1. FUNCIONES
CUADRÁTICAS
Lic: Evaristo Huamani
Velásquez

2. FUNCIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO
2
Son aquellos que tienen la forma f x
ax
bx
donde a ,b y c son números reales con a 0
c
E jemplos
f
x
g x
2
2x
3
4x
x
2
x
2
6
5
f
x
h x
x
2
2x
7x
2
3x
4
1.DOMINIO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
h x
g x
1
x
2
3
2
3x
2
1
Df
El dominio de una función cuadrática es el Conjunto de números
reales y son las primeras componentes de los pares ordenados de
la función.
Primeras componentes
E jemplo
S ea la funcion
F
0 ; 0 ; 1;2 ; 3 ; 4
E ntonces el domi nio de la función es
Df
0 ;1 ;3

3. 2. RANGO O IMAGEN DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Rf
El rango o imagen de una función cuadrática es un subconjunto
de números reales y son las segundas componentes de los pares
ordenados de la función .
Segundas componentes
E jemplo
S ea la funcion
F
0 ; 0 ; 1;2 ; 3 ; 4
E ntonces , el rango o imagen de la función es Rf
0 ;2 ; 4
GRÁFICOS DE UNA FUNCION CUADRÁTICA O DE 2DO
La grafica de una función de segundo grado o cuadrática es una
GRADO
figura parabólica con dominio del conjunto de números reales
Df
Recuerda que del dominio se toman algunos valores para “x” y
remplazar en la función . y f x
CASOS PARA GRAFICAR DE UNA FUNCION
1.GRAFICO DE FUNCIONES DE LA FORMA f x
En este caso la grafica, así sea con a
pasa por el origen de las coordenadas
ó a
a x
2
su vértice siempre


4. Si f x
ax
2
con a
Si f x
La parábola se abre hacia arriba
ax
2
con a
La parábola se abre hacia abajo
y
y
V 0 ;0
Vértice
Vért
x
V 0 ;0
Vértice
ice
0
x
0
Vért
ice
Df
R f
0;

Df

R f
0;

5. 2
4.G ráficar f x
2 x . y hallar R f
Solución
i ) En este caso el vértice pasa por el origen .
Valores a tomar para x
V

0, 0 y D f
-2
ii ) Hallando puntos con
Si x
2
2
y
y
2
2
1
Si x
2 1
2
y
y
2, 8
2
2
V 0 ,0
2
2x
Vértice
Vérti pto
2, 8
1
-2 -1 ce
pto 2 1,1,2 2
0
pto
pto 2 , 8
-2
2
2
2.1
1;
2 2
8
1
2.1
1;
y
2
8
1
y
Si x
1
2
0
1; 1 y 2 en f x
2
2.4
y
Si x
y
2;
-1
2;
2
2
2 .4
8
-8
Haciendo la gráfica se tiene :
R f
0;

6. 1
2.G ráficar f x
2
x . y hallar R f
2 Solución
i ) En este caso el vértice pasa por el origen .
Valores a tomar para x
V

0, 0 y D f
-2
ii ) Hallando puntos con
Si x
2
1
y
y
Si x
1
Si x
1
y
1
2
1
2
1
1
2
2
2
y
1
x
2
2
y Pto 2 2 2 2
Pto
V 01,1 11
0
Pto
Pto
Vértice22
2
.1
2
1
1
.1
1
.4
2; 2
Haciendo la gráfica se tiene :
1
R f
2
1
2
2
2
1
2
2
1
y
2
2
4
.4
2
2
Si x
1
2, 2
2
1
0
1; 1 y 2 en f x
2
1
y
1
2
2
2
2
2;
-1
1
2
2
4
3
0;
1
2
2
1
2
-2
-1
0
Vérti
ce
1
2
x

7. 2.GRAFICO DE FUNCIONES DE LA FORMA
f
x
ax
2
bx . y f
ó a
En este caso la grafica, así sea con a
por el origen de las coordenadas E jemplo
1.G ráficar f x
x
2
4 1
0
a
1, b
ii ) Hallando puntos con 0 ;1; 3 y 4 en
Si x
4 1
y
1
0
y
Si x
0
0
y
3
1
4
x
9
y
4
y
16
2
1
2
3
4
4x
pto ,, 3
pto 3 4 00
pto 01,, 3
0; 0
2
x
4 1
3
2
3
0
y
0
4
y
y
Si x
0

