matemática

1. Grupo de Estudios “Vega
Carreño”
Av. Lima Norte Nº 184 – Chosica – Costado del Parque Echenique
PRACTICA DIRIGIDA DE RAZONAMIENTO MATEMATICO
TEMA: Edades PROFESOR: Lic. Marco Antonio Vega Mucha
El enigma de la edad de Diofanto
La introducción de símbolos y abreviaturas para designar la variable y las operaciones
que hay que efectuar para resolver ecuaciones es obra de Diofanto, de allí que a su
Álgebra se le ha llamado “Álgebra sincopada” que antecede al Álgebra simbólica actual.
Muchos autores consideran a Diofanto como el padre del Álgebra moderna.
Un problema, atribuido a Hypatia de Alejandría, cuenta que en la lapida de su tumba
había una inscripción que explicaba, en forma de problema, la edad que tenía el sabio
cuando murió:
Esta tumba contiene a Diofanto.
¡Oh gran maravilla!
Y la tumba dice con arte la medida de su vida.
Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas
tuvieron la primera barba.
Le encendió el fuego nupcial después de un séptimo,
y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo.
Pero, ¡ay! Niño tardío y desgraciado,
en la mitad de la medida de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba.
Después de consolar su pena cuatro años con esta ciencia del cálculo llegó al término de
su vida”
¿Cuántos años había vivido Diofanto cuando le llego la muerte?
Solución del problema:
Si llamamos “x” a la edad a la que murió Diofanto, entonces traduciendo el acertijo al
lenguaje algebraico tenemos:

2. Por lo tanto, si es históricamente cierto, Diofanto vivió 84 años. Además podemos
deducir que fue niño hasta los 14 años, le salió barba a los 21, se casó a los 33 y tuvo un
hijo a los 38, el cual murió cuando su padre tenía 80 años.
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ACADÉMICA
EDADES 3. Dentro de 10 años, la edad de un
En este capitulo evaluaremos problemas padre será el doble de la edad de su
donde los protagonistas son las edades hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo, si
de uno o mas sujetos. hace 2 años la edad del padre era el
triple de la edad del hijo?
De acuerdo al número de sujetos pode- ¡Veamos una observación muy importante!
mos distinguir dos tipos de problemas: Asumiendo que las edades de tres perso-
nas en el pasado, presente y futuro, sean
I. CUANDO INTERVIENE LA EDAD DE
4 años 7 años
UN SOLO SUJETO.
Si la edad actual de un sujeto es x años, Pasado Present futuro
entonces dentro de “n” años y hace “m” e
yo 17
años, su edad se expresara así:
tu 15
m n el 10
Del cuadro se observa que:
Hace “m” años ahora Dentro de “n” años 1. La diferencia de las edades de dos
(Pasado) (Presente) (Futuro) personas es constante en cualquier
tiempo.
Ejemplos:
Diferencia en Diferencia en Diferencia en
1. Hace 2 años tenia la quinta parte de la el pasado el presente el futuro
edad que tendré dentro de 22 años. .................... = ..................... = ......................
¿Dentro de cuantos años tendré el doble
de la edad que tenia hace 3 años? 2. La suma en aspa (de valores ubicados
simétricamente) nos da un mismo
2. “Tres veces la edad que tendré dentro resultado
de tres años, menos tres veces la edad - ……………………………………………………
que tenia hace tres años, resulta mi - ……………………………………………………
edad actual”. ¿Cuántos años faltan para - ……………………………………………………
cumplir 25 años?
Ejemplo:
II. CUANDO INTERVIENEN LAS 4. Maria tiene 30 años, su edad es el
EDADES DE DOS O MAS SUJETOS. quíntuplo de la edad que tenía Ana,
cuando Maria tenía la tercera parte de la
Para resolver estos tipos de problemas edad actual de Ana. ¿Cuál es la edad
es recomendable utilizar un cuadro de actual de Ana?
doble entrada con el propósito de
ordenar y relacionar convenientemente ¡Otra observación importante!
los datos.
Para toda persona la relación de su
TIEMPOS
edad, su año de nacimiento y el año
actual es el siguiente:
S Pasado Present futuro
U E * Si la persona ya cumplió años:
J
e D
E A A Edad = año actual - año de nacimiento
T D
B
O E
S C S * Si la persona aun no cumple años:
Edad = año actual - año de nacimiento - 1
CONDICIONES
Ejemplos:
Ejemplo:

