Tiga permasalahan pemrograman linier dengan fungsi tujuan berbeda dan kendala-kendala tertentu. Solusi optimal dicari dengan menggambar kendala dan garis iso-cost serta mengevaluasi nilai fungsi tujuan di titik sudut.

1. PROGRAM LINIER
FINAL TEST
NURUL HILAL
10536 3409 09
MATEMATIKA 5H

2. NURUL HILAL
10536 3409 09
MATEMATIKA 5H
1) Diketahui fungsi objektif, Z = x1 + 5x2, dengan sumber terbatas
x1 + x2 ≥ 48
5x1 + 17x2 ≥ 10
3x1 + 10x2 ≤ 8
x1,x2 ≥ 0 (non-negative)
Tentukanlah solusi optimal dari formulasi permasalahan di atas!
2) Tentukan solusi optimal dari permasalahan berikut dengan fungsi tujuan
Z = 2x1 + 5x2, dengan fungsi kendala ;
x1 + x2 ≥ 30
3x1 + 8x2 ≥ 12
2x1 + 8 x2 ≤ 6
x1,x2 ≥ 0 (non-negative)
3) Tentukan solusi dari permasalahan pemrograman linier berikut dengan fungsi
tujuan (Objective Function), minimalkan : Z = x1 + 4x2
Dengan kendala (Constraint) :
x1 + x2 ≥ 24
6x1 + 12x2 ≥ 8
4x1 + 14x2 ≤ 10
x1,x2 ≥ 0 (non-negative)
4) Minimalkan : Z = 3x1 + 5x2 dengan daerah pembatas (limited resources)
x1 + x2 ≥ 48
5x1 + 11x2 ≥ 7
x1 + 7x2 ≤ 5
x1,x2 ≥ 0 (non-negative)

3. 5) Carilah solusi optimal dari permasalahan berikut ;
Minimalkan : Z = 2x1 + 6x2, dengan fungsi kendala ;
x1 + x2 ≥ 36
6x1 + 12x2 ≥ 8
4x1 + 8 x2 ≤ 6
x1,x2 ≥ 0 (non-negative)
PENYELESAIAN
1) Z = x1 + 5x2, dengan sumber terbatas
x1 + x2 ≥ 48
5x1 + 17x2 ≥ 10
3x1 + 10x2 ≤ 8
x1,x2 ≥ 0 (non-negative)
Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke
bentuk persamaan implisit, sehingga
5 x1 + 17 x2 ≥ 10 menjadi 5 x1 + 17 x2 ≥ 10 (x1 + x2)
⟹ 5 x1 + 17 x2 ≥ 10 (x1 + x2)
⟹5 x1 + 17 x2 ≥ 10 x1 + 10 x2
⟹ (10 x1 - 5 x1) + (10 x2 - 17 x2) ≤ 0
⟹ 5 x1 - 7 x2 ≤ 0,
dengan cara yang sama kendala 3x1 + 10 x2 ≤ 8 diubah menjadi ,
⟹ 3x1 + 10 x2 ≤ 8 (x1 + x2)
⟹ 3x1 + 10 x2 ≤ 8 x1 + 8 x2
⟹ (8x1 - 3x1) + (8 x2 – 10 x2) ≥ 0
⟹ 5 x1 - 2 x2 ≥ 0.
Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara
lengkap sebagai berikut :
 Fungsi tujuan : Z = x1 + 5x2
 Fungsi kendala x1 + x2 ≥ 48, 5 x1 - 7 x2 ≤ 0, 5 x1 - 2 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0
(non-negative)

4. Untuk menggambarkan fungsi kendala, maka terlebih dahulu mencari titik
potong ketiga kendala, bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. Jadi,
 Titik potong kendala 5 x1 - 7 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 48
7
5 x1 - 7 x2 ≤ 0 ⟹ 5 x1 = 7 x2 ⟹ x1 = 5 x2.
7 12
 x1 + x2 ≥ 48 ⟹ 5 x2 + x2 = 48 ⟹ x2 = 48, untuk nilai x2 = 20.
5
 x1 + (20) = 48, untuk nilai x1 = 28
Jadi, titik potong kendala adalah (28,20)
 Titik potong kendala 5 x1 - 2 x2 ≥ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 48
2
5 x1 - 2 x2 ≥ 0 ⟹ 5 x1 = 2 x2 ⟹ x1 = 5 x2.
2 7
 x1 + x2 ≥ 48 ⟹ 5 x2 + x2 = 48 ⟹ 5 x2 = 48, untuk nilai x2 = 34,29.
 x1 + (34,29) = 48, untuk nilai x1 = 13,71.
Jadi, titik potong kendala adalah (13,71;34,29)
GAMBAR
30
25
20
15
10
5
5 10 15 20 25 30 35

5. Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu :
1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line)
2. dengan titik sudut (corner point)
 Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian
dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser
ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada
area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti
nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi
biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 1 (koefisien x1) dan angka
5 (koefisien x2) adalah 5, sehingga fungsi tujuan menjadi 5 = x1 + 5 x2. Garis ini
akan memotong sumbu x1 pada titik (5,0) dan sumbu x2 pada titik (0,1).
 Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point)
Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z
di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai
x1 = 28 dan x2 = 20. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita
peroleh (28) + 5 (20) = 128. Dan pada titik B nilai x1 = 13,71 dan x2 = 34,29, kita
peroleh (13,71) + 5 (34,29) = 185,16. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil
daripada titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.
2) Z = 2x1 + 5x2, dengan fungsi kendala ;
x1 + x2 ≥ 26
8x1 + 3x2 ≥ 12
2x1 + 8 x2 ≤ 6
x1,x2 ≥ 0 (non-negative)
Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke
bentuk persamaan implisit, sehingga
8x1 + 3 x2 ≥ 12 menjadi 8 x1 + 3 x2 ≥ 12 (x1 + x2)
⟹ 8 x1 + 3 x2 ≥ 12 (x1 + x2)
⟹ 8 x1 + 3 x2 ≥ 12 x1 + 12 x2
⟹ (12 x1 - 8 x1) + (12 x2 - 3 x2) ≤ 0
⟹ 4 x1 - 9 x2 ≤ 0,

6. dengan cara yang sama kendala 2 x1 + 8 x2 ≤ 6 diubah menjadi ,
⟹ 2x1 + 8 x2 ≤ 6 (x1 + x2)
⟹ 2x1 + 8 x2 ≤ 6 x1 + 6 x2
⟹ (6x1 - 2x1) + (6 x2 – 8 x2) ≥ 0
⟹ 4 x1 - 2 x2 ≥ 0.
Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara
lengkap sebagai berikut :
 Fungsi tujuan : Z = 2 x1 + 5 x2
 Fungsi kendala x1 + x2 ≥ 26, 4 x1 - 9 x2 ≤ 0, 4 x1 - 2 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0
(non-negative)
Untuk menggambarkan fungsi kendala, maka terlebih dahulu mencari titik
potong ketiga kendala, bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. Jadi,
 Titik potong kendala 4 x1 - 9 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 26
9
4x1 - 9 x2 ≤ 0 ⟹ 4 x1 = 9 x2 ⟹ x1 = 4 x2.
9 13
 x1 + x2 ≥ 26 ⟹ 4 x2 + x2 = 26 ⟹ x2 = 26, untuk nilai x2 = 8.
4
 x1 + (8) = 26, untuk nilai x1 = 18
Jadi, titik potong kendala adalah (18, 8)
 Titik potong kendala 4 x1 - 2 x2 ≥ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 26
1
4 x1 - 2 x2 ≥ 0 ⟹ 4 x1 = 2 x2 ⟹ x1 = 2 x2.
1 3
 x1 + x2 ≥ 26 ⟹ 2 x2 + x2 = 26 ⟹ 2 x2 = 26, untuk nilai x2 = 17,33.
 x1 + (17,33) = 26, untuk nilai x1 = 8,67.
Jadi, titik potong kendala adalah (8,67;17,33)
Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu :
1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line)
2. dengan titik sudut (corner point)
 Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian
dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser
ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada

7. area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti
nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi
biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 2 (koefisien x1) dan angka
5 (koefisien x2) adalah 10, sehingga fungsi tujuan menjadi 10 = 2 x1 + 5 x2. Garis
ini akan memotong sumbu x1 pada titik (5,0) dan sumbu x2 pada titik (0,2).
GAMBAR
30
25
20
15
10
5
5 10 15 20 25 30 35
 Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point)
Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z
di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai
x1 = 18 dan x2 = 8. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita
peroleh 2 (18) + 5 (8) = 76. Dan pada titik B nilai x1 = 8,67 dan x2 = 17,33, kita
peroleh 2 (8,67) + 5 (17,33) = 103,99. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil
daripada titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.
3) Z = x1 + 4x2
Dengan kendala (Constraint) :
x1 + x2 ≥ 24
6x1 + 12x2 ≥ 8

