1. e. Desarrollo del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio.
TEMA 4.1. FUERZAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
En este tema se introduce el concepto de vector para estudiar la magnitud, la
dirección y el sentido de las cantidades físicas.
Algunas cantidades pueden ser descritas totalmente por un número y una unidad;
por ejemplo las magnitudes de superficie, volumen, masa, longitud y tiempo reciben el
nombre de magnitudes escalares.
Por definición, una magnitud escalar es aquella que se define con sólo indicar su
cantidad expresada en números y la unidad de medida.
Existe otra clase de magnitudes que para definirlas, además de la cantidad
expresada en números y el nombre de la unidad de medida, se necesita indicar claramente
la dirección y sentido en que actúan; estas magnitudes reciben el nombre de magnitudes
vectoriales. Por ejemplo, cuando una persona visita la ciudad de Mérida, Yucatán, y nos
pregunta cómo llegar al puerto de Progreso, dependiendo de dónde se encuentre le diremos
aproximadamente a qué distancia está y qué dirección seguir. Lo mismo sucede cuando se
habla de la fuerza que se debe aplicar a un cuerpo, pues aparte de señalar su valor se debe
especificar si la fuerza se aplicará hacia arriba o hacia abajo, a la derecha o a la izquierda,
hacia el frente o hacia atrás.
Una magnitud vectorial se define por su origen, magnitud, dirección y sentido.
Consiste en un número, una unidad y una orientación angular.
Como se señaló anteriormente, una cantidad vectorial es aquel que tiene una
magnitud, dirección y sentido, como por ejemplo un automóvil que lleva una velocidad de
80 km/h al Noreste, o un desplazamiento de un móvil de 5 km a 40° al Suroeste.
Una magnitud vectorial puede ser representada gráficamente por medio de una
flecha llamada vector, la cual es un segmento de recta dirigido. Para simbolizar una
magnitud vectorial se traza una flechita horizontal sobre la letra que la define por
ejemplo: aFdv

y,, representan cada una un vector como son la velocidad, el
desplazamiento, la fuerza y la aceleración, respectivamente.
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN VECTOR
Un vector tiene las siguientes características
 Punto de aplicación u origen
 Magnitud. Indica su valor y representa por la longitud del vector de acuerdo con
una escala convencional.
 Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, y puede ser horizontal, vertical u
oblicua.
 Sentido. Indica hacia donde va el vector, ya sea hacia arriba, abajo, a la derecha o
a la izquierda, y queda señalado por la punta de la flecha.
Para representar un vector se necesita una escala convencional, la cual se establece de
acuerdo con la magnitud del vector y el tamaño que se le desee dar.
1

2. Vectores Coplanares y no Coplanares
Los vectores pueden clasificarse en coplanares, si se encuentran en el mismo plano
o en dos ejes, y no coplanares si están en diferente plano, es decir en tres planos.
Sistema de vectores colineales
Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o mas vectores se encuentran en la
misma dirección o línea de acción. Un vector colineal cera positivo si su sentido es hacia la
derecha o hacia arriba y negativo si su sentido es hacia la izquierda o hacia abajo.
Sistema de vectores concurrentes
Un sistema de vectores es concurrente cuando la dirección o línea de acción de los
vectores se cruza en algún punto, el punto de cruce constituye el punto de aplicación. A
estos vectores se les llama angulares o concurrentes porque forman un ángulo entre ellos.
Sistema de vectores paralelos.
Son aquellos vectores que por más que alargan su trayectoria, jamás se pueden unir.
Resultante y equilibrante de un sistema de vectores
La resultante de un sistema de vectores es el vector que produce él solo, el mismo
efecto que los demás vectores del sistema. Por ello un vector resultante es aquel capaz de
sustituir un sistema de vectores.
La equilibrante de un sistema de vectores, como su nombre lo indica, es el vector
encargado de equilibrar el sistema, por lo tanto tiene la misma magnitud y dirección que la
resultante, pero con sentido contrario.
Propiedades de los vectores (principio de transmisibilidad y propiedad de los vectores
libres.
Principio de transmisibilidad de los vectores.- Este principio se enuncia como “ El efecto
externo de un vector o fuerza no se modifica si es trasladado en su misma dirección, es
decir sobre su propia línea de acción”. Por ejemplo si se desea mover un cuerpo
horizontalmente, aplicando una fuerza, el resultado seá el mismo si empujamos el cuerpo o
si lo jalamos,
Propiedad de los vectores libres.- Los vectores no se modifican si se trasladan
paralelamente a sí mismos. Esta propiedad se utilizará al sumar vectores por los métodos
gráficos del paralelogramo y del polígono.
SUMA DE VECTORES.
Cuando necesitamos sumar 2 o más cantidades escalares de la misma especie lo hacemos
aritméticamente: por ejemplo 2 kg + 5 kg = 7 kg, 3 horas + 7 horas= 10 horas, 200 km + 300
2

3. km = 500 km. Sin embargo para sumar magnitudes vectoriales, que como ya se mencionó
aparte de magnitud tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una
simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos.
SUMA GRÁFICA de VECTORES
Para realizar la suma gráfica de dos vectores, utilizamos el "método del paralelogramo".
Para ello, trazamos en el extremo del vector A, una paralela al vector B y viceversa. Ambas
paralelas y los dos vectores, determinan un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo,
que contiene al punto origen de ambos vectores, determina el vector SUMA. Puedes ver un
ejemplo en el gráfico que va a continuación:
Si tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el método anterior,
sumando primero dos y a la suma, añadirle un tercero y así sucesivamente. Pero también
podemos hacerlo colocando en el extremo del primer vector, un vector igual en módulo,
dirección y sentido que el segundo. A continuación de éste, colocamos un vector equivalente
al tercero y así sucesivamente. Finalmente, unimos el origen del primer vector con el
extremo del último que colocamos y, el vector resultante es el vector suma.
http://usuarios.lycos.es/pefeco/sumavectores/sumavectores.htm
METODO PARALELOGRAMO
En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la
"cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El
vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que también
está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas”. En la figura 1 se ilustra el método.
Figura 1
3

4. En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.
Si la operación se hace gráficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño del
vector de color negro utilizando la misma escala que utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y el
azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el
ángulo que forma con una línea horizontal.
Pero no nos basta con saberlo hacer gráficamente. Tendremos que aprenderlo a realizar analíticamente. Para
ello se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno y si es un triángulo rectángulo se utilizará el
teorema de Pitágoras.
En el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese triángulo son las siguientes:
Ejemplo:
Supongamos que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza. Asumamos además que el ángulo entre
los vectores sumandos (el rojo y el azul) es igual a 60.0º y que sus módulos son respectivamente 100 dinas
(rojo) y 90.0 dinas (azul). Deseamos calcular el vector resultante.
Para ello empleemos la relación:
su dirección sería:
SUMA ANALITICA DE VECTORES.
Merli quiere saber donde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa. Conociendo
que camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego caminar 19 km al este. Hallar el
resultado grafico y analíticamente.
4

5. N Y
V2 = -19 km v1 = 13 km
O E
-6 13 X
S
DATOS ∑ VX = V1 + V2
V1 = +13 KM ∑ VX = 13+(-19)
V2 = -19 KM ∑ VX = 13-19 = -6
2.- Norma quiere saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es más corta si camino 15
km. al norte después 10 al sur para de ultimo caminar 12 km. al oeste. ¿Calcularle la
distancia o el punto donde Norma se encuentra?
15 km. al norte V1
10 km. al sur V2
12 km. al oeste V3
∑ƒy = V1 + V2
∑ƒy = 15 + (-16)
∑ƒy = 5
∑ƒx = V3
∑ƒy = .12
a2
= b2
+ C2
R= (Fy)2
= (Fx)2
R= (Fy)2
+ (Fx)2
R= (5)2
+ (-12)2
R= 25 + 144
R= 169
R= 13 km.
Problema por el método del Polígono
Un barco viaja 100 km hacia el norte en el primer día de su viaje, 60 km hacia el
noreste en el segundo día y 120 km al este en el tercer día. Encuéntrese el
desplazamiento resultante por el método del polígono.
El método del polígono para la adición
De vectores
5

