Dédramathisons                   TFESéries de Fourier et applications        Rédacteurs :        Antoine Etesse        Fre...
SommaireI    Introduction et théorie                                                                      21 Situation pro...
2 Applications informatiques                                                                  39  2.1   FFT : Fast Fourier...
Première partieIntroduction et théorie           3
Chapitre 1Situation problème   Comment peut-on produire un son particulier ?   Tout d’abord, on sait qu’un son est une ond...
des déformations périodiques dans l’air. Cependant, la question s’avère être plus complexecar nous désirons obtenir un son...
et que ses harmoniques possèdent des fréquences multiples de celle-ci, nf avec n ∈ Z. Il vade soi que l’amplitude des harm...
Figure 1.6 – My normal approach is useless here1.1     Approximation de cette sinusoïde1.2     Vers les séries de Fourier ...
L’approximation est                                       N                                                       2πn     ...
Chapitre 2Elaborer une théorie à partir del’exemple2.1     Construction de la théorie2.1.1     Périodicité   Tout d’abord,...
simples et entières.Démontrons un lemme sur la périodicité, qui nous sera utile par la suite.   Soit f une fonction contin...
2.1.2    Calcul d’intégrales intéressantes   Avant de déterminer les expressions de ces constantes, nous devons déterminer...
Si n = k                          π                                  π                               cos nx cos kx dx = 2 ...
Pour trouver a0 , on va prendre l’intégrale de −π à π (une période entière) dans lesdeux membres, ce qui nous donne       ...
parmi les n, il existe un et un seul n égal à k tel queN              π                                      N            ...
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Figure 2.1 – Graphique de la fonction carréesur l’intervalle [−π, π].                                                0    ...
On remarque ici que la valeur de bn dépend de la parité de n. Aussi posons-nous soitn = 2k, soit n = 2k + 1 suivant la par...
En effet, comment peut-on construire une fonction discontinue à chaque x = kπ (où k estun entier) à l’aide de la somme de f...
Ainsi, si f (x) est paire, alors f (x) sin nx est impaire et f (x) cos nx est paire.                                      ...
On connait ainsi la forme de cette série de Fourier et de ses coefficients                                           ∞      ...
2.1.5    Ecriture complexe des séries de Fourier   Cette manière d’écrire la série de Fourier avec la somme de sinus et co...
dans la série de Fourier trigonométrique.∞                                 ∞                                            ei...
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exponentielle, alors sa série de Fourier sera                                                ∞                            ...
Ck eix(k−k) = Ckdonc nous pouvons écrire de façon équivalente :                                    ∞                      ...
T                  TOn utilisera aussi le changement de variable x =    u pour rendre f ( u).                             ...
Figure 2.3 – Illustration de la convergence simple   On constate dèjà ici l’insuffisance de la convergence simple pour les f...
Figure 2.4 – Illustration de la convergence uniforme2.2.2     Convergence uniforme   Définition :   Soient I un intervalle ...
Figure 2.5 – Exemple de convergence uniforme vers la fonction y = |x|   Il semble assez intuitif que toute suite de foncti...
2.2.3     Convergence normale   Soient I un intervalle de R et (fn )n∈Z une suite de fonctions définies sur I. On dit que  ...
Notation   Nous noterons pour la suite f (a+ ) la limite à droite en a et f (b− ) la limite à gaucheen b.   Fonction conti...
k=n                                    Dn (x) = 1 + 2               cos(kx)                                               ...
2π     p          1     =                               eik(x−t) f (t)dt         2π       0        k=−p            2π     ...
Notons M la borne supérieure de f sur [0; α] et remarquons que u ≤ πsin( u ) pour                                         ...
démontrer.    3.Synthèse de la démonstration du théorème de Dirichlet.                                                1   ...
bn . ( A la seule différence près que cos(nx) étant subsitué par sin(nx) pour la recherhcede bn , nous devrons considérer l...
∞    eπ − e−π               (−1)n=        π               (1 +                2         π(n2 + 1)                         ...
Deuxième partieApplications de l’analyse      harmonique            38
Chapitre 1Synthèse numérique d’un son àpartir de l’addition des séries deFourier   Nous allons voir comment l’on peut modé...
Chapitre 2Applications informatiques2.1      FFT : Fast Fourier Transform    Nous avons vu que les séries de Fourier sont ...