3. 5. Flor tenía en 1999 tantos años como 6. El 27 de Octubre de 1981, sucedió que
el doble del número formado por las dos la suma de las edades mas los años de
ultimas cifras del año de su nacimiento. nacimiento de Eduardo, Pepe y Víctor fue
¿Cuál es la edad actual de flor? 5941. Si Eduardo nació en Abril, Pepe en
noviembre y Víctor el 31 de cierto mes;
¿en que mes nació?
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ACADEMICA
PROBLEMAS 7. Marco nació en el año 19ab y en 1950
tuvo “a+b” años. ¿En que año tendrá
1. Si al doble de la edad que tendré “2a+3b” años?
dentro de 2 años, le resto el doble de la
a) 1960 b) 1962 c) 1965
edad que tenia hace 2 años, se obtiene
d) 1961 e) 1964
la edad que tengo. ¿Qué edad tendré
dentro de 2 años?
8. Cierto día del mes de mayo del año
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14 2000 a 10 personas se les pidió que
sumasen las edades que tenían a los
2. Hace 4 años la edad de Ana era el años en que nacieron y obtuvieron como
cuádruplo de la edad de Juan; pero resultado 19994. ¿Cuántas personas aun
dentro de 5 años será el triple. Hallar la no habían cumplido años hasta ese
suma de las edades actuales. entonces?
a) 90 b) 98 c) 96 d) 94 e) 92 a) 9 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2
3. Cuando nació el primer hijo de 9. Hace 5 años nuestras edades estaban
Carmen, la edad de ella y la de su en la relación de 5 a 3, y dentro de 25
esposo estaban en la relación de 7 a 9. años, tu edad será a la mía como 5 es a
Cuando su hijo cumplió 9 años la edad 7. ¿Cuántos años tengo?
de Carmen y la de su esposo estaban en
a) 40 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90
la relación de 5 a 6. Si Carmen se caso 3
años antes de nacer su primer hijo.
10. Jesús tiene 24 años y su edad es el
¿Cuántos años tenia en ese entonces?
séxtuplo de la edad que tenia Flor cuando
a) 17 b) 18 c) 16 d) 19 e) 20 el tenía la tercera parte de la edad que
ella tiene. ¿Qué edad tiene Flor?
4. Un padre pensó al ver a su hijo recién
a) 12 b) 16 c) 14 d) 21 e) 28
nacido y dijo: “Cuando tenga la mitad de
mi edad yo tendré el triple de su edad;
11. “Yo tengo tres veces la edad que tu
pero cuando el tenga mi edad, yo tendré
tenías, cuando yo tenía la edad que tú
el doble de la suya”. Si dentro de 30
tienes y cuando tengas la edad que
años la suma de sus edades será 84
tengo, la suma de nuestras edades será
años; ¿qué edad tiene el padre
35 años”. ¿Cuáles son nuestras edades?
actualmente?
a) 10 y 8 b) 12 y 8 c) 15 y 8
a) 22 b) 20 c) 18 d) 36 e) 24
d) 15 y 10 e) 20 y 14
5. En 1990, la edad de Alex era cuatro
12. Hace x2 años tenia 11 años y dentro
veces la edad de Beto y en 1998 la edad
de 3x2 años tendré 47 años. Si “E” es mi
de Alex fue el doble de la edad de Beto.
edad, ¿cuántas veces mas es respecto a
Halle la edad que tuvo Beto en el 2005.
10?
a) 16 años b) 17 años c) 18 años
a) dos veces b) tres veces c) 4 veces
d) 19 años e) 20 años
d) una vez e) 5 veces
6. Hace “p+q+r” años tenia “3p – 2q” años.
13. La suma de las edades de una pareja
¿Qué edad tendré dentro de “5r+q” años?
de esposos cuando nació su primer hijo
a) 6r+4p b) 6p+4r c) 2p – 2q+2 era la tercera parte de la suma de sus
d) 2p – 2q+4r e) 6r+p edades actuales. Si ahora el hijo tiene 35

4. años. ¿Qué edad tenia este cuando las de las edades de los tres era 78, se caso
edades de los tres sumaban 89 años? un mellizo y tuvo su primer descendiente
2 años después. ¿Cuántos años tenía la
a) 18 b) 23 c) 26 d) 28 e) 32
madre de los mellizos cuando el hijo del
que se casó cumplió 12 años?
14. Una señora tuvo a los 24 años dos
hijos mellizos. En el año en que la suma a) 52 b) 56 c) 62 d) 68 e) 60
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15. El tiene la edad que ella tenía,
cuando el tenía la tercera parte de la
edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años
mas que el, ¿cuántos años tiene ella?
a) 32 b) 36 c) 48 d) 52 e) 54
16. Charo es hija de Ángela y Luciana es
18. Mary tuvo en 1988 tantos años como
hija de Charo. Cuando Luciana nació, la
el producto de las dos ultimas cifras del
edad de Ángela era exactamente el doble
año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma
de la edad de Charo. Hoy durante la
de cifras del número que expresa el año
reunión del décimo cumpleaños de
en que cumplió 15 años?
Luciana, Ángela dice tener 45 años y
Charo dice tener 27 años. Si la suma de a) 26 b) 22 c) 24 d) 16 e) 18
las edades de Ángela, Charo y Luciana
es 90 años. ¿Cuántos años ocultan cada 19. Cuando yo tenía la mitad de la edad
una de las señoras? que tienes, tú tenías la edad que el tenia
cuando tú naciste. Si hoy tengo 35 años
a) A = 5 y Ch = 5 b) A = 5 y Ch = 3
y el tiene el cuádruplo de lo que tenía
c) A = 4 y Ch = 4 d) A = 4 y Ch = 3
cuando tu naciste; ¿qué edad tienes?
e) A = 3 y Ch = 4
a) 21 b) 28 c) 20 d) 30 e) 14
17. Dentro de “2a” años tendré 3 veces
mas de los años que tuve hace “a” años. 20. Si al doble de la edad de Chachi se le
Si los años que tuve, tengo y tendré quita 17 años, se obtiene el complemento
suman 84 años, ¿qué edad tengo? aritmético de su edad.
a) 42 años b) 24 años c) 40 años Luego, son ciertas:
d) 36 años e) 12 años I. Chachi tiene 9 años.
II. Chachi tiene 39 años.
III. El complemento Aritmético de la edad
es 71.
a) Solo II b) Solo I c) I y II d) I ó II
e) todas
RM - 04/MAVM