6. Solución del método del polígono
1.- Elija una escala y determine la longitud de las flechas que corresponden a cada vector.
2.- Dibuje a escala una flecha que represente la magnitud y la dirección del primer vector.
3.-Dibuje la flecha del segundo vector de tal manera que su origen coincida con el extremo
del primer vector.
4.-Continué el procedimiento de unir el origen de cada nuevo vector con el extremo del
vector procedente, hasta que todos los vectores del problema hayan sido dibujados.
5.-Dibuje el vector resultante partiendo del origen (que coincide con el origen del primer
vector) y terminando en el extremo del ultimo vector.
6.-Mida con regla y transportador la longitud y el ángulo que forma el vector resultante
para determinar su magnitud y su dirección.
Solución: Una escala conveniente puede ser 20 km = 1 cm. Lo cual quiere decir que para el
desplazamiento de 100 km al norte se trazan 5 cm, para el desplazamiento de 60 km, se
trazan 3 cm y finalmente para el desplazamiento de 120 km al este se trazan 6 cm.
Realizando la medición con una regla, a partir de un diagrama a escala, se observa que la
flecha resultante del punto de partida hasta el final del desplazamiento de 120 km al este,
tiene 10.8 cm de longitud. Por lo tanto la magnitud del vector resultante en km es:
10.8 cm x 20 km/1 cm =216 km
100 km
Norte
60 km Noreste
120 km Este
Vector resultante R
ángulo θ Eje X
Eje Y
6

7. Si se mide el ángulo θ con un transportador, situando el centro del mismo en el origen de
partida (origen de los ejes coordenados X y Y) resulta que la dirección es de 41°.
Por lo tanto, el desplazamiento resultante es:
R = 216 km, 41°.
El método gráfico del polígono y en general los métodos gráficos aportan resultados
aproximados, los métodos analíticos como el Teorema de Pitágoras dan resultados más
precisos. A continuación se resolverá el problema por el Teorema de Pitágoras:
Primeramente se trazan los desplazamientos a partir de los ejes coordenados:
El primer desplazamiento de 100 km al Norte se traza sobre el eje Y hacia arriba,
el segundo desplazamiento de 60 km al noreste al no especificar el ángulo, se traza
exactamente a la mitad del primer cuadrante, es decir a 45° del eje X y Y, y el tercer
desplazamiento de 120 km al Este, se traza sobre el eje X a la derecha.
A continuación se construye un cuadro de fuerzas, aplicando las fórmulas de las
componentes rectangulares de un vector, y tomando en cuenta los signos de las
coordenadas en los cuadrantes respectivos:
Fx = F cos θ. Fy = F sen θ.
F Angulo Componente X Componente Y
100 km 0° 0 + 100 km
100 km Norte
60 km
Noreste
θ = 45°
120 km
Este
7

8. 60 km 45° 60 km cos 45° 60 km sen 45°
120 km 0° 120 km
________________ ______________
ΣFx = 60 km cos 45°+ 120 km ΣFy= 100 km + 60 km sen
45°
ΣFx = 60 km (0.7071) + 120 km ΣFy = 100 km + 60 km
(0.7071).
ΣFx = 42.42 km + 120 km= 162.42 km ΣFy = 100 km + 42.42 km = 142.42 km
Una vez obtenidas la sumatoria de fuerzas X y la sumatoria de fuerzas Y, se aplica
la fórmula del Teorema de Pitágoras que es la raíz cuadrada de la sumatoria de fuerzas X
al cuadrado y la sumatoria de fuerzas Y al cuadrado.
R = √ (Fx)2
+ (Fy)2
.
Sustituyendo valores tenemos:
R = √ (162.42 km)2
+ (142.42 km)2
.
R = √ 46663.7128
R = 216 km.
Ahora para obtener el ángulo del vector resultante, se aplica la función
trigonométrica tangente mediante la siguiente fórmula:
θ = tan-1
Fy θ = tan-1
= 142.42 = 0.8768. θ = tan-1
0.8768 = 41.24°.
Fx 162.42
Como se puede observar, tanto por el método gráfico del polígono como por el método
analítico del Teorema de Pitágoras, los resultados son los mismos.
R = 216 km θ = 41.24°.
Método del paralelogramo.
8

9. El método del paralelogramo, que es útil para sumar dos vectores a la vez, consiste
en dibujar dos vectores a escala con sus orígenes coincidiendo en su origen común, los
vectores forman de esta manera dos lados del paralelogramo, los otros dos lados se
construyen dibujando líneas paralelas a los vectores y de igual longitud, formándose así
el paralelogramo. La resultante se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo a
partir del origen común de las dos flechas que representan los vectores y el ángulo se
mide con el transportador.
1. Una cuerda se enreda alrededor de un poste telefónico, en un ángulo de 120º. Si
de uno de los extremos se tira con una fuerza de 60 N y del otro con una
fuerza de 20 N ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el poste telefónico?
Solución: utilizando una escala 1 cm = 10 N se tiene:
60 N x 1 cm = 6 cm. 20 N x 1 cm = 2 cm
10 N 10 N
En la figura anterior, se construyó un paralelogramo, dibujando a escala las dos fuerzas a
partir de un origen común y con un ángulo de 120° entre ellas. Al completar el
paralelogramo se puede dibujar la resultante como una diagonal desde el origen. Al medir R
y θ con una regla y un transportador se obtienen 52.9 Newtons para la magnitud y 19.1°
para la dirección. Por consiguiente,
R = (52.9 N, 19.1°).
Ahora al igual que como se hizo con el método del polígono, se realizará la obtención
del vector resultante del problema anterior con el método analítico del teorema de
Pitágoras.
θ= 120°
20 N Vector
resultante
R
60 N
9

10. Primeramente se trazan los dos vectores, teniendo como origen común el origen de
los ejes X y Y.
A continuación se procede a construir el cuadro de fuerzas. Nótese en el bosquejo
del problema, que el vector de 20 Newtons, forma un ángulo de 60° respecto al eje X en el
segundo cuadrante, ya que éste ángulo es suplementario al de 120° que es el ángulo que hay
entre los 2 vectores, por lo cual trabajaremos con el ángulo de 60°. Recuerde los signos de
los ejes X y Y en el primer y segundo cuadrantes, (+,+ y -,+ respectivamente).
Fuerza Angulo Componente X Componente Y
20 N 60° - 20 N cos 60° 20 N sen 60°
60 N 0° + 60 N 0
_______________ _______________
ΣFx = - 20 N cos 60° + 60 N ΣFy = 20 N sen 60°
ΣFx = - 20 N (0.5) + 60 N ΣFy = 20 N (0.8660).
ΣFx = -10 N +60 N ΣFy = 17.32 N
ΣFx = 50 N ΣFy = 17.32 N
Una vez obtenidas la sumatoria de fuerzas X y fuerzas Y se aplica el Teorema de
Pitágoras.
R = √ (Fx)2
+ (Fy)2
R = √ (50 N)2
+ (17.32 N)2
θ = 60 °
20 N
60 N
10

11. R = √ (2500 N) + (300 N)
R = √ 2800 N
R = 52.91 N
A continuación se obtiene el valor del ángulo de la resultante con la función trigonométrica
tangente.
θ = tan-1
Fy = θ = tan-1
= 17.32 N = 0.3464 = θ = tan-1
0.3464 = 19.1°.
Fx 50 N
Como se ve de nueva cuenta, los resultados tanto por el método gráfico como por el método
analítico son iguales:
R = 52.91 N, θ = 19.1°.
SUMA ANALITICA DE VECTORES.
1.- Merli quiere saber donde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa.
Conociendo que camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego caminar 19 km al este.
Hallar el resultado grafico y analíticamente.
N Y
V2 = -19 km v1 = 13 km
O E
-6 13 X
S
DATOS ∑ VX = V1 + V2
V1 = +13 KM ∑ VX = 13+(-19)
V2 = -19 KM ∑ VX = 13-19 = -6
2.- Norma quiere saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es más corta si camino 15
km. al norte después 10 al sur para de ultimo caminar 12 km. al oeste. ¿Calcularle la
distancia o el punto donde Norma se encuentra?
15 km. al norte V1
11