8. 4x1 + 14x2 ≤ 10
x1,x2 ≥ 0 (non-negative)
Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke
bentuk persamaan implisit, sehingga
6x1 + 12 x2 ≥ 8 menjadi 6 x1 + 12 x2 ≥ 8 (x1 + x2)
⟹ 6 x1 + 12 x2 ≥ 8 (x1 + x2)
⟹ 6 x1 + 12 x2 ≥ 8 x1 + 8 x2
⟹ (8 x1 - 6 x1) + (8 x2 - 12 x2) ≤ 0
⟹ 2 x1 - 4 x2 ≤ 0,
dengan cara yang sama kendala 4 x1 + 14 x2 ≤ 10 diubah menjadi ,
⟹ 4 x1 + 14 x2 ≤ 10 (x1 + x2)
⟹ 4 x1 + 14 x2 ≤ 10 x1 + 10 x2
⟹ (10x1 - 4x1) + (10 x2 – 14 x2) ≥ 0
⟹ 6 x1 - 4 x2 ≥ 0.
Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara
lengkap sebagai berikut :
 Fungsi tujuan : Z = x1 + 4 x2
 Fungsi kendala x1 + x2 ≥ 24, 2 x1 - 4 x2 ≤ 0, 6 x1 - 4 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0
(non-negative)
Untuk menggambarkan fungsi kendala, maka terlebih dahulu mencari titik
potong ketiga kendala, bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. Jadi,
 Titik potong kendala 2 x1 - 4 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 24
2x1 - 4 x2 ≤ 0 ⟹ 2 x1 = 4 x2 ⟹ x1 = 2 x2.
 x1 + x2 ≥ 24 ⟹ 2 x2 + x2 = 24 ⟹ 3x2 = 24, untuk nilai x2 = 8.
 x1 + (8) = 24, untuk nilai x1 = 16
Jadi, titik potong kendala adalah (16, 8)
 Titik potong kendala 6 x1 - 4 x2 ≥ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 24
2
6 x1 - 4 x2 ≥ 0 ⟹ 6 x1 = 4 x2 ⟹ x1 = 3 x2.
2 5
 x1 + x2 ≥ 24 ⟹ 3 x2 + x2 = 24 ⟹ 3 x2 = 24, untuk nilai x2 = 14,4.

9.  x1 + (14,4) = 24, untuk nilai x1 = 9,6.
Jadi, titik potong kendala adalah (9,6;14,4)
GAMBAR
30
25
20
15
10
5
5 10 15 20 25 30 35
Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu :
1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line)
2. dengan titik sudut (corner point)
 Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian
dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser
ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada
area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti
nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi
biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 1 (koefisien x1) dan angka
4 (koefisien x2) adalah 4, sehingga fungsi tujuan menjadi 4 = x1 + 4 x2. Garis ini
akan memotong sumbu x1 pada titik (4,0) dan sumbu x2 pada titik (0,1).
 Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point)
Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z
di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai
x1 = 16 dan x2 = 8. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita

10. peroleh (16) + 4 (8) = 48. Dan pada titik B nilai x1 = 9,6 dan x2 = 14,4, kita
peroleh (9,6) + 4 (14,4) = 67,2. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada
titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.
4) Z = 3x1 + 5x2 dengan daerah pembatas (limited resources)
x1 + x2 ≥ 48
5x1 + 11x2 ≥ 7
x1 + 7x2 ≤ 5
x1,x2 ≥ 0 (non-negative)
Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke
bentuk persamaan implisit, sehingga
5x1 + 11 x2 ≥ 7 menjadi 5 x1 + 11 x2 ≥ 7 (x1 + x2)
⟹ 5 x1 + 11 x2 ≥ 7 (x1 + x2)
⟹ 5 x1 + 11 x2 ≥ 7 x1 + 7 x2
⟹ (7 x1 - 5 x1) + (7 x2 - 11 x2) ≤ 0
⟹ 2 x1 - 4 x2 ≤ 0,
dengan cara yang sama kendala x1 + 7 x2 ≤ 5 diubah menjadi ,
⟹ x1 + 7 x2 ≤ 5 (x1 + x2)
⟹ x1 + 7 x2 ≤ 5 x1 + 5 x2
⟹ (5x1 - x1) + (5 x2 – 7 x2) ≥ 0
⟹ 4x1 - 2 x2 ≥ 0.
Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara
lengkap sebagai berikut :
 Fungsi tujuan : Z = 3 x1 + 5 x2
 Fungsi kendala x1 + x2 ≥ 48, 2 x1 - 4 x2 ≤ 0, 4 x1 - 2 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0
(non-negative)
Untuk menggambarkan fungsi kendala, maka terlebih dahulu mencari titik
potong ketiga kendala, bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. Jadi,
 Titik potong kendala 2 x1 - 4 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 48
2x1 - 4 x2 ≤ 0 ⟹ 2 x1 = 4 x2 ⟹ x1 = 2 x2.

