Llibri-i-mesuesit-matematika-11

LIBËR PËR MËSUESIN
MATEMATIKA 11
Edmond Lulja Neritan Babamusta Prof.dr.Shpëtim Bozdo
Për klasën e 11-të të arsimit të mesëm të përgjithshëm

Përmbajtja
Udhëzime të përgjithshme 5
Kreu 1 43
1.1 Ekuacioni i drejtëzës në plan 43
1.2 Drejtëza paralele me një vektor. Kushtet e
paralelizmit e të pingultisë së dy drejtëzave
44
1.3 Këndi midis dy drejtëzave 45
1.4 Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga një pikë
e dhënë, paralel a pingul me një drejtëz
të dhënë 46
1.5 Largesa e pikës nga drejtëza 47
1.6 Ushtrime 48
Kreu 2 50
2.1 Funksioni numerik (Përsëritje) 50
2.2 Grafiku i funksionit numerik.
Monotonia e funksionit (Përsëritje). 51
2.3 Grafikët e funksioneve të dhënë me
formula të ndryshme në pjesë të
ndryshme të bashkësisë së përcaktimit.
Elemente të tjera të monotonisë
së funksionit 53
2.4 Vlera më e madhe (më e vogël) e
një funksioni numerik. Ekstremumet 54
2.5 Krahasimi i funksioneve numerike 56
2.6 Veprime me funksione numerike.
Kufizueshmëria e funksionit 57
2.7 Çiftësia e funksionit. Funksionet periodike 59
2.8 Studimi i variacionit të funksioneve
të thjeshta 60
2.9 Ndërtimi i grafikëve të funksioneve të tjerë,
duke u nisur nga grafiku i funksionit f 61
2.10 Përbërja e funksioneve numerike 62
2.11 Ushtrime për përsëritje 64
Kreu 3 66
3.1 Përsëritje 66
3.2 Radiani. Rrethi trigonometrik.
Harqe trigonometrike 67
3.3 Përkufizimet e funksioneve trigonometrike.
Vetitë e sinusit e të kosinusit 68
3.4 Variacioni i sinusit dhe i kosinusit 70
3.5 Vetitë dhe variacioni i funksionit y=tgx 71
3.6 Identitete trigonometrike 73
3.7 Ushtrime 74
3.8 Formulat e reduktimit 75
3.9 Zbatime 76
3.10 Ekuacione trigonometrike elementare 78
3.11 Ushtrime 79
3.12 Formulat për sinusin (kosinusin) e shumës
dhe diferencës së dy këndeve 80
3.13 Zbatime 81
3.14 Funksionet trigonometrike të dyfishit
të këndit 82
3.15 Kthimi në prodhim i shumës apo ndryshesës
së dy sinuseve apo dy kosinuseve 84
3.16 Përsëritje 85
3.17 Ushtrime për përsëritje 86
Kreu 4 90
4.1 Drejtëzat dhe planet 90
4.2 Rrjedhime nga aksiomat 92
4.3 Pozicioni reciprok i dy drejtëzave
në hapësirë 94
4.4 Pingulja dhe e pjerrëta me planin 96
4.5 Teorema e tri pinguleve 98
4.6 Ushtrime 99
4.7 Drejtëza paralele me planin 101
4.8 Plane paralelë 102
4.9 Ushtrime 104
4.10 Këndi dyfaqësh 105
4.11 Plane pingule 107
4.12 Ushtrime 108
4.13 Ushtrime për kreun 4 109
Kreu 5 111
5.1 Shumëfaqëshat. Prizmi 111
5.2 Piramida. Sipërfaqja anësore e piramidës
së rregullt 112
5.3 Ushtrime 113
5.4 Vëllimet e trupave 114
5.5 Ushtrime 115

5.6 Vëllimi i piramidës 116
5.7 Ushtrime 117
5.8 Cilindri 118
5.9 Koni 119
5.10 Vëllimi i cilindrit dhe i konit 120
5.11 Ushtrime 121
5.12 Sipërfaqja sferike. Sfera 122
5.13 Vëllimi i rruzullit dhe sipërfaqja e sferës 123
5.14 Ushtrime 124
5.15 Ushtrime për kreun 124
Kreu 6 126
6.1 Funksione që kanë limit +∞ kur x→+∞ 126
6.2 Disa teorema. Funksione që kanë limit
-∞ kur x→ +∞ 127
6.3 Funksione që kanë limit 0 kur x→+∞ 129
6.4 Limiti i polinomit kur x→∞ 131
6.5 Funksione që kanë limit l kur x→+∞ 132
6.6 Limite të funksionit kur x→∞ 133
6.7 Ushtrime 135
6.8 Asimptota horizontale. Disa teorema mbi
limitet 136
6.9 Limiti i funksionit racional thyesor,
kur x→+∞ (x→-∞) 137
6.10 Ushtrime për përpunim të njohurive 139
6.11 Funksione që kanë limit zero në zero 140
6.12 Funksione që kanë limit 0 kur x→a. P.m.v. 142
6.13 Limiti i funksionit kur x→a 143
6.14 Teoremat themelore mbi limitin 145
6.15 Teoremat themelore mbi limitin 146
6.16 Funksione pambarimisht të mëdhenj (p.m.m.)
kur x→a 147
6.17 Asimptotat vertikale 149
6.18 Format e pacaktuara. Forma 150
6.19 Format e pacaktuara (vazhdim) 152
6.20 Format e pacaktuara (vazhdim) 154
6.21 Ushtrime për përpunimin e njohurive 155
6.22 Përsëritje 156
Përmbledhje për kreun“Limitet” 157
Kreu 7 160
7.1 Parimi i mbledhjes. Parimi i shumëzimit 160
7.2 Përkëmbimet 161
7.3 Dispozicionet 162
7.4 Kombinacionet 163
7.5 Ushtrime 164
7.6 Probabiliteti 164
7.7 Probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve 166
7.8 Ushtrime 167
7.9 Informacioni statistikor 167
7.10 Analiza e të dhënave 169
7.11 Ushtrime për kreun 170
171
Kreu 8 171
MATEMATIKA DHE FINANCA NË JETËN E PËRDITSHME
171
8.1 Depozitat dhe normat e interesit.
Interesi i thjeshtë 171
8.2 Huaja 172
8.3 Interesi i përbërë 174
8.4 Ushtrime 175
8.5 Interesi dhe progresionet 176
8.6 Kredia bankare 177

5
LIBËR PËR MËSUESIT
DISA ORIENTIME PËR ZBATIMIN NË PRAKTIKË TË PROGRAMIT
DHE TEKSTIT”MATEMATIKA 11”
Përpara se të planifikojë punën vjetore në lëndën Matematika 11 (pjesa e kurrikulës bërthamë),
është e domosdoshme që secili mësues të njohë në thellësi programin përkatës, si dhe programet
e klasave paraardhëse (e në mënyrë të veçantë atë të klasës së dhjetë). Në këtë planifikim mësuesi
duhet të udhëhiqet nga këto parime.
Së pari, programet e matematikës, duke filluar nga klasa e parë fillore, janë tanimë të unifikuara.
Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave që janë të njëjta për të gjitha klasat. Nga
ana tjetër programet janë të materializuara në tekste alternative. Teksti që ju keni përzgjedhur,
i autorëve Edmond Lulja, Neritan Babamusta dhe Prof. Dr. Shpëtim Bozdo është i ndarë në 8
kapituj. Në të, e njëjta linjë është ndarë në disa kapituj; ka edhe kapituj që përmbajnë pjesë nga
disa linja të ndryshme. Kjo shpërndarje si dhe ndërthurja e tyre, është realizuar me synimin e
konceptimit tërësor të lëndës, duke zbatuar në këtë mënyrë një nga kërkesat themelore të
programeve të matematikës.
Programi mësimor për lëndën e matematikës në klasën 11 (kurrikula bërthamë) përmban këtë
detajim për linjat e përmbajtjes:
1. Linja 1 (Numri dhe veprimet me numra) 7 orë
2. Linja 2 (Matja) 24 orë
3. Linja 3 (Gjeometria) 28 orë
4. Linja 4 (Algjebra, funksioni dhe njehsimi diferencial dhe integral) 38 orë
5. Linja 5 (Statistikë, kombinatorikë, probabilitet) 11 orë
6. Proceset matematike (integruar në linjat e mësipërme)
Shpërndarja e orëve në tekst, sipas kapitujve dhe linjave, jepet në tabelën e
mëposhtme:
KREU
ORËT SIPAS
KREUT
LINJA PËRKATËSE
ORËT SIPAS
LINJAVE
1. Drejtëza në planin kartezian 7 Linja 3 7
2. Funksioni 12 Linja 4 12
3. Funksione trigonometrike 18
Linja 4
Linja 2
4
14
4. Plani dhe drejtëza në hapësirë 14 Linja 3 14
5. Shumëfaqëshat dhe trupat e
rrumbullakët
16
Linja 2
Linja 3
9
7
6. Limitet e funksioneve 23
Linja 4
Linja 2
22
1
7. Statistikë, kombinatorikë, probabilitet 11 Linja 5 11
8. Matematika në jetën e përditshme dhe
në financë
7 Linja 1
7
SHUMA E ORËVE SIPAS KRERËVE 108
SHUMA E ORËVE
SIPAS LINJAVE
108

6 / Matematika 11
Udhëzime të përgjithshme
Së dyti, theksimi hap pas hapi i karakterit
deduktiv, pa synuar vërtetimin e plotë të të
gjitha teoremave apo pohimeve.
Gjatë gjithë shtjellimit të lëndës, janë vërtetuar
vetëm disa teorema ose fjali, ndërsa disa të
tjera pranohen pa vërtetim. Në varësi të nivelit
të klasës, vetë mësuesi duhet të vendosë se
cilat teorema të vërtetojë e cilat të pranohen
pa vërtetim. Por kjo nuk do të thotë në asnjë
mënyrë që asnjë teoremë të mos vërtetohet!
•Sëtreti,përparësiaekuptimittëkonceptevenë
raport me aspektet algoritmike. Në këtë kuptim
mësuesi nuk duhet të kënaqet (e madje të mos
e stimulojë) mbajtjen mend ose përsëritjen
e formulave, apo riprodhimin mekanik të
vërtetimit të një teoreme, duke e shkëputur
atë nga zbatimet e shumta e të larmishme.
Ai duhet të ngulë këmbë në përvetësimin e
konceptit, fillimisht nëpërmjet të kuptuarit e
tij, e më pas nëpërmjet zbatimeve të shumta
e të larmishme. Mjaft ushtrime të përfshira në
tekst kanë të bëjnë pikërisht me këtë aspekt.
• Së katërti, lënda e matematikës, për nga vetë
specifika e saj ka një avantazh në krahasim
me lëndët e tjera. Ky avantazh konsiston në
zgjidhjen e ushtrimeve e problemeve, ku
nxënësi “zbulon” në mënyrë të pavarur varësi
ndërmjet madhësive të ndryshme të panjohura
për të më parë. Në këtë mënyrë ai zhvillon
veprimtari krijuese e zbuluese, që pa gabuar,
mund ta konsiderojmë si një punë shkencore
në miniaturë.
Matematika ka privilegjin që në mësimdhënie
realizohet zgjidhja e problemeve, fillimisht si
zbatime (për të kuptuar konceptin) dhe më pas
si modele të punës së pavarur. Në mënyrë të
veçantë vetë zgjidhja e problemeve duhet të
stimulojë debatin dhe pjesëmarrjen e të gjithë
nxënësve në mësim.
Është e njohur tendenca e mjaft mësuesve që
në klasë të zgjidhin sa më shumë ushtrime.
Kjo tendencë, në parim nuk ka pse të qortohet,
sidomos në rastet kur kërkohet përvetësimi
i saktë i një procedure. Por në mjaft raste,
përvojat më të mira rekomandojnë që më e
rëndësishme nuk është numri i problemeve të
zgjidhura, por mënyrat e ndryshme të zgjidhjes
së tyre. Parimi i njohur: “më mirë të zgjidhet
një problem në tri mënyra se sa të zgjidhen tri
probleme të ndryshme” tashmë e ka fituar të
drejtën e qytetarisë në shkolla.
• Së pesti, teksti i matematikës është një
mjet për të realizuar synimet dhe objektivat
e programit. Këto objektiva janë për të gjithë
nxënësit, por ato realizohen në nivele të
ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Ky fakt i
ngarkon mësuesit që të programojnë objektiva
të niveleve të ndryshme dhe njëkohësisht të
planifikojnë detyra të niveleve të ndryshme.
Teksti ka material të bollshëm në këtë drejtim.
• Së gjashti, për të lehtësuar planifikimin
vjetor të mësuesit, teksti është i ndarë pikërisht
në 108 njësi mësimore (aq sa janë edhe orët në
dispozicion).
Por mësuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjeve
të nxënësve dhe në mbështetje të Udhëzimit
Nr. 35, datë 09.10.2007 të Ministrisë sëArsimit
dhe Shkencës për “Lirinë e mësuesit për
orët mësimore të parashikuara në programin
lëndor”, ka të drejtë ta zhvillojë një kapitull
ose linjë lëndore deri në 10% më shumë ose
deri 10% më pak orë mësimore, kundrejt
numrit të orëve të parashikuara në programin
përkatës lëndor, por pa ndryshuar totalin e
orëve mësimore që programi përcakton për
lëndën, pra 108 orë.
• Së shtati, në tekst janë përfshirë disa modele
testesh. Edhe në këtë drejtim, mësuesi është i
lirë të planifikojë ose realizojë vetëm disa prej
tyre apo edhe të tjerë.
Testet janë dhënë për vlerësim me pikë, duke
realizuar në këtë mënyrë një përqasje me
provimet e pjekurisë. Koha e planifikuar për
një testim në varësi të mundësive konkrete
edhe mund të zgjatet.
Objektivat e linjave i përmban programi.