12. 10 km. al sur V2
12 km. al oeste V3
∑ƒy = V1 + V2
∑ƒy = 15 + (-16)
∑ƒy = 5
∑ƒx = V3
∑ƒy = .12
a2
= b2
+ C2
R= (Fy)2
= (Fx)2
R= (Fy)2
+ (Fx)2
R= (5)2
+ (-12)2
R= 25 + 144
R= 169
R= 13 km.
θ= Tan-1
Fy/Fx = tan-1
5/12= tan-1
0.4166= 22.61°.
3.- Tres sogas están atadas a una estaca, y sobre ella actúan tres fuerzas: A = 20
libras al Este, B = 30 libras a 30° al Noroeste; y C = 40 libras a 52° al Suroeste.
Determine la fuerza resultante de forma analítica.
Solución: primeramente se trazan los vectores en las coordenadas cartesianas:
12

13. Primeramente se construye el cuadro de fuerzas.
F ángulo Componentes X Componentes Y
20 lb 0° 20 lb 0
30 lb 30° -30 lb cos 30° 30 lb sen 30°
40 lb 52° -40 lb cos 52° -40 lb sen 52°
_____________________ ____________________
ΣFx = 20 lb-30 lb cos 30°- 40 lb cos 52° ΣFy= 30 lbsen30°-40 lb
sen 52°
ΣFx = 20 lb- 30 lb (0.8660)-40 lb (0.6156) ΣFy= 30 lb (0.5)-40 lb
(0.7880).
ΣFx = 20 lb- 25.98 lb- 24.62 lb ΣFy= 15 lb- 31.52 lb
ΣFx = 20 lb- 50.6 lb ΣFy= -16.52 lb
ΣFx = - 30.6 lb ΣFy= -16.52 lb
Una vez obtenidos la sumatoria de fuerzas X y Y, se aplica la ecuación del teorema
de Pitágoras para obtener la resultante. Por los signos de las componentes X y Y (ambos
negativos), la resultante se graficará en el tercer cuadrante.
R = √ (Fx)2
+(Fy)2
.
R = √ (- 30.6 lb)2
+ (- 16.56 lb)2
.
R = √ 1210.59 lb
R = 34.8 lb
Para obtener el ángulo de la resultante, se aplica la función trigonométrica tangente:
A = 20 lb E
B = 30 lb
30° NO
θ = 30°
C = 40 lb, 52°
SO
θ = 52°.
13

14. θ = tan-1
Fy θ = tan-1
│-16.52 lb │ = tan-1
0.5398 = 28.36°.
Fx - 30.6 lb
R = 34.8 lb, 28.36°. Al Suroeste.
El ángulo es debajo del eje x en el tercer cuadrante. La dirección o ángulo del vector
resultante también se puede expresar como 208.36° al sumar los 180° correspondientes a
los dos primeros cuadrantes al valor de 28.36°, por lo cual la respuesta también se puede
expresar como:
R = 34.8 lb, 208.36° medidos desde el primer cuadrante.
θ= Tan-1
Fy/Fx = tan-1
5/12= tan-1
0.4166= 22.61°.
COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA O VECTOR EN EL PLANO.
Componentes rectangulares de una fuerza.
Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se
les denomina componentes.
Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes
rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares del vector
rojo.
Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones
14

15. Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del vector a. y
Las 2 últimas son para hallar el vector a (Teorema de Pitágoras a partir de sus
componentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la dirección del vector a
(ángulo) con la función trigonométrica tangente.
Ejemplo:
Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º. Encuentre las
componentes rectangulares y represéntelas en un plano cartesiano.
El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo igual
a 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X . La componente en Y tiene módulo
igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y. Esto se ilustra en la figura 3.
15

16. SUMA DE VECTORES EMPLEANDO EL METODO DE LAS COMPONENTES
RECTANGULARES.
Cuando vamos a sumar vectores, podemos optar por descomponerlos en sus
componentes rectangulares y luego realizar la suma vectorial de estas. El vector
resultante se logrará componiéndolo a partir de las resultantes en las direcciones
x e y.
Ejemplo:
Sumar los vectores de la figura 1 mediante el método de las componentes
rectangulares.
16

17. Lo primero que debemos hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de esta forma
orientarnos mejor. Esto se ilustra en la figura 2
A continuación realizamos las sumas de las componentes en X y de las componentes en
Y:
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS
COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO
Considere una fuerza F actuando en el origen O del sistema de coordenadas
rectangulares X, Y, Z.
Para definir la dirección de F, se dibuja el plano vertical OBAC que contiene a F
(véase la figura de abajo). Este plano pasa a través del eje vertical y su orientación está
definida por el ángulo Ø que este formo con el plano XY. La dirección de F dentro del plano
está definido por el ángulo Øy que F forma con el eje Y. la fuerza F se puede descomponer
en una componente vertical Fy y una componente horizontal Fh; las componentes escolares
correspondiente son:
yhyy senFFFF θθ == cos
17

18. F
F
FsenF
F
F
sen
y
y
yh
h
y
=
=
=
θ
θ
θ
cos
sen Ø =
h
z
F
F
senFF hz = Ø
FsenFz = Ø y sen Ø
Fh se puede descomponer en dos componentes rectangulares Fx y Fz a lo largo de los
ejes X, Y, Z, respectivamente. Esta operación se lleva acabo en el plano X, Z. Se obtiene las
siguientes expresiones para los componentes escolares correspondientes a Fx y Fz Fx.
θθθ
θθθ
SenSenFSenFF
CosSenFCosFF
yh
yhx
==
==
2
Por lo tanto, la fuerza dada F se ha descompuesto en 3 componentes vectoriales
rectangulares Fx y Fy Fz, que están dirigidas a lo largo de los tres ejes coordenados.
Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos OAB y OCD se escribe:
F2
= (OA) 2
= (OB)2
+ (BA)2
= F2
y+ F2
h
F2
= (OC)2
= (OD)2
+ (DC)2
= F2
x+ F2
z
Eliminando F2
h de estas dos ecuaciones y resolviendo F, se obtiene la siguiente
relación entre la magnitud de F y sus componentes escalares rectangulares.
222
2222
222
)()()(
)()(
zFFyFxF
yFzFxFF
FhFhF
++=
++=
+=
cos Ø=
h
x
F
F
Fx = Fh cos Ø
Fx Fsen Øy cos Ø
La relación existente entre la fuerza F y sus tres componentes Fx y Fy Fz se
visualiza más fácilmente si, como se muestra en la figura se dibujo una caja que tenga Fx y
18

19. Fy Fz como aristas. Entonces, la fuerza F se representa por la diagonal OA de dicha caja. La
figura b muestra el triángulo rectángulo OAB empleado para derivar primera de las
fórmulas Fy = F cos Øy. En las figuras 2,31a y c, también se han dibujado otros dos
triángulos rectángulos. OAD y OAE. Se observa que estos triángulos ocupan en la caja
posiciones comparables con la del los triángulos OAB. Al enunciar Øx y Øz, como los ángulos
que F forman con los ejes x y z, respectivamente, se pueden derivar dos fórmulas similares
a Fy = F cos Øy entonces se escribe.
Los tres ángulos zyx yθθθ ,, definen la dirección de fuerza F; éstos son los que se
utilizan con mayor frecuencia para dicho propósito, más comúnmente que los ángulos yyθ
Ø introducidos al principio de esta sección. Los cosenos de zyx yθθθ ,, se conocen como
los cosenos directores de la fuerza F.
19

20. Introduciendo los vectores unitarios i, j y k, dirigidos, respectivamente, a lo largo
de los x, y y = figura 2.32 F puede expresarse de la siguiente forma.
Donde los componentes escalares Fx y Fy Fz están definidas por las relaciones (2.19).
Ejemplo 1. Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60º, 45º y 120º con los ejes x y y
z, respectivamente. Encuentre los componentes Fx y Fy Fz de la fuerza.
Sustituyendo F = 500 N, º120º45,º60,º60 ==== zyyx yθθθθ en las formulas se
escribe.
zzyyxx FFFFFF θθθ coscoscos ==
Llevando los valores obtenidos para las componentes escalares de F a la ecuación
(2.20) se tiene.
F = Fxi + Fyj + Fzk
Como en el caso de los problemas bidimensionales, un signo positivo indica que la
componente tiene el mismo sentido que el eje que le corresponde y un signo negativo indica
que esta tiene un sentido opuesto al del eje.
El ángulo que forma una fuerza F con un eje siempre debe ser medido a parir del
lado positivo del eje y siempre debe estar entre 0 y 180º. Un ángulo xθ menos que 90º
(agudo) indica que F (la cual se supone que está fija a 0x está en el mismo lado del plano yz
que el eje x positivo; entonces cos xθ y Fx serán positivos. Un ángulo xθ mayor que 90º
(obtuso) indica que F está en el otro lado del plano yz; entonces cos xθ y Fx serán
20

