3. LAS TORRES DE HANOI
Cuenta la leyenda que en el gran Templo de Benarés, debajo
de la cúpula que marca el centro del mundo, está colocada una
placa de bronce, sobre la cual están fijadas tres agujas de
diamante. En una de estas agujas, cuando se creó el mundo,
Dios colocó 64 anillos de oro puro, el mayor de los cuales se
apoya sobre la placa de bronce, y los demás, por orden
decreciente de tamaño, descansan sobre él.
Día y noche, incesantemente, los
sacerdotes traspasan los discos
de una de las agujas a otra, de
acuerdo con las leyes del Brahma.
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4. - El sacerdote no puede mover más de un disco cada vez.
- No puede quedar, en ningún momento, un disco debajo de
otro de diámetro mayor.
Cuando los 64 discos hayan sido traspasados de la aguja donde
Dios los colocó a una de las otras dos, torre templo y brahmanes,
se desmenuzarán en polvo y en medio de un gran trueno, el
mundo desaparecerá.
¿Podrías averiguar cuántos movimientos hacen falta?
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5. ACTIVIDADES
Ayudándote del juego interactivo que se encuentra en la página
http://mena.com.mx/gonzalo/juegos/hanoi/index.html
rellena el siguiente cuadro:
Responde a las siguientes preguntas:
1. Una vez que he calculado el número de
movimientos mínimos necesarios para un
determinado número de discos, ¿cómo
puedo utilizar ese dato si pongo un disco
más?
2. ¿Puedes encontrar alguna fórmula para
determinar el número de movimientos
mínimos necesarios en función del
número de discos?
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6. NÚMERO DE MOVIMIENTOS EN
FUNCIÓN DEL NÚMERO DE DISCOS
Llamemos mk al número de movimientos mínimos necesarios para pasar k discos
de la torre “IZQUIERDA” a la torre “DERECHA”. Así, tenemos que:
m1 = 1, m2 = 3, m3 = 7, m4 = 15, m5 = 31
Es fácil observar un par de cosas:
• mk = 2 * mk-1 + 1. Por ejemplo, si hemos trabajado suficiente con la escena y
hemos pensado cómo conseguimos pasar los discos a la torre de la derecha,
nos habremos dado cuenta que, utilizando como ejemplo 4 discos: primero pasa-
mos los tres de arriba a la torre “CENTRO” utilizando para ello 7 movimientos
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7. (m3); luego pasamos el disco mayor a la torre “DERECHA”, 1
movimiento; por último pasamos los tres discos de “CENTRO”
mediante 7 movimientos (m3). En total, para 4 discos, hemos
necesitado: m3 + 1 + m3 = 2 * m3 + 1 = m4
• mk = 2k – 1. Se puede demostrar por el método de inducción.
En el siguiente enlace puedes ver el proceso para el caso de 5 discos:
http://averroes.ced.junta-andalucia.es/iesarroyo/matematicas/taller/juegos/torrehano
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8. Ya tenemos una fórmula mk = 2k - 1que nos permite calcular el número de
movimientos necesarios para trasladar los discos desde la torre “IZQUIERDA” a
la torre “DERECHA”. Vamos a utilizarla para ver cuánto queda hasta el final de
las Torres de Hanoi.
Como son 64 discos, el número de movimientos es:
264 – 1 = 18446744073709551615.
Para tu tranquilidad: Si los sacerdotes efectuasen un traspaso por segundo y
trabajasen las 24 horas del día durante 365 días del año, tardarían en cambiar
todos los discos a otra aguja 58.454.204.609 siglos y 6 años.
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9. EL TANGRAM
En chino , el TANGRAM se llama “TABLA DE
LA SABIDURÍA” y consta de siete elementos
obtenidos por división de un cuadrilátero.
Sólo tiene una regla: en la composición de
cualquier figura han de intervenir siempre las
7 piezas.