7
Për të lehtësuar planifikimin vjetor të punës së mësuesit, po japim objektivat
sipas krerëve në tri nivele. Kjo ndarje presupozon që niveli më i lartë përfshin
nivelin më të ulët.
• Niveli bazë, merr në konsideratë synimin
që ai mundësisht të arrihet nga të gjithë
nxënësit. Nxënësit e arrijnë këtë nivel kur janë
në gjendje të zbatojnë procedurat rutinë që
ndeshen shpesh në orën e mësimit. Këta nxënës
përkufizojnë konceptet, rregullat dhe teoremat
kryesore; zgjidhin ushtrime të thjeshta, duke
imituar modele të ndryshme; riprodhojnë
pjesë nga materiali mësimor teorik; përdorin
metoda tradicionale arsyetimi dhe të zgjidhjes
së problemeve; realizojnë detyra pa synuar
zgjerim e thellim të mëtejshëm; komunikojnë
e bashkëveprojnë me shokët dhe mësuesin.
• Niveli mesatar, merr në konsideratë synime
tej procedurave rutinë ose imituese. Nxënësit e
këtij niveli marrin përsipër zgjidhjen e detyrave
mëkomplekse,dukekombinuarnjohuritëqëata
disponojnë. Këta nxënës jo vetëm riprodhojnë
tërësisht materialin e mësuar, por edhe
shqyrtojnë ligjësitë, identifikojnë problemet,
duke bërë dallimin ndërmjet njohurive
esenciale nga ato të dorës së dytë. Këta nxënës
përdorin njohuritë teorike, duke zgjidhur
detyra jo vetëm sipas modeleve, por edhe më
komplekse. E rëndësishme është që me këta
nxënës të synohet që ata të mund të nxjerrin
vetë konkluzione. Këta nxënës njëkohësisht
demonstrojnë aftësi të komunikimit afektiv
dhe të bashkëveprimit.
• Niveli i lartë, ka për objektiv jo vetëm
të kuptuarit ose riprodhimin e materialit
mësimor, por përpunimin e tij, zbatimin në
mënyrë të pavarur e krijuese, në situata të reja,
të panjohura më parë për ta.
Këta nxënës duhet të jenë në gjendje të
sintetizojnë njohuritë, shkathtësitë, të
përcaktojnë rrugët e mënyrat e veprimit, të
parashikojnë pasojat, të vlerësojnë qëndrimet
nga këndvështrime të ndryshme.
Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve
Komponenti Përshkrimi i komponentit
Niveli I-rë i
arritjeve
Niveli i II-të i
arritjeve
Niveli i III-të i
arritjeve
Njohuritë
matematike
Terminologjia dhe simbolika.
Përkufizimet e koncepteve.
Faktet matematike (aksioma,
teorema, formula, rregulla).
Metodat matematike (të
zgjidhjes, njehsimit, ndërtimit,
vërtetimit).
Zotërim i
njohurive
bazë në
shkallën
minimale;
zotërim i
pjesshëm i
njohurive,
ilustrim me
1-2 shembuj
Zotërim solid
i njohurive,
ilustruar me
shembuj të
shumtë.
Zotërim
njohurish të
gjëra, të plota,
ilustruar me
shembuj të
larmishëm nga
kontekste të
ndryshme.
Aftësitë
matematike
Për identifikim, përshkrim,
shpjegim, zbatim, analizë,
sintezë, vlerësim, formulim
hipoteze, vërtetim.
Shfaqje e
kufizuar e
aftësive.
Shfaqje
aftësish të
zhvilluara
në situata të
njohura.
Shfaqje të
aftësive të
zhvilluara në
situata të reja,
në mënyrë të
pavarur.

8 / Matematika 11
Zotësitë,
shkathtësitë,
shprehitë
matematike
Për të kryer:
Njehsime, matje, ndërtime,
skicime, zgjidhje, përdorim
të burimeve të informacionit,
përdorim të teknologjisë,
lexim të modeleve numerike e
hapësinore, krijim të modeleve
numerike dhe hapësinore
Shfaqje të
kufizuara.
Shfaqje solide.
Shfaqje të
avancuara.
Qëndrimet dhe
vlerat
Pjesëmarrje në diskutim,
bashkëpunim, kërkim e dhënie
ndihme, verifikim, respektim i
mendimit të të tjerëve, marrje
e përgjegjësive personale,
vëmendje, demonstrim
vullneti, respektim i rregullave,
përmbushje e detyrave.
Tentativa për
të mbajtur
qëndrime
të caktuara;
zotërim
minimal i
vlerave.
Arritje për
të mbajtur
qëndrime
të caktuara;
zotërim
i vlerave
kryesore.
Mbajtje
qëndrimesh
të pavarura;
marrja e
përgjegjësive
mbi vete;
zotërim i
tërësisë së
vlerave.
Tri nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tri kategorive kryesore
(zgjidhja problemore, arsyetimi matematik, komunikimi matematik)
Niveli I
Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmën e mësuesit;
- me anën e një numri të kufizuar metodash;
- me gabime ose me mangësi të shumta.
Nxënësi përdor arsyetime matematike:
- me ndihmën e mësuesit;
- që janë nga më të thjeshtat;
- me gabime ose mangësi.
Nxënësi i komunikon njohuritë matematike:
- me ndihmën e mësuesit;
- me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë;
- duke përdorur rrallë terminologjinë
e përshtatshme matematike.
Niveli II
Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmë të kufizuar të mësuesit;
- me anën e një numri jo të madh strategjish bazale;
- me gabime ose me mangësi të pjesshme.
- me një ndihmë të kufizuar të mësuesit;
- të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve;
- me disa gabime ose mangësi të vogla.
- në mënyrë të pavarur;
- me një farë qartësie e saktësie në terminologji;
- duke përdorur herë pas here simbolikën

9
Niveli III
Nxënësi zgjidh probleme: - në mënyrë të pavarur;
- duke zgjedhur strategji e duke krijuar strategji që janë
të reja për të;
- zakonisht me saktësi.
- të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve madje
duke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë.
- qartë dhe saktë;
- duke përdorur terminologjinë dhe simbolikën
Ndarja e krerëve në njësi mësimore
Ndarja e krerëve në njësi mësimore
KREU 1 Drejtëza në planin kartezian
1.1 Ekuacioni i drejtëzës në plan
1.2 Drejtëza paralele me një vektor
1.3 Këndi ndërmjet dy drejtëzave
1.4 Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë paralel ose pingul
me një drejtëz të dhënë
1.5 Largesa e pikës nga drejtëza
1.6 Ushtrime
1.7 Test për kreun 1
KREU 2 Funksioni numerik
2.1 Përsëritje. Funksioni numerik
2.2 Përsëritje. Grafiku i funksionit numerik
2.3 Grafikët e funksioneve të dhënë me formula të ndryshme në pjesë të ndryshme
të bashkësisë së përcaktimit. Monotonia e funksionit.
2.4 Vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit numerik. Ekstremumet
2.5 Krahasimi i funksioneve numerike
2.6 Veprime me funksione numerike. Kufizueshmëria e funksionit
2.7 Çiftësia e funksionit. Funksionet periodike
2.8 Studimi i variacionit të funksioneve të thjeshta
2.9 Ndërtimi i grafikut të funksioneve të tjera, duke u nisur nga grafiku i
funksionit f
2.10 Përbërja e funksioneve numerike
2.11 Ushtrime për përsëritje

10 / Matematika 11
Kreu 3 Funksionet trigonometrike
3.1 Përsëritje
3.2 Radiani. Rrethi trigonometrik. Harqe dhe kënde trigonometrike
3.3 Përkufizimet e funksioneve trigonometrikë
3.4 Variacioni i sinusit dhe kosinusit
3.5 Vetitë dhe variacioni i funksionit y=tgx
3.6 Identitete trigonometrike
3.7 Ushtrime për përpunim të njohurive
3.8 Formulat e reduktimit
3.9 Zbatime për përpunimin e njohurive
3.10 Ekuacione trigonometrike elementarë
3.11 Ushtrime për përpunimin e njohurive
3.12 Formulat për sinusin dhe kosinusin e shumës dhe diferencës së dy këndeve
3.13 Zbatime
3.14 Funksionet trigonometrike të dyfishit të këndit.
3.15 Kthimi në prodhim i shumës apo ndryshesës së dy sinuseve ose dy kosinuseve
3.16 Përsëritje për kreun
3.17 Ushtrime për përsëritje
KREU 4 Plani dhe drejtëza në hapësirë
4.1 Drejtëzat dhe planet
4.2 Rrjedhime nga aksiomat
4.3 Pozicioni reciprok i dy drejtëzave në hapësirë
4.4 Pingulja dhe e pjerrëta me planin
4.5 Teorema e tri pinguleve
4.6 Ushtrime
4.7 Drejtëza paralele me planin
4.8 Plane paralele
4.9 Ushtrime
4.10 Këndi dyfaqësh
4.11 Plane pingulë
4.12 Ushtrime
4.13 Ushtrime për kreun
KREU 5 Shumëfaqëshat dhe trupat e rrumbullakët
5.1 Shumëfaqëshat. Prizmi
5.2 Piramida
5.3 Ushtrime
5.4 Vëllimi i trupave
5.5 Ushtrime
5.6 Vëllimi i piramidës
5.7 Ushtrime

11
5.8 Cilindri
5.9 Koni
5.10 Vëllimi i cilindrit dhe i konit
5.11 Ushtrime
5.12 Sipërfaqja sferike. Sfera
5.13 Vëllimi dhe sipërfaqja e sferës
5.14 Ushtrime
Kreu 6 Limitet e funksioneve
6.1 Funksione që kanë limit + ∞ kur x→+∞
6.2 Disa teorema
6.3 Funksione që kanë limit 0, kur x→+∞
6.4 Limiti i polinomit kur x→+∞
6.5 Funksione që kanë limit l kur x→+∞
6.6 Limite të funksionit kur x→-∞
6.8 Asimptota horizontale
6.9 Limiti i funksionit racional thyesor kur x→+∞ (x→-∞)
6.11 Funksione që kanë limit zero në zero
6.12 Funksione që kanë limit 0 kur x→a. (Funksionet p.m.v.)
6.13 Limiti i funksionit kur x→a
6.14 Teoremat themelore për limitin e funksionit
6.15 Teoremat themelore mbi limitin (vazhdim)
6.16 Funksione pambarimisht të mëdha (p.m.m.) kur ax →
6.17 Zbatime. Asimptotat vertikale
6.18 Format e pacaktuara
6.19 Ushtrime për format e pacaktuara
6.20 Format e pacaktuara (vazhdim)
6.22 Përsëritje për kreun
KREU 7 Statistikë, kombinatorikë, probabilitet
7.1 Parimi i mbledhjes dhe shumëzimit
7.2 Përkëmbimet
7.3 Dispozicionet
7.4 Kombinacionet
7.5 Ushtrime
7.6 Probabiliteti
7.7 Probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve
7.8 Ushtrime
7.9 Informacioni statistikor

12 / Matematika 11
7.10 Analiza e të dhënave
KREU 8 Matematika dhe financa në jetën e përditshme
8.1 Depozitat dhe normat e interesit. Interesi i thjeshtë
8.2 Huaja
8.3 Interesi i përbërë
8.4 Ushtrime
8.5 Interesi dhe progresionet
8.6 Kredia bankare
8.7 Ushtrime
OBJEKTIVAT SIPAS KRERËVE
KREU 1
Niveli I
Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:
• Të përshkruajnë me fjalë kuptimet e koordinatave të pikës e të vektorit në planin
kartezian.
• Të përshkruajnë kuptimin e ekuacionit të vijës në planin kartezian.
• Të përcaktojnë nëse një pikë me koordinata të njohura ndodhet në një vijë me ekuacion të
njohur të fuqisë I ose II.
• Të dallojnë drejtëzën si vijë që paraqitet me ekuacion të fuqisë së parë me dy ndryshore.
• Të gjejnë largesën midis dy pikave me koordinata të njohura në plan.
• Të shkruajnë ekuacionin e drejtëzës në planin xoy, kur jepen:
a) Një pikë dhe koeficienti këndor i saj.
b) Dy pika.
c) Një pikë dhe ekuacioni i drejtëzës paralele me të.
ç) Një pikë dhe ekuacioni i drejtëzës pingule me të.
• Të paraqesin drejtëzën në planin koordinativ kur njihet ekuacioni i saj.
• Të gjejnë pikën e prerjes së dy drejtëzave me ekuacione të dhëna.
• Të gjejnë koeficientin këndor të drejtëzës kur jepet ekuacioni i saj.
• Të përcaktojnë nëse dy drejtëza me ekuacione të dhëna janë paralele apo pingule.
• Të gjejnë largesën e një pike nga një drejtëz, duke përdorur formulën përkatëse.
Niveli II
• Të japin përkufizime të sakta të koordinatave të pikës e të vektorit në plan, duke përdorur
drejt simbolikën.
• Të vërtetojnë formulën për largesën midis pikave me koordinata të njohura në plan.
• Të identifikojnë grafikun e funksionit numerik f me bashkësi përcaktimi A si vijë me
ekuacion y=f(x).
• Të identifikojnë gjysmëplanin kartezian nëpërmjet inekuacionit përkatës .