21. negativos. En el ejemplo 1. Los ángulos yx yθθ son agudos, mientras que yθ es obtuso;
consecuentemente Fx y Fy son positivos mientras que Fz es negativo.
Sustituyendo las expresiones obtenidas para Fx y Fy Fz en (2.19) se obtiene la
siguiente expresión.
La cual muestra que la fuerza F puede ser expresada como el producto del escalar F
y un vector.
Obviamente, el vector λes un vector cuya magnitud es igual a 1 y cuya dirección es
la misma que la de F (figura 2.33). El vector λ se conoce como el vector unitario a lo largo
de la línea de acción de F. A partir de (2.22) se observa que las componentes del vector
unitario λ son iguales, respectivamente, a los cosenos directores de la línea de acción de
F:
Se debe señalar que los valores de los tres ángulos zyx yθθθ ,, no son
independientes. Recordando que la suma de los cuadrados de las componentes de un vector
es igual a su magnitud elevada al cuadrado se escribe.
21

22. En el caso del ejemplo 1, una vez que se han seleccionado los valores
,º45º60 == yx yθθ el valor de zθ debe ser igual a 60º o a 120º para que se cumpla la
identidad (2.24)
Cuando se conocen las componentes Fx y Fy Fz de una fuerza F, la magnitud F de la
fuerza se obtiene a partir de las relaciones se pueden resolver para los cosenos directores.
Y se pueden encontrar los ángulos zyx yθθθ ,, que caracterizan la dirección de la
fuerza F.
Ejemplo 2. Una fuerza F tiene las componentes Fx = 20Ib, Fy=-30Ib y Fz = 60Ib.
Determine su magnitud F y los ángulos zyx yθθθ ,, que está forma con los ejes
coordenados.
A partir de la fórmula (2.18) se obtiene.
2222222
)()()( zyxyzx FFFFFFFF ++=++=
Sustituyendo los valores de las componentes y la magnitud F en las ecuaciones se
escribe.
F
F
Cos
F
F
Cos
F
F z
z
y
y
x
x === θθθcos
Calculando sucesivamente cada uno de los cocientes y su respectivo arco coseno se
obtiene.
Estos cálculos pueden llevarse a cabo fácilmente con la ayuda de una calculadora.
Otro tipo de problemas de vectores en el espacio, es cuando se dan como datos,
solamente 2 de los ángulos directores, y una sola de las componentes, y se pide hallar la
Fuerza resultante F, las otras dos componentes y el ángulo restante. Para ilustrar como se
resuelven este tipo de problemas considere el siguiente ejemplo.
1.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección dada
por los ángulos Θy=55° y Θz=45°. Sabiendo que la componente de la fuerza en x
(Fx)= -500 lb, determine a) las otras componentes (Fy y Fz) y la magnitud de la
fuerza y b) el valor de Θx.
22

23. Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θx.
cos2
Θx+cos2
Θy+ cos2
Θz= 1 despejando cos2
Θx tenemos:
cos2
Θx= 1- (cos2
Θy+ cos2
Θz).
sustituyendo valores: cos2
Θx= 1- (cos2
55°+ cos2
45°)
cos2
Θx= 1- (0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711. Este resultado es el resultado del
coseno cuadrado de Θx, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el
valor del coseno de Θx:
cos Θx= √0.1711= 0.4136.
Una vez obtenido el valor del coseno de Θx (0.4136) se procede a hallar el valor
de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fx, tomando su valor
absoluto, es decir de forma positiva. con la ecuación:
Fx= F cos Θx. despejando F tenemos: F= Fx/cos Θx
Sustituyendo valores: F= 500/0.4136= 1209 lb.
Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las
otras dos componentes de la fuerza Fy y Fz con las ecuaciones ya conocidas:
Fy= Fcos Θy y Fz= Fcos Θz.
Sustituyendo valores: Fy= 1209 Nx cos 55° Fy= 1209 N x 0.5735
Fy= +694 N
Fz= 1209 N x cos 45° F= 1209 N x 0.7071= +855 lb.
Finalmente se halla el valor del ángulo Θx, mediante la siguiente ecuación:
Fx= Fcos Θx. Despejando cos Θx= Fx/F. Sustituyendo valores tenemos: cos
Θx= -500 lb/1209 lb= cos Θx= -0.4135.
Θx= cos-1
-0.4135. Θx= 114.4°.
Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo
negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.
Recapitulando: las respuestas son:
a) Fy= +694 lb, Fz= +855 lb, b) F= 1209 lb, c) Θx= 114.4
e. Evaluación del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio.
1.- Se aplica una fuerza de 260 libras a 75° al Noroeste. ¿Cuál es la componente y de
dicha fuerza.
A. 240 N
B. 245 N
C. 248 N
D. 251 N
E. 255 N
2.- Con los siguientes datos, calcula la resultante del sistema de fuerzas todos a partir
del sistema de coordenadas, considerando los ángulos a partir del eje x positivo. F1=100
N,a 0°, F2=50 N, a 30°, F3=40 N a 120°, F4=50 N a 210°.
A. R =94.43 N, 65.2°
B. R =78.2 N, 63.18°
C. R =95.55 N, 44.2°
D. R =82.17 N, 47.7°
23

24. E. R =87.17 N, 23.41°
3.- Una fuerza en el espacio, tiene un valor de 2500 N, y sus componentes Fx =
-1060 N, Fy =+2120 N, Fz =+795 N. Calcular los ángulos de dicha fuerza, con
respecto a los ejes x, y, y z (Θx, Θy, Θz)
A. 135.3°, 60°, 85.6°
B. 118°, 75°, 65.4°
C. 115.1°, 32°, 71.5°
D. 120.2°, 45°, 77.7°
E. 145.1°, 50°, 75.2°
4.- Son los tipos de vectores que por más que prolonguen su trayectoria, nunca se van a
unir.
A. Perpendiculares
B. Concurrentes
C. Colineales
D. Paralelos
E. Libres
5.- Es el método gráfico para la obtención del vector resultante, el cuál es aplicable a sólo
2 vectores a la vez.
A.- Paralelogramo
B.- Polígono
C.- Ley de Senos
D.- Ley de cosenos
E.- Teorema de Pitágoras
e. Bibliografía específica del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el
espacio
1.- Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarte reimpresión de
la Segunda Edición 2004.
2.- Mecánica vectorial para Ingenieros. Ferdinand Beer, Russell Johnstons. Estática.
Ed. McGraw-Hill. Sexta edición 2002.
24

25. d. Desarrollo del Tema 4.2. Equilibrio de una partícula.
La palabra estática se deriva del griego statikós que significa inmóvil. En virtud de
que la dinámica estudia las causas que originan el reposo o movimiento de los cuerpos,
tenemos que la estática queda comprendida dentro del estudio de la dinámica y analiza
las situaciones que permiten el equilibrio de los cuerpos. Los principios de la estática se
sustentan en la primera y tercera ley de Newton.
En general, la estática estudia aquellos casos en que los cuerpos sometidos a la acción
de varias fuerzas no se mueven, toda vez que se equilibran entre sí. También considera
los casos en que la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento
es nula y el cuerpo sigue desplazándose con movimiento rectilíneo uniforme.
En esta sección nos ocuparemos del estudio del equilibrio de los cuerpos rígidos,
aquellos cuya deformación provocada por una fuerza es mínima al compararla con su
tamaño. Ejemplos: vigas de madera, armaduras de acero o hierro colado. bolas de acero
o vidrio, herramientas metálicas, cascos de fútbol americano, bicicletas, motocicletas
entre otros.
Aquí se supone que los cuerpos son perfectamente rígidos, aunque en realidad las
estructuras y máquinas no son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de las
cargas a que están sometidas; pero al ser tan pequeñas estás deformaciones, no afectan las
condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura en consideración.
Un Cuerpo Rígido.- es aquel que no se deforma, se supone que la mayoría de los
cuerpos considerados en la mecánica elemental son rígidos. Sin embargo, las estructuras y
maquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de las cargas
que actúan sobre ellos. A pesar de esto generalmente estas deformaciones son pequeñas y
no afectan considerablemente las condiciones de equilibrio o de movimiento de la
estructura que se esté considerando.
Otra de las Leyes de Newton que sirven de base al estudio de la estática es la
Tercera Ley de Newton conocida como la Ley de la acción y la reacción, la cual se
enuncia de la siguiente forma:
“para cada fuerza llamada acción debe de haber otra fuerza llamada reacción, que
es de la misma magnitud, pero es opuesta”,
Se conocen y se han estudiado diferentes métodos para determinar la resultante de
diferentes fuerzas que actúan sobre un cuerpo, pero es posible que estas fuerzas sean
iguales entre si o que su resultante sea cero, en este caso el efecto de estas fuerzas dará
como resultado que el cuerpo en cuestión esté en estado de equilibrio, según la ley antes
mencionada. Por tanto se puede enunciar que: “Cuando la resultante de todas las fuerzas
que actúan sobre un cuerpo es igual a cero, dicho cuerpo estará en equilibrio”.
El enunciado anterior corresponde a la primera condición del equilibrio que también
se puede enunciar como: “Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si y solo si
la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero”
Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden representarse por vectores
deslizantes.
25