Df
Valores a tomar para x
4
4 0
1
y
Si x
2
0.
2
4
f x
2 1
su vértice no pasa
4 y c
2;
;
2
Solución
4 0 16
;
2
4
V
ax
4 x . y hallar R f
i ) Hallando el vértice
4
x
12
2
16
0
1;
3
4
V 2, 4
Vértice
-1
3
4 4
0
2
3
4 3
3;
1
-2
-3
R f
4; 0
Haciendo la gráfica se tiene :
-4
Vérti
4;
c

8. 2 .G ráficar f x
x
2
3 . y hallar R f
Solución
i ) Hallando el vértice
0
V
2
;
4
1
1
3
4
0
a
2
0
1
Si x
1
4
Si x
y
1
1
y
1
2
y
y
2
4
3
x
2
-1
Vértice
-1
1; 2
0
1
-1
3
1
2;
1
Haciendo la gráfica se tiene :
2
Pto ; 2
PtoPto21;;;21
Pto 21 1
V 0 ;3
1
1; 2
-2
1
3
Vérti
ce
3
1
0
2
3
2
2
-2
3
2
2
3
Valores a tomar para x
0 ;3
x

Df
4
2;
2
3
1
3.
3
1
1
y
Si x
2
3
y
0
2 ; 1 ; 1 y 2 en f
2
y
12
;
2
y
0 y c
2
ii ) Hallando puntos con
Si x
1, b
R f
3;
2

9. 3.GRAFICO DE FUNCIONES DE LA FORMA f x
ó a
En este caso la grafica, así sea con a
por el origen de las coordenadas E jemplo
1. G raficar y hallar R f en f
Soluci
ón 1 , b
a
i ) Hallamos el vértice
4
V
4 1
;
2 1
3
4
2
4
4 1
;
12
2
16
x
x
4y c
ax
2
bx
su vértice no pasa
2
4x
3
3
Valores a tomar para x
2; 1
-4
4
ii ) H allam os a lg unos puntos con - 4, -3, -1 y 0 en f x
2
pto 2 1; ;3
pto 3 00
V pto ;0 ;4 ;3
1
S i x = -4
y
4
4 4
3
pto
y
Si x - 3
16 16
y
-3
2
y
S i x = -1
1
y
Si x = 0
y
1
2
4
0
2
3
4 -3
9 12
y
3
3
4
4; 3
1
3
0
y
-2
2
x
Vértice
3
2
3; 0
1
3
0
4
-3
3
0
c
1; 0
3
y 0 0 3 0
0; 3
Haciendo la gráfica se tiene :
-4
R f
-3
-2
Vértice
1
-1
0
-1
-1
0
4x
3

10. 2. G raficar y hallar Rf en f x
i ) Hallamos el vértice
2
V
2
;
4
2
4
2
1
2
Solución
2, b 2 y c
a
2
2x
2
2
2
8
;
4
4
8
2x
1
Si x = -1
2
y
Si x = 0
y
2.1
y
Si x = 2
2 1
2.1
y
2 2
y
2.4
1
2x
2
1; 3
1
1
1
2 1
1
2 2
4 1
2
1
1
2 1
2
y
1
3
2 0
0
2
-1
3
2
2.0
y
2
2 1
2 0
y
Si x = 1
y
1
Valores a tomar para x
1 3
;
2 2
ii ) H allam os algunos puntos con -1;0;1 y 2 en f x
2
1
1/2
2
2x 1
1 3
ptoV2 ;1,3 3
pto 01;1
,
pto
pto
;1
2 3
Vértice
Vért ice
0
-1
1
1
2
1;1
1
3
1
0;1
2; 3
-3
Haciendo la gráfica se tiene :
2
0
R f
3
2
2