11.  x1 + x2 ≥ 48 ⟹ 2 x2 + x2 = 48 ⟹ 3x2 = 48, untuk nilai x2 = 16.
 x1 + (16) = 48, untuk nilai x1 = 32
Jadi, titik potong kendala adalah (32, 16)
 Titik potong kendala 4 x1 - 2 x2 ≥ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 48
1
4 x1 - 2 x2 ≥ 0 ⟹ 4 x1 = 2 x2 ⟹ x1 = 2 x2.
1 3
 x1 + x2 ≥ 48 ⟹ 2 x2 + x2 = 48 ⟹ 2 x2 = 48, untuk nilai x2 = 32.
 x1 + (32) = 48, untuk nilai x1 = 16.
Jadi, titik potong kendala adalah (16, 32)
GAMBAR
30
25
20
15
10
5
5 10 15 20 25 30 35
Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu :
1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line)
2. dengan titik sudut (corner point)
 Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian
dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser
ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada
area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti

12. nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi
biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 3 (koefisien x1) dan angka
5 (koefisien x2) adalah 15, sehingga fungsi tujuan menjadi 15 = 3 x1 + 5 x2. Garis
ini akan memotong sumbu x1 pada titik (5,0) dan sumbu x2 pada titik (0,3).
 Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point)
Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z
di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai
x1 = 32 dan x2 = 16. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita
peroleh 3(32) + 5 (16) = 176. Dan pada titik B nilai x1 = 16 dan x2 = 32, kita
peroleh 3 (16) + 5 (32) = 208. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada
titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.
5) Z = 2x1 + 6x2, dengan fungsi kendala ;
x1 + x2 ≥ 36
6x1 + 12x2 ≥ 8
4x1 + 7 x2 ≤ 6
x1,x2 ≥ 0 (non-negative)
Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke
bentuk persamaan implisit, sehingga
6x1 + 12x2 ≥ 8 menjadi 6 x1 + 12 x2 ≥ 8 (x1 + x2)
⟹ 6 x1 + 12 x2 ≥ 8 (x1 + x2)
⟹ 6 x1 + 12 x2 ≥ 8 x1 + 8 x2
⟹ (8 x1 - 6 x1) + (8 x2 - 12 x2) ≤ 0
⟹ 2 x1 - 4 x2 ≤ 0,
dengan cara yang sama kendala 4 x1 + 7 x2 ≤ 6 diubah menjadi ,
⟹ 4 x1 + 7 x2 ≤ 6 (x1 + x2)
⟹ 4 x1 + 7 x2 ≤ 6 x1 + 6 x2
⟹ (6 x1 – 4 x1) + (6 x2 – 7 x2) ≥ 0
⟹ 2x1 - x2 ≥ 0.

13. Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara
lengkap sebagai berikut :
 Fungsi tujuan : Z = 2 x1 + 6 x2
 Fungsi kendala x1 + x2 ≥ 36, 2 x1 - 4 x2 ≤ 0, 2 x1 - x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0
(non-negative)
Untuk menggambarkan fungsi kendala, maka terlebih dahulu mencari titik
potong ketiga kendala, bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. Jadi,
 Titik potong kendala 2 x1 - 4 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 36
2x1 - 4 x2 ≤ 0 ⟹ 2 x1 = 4 x2 ⟹ x1 = 2 x2.
 x1 + x2 ≥ 36 ⟹ 2 x2 + x2 = 36 ⟹ 3x2 = 36, untuk nilai x2 = 12.
 x1 + (12) = 36, untuk nilai x1 = 24
Jadi, titik potong kendala adalah (24, 12)
 Titik potong kendala 2 x1 - x2 ≥ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 36
1
2 x1 - x2 ≥ 0 ⟹ 2 x1 = x2 ⟹ x1 = 2 x2.
1 3
 x1 + x2 ≥ 36 ⟹ 2 x2 + x2 = 36 ⟹ 2 x2 = 36, untuk nilai x2 = 24.
 x1 + (24) = 36, untuk nilai x1 = 12.
Jadi, titik potong kendala adalah (12, 24).
25
15
5
5 10 15 20 25 30 35

14. Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu :
1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line)
2. dengan titik sudut (corner point)
 Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian
dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser
ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada
area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti
nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi
biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 2 (koefisien x1) dan angka
6 (koefisien x2) adalah 12, sehingga fungsi tujuan menjadi 12 = 2 x1 + 6 x2. Garis
ini akan memotong sumbu x1 pada titik (6,0) dan sumbu x2 pada titik (0,2).
 Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point)
Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z
di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai
x1 = 24 dan x2 = 12. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita
peroleh 2 (24) + 6 (12) = 120. Dan pada titik B nilai x1 = 12 dan x2 = 24, kita
peroleh 2 (12) + 6 (24) = 168. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada
titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.