26. Dos conceptos fundamentales asociados con el efecto de una fuerza sobre un
cuerpo rígido son el momento de una fuerza con respeto a un punto y el momento de una
fuerza con respecto a un eje.
Como la determinación de estas cantidades involucra el cálculo de productos
escalares y vectoriales de dos vectores cualquier sistema de fuerzas que actúa sobre un
cuerpo rígido puede ser remplazado por un sistema equivalente que consta una fuerza, que
actúa en cierto punto, un par este sistema recibe el nombre de sistema fuerza-par
Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden dividir en dos grupos: 1)
fuerzas externas y 2) fuerzas internas.
Las fuerzas externas representan la acción que ejerce otros cuerpos sobre el
cuerpo rígido. Ellas son las responsables del comportamiento del cuerpo rígido, las fuerzas
externas causaran que el cuerpo se mueva o aseguraran que este permanezca en reposo.
Las fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las partículas las que
conforman el cuerpo rígido .si el cuerpo rígido esta constituido estructuralmente por varias
partes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas partes también se definen como fuerzas
internas.
Como ejemplos de fuerzas externas imaginase y considere las fuerzas que actúan
sobre un camión descompuesto que esta siendo jalado hacia delante por varios hombres
mediante cuerdas unidas ala defensa delantera. Las fuerzas externas que actúan sobre ese
camión se muestran en un diagrama de cuerpo libre.
Un cuerpo sobre el cual actúan dos fuerzas, estará en equilibrio, si las dos fuerzas
tienen la misma magnitud y la misma línea de acción pero en sentidos opuestos. Entonces, la
resultante de las dos fuerzas será cero, un ejemplo de este caso lo podemos explicar en la
siguiente. Fig.
Otro caso de equilibrio de una partícula en equilibrio esta representado en la
siguiente. Fig. Donde se muestran cuatro fuerzas actuando sobre un punto A. En el
siguiente. Ejemplo la resultante que se obtiene es igual a cero por lo tanto el cuerpo A esta
en equilibrio.
100 Lib.
-100 Lib.
26

27. º30)400(º30)200(300 senLibsenLibLibFx −−=∑
0200100300 =−− LibLibLib
º30cos)400(º30cos)200(2.173 LibLibLibFy +−−=∑
-173.2 Lib.-173.2 Lib. + 346.4 Lib. = 0
EQUILIBRIO DE FUERZAS CONCURRENTES
1.- Isaías quiere colocar un foco en su casa, utilizando una de las paredes y el techo para
colgar 2 cuerdas tomando en cuenta que la segunda tiene un ángulo de 40º y el peso del
foco es de 2 kg, como lo indica la figura.
Sen θ = 0
H
Sen 40º = Vy
V2
Cos θ = CA
H
Cos 40º = Vx
V2
F4 = 400 lib.
F1 = 300 lib.
F2 = 200 lib.
F3 = 20lib.
30º
30º
27
4 0 º
W = p e s o = 2 k g
V 2
V
= 2
2

28. ∑ Fy= F1 (COS 40O
) –W= 0 ∑Fx= F1 (SENO 40O
) –F2=0
F (.7660)-2Kg=0 F2= (2.610)(.6427)
F(.7660)=2Kg F2=1.677 Kg.
F=2Kg/.7660
F= 2.610 Kg
2.- Rubisel quiere colocar un ventilador en su casa, utilizando 2 cuerdas, la primera un
ángulo de 60º y el segundo sobre el eje de las X teniendo el peso del ventilador un valor de
10 kg. Calcular los valores de F1 y F2.
seno C.o
H
Sen 40º Vy
X2
Vy= (seno60º) (V2)
Coseno C.o
H
∑Fy=F1 (COS 60)-W=0 ∑ Fx= f1 (SENO 60) –F2=0
F1 (.5)-10Kg=0 (20)(.8660)-F2=0
F1(.5)= 10Kg F2=17.32Kg
F1=10/.5
F1=20 Kg
3.- Un peso de 200 libras, es suspendido con una estructura metálica, como se muestra en
la figura, ¿Calcular la tensión de la cuerda y la comprensión de la varilla supuesta sin más.
28
6 0 º
6 0 º
1 0 k g
1 0 k g
V 2
V 2
V 1
V 1
V 1
X 2

29. Sen Q= C.O
H
Sen 20º Vy
H
COS C.A
H
COS 20º Vx
H
H= (seno 20º)/ (CO)
Vx=(coseno 20º) (H)
200lb/ .3420 ( 9396)(584.79)
Vy= 584.79 lb Vx= 549.47 lb
4.- Una pelota de 100 N suspendida de un cordel es tirada hacia un lado por otro cordel
B y mantenida de tal forma que el cordel A forme un ángulo de 30° con la pared vertical
. Dibuje el Diagrama de cuerpo libre y halle los valores de las cuerdas A y B.
B
A
29
2 0 º
C
2 0 0 b1

30. Para las componentes horizontales:
Σ fx =0
Σ fx =-A cos 60° + B = 0
Σ fx = -A 0.5 + B = 0
B = 0.5 A.........1
Componentes verticales
Σfy =0
Σfy= A sen 60°-100 N=0
(A 0.8660) – 100N=0
A= 100N/0.8660= 115.47 N
Sustituyendo en la fórmula 1
B = 0.5 A
B = 0.5 (115.47)
B = 57.73 N
30°
90°
60°
A
B
30
100 N

31. 5.- Una pelota de 200 N cuelga de un cordel anulado a otros dos cordeles encuéntrese
las tensiones en los cordeles a, b, c de acuerdo a la siguiente figura.
Componentes horizontales
Σfx =0
Σfx = B cos 45°-A cos 60° = 0
Σfx = B 0.7071–A 0.5=0
Σfx= B 0.7071= A 0.5
Despejando A:
A =B 0.7071/0.5
A = B 1.4142 ecuación 1.
A = 1.4142 B ........1
Componentes verticales:
Σfy=A sen 60° + B sen 45°- 200 N = 0
Σfy=A 0.8660 + B 0.7071- 200N=0
Σfy= A 0.8660 + B 0.7071 = 200N
Sustituyendo el valor de A de la ecuación 1:
Σfy= B 1.4142 (0.8660) + B 0.7071=200 N
Σfy= B 1.2246 + B 0.7071= 200N
Σfy= B 1.9317= 200 N
Despejando B tenemos:
Σfy=B= 200/1.9317= 103.53 N
A= 103.53 x 1.4142= 146.41 N
Los resultados de las tensiones son:
A = 103.53 N; B = 146.41 N; C= peso del objeto = 200 N.
A
B
60° 45°
C
200 N
31

32. 6.- Dos niños sostienen una piñata cuyo peso es de 196 Newtons, formando un ángulo de
140° con ambas cuerdas. Calcular la fuerza aplicada por cada niño.
Diagrama de cuerpo libre
140°
T1T2
20°20°
T1T2
32
196
N
196
N