11. 3.G ráficar f x
2x
2
8x
9 y hallar R f
Solución
i ) Hallamos el vértice
8
V
;
4 2
9
2 2
a
2, b
8 y c
2
8
8 72 64
;
4
8
4 2
2;
8
2
0
2x
2
Si x
1
y
y
y
2 0
8 0
0 0 9 9
2
2 1
8 1
9
0 ;9
9
2
1; 3
9
4
2
3
5
y
2 3
18
9
2
8 3
24
y
2 4
y
32
3
2
32
9
3
3; 3
8 4
9
9
4; 9
9
Haciendo la gráfica se tiene :
4
9
6
8
y
Si x
3
1
8x
y
Si x
0
Valores a tomar para x
2 ;1
8
ii ) Hallando puntos con 0 ;1;3 y 4 en f x
Si x
9
9
8
V 0 ,0
pto 4 ,9
pto 1,3
pto 0 ,9
ptoVértice
3 ,3
7
4
3
2
Vértice
1
0
1
2
R f
3
4
1;

13. 2
4.G ráficar f x
2 x . y hallar R f
Solución
i ) En este caso el vértice pasa por el origen .
Valores a tomar para x
V

0, 0 y D f
-2
ii ) Hallando puntos con
Si x
2
2
y
y
2
2
1
Si x
2 1
2
y
y
2, 8
2
2
V 0 ,0
2
2x
Vértice
Vérti pto
2, 8
1
-2 -1 ce
pto 2 1,1,2 2
0
pto
pto 2 , 8
-2
2
2
2.1
1;
2 2
8
1
2.1
1;
y
2
8
1
y
Si x
1
2
0
1; 1 y 2 en f x
2
2.4
y
Si x
y
2;
-1
2;
2
2
2 .4
8
-8
Haciendo la gráfica se tiene :
R f
0;

14. 5.G ráficar f x
2
x
4 x . y hallar R f
Solución
i ) Hallando el vértice
4
4 1
0
a
1, b
4 y c
2
4
4 0 16
;
2
4
2;
ii ) Hallando puntos con 0 ;1; 3 y 4 en
f x
V
;
2 1
Si x
4 1
y
1
0
y
Si x
0
0
y
3
1
4
x
9
y
4
y
16
2
1
2
3
4
4x
0; 0
2
x
4 1
3
2
3
0
y
0
4
y
y
Si x
0

Df
Valores a tomar para x
4
4 0
1
y
Si x
2
0.
12
2
16
0
1;
3
3
4
pto 0 ,0
pto 2 , ,0
V 4 4
pto 1, 3
pto Vértice
3, 3
-1
4 4
0
2
3
4 3
3;
1
-2
-3
4; 0
Haciendo la gráfica se tiene :
-4
Vérti
ce
R f
4;

15. 6 .G ráficar f x
x
2
3 . y hallar R f
Solución
i ) Hallando el vértice
0
V
2
;
4
1
1
3
4
0
a
2
0
1
Si x
1
4
Si x
y
1
1
y
1
2
y
y
2
4
3
x
2
0
1
2
3
Vérti
ce
3
1
-2
-1
1; 2
2;
Pto 01 22 1
V
Pto ;3 ;;
Pto ;
Pto 1 ;22 1
Vértice
1
1; 2
1
0
-1
3
1
-1
2
3
2
2
-2
3
2
2
3
x

Df
Valores a tomar para x
0 ;3
4
2;
2
3
1
3.
3
1
1
y
Si x
2
3
y
0
2 ; 1 ; 1 y 2 en f
2
y
12
;
2
y
0 y c
2
ii ) Hallando puntos con
Si x
1, b
1
Haciendo la gráfica se tiene :
R f
3;
2

16. Vér
3
tice
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Pt o o0 ;;3
V
Pt o
Pt 1 ; 2 1
Pt o 2 ; 11 2
2 ;
Vért ice
2
1
2
Vérti
ce
1
2
1
1
0
1
0
1
2
4
-1
2
-2
-3
-4
3
3
Vért
ice
4
y
0
1
2
3
4
1
2
3
4
Pto 2 2
1
V 0 10 1
Pto ,
Pto rtice2 2
Pto
Vé 1 2
2
3
2
1
Vértic
e
1
2
2
1
x
0
1
Vérti
ce
2