Figure 2.1 – Représentation temporelle d’un son                  Figure 2.2 – Représentation fréquentielle d’un son   Comp...
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Les Séries de Fourier

  1. 1. Dédramathisons TFESéries de Fourier et applications Rédacteurs : Antoine Etesse Frederic Jacobs Jie-Fang Zhang 1er avril 2011
  2. 2. SommaireI Introduction et théorie 21 Situation problème 3 1.1 Approximation de cette sinusoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Vers les séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Elaborer une théorie à partir de l’exemple 8 2.1 Construction de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.1 Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.2 Calcul d’intégrales intéressantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.3 Calcul des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.4 Exemple : Fonction carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.5 Ecriture complexe des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Convergence des séries trigonométriques, des séries de Fourier, et Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.3 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Convergence des séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.5 Théorème de Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.6 Analyse d’une fonction qui répond aux hypothèses du théorème de Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Phénomène de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36II Applications de l’analyse harmonique 371 Synthèse numérique d’un son à partir de l’addition des séries de Fourier 38 1
  3. 3. 2 Applications informatiques 39 2.1 FFT : Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Compression JPEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.1 Pourquoi Fourier ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Le JPEG, c’est quoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.3 Quelle couleur ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.4 Alors quelle avancée l’analyse de Fourier a-t-elle permis ? . . . . . 483 Digital Signal Processing, un large domaine d’applications 51 3.1 Applications en télécommunications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.1 Confondre l’information. Sans la mélanger. . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.2 Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.3 Suppression de l’écho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.4 La Blue Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A Joseph Fourier et ses précurseurs 54 A.1 Les précurseurs de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A.2 Biographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A.3 Son oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2
  4. 4. Première partieIntroduction et théorie 3
  5. 5. Chapitre 1Situation problème Comment peut-on produire un son particulier ? Tout d’abord, on sait qu’un son est une onde sonore, plus ou moins périodique, qui sepropage dans l’air. C’est d’ailleurs ce qui le différencie de ce qu’on appelle communémentun bruit. Figure 1.1 – Un son, caractérisé par une certaine répétition. Figure 1.2 – Du bruit, rien n’est ordonné ou répétitif. Ainsi, la réponse à notre question initiale se déduit aisément : il nous suffit de créer 4
  6. 6. des déformations périodiques dans l’air. Cependant, la question s’avère être plus complexecar nous désirons obtenir un son spécifique. Par exemple, le son la 440Hz correspond enréalité à 440 déformations par seconde.Pourtant, il existe des milliers de la 440Hz différents, empreints de leur spécificité, ettout le monde peut, par exemple distinguer un son d’une fréquence de 440Hz issu d’undiapason de celui provenant d’un piano. Cette différence sonore que l’on perçoit découlede la dissimilitude du timbre des deux notes.L’illustration graphique de ces deux sons (amplitude-fréquence), témoigne de la dissemblancedes deux notes en questions. Voici la même note jouée sur des instruments différents. Figure 1.3 – Une note jouée sur un Piano UNSW c Figure 1.4 – Même note jouée sur une guitare UNSW c Remarquez la forte corrélation entre les deux instruments jouant la même note. Ainsi émerge une nouvelle question, de loin plus intéressante : comment peut-onproduire un timbre particulier ? La réponse est en fait relativement simple, et facilement imaginable. Pour commencer,on peut se pencher sur les instruments de musique. Nous savons que lorsqu’on joue unenote sur un instrument, on produit non seulement la note jouée, mais également ce qu’onappelle les harmoniques de la note. On dira que la note a une fréquence fondamentale f , 5