33. Como el cuerpo está en equilibrio tenemos que:
ΣFx = 0 = T1x+ (-T2x)
ΣFy = 0 = T1y +T2y-P
Sustitución :
ΣFx = T1 cos 20°- T2 cos 20° = 0
ΣFx = T1 cos 20° = T2 cos 20°.
T1 = T2.
ΣFy = T1 sen 20° + T2 sen 20°-196 N = 0
ΣFy = T1 sen 20° + T2 sen 20° = 196 N
como T1= T2= T
2 T sen 20° = 196 N
T = 196 N = 196 N = 286.54 N
2 sen 20° 2 x 0.3420
Donde la fuerza aplicada por cada niño es de 286.54 N.
7.- Un cuerpo cuyo peso es de 500 N está suspendido de una armadura como se ve en la
figura. Determinar el valor de la tensión de la cuerda y el empuje de la barra.
Como el cuerpo está en equilibrio:
ΣFx = 0 = E + (-Tx)
ΣFy = 0 = Ty + (-P)
Sustitución:
T
E
35°
500
N
E
T
Tx
T y
35°
33
P

34. ΣFx = E – T cos 35°= 0
E = T cos 35°.
ΣFy = T sen 35°- P = 0
T sen 35° = P
T = P_____ = 500 N = 871.68 N
sen 35° 0.5736
Sustituyendo el valor de la tensión para encontrar el del empuje tenemos:
E = T cos 35° = 871.68 N x 0.8192 = 714.08 N.
8.- Calcular el ángulo, la tensión y el empuje de la siguiente armadura:
Solución: Primero debemos hallar el ángulo que forma la tensión T con el eje x: Vemos que
la componente y del triángulo rectángulo es de 3 metros y la componente x es de 5
metros, por lo cual vienen siendo los catetos opuesto y adyacente del ángulo en cuestión
por lo cual se puede utilizar la función trigonométrica tangente: (cateto opuesto entre
adyacente):
tan θ= 3 m = 0.6 . θ = tan-1
0.6 = 31°.
5 m
Una vez hallado el ángulo ya podemos hallar la tensión y el empuje:
ΣFx = E- T cos 31°= 0
ΣFx = E = T cos 31°.
ΣFx = E = T 0.8571
ΣFy = T sen 31°- P = 0
ΣFy = T 0.5150-900 N = 0
T
E
θ= ¿
900
N
E
T
Tx
T y
θ= ¿
3
m
5 m
900 N
34

35. ΣFy = T 0.5150 = 900 N
despejando a T tenemos:
T = 900 N = 1747.57 N
0.5150
Ahora sustituimos el valor de la tensión para hallar el empuje:
E = T 0.8571. E = 1747.57 N x 0.8571 = 1498.02 N.
e. Evaluación del tema. 4.2. Equilibrio de una partícula
1. Dos cuerdas A y B sostienen a un peso de 420 newtons, la cuerda A forma un ángulo de
45° respecto al techo en el primer cuadrante y la cuerda B está atada al muro vertical al
otro extremo con un ángulo de 60° en el cuarto cuadrante. Calcule las tensiones de las
cuerdas A y B.
A. A= 1325 N, B= 1275 N
B. A= 1210 N, B= 1340 N
C. A= 1410 N, B= 1150 N
D. A= 1320 N, B= 1575 N
E. A= 1567 N, B= 1785 N
2.- Dos cables A y B sostienen un peso de 340 Newtons y ambas penden del techo. La
cuerda A se encuentra en el segundo cuadrante y forma un ángulo de 30° respecto del
techo, la cuerda B se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo de 60° respecto
del techo. Encuentre las tensiones de las cuerdas A y B.
A. A= 160 N, B= 285 N
B. A= 190 N, B= 222 N
C. A= 150 N, B= 278 N
D. A= 170 N, B= 294 N
E. A= 190 N, B= 280 N
3.- Encuentre las tensiones de dos cuerdas A y B que sostienen a un peso de 80 Newtons.
La cuerda A se encuentra sobre el eje x en el segundo cuadrante y la cuerda B, forma un
ángulo de 40° respecto al techo en el primer cuadrante.
A.- A = 85.2 N, B =120 N
B.- A = 95.3 N, B =124 N
C.- A = 78.8 N, B = 98 N
D.- A = 89.5 N, B = 90 N
E.- A =75.3 N, B =95 N
4.- Las ecuaciones que representan la primera condición de equilibrio son:
A. ΣM=0
B. ΣFz=0
C. ΣFy=0
D. ΣFx=0
E. ΣFx=0 ΣFy=0
35

36. 5.- Encontrar el valor de las tensiones T1 y T2 de dos cuerdas que sostienen un peso de
100 Newtons y ambas forman ángulos de 10° con respecto al techo, en el primer y
segundo cuadrantes respectivamente.
A. T1 y T2=50 N
B. T1 y T2=33.33 N
C. T1 y T2=288.03 N
D. T1 y T2=75.5 N
E. T1 y T2=83.33 N
f. Bibliografía específica del tema 4.2. Equilibrio de una partícula.
Física General, Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural.
Cuarta reimpresión de la Segunda Edición. 2004.
d. Desarrollo del tema 4.3. Momento de una fuerza.
Como se vio anteriormente la primera condición del equilibrio llamada equilibrio
traslacional, se enunciaba de la siguiente forma: “Un cuerpo se encuentra en equilibrio
traslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero”.
Cuyas ecuaciones son las siguientes:
ΣFx= 0 y ΣFy= 0.
Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio de traslación, sin embargo puede estar
girando sobre su propio eje debido a 2 o más fuerzas. Así por ejemplo, la rotación del
volante de un automóvil se debe a la capacidad que tiene cada fuerza para hacerlo girar.
Para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, debe cumplirse la segunda
condición de equilibrio que dice: “para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, la
suma de los momentos o torcas de las fuerzas que actúan sobre él respecto a
cualquier punto debe ser igual a cero”. Matemáticamente esta ley se expresa con la
ecuación:
ΣM=0.
Antes de proceder a resolver problemas en los que se aplica la segunda condición
del equilibrio, veamos algunos conceptos básicos relacionados con el:
Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea de acción común, tal
vez exista equilibrio trasnacional pero no necesariamente equilibrio rotacional. En otras
palabras, quizá no se mueva ni a la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia
abajo, pero puede seguir girando.
La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria que se extiende
indefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones. Cuando las líneas de acción de
las fuerzas no se intersectan en un mismo punto, puede haber rotación respecto a un punto
llamado eje de rotación.
La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de la fuerza se llama brazo
de palanca de la fuerza, el cual determina la eficacia de una fuerza dada para provocar el
movimiento rotacional. Por ejemplo, si reejerce una fuerza F a distancias cada vez mayores
del centro de una gran rueda, gradualmente será más fácil hacer girar la rueda en relación
con su centro.
Se ha definido la fuerza como un tirón o un empujón que tiende a causar un
movimiento. El momento de torsión o torca M se define como la tendencia a producir un
cambio en el movimiento rotacional. En algunos libros se le llama también momento de la
fuerza, como ya hemos visto, el movimiento rotacional se ve afectado tanto por la
36

37. magnitud de la fuerza F como por su brazo de palanca r, Por lo tanto definiremos el
momento de torsión como el producto de una fuerza por su brazo de palanca.
Momento de torsión = fuerza x brazo de palanca.
M = F r
Es preciso entender que en la ecuación anterior r se mide en forma perpendicular a
la línea de acción de la fuerza F. Las unidades del momento de torsión son las unidades de
fuerza por distancia, por ejemplo Newton-metro N.m (joule) y libra-pie (lb.ft).
Cuando una fuerza tiende a girar a un objeto en el sentido de las manecillas del
reloj, se le asigna un signo negativo, y cuando tiende a girar al objeto en el sentido
contrario a las manecillas del reloj se le asigna un signo positivo.
El momento de una fuerza cuando dicha fuerza aplicada a un objeto también puede
calcularse con la siguiente ecuación:
M = F sen θ r.
Se utiliza el seno del ángulo, puesto que la componente vertical de la fuerza (Fy) es
la componente por la cual el objeto tiende a girar.
Ejercicios
1.- Isaías quiere reparar su bicicleta con la ayuda de una llave de perico aplicándole una
fuerza de 850 Newton y un ángulo de 60° para hacer girar a la tuerca. Calcular el momento
de la fuerza si la llave mide 35 cm y se aplica en el sentido contrario a las manecillas del
reloj.
Datos
F = 850 N
θ = 60°
r = 35 cm = .35 m
M = ?
M = F sen θ r
M = (850 N) (sen 60°) (0.35 m)
M = 257.64 N. m
37
6 0 º
8 5 0 N

