425
950 0.011798 0.002868 0.014666
1000 0.008081 0.002079 0.010160
Tablica 9: Oˇcekivani broj leptokvarkova za ATLAS i CMS
MLQ N (broj leptokvarkova)
[GeV] ATLAS L=21.70 [fb−1
] CMS L=21.79 [fb−1
]
400 66704 66980
450 34605 34749
500 18944 19023
550 10834 10880
600 6424 6451
650 3927 3944
700 2464 2474
750 1581 1588
800 1034 1039
850 688 691
900 465 467
950 318 320
1000 220 221
Na Slici 11 može se vidjeti grafiˇcki prikaz zavisnosti broja leptokvarkova u
43
46. 3.3 Predvi ¯danja za LHC 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
pp sudarima na LHC-u 2014. godine od njihove mase. Naime, broj leptokvar-
kova drastiˇcno opada sa pove´canjem njihove mase. Brojevi se kre´cu od skoro
70000 do nekih 200 leptokvarkova u periodu od godinu dana. Na ovom grafiku je
prikazana zavisnost pri luminozitetu CMS detektora iz 2012. godine. Naime, ako
se pogleda Tablica 9, može se uoˇciti da su rezultati za CMS i ATLAS približni pa
na grafiku sa ovako velikim rasponom brojeva dolazi do preklapanja krivih, stoga
smo ovdje iznijeli sluˇcaj zavisnosti samo za integrirani luminozitet CMS detek-
tora.
0
10
20
30
40
50
60
70
400 500 600 700 800 900 1000
N[103
leptokvarkova]
MLQ [GeV]
Slika 11: Zavisnost broja leptokvarkova N od njihove mase MLQ
S obzirom da se ovdje radi o predvi ¯danjima, i da je mogu´ca promjena vrijednosti
integriranog luminoziteta u 2014. godini, ovdje tako ¯de donosimo Tablicu 10 u
kojoj je predstavljen broj oˇcekivanih leptokvarkova za mogu´ce ve´ce vrijednosti
integriranog luminoziteta, od 25 do 35 fb−1 15
.
15
Barn je jedinica za površinu. Definiše se kao 10−28
m2
(100 fm2
). Femtobarn iznosi 10−15
barna, tj. 10−43
m2
odnosno 10−39
cm2
. Ovdje se koristimo femtobarnima jer su uobiˇcajene jedinice
za površinu, popreˇcni presjek itd. premale da bi se rezultati mogli njima izraziti.
44
47. 3.3 Predvi ¯danja za LHC 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
Tablica 10: Zavisnost broja leptokvarkova N od njihove mase MLQ pri razliˇcitim
luminozitetima
MLQ N (broj leptokvarkova)
[GeV] L=25 [fb−1
] L=30 [fb−1
] L=35 [fb−1
]
400 76848 92217 107587
450 39868 47841 55815
500 21825 26190 30555
550 12842 14978 17474
600 7401 8882 10362
650 4525 5430 6335
700 2839 3407 3974
750 1821 2186 2550
800 1192 1430 1668
850 793 951 1110
900 536 643 750
950 367 440 513
1000 254 305 356
0
20
40
60
80
100
120
400 500 600 700 800 900 1000
N[103
leptokvarkova]
MLQ [GeV]
L=25 fb-1
L=30 fb
-1
L=35 fb
-1
Slika 12: Zavisnost broja leptokvarkova N od njihove mase MLQ pri razliˇcitim
luminozitetima
45
48. 3.3 Predvi ¯danja za LHC 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova
Na slici 12 se vidi grafiˇcki prikaz zavisnosti broja leptokvarkova N od njihove
mase MLQ pri razliˇcitim luminozitetima od 25 do 35 fb−1
. Ono što se može uoˇciti
je da ma kako veliki ili mali luminoziteti bili, odnosno ma kako se razlikovali, za
velike mase MLQ, broj oˇcekivanih leptokvarkova je približno isti.
46
49. 4. Eksperimentalni status leptokvarkova
4 Eksperimentalni status leptokvarkova
” Kada se teorija i eksperiment ne slažu,
rješenje treba tražiti u izmjeni teorije.”
Richard Feynman
Leptokvarkovi su hipotetiˇcke ˇcestice koje nose i barionski (B) i leptonski (L) broj.
