O documento discute como a entropia pode ser usada para medir a diversificação de uma carteira de investimentos e prever o risco em situações de estresse. O autor desenvolveu modelos usando entropia que tiveram melhor desempenho do que modelos anteriores na Ventor Investimentos para medir o risco de carteiras longas, curtas e long-short.

1. Entropia e Risco 1
Entropia e Gestão de Risco
Flavio Abdenur
FA Análise de Risco
(flavio.abdenur@gmail.com)
(palestra no IME/UERJ – 16/09/2015)

2. Entropia e Risco 2
Introdução
Bacharel em economia pela PUC (2000), doutor em matemática
pura pelo IMPA (2002)
Matemático acadêmico entre 2002 e 2011: postdoc no IMPA,
depois professor na PUC-Rio
Analista de risco entre 2011 e 2013: Ventor Investimentos

3. Entropia e Risco 3
Introdução
1)Fundo multimercado “macro”
1)PL na época: aprox. R$1.500.000.000

4. Entropia e Risco 4
Introdução
Ventor vs CDI (Jul/2011-Fev/2013)

5. Entropia e Risco 5
Introdução
Ativos negociados pela Ventor:
1)Moeda: dólar vs real, euro vs dólar, euro vs real, e opções
2)Juros: títulos públicos, DI futuro, e opções
3)Ações: índice futuro, acões long, ações short

6. Entropia e Risco 6
Medida de Risco I: VaR
I. Value at Risk (VaR): supõe que a distribuição de retornos do
ativo em questão é log-normal e estipula a priori um intervalo de
confiança: 1%, 5%, etc.

7. Entropia e Risco 7
Medida de Risco I: VaR

8. Entropia e Risco 8
Medida de Risco I: VaR
O VaR:
é calculado separadamente para cada classe de ativos (i.e.,
moedas, juros, ações)
é matematicamente elegante: dado por uma fórmula fechada

9. Entropia e Risco 9
Medida de Risco I: VaR
O VaR:
leva em consideração correlações recentes entre os ativos na
carteira
usa a volatilidade (i.e., o desvio-padrão) dos retornos recentes

10. Entropia e Risco 10
Medida de Risco I: VaR
 Exemplo: dada uma carteira de R$200 milhões em ações (e seus
derivativos), um VaR de um dia de 5% de R$10 milhões indica
que há uma chance em vinte da carteira perder R$10 milhões ou
mais naquele dia.

11. Entropia e Risco 11
Medida de Risco I: VaR
Um defeito grave: o VaR subestima o risco quando a volatilidade
recente é muito baixa.
Algumas grandes crises financeiras foram antecedidas por
períodos de calmaria.
Quem usa exclusivamente o VaR para limitar a sua exposição ao
risco cedo ou tarde se estrepa.

12. Entropia e Risco 12
Medida de Risco I: VaR
 Duas sugestões:
“The Black Swan” (N. Taleb) “When Genius Failed” (R. Lowenstein)

13. Entropia e Risco 13
Medida de Risco II: Stress Test
II. Stress Test: simula um grande movimento da classe de ativo na
direção contrária à posição que o fundo assumiu naquela classe.

14. Entropia e Risco 14
Medida de Risco II: Stress Test
II. Stress Test: simula um grande movimento da classe de ativo na
direção contrária à posição que o fundo assumiu naquela classe.
Obs: aqui grande significa uma variação percentual substancial,
geralmente definida no olhômetro a partir de um histórico de
muitos anos.

15. Entropia e Risco 15
Medida de Risco II: Stress Test
 Exemplo: se o stress de ações é de 8% e a carteira de ações está
comprada em R$150 milhões, entao o cenário de estresse é uma
queda de 8% em todas as ações e a perda hipotética é de
R$12milhões = 8%× R$150milhões

16. Entropia e Risco 16
Medida de Risco II: Stress Test
O Stress Test:
ignora correlações e volatilidade recentes
é artesanal: feito sob medida pra cada fundo, e sem fórmula
fechada
é mais realista do que o VaR sob situações extremas

17. Entropia e Risco 17
Limites de Risco
A partir de agora focamos no Stress Test
Considere um fundo com PL de R$1 bilhão cuja perda máxima
tolerada (considerando a soma das três classes) é de 5% do PL num
dia.