38. 2.- Se ejerce una fuerza de 20 Newtons sobre un cable enrollado alrededor de un tambor
de 120 mm de diámetro. ¿Cuál es el momento de torsión producido aproximadamente al
centro del tambor, si la fuerza se aplica en el sentido de las manecillas del reloj?.
Datos: Fórmula: Sustitución
F = -20 N M = Fr M = -20 N x 0.06 m.
r = 0.06 m M = -1.20 N.m = -1.20 J
M=
Momento de torsión resultante.
En ocasiones los cuerpos están sometidos a 2 o más fuerzas que lo mantienen en
equilibrio, por lo tanto se debe hallar un momento de torsión resultante que se obtiene al
sumar los momentos de torsión de cada una de las fuerzas, que se determina con la
ecuación:
120 mm
F = 20 N
38

39. MR = M1 + M2 + M3 + M4 + ….. Mn
Donde MR= Momento de torsión resultante.
M1, M2. M3, M4= Momentos de torsión de las fuerzas 1, 2, 3, 4 y n fuerzas que se
aplican al cuerpo.
En este tipo de problemas se deben aplicar las 2 condiciones del equilibrio
(trasnacional y rotacional), para que el cuerpo esté totalmente en equilibrio. Al aplicar la
primera condición de equilibrio, las fuerzas que actúan hacia arriba se consideran
positivas y las que actúan hacia abajo negativas.
Para calcular el momento de torsión resultante en un cuerpo siga los siguientes
pasos:
1.- Lea el problema y luego dibuje la figura y marque los datos.
2.- Construya un diagrama de cuerpo libre que indique todas las fuerzas, distancias y el eje
de rotación. Cuando se considere el peso del cuerpo, este recaerá en el centro geométrico
del mismo (a la mitad). En ocasiones hay problemas en los cuales se desprecia el peso del
cuerpo, en este caso los cálculos se harán con las fuerzas que estén sobre el objeto.
3.- Extienda las líneas de acción de cada fuerza utilizando líneas punteadas.
4.- Dibuje y marque los brazos de palanca para cada fuerza.
5.- Calcule los brazos de palanca si es necesario.
6.- Calcule los momentos de torsión debidos a cada fuerza independientemente de las otras
fuerzas, asegúrese de asignar el signo apropiado (+ ó -).
7.- El momento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de torsión de
cada fuerza.
Ejercicios:
2.- Karina quiere colocar 2 floreros en el jardín de su casa con la ayuda de una varilla unida
a la pared y el otro extremo colgada de una cuerda que tiene un valor de 70 kg. Conociendo
que pesan 12 y 25 kg. Calcular la torsión de la barra, con respecto a la pared si ésta mide 4
metros.
39
8 0 º
1 m
W = 1 2 K1 W = 2 5 K g .2
2 m 1 m

40. Datos
W1 = 12 Kg
W2 = 25 Kg
F = 70 Kg
R1 = 1 m
R2 = 3 m
R3 = 4 m
θ1 = 90°
θ2 = 90°
θ3 = 80°
Solución: el peso de los floreros con respecto a la pared, tenderían a rotar a la varilla en el
sentido de las manecillas del reloj, por lo tanto se les asigna un signo negativo, y la tensión
de la cuerda, que es la que sostiene a la varilla (fuerza de reacción), tendería a rotarla en el
sentido contrario a las manecillas del reloj, por lo cual se le asigna un signo positivo. El seno
de 90° es igual a uno, por lo cual con sólo multiplicar la fuerza o peso de los 2 floreros por
su brazo de palanca a la pared da el mismo resultado.
M = -(1 m)(12kg)(sen 90°)–(25kg)(3m)(sen 90°) + (70kg)(4m)(sen 80°)
M = -87 kg.m+ 275.74 kg.m
M = 188.74 kg.m.
3.- Calcula las reacciones en la viga, según nos indica el dibujo.
40
2 m 3 m
F = 4 T2
F = 5 T3F = 6 T1
R 1 R 2

41. En el caso de R1, y R2 al ser fuerzas dirigidas hacia arriba se
toman como positivos y las fuerzas F1, F2 y F3 al estar dirigidas
hacia abajo se toman como negativos.
Aplicando la primera condición de equilibrio:
∑ƒy = R1 + R2– F1 – F2 – F3 = 0
∑ƒy = R1 + R2-6 T-4 T- 5 T= 0
∑ƒy = R1+R2 -15 T= 0
despejando tenemos :
∑ƒy = R1 + R2 = 15 T ecuación 1.
Aplicando la segunda condición de equilibrio: eligiendo el punto R1 como para
medir los brazos de palanca de las otras fuerzas tenemos: En este caso la fuerza F1 al
aplicarse en el mismo punto que R1, no tiene brazo de palanca, por lo tanto no tiene
momento de torsión, en el caso de F2 y F3, con respecto a R1 tenderían a rotar a la
viga en el sentido de las manecillas del reloj, por lo cual se les asigna un signo
negativo. R2 es una fuerza dirigida hacia arriba, tendería a rotar a la viga en el
sentido contrario a las manecillas del reloj, por lo cual se le asigna un signo
positivo.
∑MR1= (R2) (5 m) – (F2) (2 m) – (F3) (5 m)= 0
= (R2) (5 m)- (4 T) (2 m)- (5 T) (5 m)= 0
= (R2) (5 m)- 8 T.m- 25 T.m= 0
= (R2) (5m) – 33 T.m= 0
= (R2) (5m)= 33 T.m.
Despejando R2 tenemos:
R2 = 33 T.m
5 m
R2 = 6.6 T
Sustituyendo el valor de R2 en la ecuación 1 tenemos:
R1 + R2 = 15 T. Por lo tanto R1 = 15 T- R2.
R1= 15 T- 6.6 T = R1= 8.4 T.
4.- Sobre una barra uniforme de 5 metros se coloca un peso de 60 N a 3 metros del punto
de apoyo como se ve en la figura. Calcular a) El peso que se debe aplicar en el otro extremo
para que la barra quede en equilibrio. b) La Tensión que soporta el cable que sujeta la
barra. considere despreciable el peso de la barra.
41

42. Diagrama de cuerpo libre.
60 N
3 m
P2 = ¿
2 m
42

43. a) Para que el cuerpo esté en equilibrio de traslación y rotación tenemos que:
ΣF = 0 = T + (-P1)+ (-P2)….. (1)
ΣMo =0 = Mp1 + (-Mp2) = 0…. (2)
Sustituyendo en la ecuación 1 :
ΣF = T- 60 N-P2= 0
T = 60 N+ P2.
b) Para calcular el valor de la tensión debemos conocer el peso que equilibrará al
sistema, de donde al sustituir en la ecuación 2, tenemos que la suma de momentos en el
punto O es igual a:
ΣMo= P1r1-P2r2= 0
P1r1 = P2r2. despejando P2 tenemos:
P2 = P1r1 P2 = 60 N x 3 m = 90 N
r2 2 m
Por lo tanto el peso que equilibra es de 90 N y la tensión del cable es:
T = P1 + P2 = 60 N + 90 N = 150 N
5.- Una viga uniforme de peso despreciable soporta 2 cargas como se ve en la figura.
Calcular a) ¿Cuál es el valor de la fuerza de reacción R que se ejerce para equilibrar la
viga? b) ¿Dónde debe colocarse la fuerza de reacción respecto al punto A?.
P2 = ¿
T = ¿
r1 = 3 m r2 = 2 m
O
¿
P1 = 60
N
43

44. Diagrama de cuerpo libre:
Solución: Para que el cuerpo esté en equilibrio:
ΣF = 0 = R + (-C1)+ (-C2) = 0 …. (1)
ΣMA = 0 = R rR + (-C2r2)…. (2)
Sustituyendo en 1:
ΣF = R – 300 N- 400 N= 0
R = 700 N
C2 = 400 NR
6 m
A
6 m
r R = ¿
A
C2 =
400 N
44
C1 = 300 N
B
C1 = 300
N
R = ¿
B