13
• Të argumentojnë mënyrën për të gjetur pikën e prerjes së dy vijave me ekuacione të
dhëna.
• Të gjejnë pikat e prerjes së drejtëzës me ekuacion të dhënë me boshtet koordinative.
• Të vërtetojnë fjalitë për trajtat e ekuacionit të drejtëzës, kur jepen elemente gjeometrike
përcaktues të saj.
• Të gjejnë largesën midis dy drejtëzave paralele.
• Të nxjerrin me vërtetim formulën për këndin midis dy drejtëzave me ekuacione të dhëna.
• Të gjejnë në trekëndësh ekuacionet e lartësive, mesoreve, përmesoreve.
• Të gjejnë, duke njohur ekuacionin e drejtëzës, vektorë paralelë apo pingulë me të.
• Të gjejnë projeksionin e një pike mbi një drejtëz.
•Tëpërdorinrregullatdhevetitëpërzgjidhjeneproblemevetëthjeshtanësituatamatematikore
e nga shkencat e përafërta.
Niveli III
• Të shkruajnë në trajtë vektoriale kushtin që pika M(x, y) të ndodhet në drejtëzën (M1
M2
).
• Të përcaktojnë nëse katërkëndëshi ABCD, ku kulmet kanë koordinata të njohura është
trapez, paralelogram, drejtkëndësh, romb, katror.
• Të nxjerrin formulën për këndin midis dy drejtëzave të dhëna me ekuacione të
përgjithshme.
• Të nxjerrin formulën për largesën e një pike nga një drejtëz.
• Të gjejnë ekuacionin e shëmbëllimit të një drejtëze gjatë zhvendosjes paralele, simetrisë
qendrore a boshtore.
• Të nxjerrin ekuacione drejtëzash të dhëna me veti të tjera gjeometrike (ekuidistantja,
përgjysmorja e këndit).
• Të zgjidhin problema matematikore a reale, në situata të reja për ta, duke përdorur njohuritë
për ekuacionin e drejtëzës në plan.
KREU 2
Niveli I
• Të paraqesin relacionet midis bashkësive të fundme me tabelë, diagram shigjetor, graf,
grafik, duke kaluar edhe nga një mënyrë e dhënies në një tjetër.
• Të dallojnë nëse një relacion midis dy bashkësive të fundme është funksion.
• Të gjejnë vlerën e y kur njihet vlera e x, për funksionet e studiuar teorikisht, direkt ose me
makinë llogaritëse të thjeshtë.
• Të dallojnë nëse një pikë e dhënë ndodhet në grafikun e ndonjërit nga funksionet e studiuara
të dhënë me formulë.
• Të dallojnë nëse një vijë e dhënë në planin xOy shërben si grafik funksioni numerik.
• Të skicojnë grafikët e funksioneve të studiuar në R ose në segmente të R.
• Të gjejnë, kur është dhënë grafiku i funksionit numerik në A:
a) bashkësinë e përcaktimit;
b) bashkësinë e vlerave;
c) vlerën më të madhe (më të vogël);
ç) kufizueshmërinë;
d) intervalet e monotonisë;
e) ekstremumet.

14 / Matematika 11
• Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit për funksionet e dhëna me formula të trajtave:
( )
( )
f x
y
g x
= ; ( )y f x= , [ ( )]ay og f x= l ,
ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë a trinome të fuqisë së dytë me koeficientë të plotë.
• Të skicojnë grafikë funksionesh të trajtave
( )
( )
f x për x A
y
g x për x B
∈
= 
∈
,
ku f(x), g(x) janë të trajtave ax+b, ax2
,
a
x
.
• Të gjejnë vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit y=ax2
+bx+c.
• Të krahasojnë me rrugë algjebrike a grafike dy funksione të dhënë me formulat:
y=ax+b, y=ax2
,
a
y
x
= .
• Të krahasojnë dy funksione të dhënë grafikisht.
• Të shkruajnë formulën që jep shumën, prodhimin, raportin e dy funksioneve elementare të
dhënë me formula.
• Të dallojnë nëse një funksion i dhënë grafikisht është çift (tek) apo periodik në R.
• Të gjykojnë për çiftësinë e funksioneve të studiuar teorikisht.
• Të skicojnë grafikun e funksionit Rxxy ∈= ,3
dhe të nxjerrin nga grafiku vetitë kryesore
të tij.
• Të skicojnë grafikët e funksioneve –f, |f|, y=f(x)+b, y=f(x-m), kur njihet grafiku i funksionit
y=f(x), ],[ bax ∈
• Të gjejnë përbërjen fog , kur funksionet f, g jepen me tabela.
• Të gjejnë përbërjen fog kur f, g janë funksione të studiuar teorikisht, dhënë me formula.
Niveli II
• Të paraqesin në planin xOy grafin e një relacioni të dhënë me fjali, ekuacion a inekuacion
me dy ndryshore
• Të dallojnë varësinë e çfarëdoshme nga ajo funksionale në situata të thjeshta konkrete.
• Të gjejnë vlerën e njërës nga ndryshoret x, y kur jepet tjetra, (duke diskutuar sipas vlerës së
parametrit) në formulat:
, ,
y , , .
• Të zgjidhin grafikisht inekuacionin , ku f është funksion i studiuar teorikisht, i
dhënë me formulë.
• Të riprodhojnë tabelat e variacionit për funksionet e studiuara teorikisht, të dhëna me
formula.
• Të gjejnë bashkësitë e përcaktimit të funksioneve të dhëna me formula, kur kjo çon në
zgjidhjen e inekuacioneve të fuqisë së parë a të dytë apo të sistemeve të tyre.
• Të nxjerrin formulën për funksionin kur njihet tipi i saj dhe elemente të mjaftueshme për
përcaktimin e koeficientëve.
• Të shpjegojnë me mjete algjebrike veti të funksioneve:

15
, , .
• Të gjejnë pikëprerjen e grafikëve të funksioneve të njohur algjebrikë, të dhënë me
formula.
• Të studiojnë monotoninë e një funksioni të thjeshtë me anë të raportit
2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
−
−
.
• Të ndërtojnë grafikët e funksioneve të thjeshtë të dhënë në trajtën y=
( )
( )
f x për x A
g x për x B
∈

∈
, ku
y=f(x), y=g(x) janë funksione të studiuar teorikisht.
• Të studiojnë monotoninë e funksioneve të thjeshtë, duke i shkruar ata si shumë a prodhim
dy funksionesh me monotoni të njëjtë.
• Të tregojnë nëse një funksion është i kufizuar, duke e shkruar si shumë a prodhim dy
funksionesh të kufizuar.
• Të zbatojnë rregullin për gjetjen e vlerës më të madhe (më të vogël) të funksionit y=ax2
+bx+c
në situata të thjeshta praktike.
• Të zbatojnë njohuritë për krahasimin e funksioneve numerike në situata të thjeshta
praktike.
• Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të shumës, prodhimit, herësit të dy funksioneve të
njohura, të dhënë me formula.
• Të skicojnë grafikun e një funksioni çift (tek) kur është dhënë pjesa e tij për x>0.
• Të skicojnë grafikun e një funksioni periodik kur është dhënë pjesa e tij në [0, T].
• Të vërtetojnë vetitë e funksionit y=x3
.
• Të vërtetojnë rregullat për marrjen e grafikëve të funksioneve
–f, |f|, y=f(x)+b, y=f(x-m) prej grafikut të f.
• Të kontrollojnë nëse ekziston fog, kur f, g janë funksione të studiuar teorikisht, të dhënë me
formula.
• Të modelojnë me anë të klasave të shqyrtuara të funksioneve përvoja të jetës së përditshme
dhe situata të thjeshta nga lëndët e përafërta, duke dhënë zgjidhje të argumentuara.
Niveli III
• Të dallojnë varësinë e çfarëdoshme nga ajo funksionale në situata të reja për ta.
• Të gjejnë vlerën e njërës ndryshore në një formulë, duke e thjeshtuar formulën me futjen e
një ndryshoreje të re.
• Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të një funksioni të dhënë me formulë, kur kjo çon në
zgjidhje inekuacionesh të thjeshtë eksponencialë a logaritmikë.
• Të ndërtojnë grafikë funksionesh të dhënë në trajtën y=
( )
( )
( )
f x për x A
g x për x B
h x për x C
∈

∈
 ∈
, ku f, g, h janë
funksione të studiuar teorikisht.
• Të vërtetojnë nëse një funksion i dhënë me formulë të thjeshtë është i pakufizuar në A.
• Të shqyrtojnë me argumentim periodicitetin e funksioneve të studiuar teorikisht.
• Të gjejnë bashkësinë e vlerave për një funksion të thjeshtë të dhënë me formulë.
• Të nxjerrin rregullin për të marrë nga grafiku i f, grafikun e funksionit y=f(|x|).
• Të shqyrtojnë nëse grafiku i funksionit të dhënë me formulë të thjeshtë ka një qendër simetrie
(bosht simetrie) të caktuar.
• Të diskutojnë, sipas vlerave të parametrit m, sasinë dhe shenjën e rrënjëve të ekuacionit

16 / Matematika 11
f(x)=m, duke pasur të njohur grafikun e funksionit f.
• Të zbatojnë përfundimet për vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit y=ax2
+bx+c në
situata praktike të reja, jo standarde.
• Të shqyrtojnë ekzistencën e fog dhe ta japin atë, kur f, g jepen me formula të ndryshme në
pjesë të ndryshme të bashkësisë së përcaktimit.
• Të modelojnë situata të reja dhe rezultate eksperimentesh për të bërë deduksione e
parashikime.
Vërejtje
Janë funksione teorikisht të studiuar:
y=ax+b, y=ax2
+bx+c,
a
y
x
= , y=ax
,y=loga
x, y=sinx dhe y=cosx (për 0
2
x< <
π
).
KREU 3
Niveli I
Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje:
• Të zbatojnë formulat për gjetjen e vlerave të funksioneve trigonometrikë të një këndi në
[0o
, 180o
], kur jepen funksionet trigonometrikë të këndit shtues (plotësues) të tij.
• Të përdorin tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrikë të këndit a për .
• Të përdorin teoremën e kosinusit për gjetjen e brinjës së tretë të trekëndëshit, kur njihen dy
brinjët e tjera dhe këndi ndërmjet tyre.
• Të përdorin teoremën e sinusit për të gjetur R, kur jepen a,a.
• Të gjejnë sipërfaqen e trekëndëshit, kur jepen dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre.
• Të njehsojnë masën në gradë të këndit, kur jepet masa në radian e tij dhe anasjellas.
• Të tregojnë kuadrantin ku mbaron harku trigonometrik , kur njihet vlera e tij x.
• Të japin formulën për kur njihet vlera a e njërit nga harqet me fillim A e me mbarim M.
• Të përcaktojnë shenjën e sinx, cosx, tgx, kur njihet kuadranti ku mbaron x.
• Të riprodhojnë tabelat e variacionit të sinx, cosx për x∈[0,2π].
• Të skicojnë grafikët e funksioneve y=sinx, y=cosx për x∈[0,2π].
• Të përdorin formulën themelore sin2
x+cos2
x=1, për të gjetur vlerat e funksioneve
trigonometrikë të x kur njihet sinx (cosx).
• Të vërtetojnë identitete shumë të thjeshta trigonometrike, duke kryer shndërrime në njërën
anë.
• Të gjejnë periodën e funksioneve y=sinkx, y=coskx.
• Të fiksojnë në kujtesë rregullin mnemonik për , .
• Të kryejnë reduktimin e një këndi në [0o
, 90o
].
• Të zgjidhin ekuacione trigonometrike elementare: sinx=a, cosx=b, tgx=c në R.
• Të zgjidhin në R ekuacione trigonometrike shumë të thjeshta, që sillen në elementarë me
shndërrime identike a të njëvlershme.
• Të fiksojnë në kujtesë formulat për , e t’i përdorin ato për njehsime,
vërtetime identitetesh e zgjidhje inekuacionesh në raste shumë të thjeshta.
• Të nxjerrin formulat për sin2x, cos2x e t’i përdorin ato në raste shumë të thjeshta.

17
Niveli II
• Të gjejnë këndet e një trekëndëshi kur jepen brinjët e tij.
• Të zbatojnë teoremën e sinusit (teoremën e kosinusit) për gjetjen e elementeve të panjohura
të trekëndëshit, kur njihen disa prej tyre, në situata të thjeshta problemore.
• Të gjejnë, duke zbatuar përkufizimin, me rrugë gjeometrike vlerat e sinx, cosx për disa
kënde të veçantë (p.sh. 120o
, 225o
, 330o
).
• Të përdorin në raste të thjeshta veti të funksioneve y=sinx, y=cosx, y=tgx (periodicitetin,
çiftësinë, kufizueshmërinë).
• Të kryejnë studimin e variacionit të y=sinx, y=cosx, y=tgx për secilin kuadrant.
• Të nxjerrin tabelën e variacionit për funksionin y=tgx dhe të skicojnë grafikun e tij për
,
2 2
x
 
∈ −  
π π
.
• Të nxjerrin me vërtetim formulat:
sin2
x+cos2
x=1, cos2
x= 2
1
1 tg x+
, sin2
x=
2
2
1
tg x
tg x+
=dhe t’i përdorin ato për gjetjen e vlerave të funksioneve trigonometrike të x, kur njihet njëra
prej tyre.
• Të vërtetojnë identitete të thjeshta trigonometrike, duke kryer shndërrime në të dyja anët.
• Të përcaktojnë periodën dhe të skicojnë grafikun e një funksioni trigonometrik të trajtës
)( α+= kxfy .
• Të përcaktojnë, për një lëvizje lëkundëse harmonike me ekuacion të njohur, amplitudën,
periodën, frekuencën, pozicionin fillestar.
• Në bazë të rregullit mnemonik për të kryejnë shndërrime identike shprehjesh
trigonometrike.
• Të zgjidhin në R, a në pjesë të saj ekuacione të thjeshta trigonometrike (përfshirë edhe
ekuacione me ndryshore në emërues).
• Të vërtetojnë formulat për )sin( 21 xx ± , )cos( 21 xx ± e t’i përdorin për vërtetime
identitetesh a zgjidhje ekuacionesh.
• Të vërtetojnë formulat për .
• Të kryejnë shndërrime të trajtës xbxa cossin + = sin( )
cos
a
x + α
α
.
• Të vërtetojnë formulat për sin2x, cos2x, tg2x e t’i përdorin për shndërrime të thjeshta,
vërtetime identitetesh e zgjidhje ekuacionesh.
• Të nxjerrin formulat për ba sinsin ± , ba coscos ± e t’i përdorin për shndërrime të
thjeshta, vërtetime identitetesh e zgjidhje ekuacionesh.
• Të mbledhin dy lëvizje lëkundëse harmonike me të njëjtën periodë.
• Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta në lëndët e përafërta dhe në jetën e përditshme.
Niveli III
• Të përdorin teoremën e sinusit, teoremën e kosinusit dhe shprehjet për sipërfaqen e
trekëndëshit në situata të reja jo standarde.
• Të nxjerrin nga teorema e sinusit dhe nga teorema e kosinusit teorema të reja (p.sh. teoremën