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10. ACTIVIDADES
Intenta construir las siguientes figuras con las piezas del
TANGRAM:
Pincha en el siguiente enlace para practicar:
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/tangram.htm
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11. Y estas otras:
Pincha en el siguiente enlace para practicar:
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/imagina/tangram.html
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12. SOLUCIONES ANIMADAS
En la siguiente página puedes encontrar las solucionas animadas de las
figuras anteriores:
http://averroes.ced.junta-andalucia.es/iesarroyo/matematicas/taller/juegos/tangram/tangram.swf
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13. ACTIVIDADES
Fijándote en las piezas de Tangram responde a las siguientes
preguntas:
1. Si tomamos como unidad el lado de la pieza cuadrada,
¿cuáles son las dimensiones de las otras piezas?, ¿cuánto
vale el área de cada pieza?
2. Y si suponemos que la longitud del lado del cuadrado que
forman todas las piezas es 4, ¿cuáles son las dimensiones de
cada pieza?, ¿cuánto vale el área de cada pieza del
Tangram?.
3. Fíjate en las figuras que has construido anteriormente,
¿tienen todas el mismo perímetro?, ¿tienen todas áreas
iguales?, ¿por qué?
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15. SOLUCIONES ANIMADAS DE LAS
PARADOJAS DEL TANGRAM
En la siguiente página web puedes encontrar las soluciones
animadas de las paradojas del TANGRAM:
http://averroes.ced.junta-andalucia.es/iesarroyo/matematicas/taller/juegos/tangram/parado
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16. OTROS JUEGOS INTERESANTES
http://averroes.ced.junta-andalucia.es/iesarroyo/matematicas/taller/juegos/juegos.htm
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25. SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LAS
GRANJAS Y LOS POZOS
En la siguiente página web encontrarás
la solución al problema:
http://averroes.ced.junta-andalucia.es/iesarroyo/matematicas/taller/juegos/cintamoebius/cint
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26. EL CUADRADO EVANESCENTE
Construcción de las piezas:
1ª Actividad: Sobre un cuadrado de chapón
se dibuja una malla de 64 cuadraditos y se
cortan las 4 piezas tal y como se indica en la
figura 1 y se colocan como en la figura 2.
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27. 2ª Actividad: Se corta un triángulo rectángulo
de dimensiones 5 x 13 y se dibujan los
cuadraditos correspondientes.
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28. SOLUCIONES ANIMADAS
En la siguiente página encontrarás las soluciones:
a-andalucia.es/iesarroyo/matematicas/taller/juegos/elcuadradoevanescente/cuadradoevanescente.sw
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30. SOLUCIÓN ANIMADA
Pincha en el siguiente enlace para obtener la solución:
http://averroes.ced.junta-andalucia.es/iesarroyo/matematicas/taller/juegos/desaparec
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33. CUADRADOS MÁGICOS
La construcción de cuadrados mágicos es un pasatiempo antiquísimo que se
remonta a la antigua China. Los chinos fueron los primeros conocedores de los
cuadrados mágicos y quienes más trabajaron en las leyes que deben cumplir y en
la forma de construirlos, de forma que encontraron la manera de llenar cualquier
cuadrado impar. Y ahí va la presunta magia de su origen.
El primer cuadrado del que se tiene noticia es de hace cuatro mil años, del 2220
antes de Cristo, y la leyenda dice que fue encontrado por el emperador chino de la
época en el caparazón de una tortuga que pasaba por el río Amarillo. Con tan
particular origen no es extraño que se considerara que los cuadrados mágicos
preservaran de todo tipo de males, en particular de las enfermedades.
La primera constancia escrita de un cuadrado mágico es de hace unos 3000 años.
a partir de entonces se encontraron cuadrados mágicos cada vez más grandes,
no sólo en China sino también en Europa, donde quizás fue Marco Polo, el famoso
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viajero veneciano del siglo XIII, el que los introdujo.
34. ¿QUÉ ES UN CUADRADO
Un cuadrado mágico es MÁGICO?3 x 3, o de 4 x 4, o de 5 x 5,
una cuadrícula de
o en general, de n x n, en la que se acomodan ciertos números que
cumplen que la suma de cualquiera de las filas, de cualquiera de las
columnas y de cualquiera de las dos diagonales es siempre la misma.