45. b) Sustituyendo en 2 y tomando momentos respecto al punto A:
ΣMA = 700 N (rR)- 400 N (6 m) = 0
ΣMA = 700 N (rR)- 2400 N.m = 0
ΣMA = 700 N (rR) = 24400 N.m
despejando rR tenemos:
rR = 2400 N.m = 3.43 m
700 N
por lo tanto, la reacción tiene un valor de 700 N, que equivale a la suma de las dos
cargas y queda colocada a 3.43 m del punto A.
e. Evaluación del tema 4.3. Momento de una fuerza
1.- Una viga de 4 m de longitud soporta dos cargas, una de 200 N y otra de 400 N
como se ve en la figura. Determinar los esfuerzos de reacción a que se encuentran
sujetos los apoyos, considere despreciable el peso de la viga.
A.- RA = 450 N RB = 150 N
B. RA = 350 N, RB = 250 N
C. RA = 200 N, RB = 400 N
D. RA = 150 N RB = 450 N
E. RA = 250 N, RB = 350 N
2.- Considere la situación que se muestra en la figura siguiente. Una viga uniforme que
pesa 200 N está sostenida por dos soportes A y B. De acuerdo con las distancias y
200 N
400 N
1 m
2 m
1 m
45
A B

46. fuerzas que aparecen en la figura, ¿cuáles son las fuerzas ejercidas por los soportes A
y B?
A. A = 717 N, B = 183 N
B. A = 183 N. B = 717 N
C. A = 246 N, B = 555 N
D. A = 278 N, B = 478 N
E. A = 432 N , B = 134 N
3.- Una viga de 6 metros de longitud, cuyo peso es de 700 N, soporta una carga de 1000
N que forma un ángulo de 60° y otra de 500 N, como se ve en la figura. Determinar las
fuerzas de reacción de los soportes A y B.
300 N
400 N
10 m 4 m
B
A
12 m
46

47. A.- A = 234.5 N. B = 498.9 N
B.- A = 994.3 N, B = 1071.7 N
C.- A = 546.2 N, B = 135.2 N
D. - A = 456.3 N. B = 765.4 N
E.- A= 1071.7 N, B = 994.3 N
4.- El enunciado “La suma algebraica de todos los momentos de torsión en relación con
cualquier eje debe ser cero”. Pertenece a:
A. Segunda Ley de Newton
B. Primera Ley de Newton
C. Segunda condición de equilibrio
D. Primera condición de equilibrio
E. Tercera Ley de Newton
5.- El _____________________ se define como la tendencia a producir un cambio en
el movimiento rotacional de un cuerpo.
A. Brazo de palanca
B. Cantidad de movimiento
C. Fuerza
D. Momento de torsión
E. Impulso
f. Bibliografía específica del tema 4.3. Momento de una fuerza. Física General.
Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004.
7.- Evaluación de la Unidad temática IV. Introducción a la estática de la partícula y del
cuerpo rígido.
60°
A B
1 m
F1 = 1000 N
F2 = 500 N
6 m
47

48. a. Trabajo documental.- Los 3 primeros equipos investigarán en otros libros y sitios de
internet los conceptos de cantidades escalares y vectoriales y ejemplos, y resolver 5
problemas cada equipo hallando el vector resultante, tanto por los métodos gráficos
como por el método analítico.
Los equipos 4, 5 y 6 buscarán más información en libros y en sitios de internet, los
componentes rectangulares de una fuerza en el plano y resolverán 8 problemas cada
equipo, hallando las componentes rectangulares de los vectores Fx y Fy. Resolviendo
para 2 vectores en cada cuadrante.
Los equipos 8, 9 y 10, buscarán más información y en sitios de internet vectores en
el espacio y cada equipo resolverá 4 problemas, hallando el vector resultante dadas las
componentes, hallando los cosenos directores dada la fuerza resultante y las
componentes, hallando las componentes, dada la fuerza resultante y las distancias de
las componentes (dx, dy, y dz) y Hallando uno de los cosenos directores, la fuerza
resultante y las dos componentes restantes de la fuerza, cuando sólo se dan dos de los
ángulos y una sola de las componentes de la fuerza.
Los equipos 11, 12 y 13, buscarán más información sobre la primera y segunda
condición de equilibrio en libros y sitios de internet y resolverán 6 ejercicios, 3
aplicando la primera condición de equilibrio hallando tensiones de cuerdas y 3 aplicando
las 2 condiciones de equilibrio hallando soportes que sostienen a una viga o una barra
ligera.
b. Reactivos de Evaluación de la unidad Temática IV
1.-Una cantidad ____________ se especifica totalmente por su magnitud, que consta
de un número y una unidad. Por ejemplo: rapidez (15 millas/hora), distancia (12 km) y
volumen (200 cm3
).
A. Absoluta
B. Relativa
C. Específica
D. Vectorial
E. Escalar
2.- Una cantidad _______________ se especifica totalmente por una magnitud y una
dirección y consiste en un número, una unidad y una dirección. Por ejemplo,
desplazamiento (20 metros, norte) y velocidad (40 millas/hora, 30° Noroeste)
A. Específica
B. Vectorial
48

49. C. Escalar
D. Absoluta
E. Relativa
3.- Son 2 métodos gráficos para sumar vectores
A. Teorema de Pitágoras y Ley de cosenos
B. Polígono y paralelogramo
C. Ley de senos y Teorema de Pitágoras
D. Ley de senos y ley de cosenos
E. Ley de senos y de tangentes
4.- Es la parte de la física que estudia a los cuerpos en equilibrio.
A. Dinámica
B. Termodinámica
C. Termología
D. Estática
E. Mecánica
5.- Tres embarcaciones ejercen fuerzas ejercen sobre un gancho de amarre. La fuerza
1= 420 N a 60° Noreste, la fuerza 2= 150 N al norte y la fuerza 3= 500 N a 40° al
Noroeste. Halle la resultante de de estas 3 fuerzas y su dirección.
A. 900 N, 95°
B. 853 N, 101.7°
C. 820 N, 91°
D. 755 N, 78°
E. 730 N, 75°
6.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección, definida
por los ángulos, Θx=69.3° y Θz=57.9°. Sabiendo que la componente y de la fuerza es de
-174 lb, determine: a) el ángulo Θy, b) las componentes Fx y Fz de la fuerza y la
magnitud de la fuerza F.
A. a) 134.4°, b)Fx=89.9 lb, Fz=144.2 lb, F=245 lb
B. a) 135.5°. b)Fx=85.5 lb, Fz=145.5 lb, F=240 lb
C. a) 150.4°, b)Fx=96.6 lb, Fz= 140.4 lb, F=250 lb
D. a) 160.2°, b)Fx= 92.8 lb, Fz=130.3 lb, F=250 lb
E. a) 140.3°, b) Fx= 79.9 lb, Fz= 120.1 lb, F=226 lb
7.- Una plataforma de 10 ft que pesa 40 libras, está apoyada por los extremos en
escaleras de tijera. Un pintor que pesa 180 libras se ha colocado a 4 ft del extremo
derecho. Encuentre las fuerzan que ejercen los soportes A y B.
A. A = 128 lb, B =92 lb
B. A= 140 lb, B =80 lb
C. A =120 lb, B =100 lb
D. A =92 lb, B =120 lb
E. A =80 lb, B = 200 lb
49

50. 8.- Encontrar las tensiones de 2 cuerdas T1 y T2 que sostienen un peso de 50 Newtons.
T1 se encuentra sobre el eje x en el primer cuadrante y T2 forma un ángulo de 35° con
respecto al muro vertical en el segundo cuadrante.
A. T1=52 N y T2=65.5 N
B. T1=38 N y T2=72.04 N
C. T1=44 N y T2=68.02 N
D. T1=35N y T2=61.03 N
E. T1=50 N y T2=75.68 N
9.- Encontrar el valor de las tensiones T1 y T2 que sostienen un peso de 300 Newtons.
T1 se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo de 56° respecto al techo, T2
se encuentra en el segundo cuadrante y forma un ángulo de 34° respecto al techo en el
segundo cuadrante.
A. T1=125.55 N y T2=233.3 N
B. T1=248.71 N y T2=167.77 N
C. T1=167.77 N y T2=248.71
D. T1=140.8 N y T2=288.88 N
E. T1=206.3 N y T2=125.8 N
10.- Encontrar las tensiones T1 y T2 de 2 cuerdas, que sostienen un peso de 400
Newtons, T1 se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo de 40° con
respecto al techo, T2 se encuentra sobre el eje x en forma horizontal en el segundo
cuadrante.
A. T1=622.28 N, T2=476.67 N
B. T1=602.32 N T2=422.3 N
C. T1=588.2 N, T2=408.2 N
D. T1=570.8 N, T2=444.4 N
E. T!=615.55 N, T2=435.5 N.
50