18 / Matematika 11
e anasjellë të Pitagorës).
• Të vërtetojnë që perioda e funksioneve y=sinx, y=cosx është tamam 2π.
• Të gjejnë bashkësinë e vlerave të lejuara të ndryshoreve në shprehje trigonometrike të
thjeshta.
• Të zgjidhin inekuacione të thjeshta trigonometrike (si
1
sin
2
x > − ).
• Të zgjidhin ekuacione trigonometrike jo standarde.
• Të vërtetojnë identitete të kushtëzuara në trekëndësh (p.sh. atë për cosA+cosB+cosC, kur
A+B+C=π).
• Të japin, në raste të thjeshta bashkësinë e zgjidhjeve të ekuacioneve trigonometrike me një
formulë të vetme.
• Të gjejnë vlerën më të madhe dhe më të vogël të shprehjeve të trajtës
asinx+bcosx; asin2
x+bsinx+c.
• Të tregojnë ndryshimet që pësojnë grafikët e funksioneve y=Asin(Bx+C), y=Acos(Bx+C)
me ndryshimin e vlerave të parametrave A B, C.
• Të përdorin njohuritë për modelimin e situatave të reja problemore me karakter periodik në
jetën e përditshme dhe në lëndët e përafërta.
KREU 4
Niveli I
• Të tregojnë aksiomat kryesore të gjeometrisë euklidiane në hapësirë.
• Të përshkruajnë kuptimin e teoremës si implikim logjik i vërtetë për çdo element të
mjedisit.
• Të dallojnë në çdo teoremë mjedisin, kushtin, përfundimin.
• Të japin formulimet e teoremave të thjeshta që shprehin vetitë kryesore të planit e drejtëzës
në hapësirë.
• Të përdorin në raste të thjeshta kundërshembullin.
• Të japin saktë përkufizimin e dy drejtëzave paralele në hapësirë.
• Të dallojnë në situata të thjeshta praktike segmente që ndodhen në drejtëza prerëse, paralele
a të kithëta.
• Të dallojnë tri rastet për pozitën reciproke të një drejtëze dhe të një plani në hapësirë.
• Të zbatojnë në raste shumë të thjeshta vetitë e drejtëzës paralele me planin.
• Të dallojnë rastet për pozicionin reciprok të dy planeve në hapësirë.
• Të zbatojnë në raste shumë të thjeshta vetitë e planeve paralele.
• Të dallojnë drejtëza pingule e të pjerrëta ndaj një plani.
• Të përdorin në raste shumë të thjeshta teoremën mbi drejtëzën pingule me dy drejtëza
prerëse të një plani.
• Të zbatojnë në raste shumë të thjeshta teoremën e tri pinguleve e të anasjellën e saj.
• Të ndërtojnë prerjen e drejtë të një dyfaqëshi nga një pikë e brinjës.
• Të ndërtojnë këndin me kulm të caktuar, të barabartë me një kënd të dhënë.
• Të gjejnë projeksionin e një drejtëze në një plan, duke projektuar dy pika të saj.
• Të ndërtojnë planin pingul me një plan të dhënë, që kalon nga një pikë e dhënë.
• Të gjejnë, në raste të thjeshta, largesën e një pike nga një plan, largesën e një drejtëze nga
një plan paralel me të, largesën midis dy planeve paralele.
• Të shfaqin në figurë këndin e një drejtëze nga një plan.

19
Niveli II
• Të japin saktë përkufizimet kryesore.
• Të vërtetojnë teorema të thjeshta, duke kombinuar analizën me sintezën apo me metodën e
vërtetimit nga e kundërta.
• Të shqyrtojnë vërtetësinë e fjalive të anasjella të teoremave kryesore të njohura.
• Të bazojnë (argumentojnë) zgjidhjen e problemave me njehsim, duke përdorur teoremat
kryesore të njohura.
• Të zgjidhin problema të thjeshta me vërtetim, me ndihmë të paktë të shokëve a të
mësuesit.
• Të përcaktojnë sa plane mund të kalojnë nëpër dy drejtëza të dhëna.
• Të zbatojnë teoremën mbi pingulen e të pjerrëtat ndaj planit në situata praktike
komplekse.
• E njëjta gjë, për teoremën e drejtë dhe të anasjellë të tri pinguleve.
• Të ndërtojnë drejtëzën që kalon nga një pikë e dhënë, paralele me një plan të dhënë.
• Të gjejnë këndin e një drejtëze me një plan në situata praktike komplekse.
• Të gjejnë këndin midis dy planeve në situata praktike komplekse.
• Të zbatojnë vetitë e planeve pingulë në situata praktike komplekse.
Niveli III
• Të zbatojnë teoremat në situata praktike jo standarde.
• Të formulojnë në trajtë të njëvlershme disa nga teoremat kryesore, duke bërë vërtetimet
përkatëse.
• Të vërtetojnë me rrugë të reja disa nga teoremat e njohura.
• Të formulojnë mohimin e një teoreme edhe kur në të ka një sasor.
• Të zgjidhin problema gjeometrike me vërtetim në situata të reja për ta.
• Të përcaktojnë sa plane kalojnë nëpër katër pika të dhëna.
• Të përcaktojnë sa plane kalojnë nëpër tri drejtëza, ku dy janë paralele.
• Të gjejnë bashkësinë e pikave që kanë largesë të njëjtë nga një plan i dhënë.
• Të vërtetojnë që:
a) Largesa e pikës A nga plani P është min (AM) ku PM ∈ .
b) Largesa midis dy planeve paralele P1
, P2
është min (M1
M2
), ku 11 PM ∈ ; 22 PM ∈ .
• Të zbatojnë teoremën e drejtë e të anasjellë të tri pinguleve në situata praktike të reja, jo
standarde.
• Të gjejnë këndin e një drejtëze me një plan, këndin midis dy planeve në situata të reja, jo
standarde.
KREU 5
Niveli I
• Të dallojnë në ambientin rrethues shumëfaqëshat; brinjët dhe faqet e tyre.
• Të dallojnë midis shumëfaqëshave prizmin dhe piramidën.
• Të dallojnë midis prizmave kuboidin.
• Të përdorin vetitë e thjeshta të kuboidit, prizmit, piramidës, në zbatime direkte.

20 / Matematika 11
• Të njehsojnë sipërfaqen anësore të prizmit të drejtë, kur njohin veti të thjeshta të bazës dhe
të lartësisë.
• Të përdorin formulën për sipërfaqen anësore të piramidës së rregullt, kur njihen veti të
thjeshta të bazës dhe apotema.
• Të vërtetojnë formulën për vëllimin e kuboidit V=abc, ku a, b, c, janë numra të plotë.
• Të njehsojnë vëllimin:
a) e kuboidit, kur njohin brinjët.
b) e prizmit të drejtë, kur njohin veti të thjeshta të bazës dhe të lartësisë.
c) e piramidës së rregullt trekëndore, katërkëndore, kur njihet brinja e bazës dhe lartësia.
• Të përshkruajnë në prizëm a në piramidë pozitën reciproke të dy brinjëve, të një brinje dhe
të një faqeje, të dy faqeve.
• Të dallojnë në ambientin rrethues trupa cilindrikë, konikë, sferikë dhe elementet përcaktuese
të tyre.
• Të zbatojnë, në raste direkte formulat për sipërfaqet anësore të cilindrit të drejtë rrethor, të
konit të drejtë rrethor, të sferës.
• Të shkruajnë e të përdorin lidhjen midis R, h, l në konin e drejtë rrethor.
• Të njehsojnë në raste të thjeshta, duke përdorur formulat vëllimet e cilindrit të drejtë rrethor,
konit të drejtë rrethor, rruzullit.
• Të dallojnë pozitën reciproke të një plani dhe të një sfere; planin tangjent me sipërfaqen
sferike.
• Të njehsojnë madhësi në trupa që mund të ndahen dukshëm në trupa më të thjeshtë
referencialë (prizëm, rruzulli).
• Të zgjidhin problema të thjeshta me njehsim në situata praktike.
Niveli II
• Të bëjnë paraqitje tridimensionale të një objekti të thjeshtë hapësinor (prizëm, piramidë,
cilindër, kon, sferë).
• Të njohin vetitë e prerjeve kryesore referenciale në prizëm, piramidë, cilindër, kon, rruzull
dhe t’i përdorin ato në zgjidhjen e problemave të thjeshta.
•Të përdorin vetitë e pozitës reciproke të dy drejtëzave, të një drejtëze a një plani, të dy planeve
për argumentime, gjatë zgjidhjes së problemave me njehsim sipërfaqesh a vëllimesh.
• Të njehsojnë sipërfaqet e anshme dhe vëllimet e shumëfaqëshave dhe trupave të rrotullimit,
në bazë të formulave, duke gjetur më parë elementet që figurojnë në to, në bazë të teoremave
mbi marrëdhëniet metrike.
• Të vërtetojnë vetitë e thjeshta të shumëfaqëshave dhe trupave të rrumbullakët.
• Të vërtetojnë disa nga formulat që japin sipërfaqet anësore dhe vëllimet e
shumëfaqëshave.
• Të përdorin formulat për sipërfaqet anësore dhe vëllimet e shumëfaqëshave e trupave të
rrumbullakët në situata praktike komplekse.
• Të gjejnë vëllimet e trupave të kombinuar, duke i ndarë në pjesë më të thjeshta.
• Të përcaktojnë nëse janë të mjaftueshme të dhënat për zgjidhjen e problemave për njehsim
sipërfaqesh a vëllimesh.
• Të zgjidhin problema të thjeshta njehsimi, duke përdorur simetrinë boshtore a qendrore të
prizmit të rregullt, piramidës së rregullt, cilindrit a konit të drejtë rrethor, rruzullit.
• Të përdorin gjatë arsyetimeve e njehsimeve prerjet boshtore a qendrore të trupave.

21
Niveli III
• Të paraqesin situata të thjeshta, por jo standarde, problemore me modele gjeometrike (duke
bërë përllogaritjet dhe argumentimet gjatë modelimit) e t’i zgjidhin ato.
• Të nxjerrin formula të reja për matjet indirekte (p.sh. kur njihen prerjet).
• Të gjejnë vëllimin dhe sipërfaqen e prizmit të pjerrët trekëndor e të piramidës trekëndore
çfarëdo (kur janë dhënë elemente kryesore të mjaftueshme).
• Të njehsojnë madhësi në trupa, që mund të ndahen në trupa më të thjeshtë, me mënyra jo
standarde.
• Të zbulojnë veti të tilla si simetria në trupa kompleksë, që shqyrtohen për herë të parë.
• Të nxjerrin me vërtetim veti të posaçme të tetraedrit të rregullt.
• Të përdorin njohuritë trigonometrike për njehsimet e sipërfaqeve dhe vëllimeve të trupave.
• Të shqyrtojnë cilindrin e drejtë rrethor, konin e drejtë rrethor dhe rruzullin, si trupa
rrotullimi.
• Të shqyrtojnë trungun e piramidës së rregullt dhe trungun e konit të drejtë rrethor, e të
nxjerrin formulat për sipërfaqet dhe vëllimet e tyre.
• Të shqyrtojnë cilindra të drejtë rrethorë e kone të drejtë rrethorë, të brendashkruar në
rruzull.
KREU 6
Niveli I
• Të dallojnë qartë midis tyre shprehjet: “shumë afër”, “sa të duam afër”.
• Të përdorin saktë shprehjet: “vlerat e f(x) bëhen sa të duam …, mjafton të merren vlera të
x …”.
•Të dallojnë nga grafiku nëse kemi lim ( )
x
f x
→
=
α
β ,
(ku a është +∞,-∞, 0,a, kurse b është + ∞,-∞0, l≠0).
• Të skicojnë grafikë funksionesh që gëzojnë vetinë e mësipërme.
• Të përdorin në zbatime direkte faktet e mëposhtme:
xn
=+∞, n
x = +∞ ,
1
n
x
=0,
1
n
x
=0,
xn
=0; n
x =0;
(x-a)n
=0; c=c; x=a (n∈N).
• Të përdorin në raste të thjeshta përkufizimet:
lim ( )
x
f x
→+∞
 = −∞  
⇔ lim [ ( )]
x
f x
→+∞
 − = +∞   dhe
f(x)= f(-x).
• Të gjejnë limitin kur x→+∞ (x→+∞ ) të një polinomi a funksioni racional thyesor konkret.

22 / Matematika 11
• Të dallojnë nga grafiku nëse një drejtëz është asimptotë horizontale (vertikale) e
funksionit.
• Të gjejnë asimptotat horizontale (vertikale) të funksionit homografik.
• Të përdorin në raste të thjeshta (p.sh. për funksionet e trajtës y=c+(x-a)n
) njëvlershmërinë
[ ]l=
→
)(lim xf
ax
⇔ [ )( l−f është p.m.v. kur x→a].
• Të gjejnë limitin e një polinomi kur x→a.
• Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të funksionit racional thyesor dhe limitin e tij në një pikë
të bashkësisë së përcaktimit.
• Të përdorin në raste të thjeshta teoremat themelore mbi limitin.
• Të gjejnë limitin e funksionit të zakonshëm në një pikë të bashkësisë së përcaktimit.
• Të kontrollojnë plotësimin e kushteve për teoremën mbi limitin e raportit.
• Të përdorin në raste të thjeshta faktin që:
lim ( )
x
f x
→
 = ∞  α
⇒
1
lim 0
( )x f x→
 
= 
 α .
• Të përcaktojnë në raste të thjeshta të dhëna, nëse kemi të bëjmë me formë të pacaktuar.
• Të gjejnë limitin e raportit të dy trinomeve të fuqisë II, kur x→a, edhe kur kemi formë të
pacaktuar
0
0 .
• Të gjejnë limite të trajtës
ax→
lim
sin ax
tgbx
.
• Të gjejnë limite të trajtës
2
ax b
cx dx ex f
+
+ + +
.
Niveli II
• Të formulojnë saktë përkufizimet.
• Të vërtetojnë sipas përkufizimeve që:
n
x = n
x = +∞;
n
x
1
=
1
n
x
=0;
0
lim
→x
n
x =
0
lim
→x
n
x =0;
ax→
lim (x-a)n
=0;
ax→
lim c=c;
ax→
lim x=a.
• Të japin shembuj funksionesh që nuk kanë limit (+∞,-∞, 0,l) kur x shkon në +∞,-∞, 0, a.
• Të gjejnë, në raste të thjeshta, f(x) duke bërë zëvendësim t=-x.
• Të vërtetojnë, në raste të thjeshta, që:
f(x)= -∞, duke shqyrtuar [-f(x)].