Prema vrijednosti njihovog spina dijelimo ih na vektorske (vrijednost spina je 1)
i skalarne leptokvarkove (vrijednost spina je 0). Ranije smo se upoznali sa te-
orijom Standardnog Modela. Poznato je da u op´ce prihva´cenom Standardnom
Modelu leptokvarkovi kao ˇcestice nisu prisutni, ali u proširenim teorijama Stan-
dardnog Modela oˇcekuje se postojanje leptokvarkovskih stanja. U literaturi se
razmatraju leptokvarkovi prve, druge i tre´ce generacije. Najjednostavnije reˇceno,
leptokvarkovi prve, druge, tre´ce generacije su oni koji imaju me ¯dudjelovanje samo
sa prvom, drugom, tre´com generacijom leptona i kvarkova, redom.
Pogledajmo šta to znaˇci na konkretnom primjeru. U Lagranžijanu imamo ˇclan:
(Y)ij(ψL)i(ψR)jφ (139)
koji oznaˇcava interakciju izme ¯du leptona i kvarkova putem leptokvarkova. Naime,
ψL stanje u ovom izrazu oznaˇcava kvarkovsko (ili leptonsko) stanje i ψR leptonsko
(ili kvarkovsko) , dok φ stanje predstavlja leptokvark a (Y)ij je odgovaraju´ca Yu-
kawa konstanta me ¯dudjelovanja. Indeksi i i j oznaˇcavaju generaciju stanja (prva,
druga ili tre´ca generacija). Dakle, ako se radi o prvoj generaciji, izraz (139) može
imati ovakve oblike:
Y11uLeR φ ,
Y11dLν φ . (140)
Za drugu generaciju imamo:
Y22cL µR φ ,
Y22sLν φ . (141)
I za tre´cu generaciju imamo:
47
50. 4. Eksperimentalni status leptokvarkova
Y33tLτR φ ,
Y33bLν φ . (142)
Ono što se u praksi, dakle u eksperimentima mjeri su omjeri Y/MLQ, odnosno
omjer Yukawa konstanti me ¯dudjelovanja i same mase leptokvarkova, jer masu kao
jedinstven parametar u ovom trenutku nije mogu´ce odrediti.
No, vratimo se teorijskim modelima i njihovim predvi ¯danjima na osnovu ko-
jih se vrše eksperimenti i bilježe odre ¯deni podaci.
Tako npr., Pati-Salam SU(4) model predvi ¯da postojanje leptokvarkovskog sta-
nja. Naime, u ovom modelu, leptonski broj se posmatra kao ˇcetvrti naboj boje: ˇce-
tiri slaba dubleta svake generacije su ure ¯dena kao ˇcetiri dubleta od SU(4) [10,20].
Ova simetrija se kasnije spontano slama tako da gluoni postaju bezmasivni, a lep-
tokvarkovi masivni. GUT (velike unificiraju´ce teorije, od eng. grand unification
theories) koje se baziraju na SU(5) tako ¯de sadrže vektorske leptokvarkove koji
imaju mase unificiraju´ce skale, pa ih zbog toga nije mogu´ce opaziti u akcelera-
torima, dok se prisustvo skalarnih leptokvarkova na TeV skali nije apriori zabra-
njeno.
Iako nismo direktno ili indirektno eksperimentalno utvrdili i predoˇcili pos-
tojanje leptokvarkova (s obzirom na njihovu masu i druge karakteristike), ipak
možemo dobiti neke brojˇcane limite vezano za njih — direktne i indirektne pri-
rode. Direktne limite dobivamo iz sudaraˇca pri samoj proizvodnji a na osnovu
popreˇcnih presjeka, dok indirektne limite raˇcunamo iz ograniˇcenja na ˇcetvero-
fermionskim interakcijama induciranim leptokvarkovima, pri ˇcemu te interakcije
dobivamo u nisko-energetskim eksperimentima.
