2. Si deseamos tener toda la información posible del
viento, no solo necesitaremos su intensidad, por
ejemplo 60 km/h, además es necesario saber su
dirección y sentido. No es lo mismo para un velero que
quiere llegar a puerto un viento de 60 km/h hacia el
mar que hacia la costa.
Existen muchas magnitudes físicas cuya descripción
completa exige conocer su intensidad y dirección. Una
forma de describir un viento a 60 km/h de forma
sencilla es mediante una flecha cuya longitud sea
proporcional a su velocidad y que apunte en la
dirección del viento. A estas flechas se les denomina
vectores, y a su magnitud que los miden “vectoriales”
Hermann Grassmann
3. Contenido Temático
DEFINICIÓN DE VECTORES
MAGNITUDES ESCALARES
MAGNITUDES VECTORIALES
PROPIEDADES DE UN VECTOR
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR
VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO
OPERACIÓN CON VECTORES: IGUALDAD DE LOS
VECTORES
OPERACIÓN CON VECTORES: ADICIÓN
OPERACIÓN CON VECTORES: SUSTRACCIÓN
EJEMPLOS
5. Magnitudes Escalares
Son aquellas magnitudes físicas
que necesitan sólo de un número
(puede ser positivo o negativo) y de
una magnitud para quedar
definidas.
Por lo tanto es una magnitud que
queda definida completamente por
una cantidad y una unidad
apropiada. Por ejemplo: el tiempo,
temperatura, volumen, longitud,
masa, carga eléctrica, etc
6. Magnitudes Vectoriales
Son aquellas magnitudes físicas que,
además de tener un valor numérico y una
unidad, necesitan de una dirección y un
sentido para quedar correctamente
definidas.
Muchas magnitudes se pueden representar
en forma gráfica por medio de una flecha
(vector).
Ejemplos de magnitudes vectoriales:
• La velocidad.
• La aceleración.
• La fuerza.
• El campo eléctrico, etc.
7. Vector
Un vector es un segmento de recta orientado,
caracterizado por:
• Su origen o punto de aplicación: El punto O en
Fig. 1.
• Su extremo: A en la figura 1.
• Su dirección: La dirección de la recta que lo
contiene (la recta r en la figura).
• Su sentido: Indicado por la punta de la flecha.
• Su módulo: La longitud del vector. Se designa
escribiendo el nombre del vector entre dos líneas
verticales. Para el vector
Como se indica también en la figura, un vector se suele designar escribiendo su origen
y su
extremo con una flecha encima , o bien, simplemente mediante una letra mayúscula
o minúscula con una flecha encima
Entendemos por vector unitario un vector de módulo unidad: = 1.
Por convención, la dirección y el sentido de un vector están
determinados por el ángulo que forman el vector con el eje +X.
8. Operación con Vectores:
• Igualdad de los vectores:
Dos vectores y pueden definirse como
iguales si tienen la misma magnitud y
apuntan en la misma dirección. Es
decir, = , sólo si = y, los dos actúan a
lo largo de direcciones paralelas.
Como se pude ver en la imagen de la
derecha.
También:
9. Operación con Vectores:
Adición
Cuando dos o más vectores se suman todos deben tener las mismas unidades.
Existen diferentes métodos para calcular la suma de vectores, entre los cuales se
tienen los siguientes:
• El método de adición del triángulo
Resultante de dos vectores coplanares y concurrentes
Cuando el vector A se suma al vector B la resultante R es el vector que va desde
el origen del vector A hasta la saeta o cabeza del vector B.
CONTINUA>>
10. Operación con Vectores: Adición
• MÉTODO DEL POLÍGONO
El vector que completa el polígono:
Cuando se suman más de dos vectores, por ejemplo hallar la suma de los
vectores A + B + C + D la resultante R, es el vector que va desde el origen del
primer vector hasta la saeta del último vector, en este caso del vector A hasta la
saeta del vector D.
CONTINUA>>
11. Operación con Vectores: Adición
La regla de adición de paralelogramo:
- En la siguiente construcción los orígenes
de los dos vectores A y B están juntos y el
vector resultante R es la diagonal de un
paralelogramo con lados A y B.