23
• Të gjejnë me argumentim limitin e një polinomi (funksioni racional thyesor) kur x→+∞
dhe kur x→a.
• Të formulojnë saktë teoremat kryesore.
• Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës mbi limitin e shumës dhe të rrjedhimeve të teoremës
mbi limitin e prodhimit.
• Të gjejnë limitin e funksionit të zakonshëm në një pikë, pasi të kenë gjetur bashkësinë e tij
të përcaktimit.
• Të gjejnë asimptotat horizontale e vertikale për funksionet racionale thyesore.
• Të gjejnë asimptotat horizontale e vertikale për funksionet kryesore të studiuara teorikisht.
• Të kontrollojnë, në raste të thjeshta, nëse një funksion është p.m.m. me shenjë (+) (-) kur
x→a.
• Të vërtetojnë teoremat mbi vetitë e p.m.m.
• Të përdorin, në raste të thjeshta mënyrat e njohura (pjesëtimi me x-a, zëvendësimi i
ndryshores, shumëzimi me të konjuguarën) për gjetje limitesh funksionesh të thjeshta
racionale apo irracionale, kur kemi formën
0
0
.
• Të vërtetojnë që:
0
lim
→x
sin kx
x
=k;
0
lim
→x 2
1 cos x
x
−
=
2
1
e t’i përdorin ato për gjetje limitesh funksionesh trigonometrike të thjeshta kur x→0.
• Të gjejnë limite të formës ( 2
ax bx c+ + - )2
ex fx g+ + .
Niveli III
• Të vërtetojnë që (a>1); 1
a
og x = −∞l .
• Të japin me vërtetim shembuj funksionesh për të cilët nuk ekziston f(x)=b
(ku a është +∞, -∞, 0, a dhe b është +∞, -∞, 0, l≠0).
• Të vërtetojnë teoremat që janë dhënë në tekst pa vërtetim.
• Të zbatojnë teoremat mbi rregullat e kalimit në limit në situata komplekse të reja.
• Të gjejnë asimptotat vertikale e horizontale të funksioneve të zakonshme të thjeshta.
• Të vërtetojnë që
0
lim
→x
sin x
x
=1.
• Të gjejnë limite funksionesh trigonometrikë me zëvendësimin x-a=t.
• Për një funksion f me parametra, të diskutohet sipas vlerave të parametrave ekzistenca e
f(x) (a është gjithashtu parametër).
KREU 7
Niveli I
• Të gjejnë AXB kur A, B, janë bashkësi të mundme.
• Të zbatojnë parimin e mbledhjes për situata të thjeshta.
• Të zbatojnë parimin e shumëzimit për situata të thjeshta.

24 / Matematika 11
• Të njehsojnë n! për vlera konkrete të n.
• Të japin përkufizimin e përkëmbimit, dispozicionit, kombinacionit.
• Në situata të thjeshta konkrete, të kuptojnë kur kërkohet numri i sistemeve të radhitura të
elementeve, që janë përkëmbime e ta njehsojnë atë, sipas formulës Pk
=k!
• E njëjta gjë për dispozicionet, duke përdorur formulën për Dn,k
.
• Në situata të thjeshta konkrete, të kuptojnë kur bëhet fjalë për grupe elementesh ku s’ka
rëndësi radhitja (kombinacioni) e ta njehsojnë këtë numër duke përdorur formulën për Cn,k
.
• Të dallojnë ngjarjen e sigurt dhe ngjarjen e pamundur.
• Të dallojnë dy ngjarje të papajtueshme në situata konkrete të thjeshta.
• Në raste shumë të thjeshta (p.sh. një hedhje zari) të dallojnë numrin e rezultateve të
barasmundshme të provës.
• Të gjejnë në raste të tilla probabilitetin e ngjarjes A, sipas formulës
( )
( )
( )
n A
P A
n H
= .
• Në situata shumë të thjeshta të përdorin metodën e pemës.
• Të dallojnë, për ngjarje të thjeshta, prerjen e tyre dhe bashkimin e tyre.
• Të gjejnë për dy ngjarje të papajtueshme P(A∪B).
• T’u japin përgjigje pyetjeve të thjeshta për një informacion statistikor të dhënë.
• Të gjejnë për ndryshoren e rastit diskrete mesataren aritmetike, shmangien mesatare katrore,
dispersionin.
Niveli II
• Të formulojnë parimin e mbledhjes dhe të japin bazimin e tij nëpërmjet formulës
n(A∪B)=n(A)+n(B) kur A∩B=Φ.
• Të formulojnë parimin e shumëzimit, duke e bazuar atë nëpërmjet formulës
n(AXB)=n(A)Xn(B).
• Të zbatojnë parimin e shumëzimit në situata praktike komplekse.
• Të zbatojnë vetinë n!=(n-1)!n.
• Të gjejnë numrin e sistemeve të radhitur të elementeve, kur ato janë përkëmbime që gëzojnë
një veti plotësuese apo dispozicione që gëzojnë një veti plotësuese.
• Të gjejnë numrin e grupimeve të paradhitura të elementeve që gëzojnë një veti plotësuese.
• Të vërtetojnë formulën për Dn,k
.
• Të nxjerrin me vërtetim formulën për Cn,k
në një rast konkret (p.sh. të vërtetojnë formulën
për C5,2
).
• Të gjejnë numrin e kombinacioneve në situata të thjeshta.
• Të dallojnë ngjarjet e kundërta e të zbatojnë formulën .
• Të gjejnë P(A)=
( )
( )
n A
n H
në situata të thjeshta, kur për gjetjen e n(A), n(H) duhen përdorur
arsyetime kombinatorike.
• Të gjejnë P(A∪B) në raste të thjeshta ngjarjesh që nuk janë të papajtueshme, duke gjetur
më parë P(A∩B).
• T’u japin përgjigje pyetjeve që kërkojnë sistemim e përpunim paraprak të informacionit
statistikor.
• Të përdorin mënyra të shpejta për njehsimin e σ2
dhe të dispersionit.

25
Niveli III
• Të vërtetojnë barazimin n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B).
• Të zbatojnë parimin e shumëzimit në situata të reja jo standarde.
• Të vërtetojnë formulën Pn
=n!.
• Të gjejnë, në situata praktike, numrin e përkëmbimeve të një bashkësie, që gëzojnë disa
kushte plotësuese.
• Të gjejnë, në situata praktike, numrin e dispozicioneve që gëzojnë disa kushte të tjera
plotësuese.
• Të gjejnë, në situata praktike, numrin e kombinacioneve që gëzojnë disa kushte
plotësuese.
• Të nxjerrin formula të tjera nga formula për Dn,k
.
• Të vërtetojnë formulën për Cn,k
në rastin e përgjithshëm.
• Të nxjerrin formula të tjera nga formula për Cn,k
.
• Të zbatojnë formulën P(A)=
)(
)(
Hn
An
në situata jo standarde.
• Të vërtetojnë formulën P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
• Të vërtetojnë formulën për P(A∪B∪C), kur ngjarjet janë dy nga dy të papajtueshme.
• Të gjejnë P(A∪B) në situata reale jo standarde.
• T’u japin përgjigje pyetjeve jo standarde për një informacion statistikor.
• Të nxjerrin konkluzione për shpërhapjen e ndryshores së rastit diskrete, në bazë të studimit
të dispersionit.
KREU 8
Niveli I
• Të dallojnë qartë kuptimet kapital, periodë, interes, normë interesi.
• Të njehsojnë, në raste të thjeshta praktike interesin e thjeshtë, sipas formulës I=
100
k t r⋅ ⋅
.
• Të njehsojnë, në raste të thjeshta praktike, shumën e huasë, sipas formulës M= 1
100
t r⋅ 
−  
.
•Tëzbatojnë,nërastetëthjeshtapraktike,formulënpërinteresinepërzierIn
= 1 1
100
n
r
k
  
+ −     .
• Të përdorin, në raste të thjeshta, formulën për interesin e kredisë bankare I=
100 360
k r n⋅ ⋅
⋅
, duke
pasur një kuptim të saktë të ndryshoreve.
• Të nxjerrin nga kjo formulë, sipas rastit, njërën nga ndryshoret në varësi të të tjerave.
Niveli II
• Të njehsojnë, në situata praktike, njërën nga ndryshoret në formulën e interesit të thjeshtë
dhe huasë, kur njihen tri të tjerat.

26 / Matematika 11
• E njëjta gjë, për formulën për shumën e huasë.
• Të nxjerrin me arsyetim formulën për interesin e përzier In
= 1 1
100
n
r
k
  
+ −     
.
• Të nxjerrin nga kjo formulë, në raste praktike njërën nga ndryshoret, kur njihen tri ndryshoret
e tjera.
• Të kuptojnë lidhjen midis interesit të thjeshtë dhe progresionit aritmetik; midis interesit të
përzier e progresionit gjeometrik.
• Të përdorin formulën për interesin e kredisë bankare I=
100 360
k r n⋅ ⋅
⋅
në situata praktike të
kombinuara.
Niveli III
• Të planifikojnë depozitimet dhe huatë, duke bërë zgjidhjen optimale për buxhetin e familjes
së vet.
• Të bëjnë parashikime për situatën financiare familjare.
PLANIFIKIMI I MËSIMIT
Plani mësimor ditor është një detajim i
parapërgatitur i elementeve të mësimit ditor,
të renditura sipas radhës në të cilën do të
kryhen.
Mësuesi që e nënvlerëson planin e mësimit
dhe improvizon vazhdimisht është shumë i
ekspozuar ndaj rrezikut për të zhvilluar mësime
të cekëta, pa cilësi e rendiment.
Një ditë mësimi e suksesshme nuk arrihet pa
një plan të mirë. Nuk ka rëndësi formati që
do të zgjidhet për hartimin e planit, por fakti
që plani i mësimit të ketë një ndërtim logjik,
të jetë i qartë e i lehtë për t’u zbatuar.
Suksesi (e mos-suksesi) i një ore mësimi varet
nga planifikimi i mirë (i keq) dhe nga aftësia
(pa-aftësia) e mësuesit për realizimin e planit.
Nganjëherë mësuesit me përvojë e
nënvlerësojnë planin e mësimit. Por asnjë
mësues nuk mund të përballojë mirë një orë
mësimore pa menduar thellë që më parë se
çfarë do të mësojnë nxënësit në orën e mësimit
dhe si do ta mësojnë atë.
Mësuesi detyrimisht duhet të dijë mirë se
cilat janë objektivat e mësimit, cila është
përmbajtja që do të trajtohet, cilat do të
jenë procedurat që do të ndiqen dhe si do të
zbatohen ato.
Ka mësues që mendojnë se janë më të
suksesshme mësimet e pastrukturuara, të
paplanifikuara. Ata besojnë se nxënësit e
gjejnë rrugën e tyre drejt të mësuarit të vërtetë
më mirë në situata të tilla. Kjo tezë është
shumë e diskutueshme. Veçanërisht mësuesit
e rinj, duhet t’u shmangen mendimeve të tilla,
sepse mësimet të zhvilluara ashtu, shpesh
përfundojnë në rastësi të padëshirueshme dhe
herë-herë në kaos.
Studiuesit sugjerojnë që edhe mësuesit me
përvojë duhet t’i kushtojnë kujdes planeve të
tyre mësimore, nëse duan të vazhdojnë të jenë
të suksesshëm. Por ata mund të mos e shkruajnë
planin e mësimit në mënyrë të hollësishme.
Planifikimi i kujdesshëm siguron një
familjarizim të mirë me përmbajtjen dhe i jep
për këtë arsye mësuesit besim e siguri tek vetja.
Duke e ditur mirë atë që po bën, ai ballafaqohet
lirshëm me nxënësit, i jep mësimit strukturë,
organizim e vijueshmëri, përdor në mënyrë
racionale kohën.

27
Funksionet e planit të mësimit
Plani i mësimit:
- ndihmon veprimin,
- jep strukturën, organizimin e mësimit,
- ndihmon të shfrytëzohet drejt koha sipas hapave dhe detyrave të parashikuara,
- ndihmon mësuesin për të qartësuar tipin e të mësuarit e të nxënies për çdo mësim,
- përqendron mësuesin në çështjet kryesore,
- ndihmon mësuesin të përzgjedhë mirë mjetet mësimore,
- e familjarizon mësuesin me përmbajtjen,
- tregon përgatitje të mirë të mësuesit para nxënësve,
- ndihmon për planifikimet e ardhshme (sidomos për zhvillimin e të njëjtit mësim me një grup
tjetër nxënësish) nëpërmjet mbajtjes së shënimeve.
Elementet kryesore të planifikimit e përgatitjes së mësimit
1. Përzgjedhja e objektivave mësimorë
Objektivat mësimorë (të programit lëndor, të kreut, të mësimit) janë tri llojesh:
a) Për njohuritë (p.sh. “të gjejnë prodhimin kartezian të dy bashkësive të fundme”). Foljet që
përdoren më shpesh për t’i karakterizuar këto objektiva, janë: të gjejnë, të përshkruajnë, të
njehsojnë, të tregojnë, të dallojnë etj.
b) Për aftësitë (p.sh. “të zbatojnë njohuritë mbi njëvlershmërinë për të zgjidhur ekuacione
që sillen në trajtën ax+b=0”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar, janë: të
përdorin, të zbatojnë, të krahasojnë, të mbledhin informacion etj.
c) Për qëndrimet (p.sh. “të vlerësojnë rolin e metodës për gjetjen e vlerave ekstremale të
funksionit në praktikë”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar janë: të vlerësojnë,
të diskutojnë, të debatojnë etj.
2. Përzgjedhja e përmbajtjes së mësimit
3. Përzgjedhja e veprimtarive në mësim
4. Përzgjedhja e mjeteve dhe krijimi i kushteve për mësim
4. Parashikimi i mënyrës së drejtimit dhe të vlerësimit të nxënësve.
Etapat për të përgatitur një plan ditor mësimi
I. Para se të ulet për të shkruar një plan ditor, mësuesi duhet të mendojë e të shënojë:
- qartësimin e qëllimit dhe të objektivave të mësimit;
- zbulimin e vlerave kryesore të mësimit (për t’ia paraqitur klasës);
- qartësimin e veprimtarive në orën e mësimit, duke veçuar veprimtarinë kulmore;
- përzgjedhjen e metodave më të përshtatshme që do të përdoren;
- përzgjedhjen e materialeve ilustruese më të përshtatshme që ka në dispozicion;
- përzgjedhjen e teknikave më të mira të vlerësimit;
- parashikimin e punës me grupe a individë të veçantë;
- parashikime për lidhjen e mësimit me temat e tjera të lëndës ose me lëndët e tjera;
- parashikimin e përdorimit të T.I.K.
II.Gjatëhartimittëplanittëmësimit,mësuesiduhettëmbajëparasyshkëtoparime(pavarësisht
nga formati i zgjedhur për planin):
- qëllimi është në përshtatje me objektivat lëndore dhe objektivat e kreut;
- çdo objektiv mësimor synon një arritje të të nxënit;
- mësimi i planifikuar të jetë i realizueshëm;