Krenimo od eksperimenata u sudaraˇcima. Dakle, direktne limite na leptokvar-
kovska stanja dobivamo putem limita na popreˇcnim presjecima pri produkciji jed-
nog leptokvarka ili para leptokvarkova. Popreˇcni presjeci LO-a (Leading Order)
procesa na partonskom nivou:
q + q → LQ + LQ
g + g → LQ + LQ
e + q → LQ (143)
mogu se ovako napisati:
48
51. 4. Eksperimentalni status leptokvarkova
ˆσLO[qq → LQ + LQ] =
2α2
sπ
27ˆs
β3
ˆσLO[gg → LQ + LQ] =
α2
sπ
96ˆs
[β(41 − 31β2
) + (18β2
− β4
− 17)log
1 + β
1 − β
]
ˆσ[eq → LQ] =
πλ2
4
δ(ˆs − M2
LQ) (144)
za skalarni leptokvark. Ovdje
√
ˆs predstavlja invarijantnu energiju partonskog
podprocesa, a β ≡ 1 − 4M2
LQ/ˆs. Leptokvarkovska Yukawa konstanta me ¯dudje-
lovanja je data sa λ.
Leptokvarkovi se tako ¯de pojedinaˇcno proizvode u hadronskim sudaraˇcima
ovim putem:
g + q → LQ + l . (145)
U eksperimentima u LHC-u (Large Hadron Collider), LEP-u (Large Electron
Positron Collider) i Tevatron-u (kružni akcelerator ˇcestica) traži se produkcija
leptokvarkovskih stanja u paru (pair-production) koja dolazi od leptokvarkovske
gauge interakcije. Gauge konstante me ¯dudjelovanja skalarnih leptokvarkova su
jednoznaˇcno odre ¯dene shodno njihovim kvantnim brojevima. S obzirom da lep-
tokvarkovi nose kvantni broj za boju, popreˇcni presjek proizvodnje para skalarnih
leptokvarkova u Tevatron-u i LHC-u se može odrediti samo kao funkcija mase
leptokvarka bez dodatnih pretpostavki. Ovo je u suprotnosti sa indirektnim li-
mitima ili limitima pri proizvodnji pojedinaˇcnih leptokvarkova. Za prvu i drugu
generaciju skalarnih leptokvarkova sa branching fraction raspada β = B(eq) = 1
i β = B(uq) = 1, CDF (Collider Detector at Fermilab) i DØ (eksperiment pri
Tevatron-u) eksperimenti dobivaju donje limite na masu leptokvarkova: mLQ >236
GeV (prva generacija, CDF), zatim mLQ >299 GeV (prva generacija, DØ), pa
mLQ >226 GeV (druga generacija, CDF) i mLQ >316 GeV (druga generacija, DØ)
pri CL16
=95%.
16
CL dolazi od dvije rijeˇci iz engleskog jezika: confidence level što bi u prijevodu znaˇcilo
“stepen pouzdanosti”. Naime, u istraživaˇckom uzorkovanju, razliˇciti uzorci mogu biti sluˇcajno
izabrani iz neke vrste (populacije), i svaki uzorak daje drugaˇciji interval pouzdanosti (eng. con-
fidence interval). Neki intervali pouzdanosti ukljuˇcuju stvarni parametar vrste, drugi ne. Stepen
pouzdanosti (CL) odnosi se na (predstavlja) procenat svih mogu´cih uzoraka za koje se može oce-
kivati da ukljuˇcuju stvarni parametar vrste. Npr., pretpostavimo da su svi mogu´ci uzorci izabrani
(uzeti) iz iste vrste i zatim su izraˇcunati intervali pouzdanosti za svaki uzorak. CL=95% implicira
(oznaˇcava) da 95% intervala pouzdanosti ukljuˇcuje stvarni parametar vrste.
49
52. 4. Eksperimentalni status leptokvarkova
Kad je rijeˇc o tre´coj generaciji leptokvarkova, njihove limite dobivamo iz DØ
eksperimenta koji postavlja limit na 247 GeV za naboj −1
3
tre´ce generacije leptok-
varkova pri CL=95%.
Ako pogledamo rezultate iz LHC-a, proton-proton sudaraˇca koji radi pri ener-
giji centra mase od 7 TeV-a, vidimo da dolazi do proširenja prethodnih limita na
mase skalarnih leptokvarkova koje je postavio Tevatron. Naime, sada za prvu ge-
neraciju skalarnih leptokvarkova donja granica iznosi 339 GeV (CMS, β = 0.5),
odnosno 376 GeV (ATLAS, β = 1) i 319 GeV (ATLAS, β = 0.5). Za drugu gene-
raciju imamo donju granicu 394 GeV (CMS, β = 1), odnosno 422 GeV (ATLAS,
β = 1) i 362 GeV (ATLAS, β = 0.5) [17]. Svi limiti su za CL=95%.