Algunas de las leyes que se utilizan en la
suma de vectores son las siguientes: La
ley conmutativa y la asociativa.
- Cuando la suma de vectores A y B es
independiente del orden, lo cual le da
origen a la ley conmutativa de la suma,
esta se puede observar a continuación:
CONTINUA>>
12. Operación con Vectores: Adición
• La regla de adición del paralelogramo :
Cuando tres o más vectores se suman, y su total es independiente de la forma en
la que se agruparon los vectores individuales. Lo antes mencionado recibe el
nombre de la ley asociativa de la suma de vectores.
13. Operación con Vectores: Sustracción
• Opuesto (También llamado: Negativo) de un Vector:
Es cuando se suma dos vectores con la misma magnitud pero con diferente
sentido, lo cuál ocasiona que el resultado de la operación sea cero, como un
ejemplo tenemos A + (-A) = 0.
• Diferencia de vectores:
Es la sustracción de vectores A – B = D se usa la definición del negativo de un
vector. En esta operación se da de la siguiente manera: A - B en donde el vector
-B sumado al vector A, que podemos reemplazar por: A + ( -B ) = D
Por lo tanto:
( A - B = A + (-B) )
14. Propiedades de un Vector
• Opuest
o:
A -A
• Nulo
: 0= A + ( -A
)
• Vector
Unitario:
15. Descomposición rectangular de un vector
Un vector oblicuo puede expresarse como la composición de dos vectores
perpendiculares; estos vectores son llamados componentes rectangulares. Los
componentes rectangulares se trazan sobre los ejes de coordenadas X e Y desde
el origen de coordenadas.
Componentes rectangulares
Módulo del componente horizontal
Módulo del componente vertical
Indica la dirección y el sentido de
Observación: Cuando un vector está sobre un eje de coordenadas, el
sentido del vector está dado por el signo del eje respectivo, los vectores
orientados hacia la derecha o hacia arriba son positivos y los vectores
orientados hacia la izquierda o hacia abajo son negativos.
16. Ejemplo 1
• Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes
vectores:
A B
C
A B
R = 2C
CONTINUA>>
17. Versores: Vectores unitarios en el espacio
Para indicar la dirección y el sentido de los componentes de un vector,
usamos los vectores unitarios llamados versores.
Versores rectangulares en dos Versores rectangulares en tres
dimensiones dimensiones
i: es el versor que indica la dirección del eje +X
J: es el versor que indica la dirección del eje +Y
K: es el versor que indica la dirección del eje +Z
18. Ejemplo 2
• Determinando la resultante de los siguientes
vectores:
4u 3u
Donde es la resultante:
7u
CONTINUA>>
19. Ejemplo 3
• Determinando la resultante de los siguientes vectores:
8u + 4u = 4u
CONTINUA>>
20. Ejemplo 4
• Determinando la resultante de los siguientes
vectores:
4u 3u
CONTINUA>>
21. Ejemplo 4
• Determinando la resultante de los siguientes
vectores:
4u 3u
22. Recursos
Haz clic en “Actividades interactivas” para ingresar para desarrollar las actividades educativas
lúdicas
Actividades interactivas
23. Créditos
Imagen de la presentación
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hgrassmann.jpg
¿Qué es un vector?
http://bacterio.uc3m.es/docencia/profesores/mongema/Industriales/Apuntes/matematicas.pdf
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Vectores/Vectores.html
Vectores
http://www.aulafacil.com/matematicas-coordenadas/curso/Lecc-4.htm
http://www.tochtli.fisica.uson.mx/electro/vectores/definici%C3%B3n_de_vectores.htm
Historia introducción de vectores
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorial-geova-walter/node1.html
Espacio vectorial
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
Ejercicios
http://www.educaplus.org/play-115-Magnitudes-escalares-y-vectoriales.html
Suma de vectores
http://andromeda.ls.utp.ac.pa/mai/notas/vectores/#cantidad
Simulador de vectores: interactivo
http://www.perueduca.edu.pe/recursos/simuladores/CTA_mask_simul_FIS_30.html