28 / Matematika 11
- veprimtaritë mësimore të mbështesin objektivat e vëna;
- çdo veprimtarie i duhet lënë kohë e mjaftueshme.
Klasifikimi i mësimeve
Mësimet ndahen në dy lloje të mëdha:
- Me shtjellim të njohurive të reja;
- Për përpunim të njohurive (këtu hyjnë mësimet për ushtrime, për punë laboratori, për
përsëritje, për testime, për projekte kurrikulare etj.).
Shkurt për përsëritjen
Nëpërmjet mësimeve të përsëritjes mësuesi i
ndihmonnxënësittëvendosinrregullnëmorinë
e njohurive të sapo mësuara d.m.th. të nxjerrin
në pah konceptet e metodat përshkuese të
kapitullit dhe ato njohuri që duhet të nguliten
fort në kujtesë.
Ka rëndësi shumë të madhe metodologjia
e përsëritjes. Disa mësues u parashtrojnë
vetë nxënësve një përmbledhje të kreut,
duke besuar se ata e bëjnë këtë më mirë se
sa vetë nxënësit dhe në këtë mënyrë nxënësit
përfitojnë më mirë. Të tjerë mësues përpiqen
të stërvitin nxënësit që të përmbledhin ata vetë
atë që kanë mësuar për disa orë mësimore; u
japin detyrë të kalojnë “diagonalisht” faqet e
tekstit, të mbajnë shënim gjërat themelore, të
mbajnë shënim atë çka nxënësit nuk e kanë
fort të qartë.
Përsëritja e një kreu nuk ka qëllim vetëm një
rimarrje përmbledhtas të tij. Ajo ka vlerë të
madhe për të vërejtur lidhjet midis njohurive,
për të qartësuar strukturën e kreut. Dihet që
faktet mbahen mend më gjatë e konceptet
rishqyrtohen më thellë duke i këqyrur ato në
lidhjet e tyre të brendshme. Por, përsëritja
shkon më tej, sepse shqyrtimi i strukturës
së brendshme të kreut është i mirë, por jo i
mjaftueshëm.
Dihet që njohuritë e reja të një kreu janë të
lidhura me njohuritë e kreut paraardhës, me
lëndën e zhvilluar në atë vit, me lëndën e
zhvilluar në vitet e mëparshme, bile me lëndën
e zhvilluar në vitet e tjera. Është kryesisht
përsëritja ajo që e vendos çdo njohuri të re
në mozaikun e njohurive të lëndës, të fushës
kurrikulare dhe të kurrikulës në tërësi. Në
mënyrë të gabuar disa mësues e shkurtojnë
kohën e përsëritjes ose e kthejnë atë në një
farë konsultimi para testimit për një apo disa
kapituj.
Përsëritja është përherë e domosdoshme, pasi
vetëm nëpërmjet saj nxënësit:
- nxjerrin në pah konceptet e faktet themelore,
- përvijojnë strukturën e kreut (d.m.th. lidhjen
midis koncepteve e fakteve themelore),
- integrojnë njohuritë e fituara me njohuritë e
mëparshme.
Më poshtë do të flasim kryesisht për planifikim
e mësimeve me shtjellim të njohurive të reja.
Përshtatja e veprimtarive me nevojat mësimore
Pas caktimit dhe përshkrimit të objektivave mësimore përcaktohen veprimtaritë mësimore, së
bashku me mënyrën për organizimin dhe drejtimin e tyre.
Për zgjedhjen e veprimtarive udhëhiqemi nga këto parime:
1. Mësuesi ta zgjedhë llojin e veprimtarisë në përputhje me objektivat. Këshillohet të mos
mbështetet në një metodë të vetme, por në strategji e taktika që kombinojnë modelet, metodat
e procedurat.
2. Dallohen veprimtari hyrëse, veprimtari motivuese për të filluar mësimin, veprimtari
zhvilluese për ta mbajtur mësimin në proces, veprimtari kulmor edhe veprimtari vlerësuese.
Veprimtari të ndryshme mund të luajnë role të ndryshme në procesin e mësimit (disa

29
janë të mira për motivim, disa për sqarim, disa për zhvillimin e aftësive e disa janë multi-
funksionale).
3.Veprimtaritënëmësimduhettëzgjidhennëpërshtatjememundësitëenxënësve,elasticitetin
e tyre, stilin e të nxënit sepse nxënës të ndryshëm reagojnë në mënyra të ndryshme ndaj
metodave të ndryshme.
4. Veprimtaritë mësuesi t’i zgjedhë duke marrë në konsideratë edhe mundësitë e pëlqimet e
tij.
5. Për organizimin e veprimtarive duhen mbajtur parasysh edhe faktorë të tillë si koha,
hapësira, pajisjet, shëndeti dhe siguria.
6. Strategjitë e taktikat e mësimdhënies, që mishërohen në veprimtaritë, të jenë të përshtatshme
për çështjen dhe lëndën që mësohet.
7. Secila veprimtari të synojë të paktën njërin nga objektivat e mësimi dhe për çdo objektiv
të ketë të paktën një veprimtari që synon tek ai objektiv.
Veprimtaritë sipas strukturës E.R.R (Evokim; Realizim;
Reflektim)
Evokimi
Në këtë fazë të mësimdhënies nxënësit rikujtojnë çfarë dinë rreth temës. Është faza ku nxënësi
motivohet për atë çfarë do të ndodhë më pas. Shërben si urë lidhëse e njohurive që ka nxënësi
me njohuritë e reja që do të merren.
Realizimi i kuptimit
Në këtë fazë merren njohuritë e reja. Mësuesi drejton dhe orienton drejt të nxënit. Të gjitha
veprimtaritë kanë të bëjnë me të kuptuarit e njohurive të reja. Nxënësi vëzhgon, eksperimenton,
diskuton, bën pyetje, shkëmben mendime etj.
Reflektimi
Është faza ku nxënësi do të shprehë idetë, mendimet dhe përmbajtjen me fjalët e tij. Është
faza ku njohuritë vihen në një kontekst të ri. Aktivitetet këtu kanë karakter krijues, analizues,
përgjithësues, reflektues, vlerësues etj. Në këtë fazë konsolidohet informacioni i ri.
Formati i planit mësimit
Në përgjithësi çdo plan ditor përbëhet nga katër blloqe:
- Objektivat
- Metodologjia
- Burimet e mësimdhënie-mësimnxënies
- Vlerësimi
Këto blloqe mund të zbërthehen në disa formate
Modeli i propozuar nga Instituti i Zhvilimit të Arsimit (IZHA)
1. Tema e orës së mësimit
2. Objektivi përkatës i programit mësimor
3. Objektivi (objektivat) e orës së mësimit
4. Procedurat që do të ndiqen
5. Vlerësimi
6. Detyrat e shtëpisë
7. Refleksione

30 / Matematika 11
Zbatimi i planit të mësimit
Rekomandohet përgjithësisht që të zbatohet me përpikmëri plani i hartuar i mësimit, duke
shmangur improvizimet. Frymëzimet impulsive vërtet të mira janë shumë të rralla.
Por plani është një mjet për të arritur një qëllim. Nëse diçka më e mirë lind gjatë zhvillimit të
mësimit, mësuesi është i lirë ta përdorë atë.
Ekzistojnë së paku tre lloj situatash ku mund e duhet shkëputur nga plani i parapërgatitur.
1. Kur mësimi i planifikuar shkon keq dhe duhet bërë diçka për ta shpëtuar atë.
2. Kur ka ndodhur (ose ndodh) diçka e rëndësishme para (ose gjatë mësimit).
3. Kur vetë nxënësit e kërkojnë ndryshimin.
Mësuesi e sheh në fytyrat e nxënësve nëse mësimi po ndiqet e po kuptohet. Nëse kjo nuk ndodh,
ai duhet të ndryshojë metodën, duke e thjeshtuar trajtimin.
Disa herë të tjera nxënësit shtrojnë pyetje për çështje që ia vlen të ndiqen në detaje; në rrethana
të tilla mësuesi mund të braktisë planin e parapërgatitur dhe të merret me problemin e pozuar.
Herë të tjera, brenda ose jashtë klasës ndodhin ngjarje me rëndësi, që imponojnë heqjen dorë
nga plani i parapërgatitur. Në rastin e një ngjarje me rëndësi kombëtare apo për shkollën, mund
të ndërpritet zhvillimi i mësimit duke biseduar për të, ndonëse ajo mund të mos ketë lidhje të
drejtpërdrejtëe me mësimin që zhvillohet. Për një ngjarje shumë emocionale, mund të lihen
nxënësit të shprehen rreth saj për disa minuta në fillim të mësimit, që të shkarkojnë emocionet
para se t’i përvishen punës.
Kriteret mbi të cilat ju mund të bazoni vendimet tuaja lidhur me zbatimin e planit, janë të
thjeshta:
- çfarë do të ishte dobiprurëse për nxënësit,
- çfarë do ta çonte përpara të mësuarit,
- ç’domethënie ka ndryshimi për lëndën që zhvillohet?
MBI ORGANIZIMIN E PUNËS NË KLASË
Mësuesi ka të drejtë të zgjedhë metodat dhe
mekanizmatmëtëpërshtatshmepërorganizimin
e mësimdhënies dhe mësimnxënies, me të
vetmin kusht: respektimin e programit dhe
realizimin e synimeve të tij. Është detyra e tij
të organizojë klasën për realizimin e aspekteve
të ndryshme të veprimtarisë së nxënësve në
klasën e vet.
Sa herë që është e mundur, çështjet e reja duhet
të futen në kuadrin e një konteksti të caktuar
(real apo matematik) dhe nëpërmjet një metode
që parashikon hetimin e situatave. Ky kontekst
duhet të zgjidhet i tillë që të ngjallë interesimin
e masës së nxënësve. Hetimi i situatës së
parashtruar nxënësve, duhet të kombinohet
me fjalën e mësuesit dhe diskutimin në klasë.
Në hapin e parë kjo situatë duhet të jetë e
strukturuar prej mësuesit, në mënyrë që të
sigurohet përfshirja e masës së nxënësve në
mësim. Një pjesë e kësaj pune rekomandohet
të zhvillohet në grupe të vogla (2-3 nxënës).
Mësuesi duhet t’i bashkojë këto grupe herë
pas here, që ata të bëjnë përshkrimet dhe
argumentimet e tyre për detyrat e vëna dhe
për zbatimet e tyre, pa e mbyllur diskutimin ai
duhet t’i udhëheqë nxënësit kur ka moskuptime
ose gabime.
Gjatë përvetësimit të lëndës nxënësit duhet
të ndjehen të shpenguar e të inkurajuar që të
japin mendime, të diskutojnë e të bëjnë pyetje.
Ata duhet të edukohen si me shprehitë e punës
së pavarur individuale, po ashtu edhe me ato të
punës së përbashkët d.m.th të punës me grup.
Nxënësve duhet t’u jepet kohë e mjaftueshme
për t’u menduar mirë; të vazhdojë edukimi i
tyre me zakonin që të mos nguten, të mos