U još jednom akceleratoru ˇcestica su izvo ¯deni eksperimenti u kojima je vršena
potraga za leptokvarkovima, taˇcnije — produkcijom pojedinaˇcnih leptokvarkova.
Radi se o akceleratoru koji se nalazi u Hamburgu, u sklopu nacionalnog istraživaˇc-
kog centra u Njemaˇckoj (DESY — Deutsches Elektronen Synchrotron), taˇcnije —
hadronsko-elektronskom prstenastom akceleratoru HERA (Hadron Electron Ring
Accelerator). S obzirom da popreˇcni presjek pojedinaˇcno proizvedenih leptokvar-
kova zavisi od njegovih Yukawa konstanti me ¯dudjelovanja, u tom sluˇcaju maseni
limiti za leptokvarkove dobivene iz HERA eksperimenata obiˇcno se prikazuju u
vidu grafika zavisnosti konstanti me ¯dudjelovanja od mase leptokvarkova. Za lep-
tokvarkovsku Yukawa konstantu me ¯dudjelovanja λ = 0.1, ZEUS (detektor ˇcestica
pri akceleratoru HERA) je postavio maseni interval 248–290 GeV za leptokvar-
kove prve generacije, zavisno od vrste leptokvarkova.
Na slici 15 [17] mogu se vidjeti sumirani rezultati koje donose ATLAS, CMS,
DØ , LEP i H1 za limite masa dva tipiˇcna skalarna leptokvarka prve generacije, i
to preko grafika zavisnosti konstanti me ¯dudjelovanja od mase leptokvarkova.
Na kraju možemo sumirati eksperimentalne rezultate masa skalarnih leptok-
varkova prema generacijama:
m > 660 GeV, CL = 95% (I generacija, proizvodnja parova)
m > 298 GeV, CL = 95% (I generacija, pojedinaˇcna proizvodnja)
m > 422 GeV, CL = 95% (II generacija, proizvodnja parova)
m > 73 GeV, CL = 95% (II generacija, pojedinaˇcna proizvodnja)
m > 247 GeV, CL = 95% (II generacija, proizvodnja parova)
(146)
50
54. 5. Zakljuˇcak
5 Zakljuˇcak
Leptokvarkovi su hipotetske ˇcestice i možemo re´ci da pripadaju dijelu fizike koji
se naziva Nova fizika — fizika izvan Standardnog Modela. Kažemo da su hipotet-
ske jer još (uvijek) nismo dobili eksperimentalni dokaz njihovog postojanja. No,
kako se eksperimentalna fizika, ili da budemo precizni, akceleratorska fizika ra-
zvija velikom brzinom, tako i opipljivost leptokvarkova biva bliža fiziˇcarima.
U ovom radu smo se bavili fenomenologijom skalarnih leptokvarkova, od te-
orijske postavke za predvi ¯danje njihovog postojanja, preko procesa nastanka i ras-
pada, do njihovog eksperimentalnog statusa. Ono što je znaˇcajno za ovaj rad i
što ga ˇcini posebnim i drugaˇcijim, jeste numeriˇcka analiza procesa nastanka lep-
tokvarkova u zavisnosti od njihove mase i integriranog luminoziteta dva razliˇcita
detektora: ATLAS-a i CMs-a na LHC-u u CERN-u. Numeriˇcka analiza i prora-
ˇcun su ura ¯deni za 2014. godinu kada se ˇcekuje rad LHC-a na
√
ˆs = 14 TeV-a što
predstavlja znaˇcajno poboljšanje u odnosu na prethodne godine, kao i brojne mo-
gu´cnosti za razvoj fizike iza Standardnog Modela, izme ¯du ostalog i leptokvarkova.
Provjeru valjanosti dobivenih rezultata izvršili smo reprodukcijom podataka
za totalni popreˇcni presjek na Tevatronu [15]. Predoˇcene su tablice sa podacima iz
prethodno navedene reference i podacima dobivenim pomo´cu numeriˇcke analize i
koda korištenog za predvi ¯danja na LHC-u. Slaganje reprodukovanih sa citiranim
podacima je bilo jako dobro, pri ˇcemu su odstupanja prisutna samo zbog razliˇcitih
setova PDF-ova. Ali, upravo koherentnost jednih i drugih podataka za Tevatron
daje sigurnost i povjerenje za one podatke koje smo dobili za LHC u 2014. godini.