• Si el cuadrado es de 3 x 3, entonces tendrá 9 casillas y los
números que se acomodan en él son todos los números del 1 al
9.
• Si el cuadrado es de 4 x 4, entonces tendrá 16 casillas y los
números que se acomodan en él son todos los números del 1 al
16.
•
En general, si el cuadrado es de n x n, entonces tendrá n2
casillas y los números que acomodaremos en él serán del 1 al n2.
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35. PROPIEDADES DE LOS CUADRADOS
MÁGICOS
Al sumar los números de cualquier fila, cualquier columna o cualquiera de las
diagonales, el resultado es el mismo; a este número se le llama CONSTANTE
MÁGICA.
Hay muchas maneras de encontrar la constante mágica:
1. Si se conoce el cuadrado mágico basta sumar cualquier fila, columna o
diagonal.
2. Si el cuadrado no se conoce, una manera es sumar todos los números que se
colocarán en el cuadro y dividir el resultado entre el orden de éste. Por ejemplo:
en un cuadrado de orden 3 los números que se colocarán son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9.
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36. 3. Otra manera de calcular la constante mágica de un cuadrado mágico es
acomodar en la cuadrícula los números que se van a utilizar en su orden
natural (no en forma de cuadrado mágico) y sumar los números de
cualquiera de las diagonales; el resultado será la constante mágica de ese
cuadrado.
4. En general, la fórmula para encontrar la constante mágica de un cuadrado
mágico de orden de orden n es:
n (n2 + 1) / 3 o (n3 + n) / 3
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37. Eso quiere decir:
En un cuadrado mágico de 3 x 3 debemos acomodar todos los
números del 1 al 9 de manera que la constante mágica sea 15.
En un cuadrado mágico de 4 x 4 debemos acomodar todos los
números del 1 al 16 de manera que la constante mágica sea 34.
En un cuadrado mágico de 5 x 5 debemos acomodar todos los
números del 1 al 25 de manera que la constante mágica sea 65.
Y así sucesivamente.
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38. ACTIVIDADES
Pincha en el siguiente enlace y practica con los cuadrados mágicos:
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/cuadrosma1.html
Compara tu cuadrado mágico con el de tus compañer@s y responde:
• ¿Todas las respuestas son iguales?
• Si no lo son, ¿en qué se parecen?, ¿en qué se diferencian?
• ¿Hay alguna manera especial de acomodar los números para
que el cuadrado sea mágico?
• ¿Qué pasa si a todos los números de un cuadrado mágico les
sumamos una misma constante? ¿y si los multiplicamos por un mismo
valor? ¿qué se obtiene si sumamos celda a celda dos cuadrados
mágicos?.
• ¿Qué relación crees que hay entre el número de la casilla central y la
constante mágica? 38
39. FORMAS DE TRANSFORMAR UN
CUADRADO MÁGICO EN OTRO
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¡El cuadrado que queda también es mágico!
42. SOLUCIONES ANIMADAS
Pincha en el siguiente enlace para ver las soluciones:
http://averroes.ced.junta-andalucia.es/iesarroyo/matematicas/taller/juegos/palillos/palillos.swf
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43. OTROS PASATIEMPOS
En la página de Jesús Escudero, profesor de Matemáticas e
Informática del IES FRAY LUIS DE LEÓN de Salamanca,
encontrarás multitud de pasatiempos basados en la
construcción y manipulación de objetos (cerillas, palillos,...):
http://platea.pntic.mec.es/jescuder/fra_prob.htm
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45. EL GRAN MAMUK ADIVINA
TU PENSAMIENTO
Pincha en la siguiente página web para ver la
actividad:
http://www.acertijos.net/curios/2.htm
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46. MAGIA MATEMÁTICA
http://descartes.cnice.mecd.es/matemagicas/index.htm
Esta página contiene multitud de actividades relacionadas con este apartado.
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