31
përgjigjenpërciptas,tëndalenkurnukkuptojnë.
Mësuesi nuk duhet të ngutet të korrigjojë e t’i
presë fjalën nxënësit që gabon; pa mohuar
rëndësinë e përgjigjes së saktë, e rëndësishme
është të evidentohet se si ka menduar nxënësi
për të dhënë përgjigjen, prandaj mësuesi duhet
të hapë butë-butë shtigje për vetëkorrigjim për
nxënësin që gabon.
Gjatë punës mësuesi duhet të mbajë parasysh
që çdo nxënës të mos ngarkohet më tepër
sesa mund të mbajë, të mos detyrohet që të
kopjojë.
Rekomandohet që parashtrimi i materialit
mësimor në temat ku merr njohuri të reja, të
ndjekë këtë ecuri didaktike: një shembull ose
një ushtrim përgatitor synon të krijojë tek
nxënësit, nëpërmjet hetimit të situatës, një
hamendje të caktuar. Kjo kontrollohet më tej
nëpërmjet shembujsh (a kundërshembujsh)
dhe ushtrimesh (shpesh gjysmë të zgjidhura).
Pas konsolidimit të hamendjes dhe formulimit
të saj, në trajtën e një përfundimi përgjithësues,
në lëndë si matematika, kalohet në vërtetimin
e tij (këtu parashikohen shkallë të ndryshme
rigoroziteti në profile të ndryshme). Më tej
kalohet në zbatime, fillimisht të thjeshta, por
të larmishme. Duhet mbajtur mirë parasysh se
për zotërimin e koncepteve dhe të metodave
lëndore ka rëndësi të madhe larmia e
interpretimeve dhe zbatimeve të tyre. Për këtë
qëllim dhe në kuadrin e organizimit të punës së
pavarur a në grup të nxënësve, një rol qendror
luan zgjedhja e çështjeve dhe problemeve që u
parashtrohen atyre. Për të realizuar me sukses
këtë zgjedhje duhet të mbahet parasysh.:
a. A kanë të bëjnë ato më aftësitë që
kërkohet të zhvillohen tek nxënësit?
b. A është i kuptueshëm konteksti i tyre për
një nxënës të klasës së shqyrtuar?
c. Nëse jo, a janë dhënë tërë udhëzimet e
njohurive për t’i zgjidhur?
d. A ka zgjidhja e tyre vlera në pikëpamje
të metodës?
Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të ushtrojnë
dendur veprimtari të ndryshme, si krahasimi
(për të zbuluar vetitë e përgjithshme dhe ato
të veçantat), klasifikimi dhe modelimi si forma
të abstragimit. Ata duhet të inkurajohen të
vëzhgojnë dhe të përshkruajnë me modele të
larmishme lëndore, situata e modele të botës
përreth si p.sh. nga botanika, arkitektura, bota
e kristaleve etj. Theksi kryesor do të vihet në
lidhjen e lëndës me botën në të cilin nxënësit
jetojnë; duhet të evidentohet që lënda është e
zhvilluar nga nevojat e botës reale dhe ajo lëndë
që ata mësojnë ka zbatime të dobishme në një
gamë të gjerë kontaktesh dhe për një kohë të
gjatë. Në këtë mënyrë puna për përvetësimin
e lëndës do të bëhet interesante për ta, sepse
do të mbajë parasysh interesat e tashme dhe të
ardhshme të nxënësve.
PUNA MBI PROJEKTET KURRIKULARE
Projekti kurrikular është një përpjekje për t’i
dhënë zgjidhje një situate për të cilën nxënësit
nuk kanë një përgjigje të gatshme dhe për të
cilën duhet të rrëmojnë në njohuritë e nxëna
shkollore e më tej.
Projekti kurrikular nuk reduktohet thjesht në
sistemimin e informacioneve të qëmtuara
në tekstin shkollor e në burime të tjera; ai
përmban edhe punë origjinale, ku shfaqet
qëndrimi vetjak i nxënësit. Sensi i një projekti
kurrikular është zbatimi i informacioneve,
por niveli më i lartë i zbatimit është nxitja ose
arritja e ndryshimeve përmirësuese.
Projekti kurrikular mund të jetë të paktën tri
llojesh:
Njëri lloj i takon planit të shkollës. Secili
nxënës gjatë tri viteve të gjimnazit duhet të
marrë pjesë në projekte të tilla në të paktën 36
orë mësimore.
Dy llojet e tjera të projektit kurrikular i takojnë
planit mësimor të mësuesit dhe llogariten në
ngarkesën totale të tij në orë mësimore.
Projekti kurrikular mund të jetë thjesht lëndor
ose të përfshijë më tepër se një lëndë; ai mund

32 / Matematika 11
t’i përkasë një fushe të nxëni ose të shtrihet në
disa fusha.
Projekti kurrikular mund të zgjasë disa ditë,
javë ose muaj, por mbyllet kryesisht brenda
një viti shkollor. Projekti kurrikular mund të
merret përsipër nga një ose disa mësues.
Mësuesi mund të zgjedhë projektin kurrikular
si një metodë pune për të shtjelluar njohuritë e
reja ose për përpunimin e njohurive.
Tema e një projekti kurrikular përzgjidhet
nëpërmjet bashkëpunimit të mësuesve me
nxënësit. Mirë është që të ketë propozime nga
nxënësit për këtë përzgjedhje, por mësuesi
duhet të ketë një fond temash, ndër të cilat u
lihet nxënësve të përzgjedhin. Në përzgjedhjen
e temave është mirë që të përfshihen edhe
prindërit.
Në projektin kurrikular mësuesi është në rolin
e lehtësuesit të veprimtarisë së nxënësve. Ai
nuk duhet të jetë anëtar a kryetar i grupit të
nxënësve. Ai nuk duhet t’u diktojë nxënësve se
çfarë të bëjnë, as t’u japë atyre informacione e
përgjigje të gatshme.
Nxënësveduhett’ubëheteqartësepërgjegjësia
për suksesin e projektit kurrikular
u takon atyre, por mësuesi do t’u qëndrojë
pranë për çfarëdo pyetje a shqetësim.
Asistenca e mësuesit gjatë viteve të shkollimit
në këtë veprimtari shkon sipas një kurbe
zbritëse.
Mësuesi duhet që vazhdimisht t’i inkurajojë
nxënësit gjatë punës së tyre, të vërë në dukje
anët pozitive që vëren.
Nga mësuesi, për realizimin e projektit kurrikular, kërkohet që:
- Të planifikojë dhe të realizojë orët mësimore të projektit kurrikular.
- Të lehtësojë nxënësit në menaxhimin e projektit.
- Të vëzhgojë mirëkryerjen nga nxënësit të veprimtarive të planifikuara.
- Të vlerësojë nxënësit.
Hartimi i një projekti kurrikular nga mësuesi
Formati tip për një plan të tillë ka këto zëra:
- Titulli i projektit
- Objektivat e projektit
- Lista e njohurive kryesore lëndore që do të përvetësohen a rimerren
- Kontributi i çdo mësuesi bashkëpunues, me orët mësimore përkatëse
- Partnerët në projekt (prindër, OJF etj.)
- Numri i nxënësve ose i klasave që përfshihen në projekt
- Përshkrimi përmbledhës i veprimtarive kryesore (me hapat kryesore, afatet e personat
përgjegjës)
- Burimet kryesore të informacionit
- Përshkrimi i produktit të projektit
- Tematika e secilës orë mësimore në kuadrin e projektit
- Mënyra e vlerësimit të nxënësve
Në ditarin e mësuesit shënohet çdo orë mësimore që i takon një projekti kurrikular
Një nga synimet kryesore të projektit kurrikular është stërvitja e nxënësve për kërkimin e
informacioneve nga burime të tjera sa më të larmishme (internet, kabinet i TIK, bibliotekë
shkolle, qyteti, familjare, media e shkruar a vizive). Një rëndësi të posaçme kanë edhe
informacionet e gjalla-bisedat.
Secili nxënës i përfshirë në projekt plotëson dora-dorës portofolin e projektit; ai duhet ta ketë
të qartë qysh në fillim se do të vlerësohet dhe i duhen bërë të njohura kriteret e vlerësimit.

33
Vlerësimi i nxënësve në projektin kurrikular
Bëhet duke pasur parasysh këto elemente:
- plani i paraqitur
- zbatimi i planit
- menaxhimi i informacionit
- etika e punës në grup
- kontributi në raportin përfundimtar
- prezantimi i punë së kryer
Mënyra më e mirë e vlerësimit është ajo që kombinon vlerësimin e punës së grupit (notë me
peshën 50%) me atë të nxënësit si individ (notë me peshën 50%).
Nota që merr nxënësi si individ vendoset në bazë të vëzhgimeve të mësuesit dhe të portofolit
të nxënësit.
Projektet kurrikulare si pjesë e përpunimit të njohurive
Projektet kurrikulare mund të përdoren për
përsëritjen (e integruar) të njohurive të një ose
disa kapitujve. Por, në projektin kurrikular nuk
ka objektiva për përvetësimin e njohurive të
reja; në të ka objektiva vetëm për përforcimin
e njohurive të mësuara më parë.
Kombinimi i njohurive të disa kapitujve për të
zgjidhur një situatë problemore, transferimi i
njohurive të një lënde për të zgjidhur probleme
të një lënde tjetër e sidomos në situata reale, i
stërvit nxënësit të kuptojnë më thellë konceptet
e metodat kryesore të lëndës.
Mund të ndodhë që nxënësit, në procesin e
kërkimit të informacioneve, të hasen edhe me
njohuri që nuk i kanë hasur më parë. Por, atyre
nuk duhet t’u kërkohet të mbajnë mend njohuri
që nuk përmbahen në program dhe sidomos
nuk duhet të vlerësohen me notë për to.
Projekti kurrikular në planin mësimor vjetor të mësuesit
Projekti kurrikular shënohet në këtë plan po ashtu si edhe kapitujt lëndorë. Por, mësuesi nuk është
i detyruar t’i paracaktojë të gjitha temat e projektit kurrikular, qysh në fillim të vitit shkollor.
Të gjitha orët mësimore që janë parashikuar për projekte kurrikulare zhvillohen sikurse orët e
tjera lëndore, d.m.th. me të gjithë klasën, në praninë e mësuesit.
Disa orë janë të përbashkëta për secilin projekt kurrikular. Të tilla janë orët për:
- të lehtësuar nxënësit në përzgjedhjen e temës (temave);
- të këshilluar nxënësit gjatë zhvillimit të punës me projektin;
- prezantim nga nxënësit të gjetjeve të ndërmjetme të projektit;
- përgatitje për përfundimin e projektit.
Një pjesë të mirë të kohës për punën me projektin, nxënësit e harxhojnë në klasë, ku shtrojnë
pyetje për mësuesin etj.
Orët brenda në klasë shënohen në regjistër nga secili mësues, krahas orëve të tjera të lëndës.
Shembull projekti kurrikular
Lënda: Matematikë, Klasa XI
Titulli: Veçimi i një shkronje në një formulë
Sasia e orëve të planifikuara në planin mësimor: 5
Koha: 1 muaj e gjysmë (1 Mars - 15 Prill)
Objektivat:
1. Të gjithë nxënësit e klasës të jenë të aftë të veçojnë sipas kërkesës njërën nga shkronjat
(ndryshore reale) në formulat e trajtës y=ax+b;y=(a+b)x+c;y= ; y=ax2
; y=ax3
; në

34 / Matematika 11
situata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore ose në situata jetësore, direkt apo duke
përdorur makinën llogaritëse të thjeshtë.
2. Të gjithë nxënësit të gjejnë vlerën e y kur njihet x në formulat y=sinx;y=cosx (0
2
x< <
π
); y=ax
;
y=loga
x(a>1), duke përdorur makinën llogaritëse shkencore.
3. 90% e nxënësve të klasës të jenë të aftë të veçojnë njërën nga shkronjat (ndryshore racionale)
sipas kërkesës në formulat e trajtës
2 2 2
; ( ) ;y ax n y a x m n y ax bx c= + = − + = + + në situata matematikore, të lëndëve të tjera
mësimore ose situata jetësore.
4. 70% e nxënësve të klasës gjejnë vlerën e ndryshores x;y kur njihet tjetra (duke diskutuar për
mundësinë e kryerjes së këtij procesi sipas vlerës së parametrit) në formulat y=asinx;y=acosx;
; logx
ay ca y d x= = .
5. 50% e nxënësve të klasës gjejnë vlerën e njërës ndryshore kur njihet tjetra në formulën
y=asinx+bcosx.
Njohuritë kryesore lëndore që do të përdoren
1. Njëvlershmëria e ekuacioneve me një ndryshore.
2. Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së parë me një ndryshore.
3. Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së dytë me një ndryshore.
4. Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale e logaritmikë
5. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike elementare.
6. Njohuritë e marra në klasat e mëparshme lidhur me veçimin e një shkronje në një
formulë.
Kontributet e mësuesve bashkëpunues
1. Mësuesi i fizikës (2 orë)
- Evidentimi i formulave të lëndës në klasat 10,11
- Shtrim situatash që hasen dendur në këtë lëndë, duke kërkuar veçimin e një shkronje në
një formulë.
2. Mësuesi i kimisë dhe i biologjisë (2 orë)
- Evidentimi i formulave të lëndës në klasat 10,11
- Shtrim situatash që hasen dendur në këtë lëndë, duke kërkuar veçimin e një shkronje në
një formulë.
Partnerë në projekt
Prindërit e nxënësve të shkollës me profesione të tilla, si: inxhinierë, teknikë, ekonomistë etj.
Numri i nxënësve të përfshirë në projekt: Të gjithë nxënësit e klasës.
Veprimtaritë kryesore
Nr Veprimtaria Afati Përgjegjësi
1
Hartimi i një liste paraprake formulash të njohura (nga
të gjitha fushat)
Java I Mësuesit
2
Hartimi i një liste paraprake burimesh informacioni (të
të gjitha llojeve)
Java I
Mësuesi me
nxënësit
3 Përcaktimi i detyrës konkrete për secilin nxënës Java I Mësuesi

35
4
Përdorimi nga nxënësit i literaturës mësimore të
rekomanduar
Java II Secili nxënës
5
Takime për hapje horizonti me mësuesit e lëndëve
tekniko-shkencore
Java II
Mësuesit
6 Kërkim në burime të tjera informacioni Java III Secili nxënës
7 Fillim i plotësimit të portofolit me gjetjet kryesore Java III Secili nxënës
8
Diskutim në klasë i gjetjeve kryesore, me evidentimin e
mangësive dhe të rrugëve për plotësim
Java III
Mësuesi dhe
nxënësit
9
Hartimi i draftit përfundimtar individual nga secili
nxënës
Java IV Secili nxënës
10
Puna për hartimin e draftit përfundimtar përmbledhës
me gjetjet kryesore
Java V
Mësuesi me
nxënësit
11
Dorëzimi produktit përfundimtar (raportit) si edhe i
portofoleve të secilit nxënës
Java VI Nxënësit
12 Prezantimi i raportit Java VI
2-3 nxënës të
përzgjedhur nga
klasa
Burimet kryesore të informacionit
1. Tekstet mësimore të matematikës (për klasat 9,10,11).
2. Tekstet mësimore të lëndëve tekniko-shkencore (për klasat 9,10,11).
3. Biseda me specialistë të profileve të ndryshme tekniko-shkencore dhe ekonomike.
4. Vëzhgime të dukurive natyrore, teknike e sociale
5. Ndjekje emisionesh televizive adekuate (Discovery; Explorer etj)
6. Përdorim CD të posaçme
7. Biseda me prindër për probleme jetësore (buxheti i familjes, depozitat, huatë, kreditë etj.).
Produkti i pritshëm i projektit
Raport i argumentuar ku të përshkruhen formulat kryesore me të cilat nxënësit e kësaj moshe
hasen në këtë fazë të përvojës së tyre mësimore e jetësore, së bashku me rrugët optimale për të
shprehur në këto formula njërën nga ndryshoret në varësi të tjetrës.
Tematika e orëve të planifikuara në planin mësimor
1. Ndarja e detyrave për secilin nxënës, së bashku me literaturën e rekomanduar mësimore.
2. Realizimi i bisedave me mësuesit e lëndëve tekniko-shkencore
3. Diskutimi në klasë i rezultateve kryesore paraprake të arritura nga nxënësit
4. Përzgjedhja e rezultateve kryesore për raportin përfundimtar.
5. Prezantimi i raportit
Mënyra e vlerësimit të nxënësve
Bëhet sipas kritereve të pranuara e të shpallura, duke nxjerrë notën e nxënësit sipas formulës
ku nk
është nota e klasës si grup ni
është nota e nxënësit si individ