Evo do kakvih zanimljivih podataka smo došli numeriˇckom analizom.
Za integrirani luminozitet iz 2012. godine na detektorima ATLAS i CMS,
pokazuje se da je broj oˇcekivanih leptokvarkova približno isti za oba detektora.
Drugi zanimljiv podatak je da pri razliˇcitim vrijednostima integriranog lumino-
ziteta (25–35 fb−1
), sa pove´canjem mase lepokvarkova, razlika u integriranom
luminozitetu postaje zanemariva - broj oˇcekivanih leptokvarkova za razliˇcite inte-
grirane luminozitete, ali pri velikim masama, je skoro pa jednako mali. U svakom
sluˇcaju, ono što su pozitivni rezultati je da za pretpostavljene mase leptokvarkova
prve generacije i uz brojˇcanu vrijednost integriranog luminoziteta iz 2012. godine,
broj oˇcekivanih leptokvarkova je relativno veliki — iznosi i preko 60000.
Stoga možemo re´ci da od 2014. godine i pp sudara na LHC-u u CERN-u
možemo puno oˇcekivati, kako u oblastima fizike koje tek treba pojasniti poput
tamne materije i tamne energije, tako i onim o kojima nam se ˇcini da znamo jer
ponajviše o tome slušamo - porijeklu mase i Higgsovom bozonu.
52
55. 6 Reference
[1] M. E. Peskin, D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Fron-
tiers in Physics), Addison-Wesley Publishing Company, (1995)
[2] Aldo Brancacci, Pierre-Marie Morel Democritus: Science, the Arts, and the
Care of the Soul, Koninklijke Brill NV, Leiden, The Netherlands (2007)
[3] C. C. W. Taylor The Atomists, Leucippus and Democritus: fragments, Univer-
sity of Toronto Press Incorporated (1999)
[4] W. Marx Fenomenologija Edmunda Husserla: uvod, Naklada Breza, Zagreb
(2005)
[5] M. K. Sundaresan, Handbook of Particle Physics, CRC Press LLC (2001)
[6] I. Picek, Fizika elementarnih ˇcestica, Hinus, Zagreb (1997)
[7] B. R. Martin & G. Shaw, Particle Physics, A John Wiley and Sons, Ltd, Publi-
cation (2005)
[8] Ž. Antunovi´c, Standardni Model
[9] Green Book: IUPAC Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry,
Blackwell Scientific Publications, Oxford (1993)
[10] J. Pati and A. Salam, Phys. Rev. D10 (1974)
[11] H. Georgi and S. Glashow, Unity of All Elementary-Particle Forces, Physical
Review Letters, 32 (1974)
[12] J. C. Baez, J. Huerta, The Algebra of Grand Unified Theories, (2009), hep-
th/0904.1556
[13] H. Nishino et al. Super-Kamiokande Collaboration , Search for Proton De-
cay via p → e+
π0
and p → µ+
π0
in a Large Water Cherenkov Detector, Phys.
Rev. Lett. 102, 141801 (2009)
[14] J. Beringer et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D86, 010001 (2012)
[15] M. Krämer (RAL), T. Plehn (DESY), M. Spira (CERN), P. M. Zerwas (DESY),
Pair production of scalar leptoquarks at the Tevatron (1997) arXiv:hep-ph/9704322
[hep-ph]
[16] E. Del Nobile, R. Franceschini, D. Pappadopulo, A. Strumia, Minimal Matter
at the Large Hadron Collider, (2010) arXiv:0908.1567 [hep-ph]
[17] http://pdg.lbl.gov/2012/reviews/rpp2012-rev-leptoquark-quantum-numbers.pdf
[18] J. M. Campbell, J. W. Huston, W. J. Stirling, Hard Interactions of Quarks and
Gluons: a Primer for LHC Physics (2006) arXiv:0611148v1 [hep-ph]
[19] R. M. Caputo, A Search for First Generation of Leptoquarks at the ATLAS
Detector Dissertation, Stony Brook University (2011)
[20] S. Davidson, D. Bailey, and B. A. Campbell, Zeitschrift Für Physik C 61, 613
(1994)
[21] J. Blumlein, E. Boos, and A. Kryukov, Z. Phys C76, 137 (1997), hep-ph/9610408
[22] https://twiki.cern.ch/twiki/bin/view/AtlasPublic/LuminosityPublicResults
53