18. Entropia e Risco 18
Limites de Risco
No máximo do consumo de risco, a perda projetada pela soma
dos Stress Tests de moeda, juros, e ações é portanto de R$50
milhões
Se stress de ações é de 8%, o teto para a porção da carteira que
pode ser comprada (ou vendida) em ações é então de
R$625milhões =
5%
8%
× R$1000milhões

19. Entropia e Risco 19
Diversificação e Entropia
Em situações de estresse carteiras diversificadas são ceterius
paribus mais seguras do que carteiras concentradas.
Então um bom Stress Test precisa levar em consideração o grau
de diversificação da carteira.

20. Entropia e Risco 20
Diversificação e Entropia
Como medir a diversificação de uma carteira distribuída em ações
de um conjunto (finito) de empresas distintas?
Não basta contar o número de empresas; o peso relativo de cada
empresa na carteira também tem que entrar na conta.

21. Entropia e Risco 21
Diversificação e Entropia
Seja I = [0 , 1] o intervalo unitário, representando uma carteira de
digamos R$100 milhões.
Seja Ρ uma partição de I em subintervalos P1, ..., PN, onde Pj
corresponde à participação percentual da ação j na carteira I.

22. Entropia e Risco 22
Diversificação e Entropia
Então a entropia (de Shannon) da partição Ρ = {P1, ..., PN} de I é
dada por
onde c(Pj) é o comprimento do intervalo Pj.
Ent(Ρ) ≡ c(P1)× ln(c(P1))+...+ c(PN )× ln(c(PN ))

23. Entropia e Risco 23
Diversificação e Entropia
A função Ent leva o espaço de todas as partições (finitas) de P no
conjunto R+
de reais não-negativos.
A partição trivial tem entropia zero; já a partição Ρ de I em N
subintervalos de comprimento 1/N tem entropia ln(N).

24. Entropia e Risco 24
Diversificação e Entropia
Pelo teorema abaixo a entropia mede de maneira “natural” o
quanto a partição P estilhaça a carteira I:
Teorema (Shannon): se F é uma função do espaço de partições
finitas de I em R+
que satisfaz um certo conjunto de axiomas
“naturais” – incluindo continuidade, máximo nas partições
uniformes, e monotonicidade – então existe uma constante positiva
c tal que F=c×Ent.

25. Entropia e Risco 25
Diversificação e Entropia
Resultados da teoria da informação indicavam a priori que a
entropia seria uma boa medida de diversificação
Faltava testar empiricamente o desempenho de Ent como
“previsor” de risco em situações de estresse.

26. Entropia e Risco 26
Diversificação e Entropia
Geramos aleatoriamente cerca de 10.000 carteiras hipotéticas.
Testamos essas carteiras hipotéticas contra cerca de 8 anos de
dados históricos.
Resultado: o modelo gerado via entropia tem um fit bem melhor
do que o modelo recursivo antes usado na Ventor.

27. Entropia e Risco 27
Diversificação e Entropia
No novo modelo o stress da carteira deixou de ser definido como
uma porcentagem fixa e se tornou uma função (polinomial e
decrescente) da entropia da carteira.
O stress test via entropia é empiricamente mais confiável e
computacionalmente muito mais barato do que o modelo anterior.

28. Entropia e Risco 28
Diversificação e Entropia
A Ventor também vende ações a descoberto – i.e., shorteia ações.
Estendemos o modelo via entropia para carteiras long-short –
carteiras que incluem simultaneamente ações compradas e ações
vendidas.

29. Entropia e Risco 29
Diversificação e Entropia
No modelo long-short o estresse percentual da carteira depende
de duas variáveis: a entropia da carteira long e a entropia da
carteira short.
Testamos 10.000 carteiras long-short geradas aleatoriamente
contra cerca de 8 anos de dados históricos.

30. Entropia e Risco 30
Diversificação e Entropia
Estes 10.000 pontos geraram uma nuvem que admite um bom fit
polinomial (de duas variáveis).
O formato da superfície polinomial lembrava um pássaro em vôo,
então a apelidamos de gaivota.

31. Entropia e Risco 31
Diversificação e Entropia
A Gaivota