36 / Matematika 11
MBI VLERËSIMIN FORMUES NË MATEMATIKË NË KLASËN XI
Tri llojet më të përdorshme të vlerësimit në
klasë (pa përfshirë vlerësimin me qëllim
klasifikimi a vendosje) janë:
•Vlerësimi diagnostikues, që synon të zbulojë
shkaqet njohëse, fizike, emocionale, shoqërore
të problemeve që kanë nxënësit, në mënyrë që
të përcaktohen teknikat korrigjuese.
• Vlerësimi formues, i cili mbikëqyr
përparimin gjatë procesit të të nxënit, siguron
një feed-back për të lehtësuar nxënësit dhe për
të korrigjuar gabimet.
•Vlerësimi përmbledhës, që përcakton arritjet
në përfundim të kreut, të vitit a të ciklit për
të vendosur notat dhe për të bërë çertifikimin.
Vlerësimi përmbledhës mund të përdoret për
të gjykuar efektshmërinë e mësimdhënies ose
të procesit mësimor.
Vlerësimi formues është vlerësimi i përditshëm
dhe i vazhdueshëm që u bëhet nxënësve (e
që shprehet me notë) për pyetjet, kërkesat
e detyrat që u jepen në klasë, për detyrat e
shtëpisë, për përgjigjet, për testet kohëshkurtër
etj. Ai ka për qëllim kryesor përmirësimin e
cilësisë së të mësuarit dhe jo thjesht kontrollin
ose diferencimin e nxënësve. Ky vlerësim
duhet përdorur për feed-back gjatë procesit të
mësimdhënies e të nxënies, sepse gjatë këtij
lloj vlerësimi mësuesi nxjerr në pah dhe ndreq
në mënyrë të shpejtë dobësitë dhe të metat e
nxënësve. Përdorimi i këtij vlerësimi diktohet
edhe nga fakti që, siç pranohet gjerësisht, ora
e mësimit nuk është e motivuar dhe shpesh
herë bëhet e pakëndshme, kur nuk përdoret
vlerësimi formues, por pritet të mbarojë kreu
dhe pastaj të bëhet vlerësimi (qoftë edhe me
teste) i nxënësve.
Gjatë vlerësimit formues, duke përdorur në
mënyrë të vazhdueshme një numër teknikash
vlerësimi të thjeshta e të shpejta, mësuesit
mund e duhet të marrin informacion për atë që
nxënësit kanë mësuar aktualisht, për atë që u
mbetet të mësojnë dhe të përforcojnë. Duke u
mbështetur në rezultatet e vlerësimit formues,
mësuesit duhet t’i këshillojnë nxënësit se si të
përmirësojnë të nxënit.
Format më të përdorshme të vlerësimit formues
në matematikë, në gjimnaz janë:
- vlerësimi me notë për pyetjet në tabelë,
- vlerësimi për aktivizim në klasë, gjatë
zbatimit të materialit të kaluar dhe
parashtrimit të materialit të ri,
- vlerësim për aktivizimin me punën në
grupe,
vlerësim me teste kohëshkurtër për
përvetësimin e një teme të caktuar,
- vlerësim për kryerjen e detyrave të
shtëpisë.
- Vlerësimi formues nuk këshillohet të
bëhet me të njëjtën teknikë vlerësimi,
sepse nxënësit familjarizohen me të dhe i
përgatisin përgjigjet pa i kuptuar çështjet.
Mendojmë se është e dobishme praktika
e të mësuarit të nxënësve të teknikave për
vetëvlerësim, që nxisin integrimin e të mësuarit
në klasë dhe të mësuarit jashtë saj. Praktikimi i
teknikave të vetëvlerësimit i ndihmon nxënësit
gjithashtu të fitojnë shprehi për të menduarit
dhe për të vlerësuarit vetjak.
Në lëndën e matematikës në gjimnaz konceptet
synohet të formohen nëpërmjet trajtimit të
situatave problemore. Itinerari i zotërimit të
njohurive është menduar të jetë spiral dhe jo
linear; ato mendohen të përvetësohen jo me
paraqitjen e tyre të parë dhe as me përsëritje
të thjeshtë, por pas plotësimeve dhe thellimeve
nëpërmjet rimarrjes aktive.
Gjatë vlerësimit formues duhet mbajtur
parasysh se aktiviteti matematik i nxënësve në
secilin profil përfshin observimin (vëzhgimin),
abstragimin, eksperimentimin dhe vërtetimin.
Parashtrimi i përmbajtjes së re si rregull duhet të
artikulohetmestudiminesituatavetëlarmishme,
që shërbejnë si motivim, si çështje që kërkojnë
zgjidhje apo si mbështetje e zbatim i këtij
parashtrimi dhe nxënësi duhet të vlerësohet, në
mënyrë të vazhdueshme për sasinë dhe cilësinë
e aktivizimit të tij në këto aspekte (të paktën një
herë në 6-7 orë mësimi).

37
Gjatë vlerësimit formues kujdes duhet t’i
kushtohet përvetësimit të koncepteve dhe
metodave kryesore të lëndës, si bazë e formimit
matematik të nxënësve. Në këtë kuadër, gjatë
vlerësimit formues duhet të mbajmë parasysh
se nuk ka rëndësi riprodhimi i vërtetimit të një
teoreme dhe zbatimi mekanik i saj në një situatë
standarde, nëse nxënësi nuk ka të qartë thelbin
e saj dhe nuk është i aftësuar për ta zbatuar atë
në situata të larmishme, qoftë edhe të thjeshta.
Si rregull, në çdo orë mësimi kryhen ushtrime
(në radhë të parë zbatime të thjeshta) për të
kuptuar thelbin e koncepteve dhe metodave
matematike dhe si modele të punës së pavarur
në shtëpi. Puna e pavarur me ushtrimet dhe
zbatimet në klasë duhet të zërë jo më pak se
40% të kohës së mësimit. Gjatë shtjellimit të
materialit mësimor mësuesi duhet të krijojë
situata problemore të strukturuara për të vënë
në lëvizje mendimin e pavarur të nxënësit.
Strukturimi i pyetjeve të shtruara klasës, bën
që secili nxënës të angazhohet në punë të
pavarur, sipas mundësive të veta, me një kohë
të mjaftueshme për të përvetësuar përmbajtjen
deri në një nivel të caktuar arritjeje, për të cilin
ai mund të vlerësohet edhe në vend.
Konceptimi i lëndës dhe mënyra e realizimit të
saj duhet të thyejë kornizat tradicionale të orës
së mësimit. Trajtimi i materialit të ri mësimor
jo rrallë duhet të bëhet me tekst përpara, sepse
nxënësit duhet të plotësojnë në të kërkesat që
janë lënë qëllimisht pa u plotësuar, të zgjidhin
ushtrimet apo të analizojnë shembujt.
Në shumicën e temave, ora e mësimit duhet të
përbëjë një sintezë të dhënies e të kontrollit të
njohurive, të vlerësimit të dijeve e shkathtësive
(shprehive) dhe vlerave tek nxënësit. Në këtë
këndvështrim format tradicionale të kontrollit
e të vlerësimit të nxënësve, që janë mbështetur
në riprodhimin gojor të materialit mësimor, të
lidhur me binomin mësues-nxënës (në tabelë)
dhe me një numër të vogël nxënësish të
vlerësuar janë të papranueshme.
Kontrolli dhe vlerësimi formues i nxënësve
duhet të jetë i larmishëm, i lidhur më tepër me
veprimtarinë matematike të nxënësve në klasë,
joimbështeturkryesishtnëriprodhimingojortë
materialit mësimor, jo i kufizuar në një interval
kohor të caktuar. Ai përfytyrohet i shkrirë me
veprimtarinë matematike të nxënësve, duke
siguruar pjesëmarrje të plotë të tyre në punë.
Mësuesi duhet të jetë vazhdimisht në kontakt
me punën e nxënësve në bankë gjatë gjithë orës
së mësimit.Ai duhet të vrojtojë e të vlerësojë jo
vetëm çka di nxënësi, por si e mëson, si vepron
për ta zbatuar, si nxjerr përfundime etj. Në këtë
mënyrë, gjatë këtij lloj vlerësimi, nxënësi është
më i çliruar nga emocionet dhe nga ana tjetër
krijohen mundësi më të mëdha për kontakte e
ndihmë të diferencuar tek nxënësit.
Natyrisht, format e larmishme të kontrollit
të shtrirë në trajtimin e materialit të ri (dhe
vlerësimipërkatës)nukpërjashtojnëvlerësimin
e nxënësit të ngritur në tabelë ose vlerësimin
masiv të pjesshëm (me teste të shkurtra).
Nxënësi duhet të regjistrojë në kujtesë një sërë
faktesh të rëndësishme matematike. Por kjo
nuk do të thotë që në të mësuarit e matematikës
kujtesa e tij të ngarkohet tej mase me rregulla e
formula të ndryshme, kur këto mund të gjenden
nga manualet, tabelat dhe tekstet. Prandaj
vlerësimi nuk duhet të bazohet në kujtesën
mekanike; të mbahet parasysh se aftësimi i
nxënësve për të kërkuar në këto materiale
ndihmëse, formulat dhe faktet që nevojiten
për zgjidhjen e ushtrimeve ose për vërtetimin
e pohimeve të ndryshme, veçanërisht kur
ato i përkasin temave të zhvilluara më parë,
pasqyron shkallën e formimit matematik të tij
dhe duhet vlerësuar.
PROCEDURA E VLERËSIMIT
Sistemi i vlerësimit që rekomandohet të zbatohet në gjimnaz është krahasimi me standardet
e vendosura.

38 / Matematika 11
Një nga problemet më të shpeshta dhe më të ndërlikuara me të cilat ndeshen aktualisht dhe
do të ndeshen deri në një të ardhme të afërt mësuesit në gjimnaz është gjykimi i statusit dhe i
përparimit të nxënësit në intervale të ndryshme kohe, vënia e notave. Është e qartë që vlerësimi
duhet të ndjekë qëllimet arsimore, objektivat mësimore, objektivat e vlerësimit. Vlerësimi duhet
të mbështetet mbi një sasi të mjaftueshme të dhënash në të cilat duhet të përfshihen edhe këto
elemente:
- vlerësimi me notë për përgjigjet në tabelë
- vlerësimi i aktivizimit nga vendi
- vlerësimi i ndihmesës gjatë punës në
grup
- testet në fund të kapitullit
- testet në fund të semestrit
- testet në fund të vitit
- provimet vjetore
- provimi i pjekurisë
Vlerësimi me notë
Siç dihet, nota përdoret për të paraqitur rezultatin e arritjeve dhe të përparimit akademik të
nxënësit. Ajo ka për qëllim të dëshmojë për arritjet e nxënësit, për të drejtuar te nxënësit e tij, për
të drejtuar zhvillimin vetjak të nxënësit deri në diplomimin e tij, për të informuar prindërit për
nivelin e përparimit të fëmijëve të tyre etj. Për këto arsye mendojmë që vlerësimi me notë është
i domosdoshëm në gjimnaz.
Nota nuk duhet vendosur si rezultante e arritjeve akademike dhe sjelljeve disiplinore të nxënësit,
por vetëm e arritjeve akademike. Ajo duhet bazuar në standarde të caktuara dhe në burime të
shumta.
Vlerësimi me notë mund të përdoret edhe për të matur punën në grup dhe aktivizimin
në klasë gjatë trajtimit të materialit mësimor. Për të bërë vlerësimin e punës në grup dhe
aktivizimin në klasë shërben listë-kontrolli.
Vlerësimi me notë mund të përdoret edhe për të matur punën në grup dhe aktivizimin
në klasë gjatë trajtimit të materialit mësimor. Për të bërë vlerësimin e punës në grup dhe
aktivizimin në klasë shërben vetëkontrolli.
Vlerësimi i punës në grup duhet të mbajë parasysh këto elemente:
- ndarja e informacionit me të tjerët;
- ndihmesa në ide;
- ndjekja e udhëzimeve;
- shfaqja e iniciativës gjatë zgjidhjes së problemeve në grup;
- dhënia e vlerësimeve për pikëpamjet e të tjerëve.
Vlerësimi i përgjigjeve me gojë të nxënësve ka qenë dhe mbetet një sfidë për mësuesin.
Për të vlerësuar përgjigjen për një pyetje të strukturuar duhet të mbahen parasysh të gjitha
kërkesat në të cilat është ndarë ajo dhe peshën e secilës kërkesë. Në hapin e mëtejshëm vlerësohet
realizimi i secilës kërkesë, duke përdorur metodën analitike dhe duke u bazuar në një përgjigje
ideale të parapërgatitur (e cila gjithashtu strukturohet sipas kërkesave të pyetjes, duke parashikuar
pikët e plota të mundshme për secilën kërkesë). Gjatë vlerësimit, elementet e të shkruarit duhen
vlerësuar jo të ndara nga përmbajtja.
Nxjerrja e notës përfundimtare. Jemi të mendimit se nota përfundimtare për një semestër
në matematikë duhet të bëhet duke marrë parasysh vlerësimet për pyetjet në tabelë, testet,
vlerësimin për punën në klasë, vlerësimin për punën me detyrat e shtëpisë, por me pesha të

Llibri-i-mesuesit-matematika-11

Llibri-i-mesuesit-matematika-11

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Llibri-i-mesuesit-matematika-11

Similaire à Llibri-i-mesuesit-matematika-11 (6)

Plus de Ferit Fazliu

Plus de Ferit Fazliu (20)

Llibri-i-mesuesit-matematika-11