Banach Tarski

TedX: Banach Tarski
Pseudo démonstration d’un
paradoxe géométrique
hallucinant
@flornt

• EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS
2
• Je ne suis pas un matheux !
• Mais ….
• J’adore les maths !
DISCLAIMER !

3
• Il s’agit d’une pseudo-démonstration !
• Mettez de côté la rigueur mathématique !
DISCLAIMER !

4
Banach-Tarski

5
• Un théorème, démontré en 1924 par
Stefan Banach et Alfred Tarski
Banach-Tarski

6
• Il est possible de couper une boule de
l'espace usuel R^3 en un nombre fini de
morceaux et de réassembler ces morceaux
pour former deux boules identiques à la
première, à un déplacement près.
Banach-Tarski

7
• WTF !?
• Oui, mais les morceaux ne doivent pas
être mesurables !
• Ouf ! :)
Banach-Tarski

8
• Dans la vraie vie, une sphère contient un
nombre fini d’atomes
• Dans l’ensemble des nombre réels, il y’a
une infinité de nombres entre [0 - 1]
Non mesurable ?

9
• Soit une fonction f : f(x)= x * 2
• Appliquée pour chaque réel x de [0 - 1]
• On obtient un réel y de [0 - 2]
• On peut dire qu’il y’a autant de réels x que
de réels y, vu qu’il existe une relation entre
les deux.
• Il y’a donc autant de réels dans [0 - 1] que
dans [0 -2]
Non mesurable ?

10
• Mais d’un autre côté, on peut dire aussi
qu’il y’a deux fois plus de réels dans [0 - 2]
que dans [0 -1]
• C’est un paradoxe, de la même espèce que
Banach-Tarski
Non mesurable ?

11
• Prenons une sphère: par exemple la terre
• Deux axes de rotation
• L’axe de rotation classique du pôle nord
au pôle sud
• Un autre axe traversant l’équateur depuis
le point de longitude 0° au point de
longitude 180°
Une sphère !

12
• Faisons tourner cette sphère:
• De façon à ne jamais retomber à la
position initiale en appliquant N fois la
rotation
• Pour ça, on va choisir un angle irrationnel
• Irrationnel: On ne peut pas l’exprimer
sous forme de fraction relative à un tour
complet !
• Par exemple : Racine(2), Pi, Log(7)
Une sphère !

13
• Ainsi en faisant tourner la sphère N-fois
avec un angle irrationnel, on ne peut pas
retomber sur la position de départ !
• Et ceci est valable pour les rotations sur les
deux axes !
• On fixe donc un valeur irrationnelle à cet
angle, sa valeur n’est pas intéressante.
Une sphère !

14
• Introduisons une notation :
• A : une rotation sur l’axe normal dans le
sens des aiguilles
• B : une rotation sur l’autre axe dans le
sens des aiguilles
• A-1 : une rotation sur l’axe normal dans le
sens inverse des aiguilles
• B-1 : une rotation ur l’autre axe dans le
Une notation

15
• Ainsi on peut désigner les mouvements
• A B A-1 A-1 :
• une rotation sur l’axe normal dans le
sens des aiguilles, suivie de:
• une rotation sur l’autre axe dans le sens
des aiguilles, suivie de:
• deux rotations sur l’axe normal dans le
Une notation

16
• On peut simplifier quand une rotation
annule la précédente :
• A B A B B-1 A-1
• A B AA-1
• A B
Une notation

17
• Par contre: ABA-1 != B
• On ne peut pas annuler deux rotations
inverses si il y’a une rotation entre les
deux !
Une notation

18
• Soit S l’ensemble (infini) des successions
de rotations possibles à partir de notre
position de départ en utilisant l’angle
irrationnel choisi.
• Dans S, on a pris soin de simplifier les
rotations.
• Ainsi pour chaque élément de S, on aura
une orientation différente de notre sphère.
Démonstration

19
• On peut découper S en 4 sous-ensembles :
• (set 1) : Toutes les rotations commençant
par A
par B
par A-1
par B-1
Démonstration

20
• Si on prend (set 3) : toutes les rotations
commençant par A-1
• On sait que la première opération est A-1
• On sait donc que la deuxième opération
ne peut pas être A
• On a simplifié les écritures des
rotations, on ne peut pas écrire A-1 A
• C’est donc forcément A-1,B ou B-1
• Ce sont donc les sets 3, 2 et 4
Démonstration

21
• Autrement dit:
• (A suivi de(set 3)) s’écrit AA-1 suivi des
sets 2, 3 et 4
• (A suivi de (set 3)) = (set 2) + (set 3) +
(set 4)
• S = (set 1) + (set 2) + (set 3) + (set 4)
• S = (set 1) + (A suivi de (set 3))
Démonstration

22
• On a écrit S, pour qu’il ne dépende que des
sets 1 et 3
• On peut faire de même avec B :
• S = (set 2) + (B suivi de (set 4))
Démonstration

23
• Pour l’instant on a réussi à exprimer
l’ensemble des rotations S comme la
somme de deux des sous-ensembles des
rotations
• S = (set 2) + (B suivi de (set 4))
Démonstration

24
• Ainsi l’ensemble des rotations S est la
somme de seulement 2 des 4 sous-
ensembles des rotations
• Ça ressemble au paradoxe, mais …
Démonstration

25
• Mais ce ne sont que des rotations, on ne
parle pas de surface
• Il s’agit juste de successions de rotations
appliquées avec l’angle irrationnel choisi
Démonstration

26
• Depuis un point sur la surface, en
appliquant toutes les rotations de S, on
obtient un nombre infini de points.
• Mais cela ne forme pas toute la surface de
la sphère !
• Il manque tous les points accessibles
depuis:
• Les autres valeurs d’angle irrationnels
• Les angles rationnels
Démonstration

27
• On appelle réseau l’ensemble des points
que l’on peut connecter par les rotations S
• Il existe un nombre infini de réseaux
• L’ensemble de tous les points de tous
réseaux forme la surface de la terre
Démonstration

28
• On choisit pour chaque réseau un point au
hasard
• (L’axiome du choix nous le permet)
• On appelle M l’ensemble de ces points
Démonstration

29
• En appliquant l’ensemble S des rotations à
l’ensemble des points M, on obtient la
surface de la terre !
Démonstration

30
• Du coup on peut diviser la surface en 4:
• L’ensemble des points atteignables depuis
tout point de M par (set 1) -> (section 1)
Démonstration

31
• On peut exprimer la surface de la terre :
• Surface = (section 1) + (section 2) +
(section 3) + (section 4)
Démonstration

32
• On a déjà vu que :
• A suivi de (set 3) == (set 2) + (set 3) +
(set 4)
• De façon identique
• (section 3 tournée de A) == (section 2) +
(section 3) + (section 4)
Démonstration

33
• Surface = (section 1) + (section 3 tournée
de A)
• Surface = (section 2) + (section 4 tournée
de B)
Démonstration

34
• C’est généralisable aux volumes
• En prenant tout l’espace en dessous de la
surface jusqu’au centre
• Volume = (volume 1) + (volume 3 tourné
de A)
• Volume = (volume 2) + (volume 4 tourné
de B)
Démonstration

35
• Une démonstration simplifiée (en anglais) :
http://www.irregularwebcomic.net/
2339.html
• La démonstration complète : http://
www.madore.org/~david/math/bantar.pdf
• L’axiome du choix : https://fr.wikipedia.org/
wiki/Axiome_du_choix
• h t t p s : / / f r . w i k i p e d i a . o r g / w i k i /
Paradoxe_de_Banach-Tarski
Références

36
Conclusion

37
Pas de temps pour les questions
?

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