  7. 7. et que ses harmoniques possèdent des fréquences multiples de celle-ci, nf avec n ∈ Z. Il vade soi que l’amplitude des harmoniques peut être nulle, ou non-nulle. On peut représenterla note sous un graphique (amplitude-fréquence). Comme ceux utilisés pour représenterles deux sons ci-dessus . Nous pouvons facilement déduire que dans ce cas, les notes que l’on peut entendrecorrespondent bien à la superposition de l’onde fondamentale et ses harmoniques. Laforme de l’onde, donc son timbre, concorde avec la somme des amplitudes de toutes lesharmoniques de l’onde. Aussi la fréquence de deux sons peut-elle très bien être similaire,chacun possédant ses harmoniques spécifiques, la forme de l’onde diffèrera clairement. Figure 1.5 – Concept d’addition de sinusoïdes par Denis Auquebon La méthode expérimentale de représentation d’un son quelconque consiste donc àajouter à l’onde sonore fondamentale de fréquence déterminée f , les ondes harmoniquesde fréquence 2f , 3f , 4f ,... et ainsi de suite. La combinaison de la fondamentale et desharmoniques forment le son, parfois simple, souvent compliqué, dont la fréquence estévidemment celle du son fondamental. Nous pouvons ainsi créer tout une gamme de sons,suivant que l’on omette l’harmonique de fréquence 2f , 5f ,... ou que l’on prenne deux foisl’harmonique de fréquence 3f quatre fois celle de fréquence 8f ,... Nous arrivons donc à la conclusion que nous pouvons créer toute une série de sonà l’aide d’une addition d’onde fondamentale et des ses harmoniques. Mais inversement,peut-on décrire tout son comme la somme d’harmoniques ? Afin d’apporter une réponse,nous devons nous pencher sur les séries de Fourier. 6
  8. 8. Figure 1.6 – My normal approach is useless here1.1 Approximation de cette sinusoïde1.2 Vers les séries de Fourier Revenons quelque peu à l’historique, afin d’en savoir un peu plus sur l’émergence decette idée géniale. Joseph Fourier, qui travaillait sur la propagation de la chaleur sur des corps solides,a remarqué que la propagation de la chaleur sur un anneau ressemble à un mouvementharmonique. En physique, nous donnons une expression plus générale à ce phénomène 2πx 2πt y(x, t) = A sin( − + φ) λ Toù y est le déplacement périodique de la vibration de l’objet , λ la période dans l’espace,T la période dans le temps et φ la phase, qui est constante.En fait, lors d’une expérience simple, il a remarqué que la source de chaleur passecycliquement, mais brusquement, d’une valeur extrême à une autre. Il a été ainsi amenéà soupçonner le rôle très important des fonctions trigonométriques et admettre qu’ellespouvaient être les constituants élémentaires de tout Si nous fixons la variable x, nous avonsici une fonction f (t) périodique de période T . L’idée de Fourier fut alors d’approximerle phénomène observé par une somme finie, constituée des harmoniques de la périodefondamentale T . 7
  9. 9. L’approximation est N 2πn An sin( t + φn ) n=1 Toù N un naturel et An et φn deux constantes qui varient en fonction de n.Nous pouvons développer le sinus, ce qui nous donne : 2πn 2πn 2πn An sin( t + φn ) = An (sin( t) cos(φn ) + cos( t) sin(φn )) T T T 2πn 2πn = An sin(φn ) cos( t) + An cos(φn ) sin( t) T T 2πn 2πn = an cos( t) + bn sin( t) T Tpuisque An sin(φn ) et An cos(φn ) sont constantes, on peut alors poser que a0an = An sin(φn ) et bn = An cos(φn ), et si on ajoute un terme constant , on obtient, 2 N a0 2πn 2πn + (an cos( t) + bn sin( t)) 2 n=1 T T a0On a choisi le terme constant comme étant pour une raison bien précise que l’on 2détaillera au moment convenu. 8
  10. 10. Chapitre 2Elaborer une théorie à partir del’exemple2.1 Construction de la théorie2.1.1 Périodicité Tout d’abord, nous devons définir ce qu’est la périodicité d’une fonction. Une fonction est périodique de période p s’il existe un nombre réel positif le plus petitpossible p tel que f (x) = f (x + p). Le nombre p doit être le plus petit possible parce quepour satisfaire cette relation, il nous suffit de prendre tous les multiples entiers de p, cequi nous donne f (x + np) = f (x) où n ∈ Z.Penchons-nous à présent sur la somme des fonctions périodiques. 1Si on a trois fonctions périodiques de période π, 2π et 4π respectivement, alors la somme 4de ces trois fonctions sera-t-elle périodique ? Si oui, quelle est sa période ?Afin de faciliter la compréhension, nous pouvons représenter cette fonction somme (s(x) = 1sin(4x) + sin(x) + sin( x)) et ainsi voir facilement que s(x) est périodique de période de 44π.Ainsi, nous déduisons que la période de la somme correspond à la plus grande période deses fonctions initiales, dans ce cas-ci, 4π.Cependant, la somme des fonctions périodiques n’est pas toujours périodique. On peutprendre comme exemple s(x) = sin x+sin(πx). Bien que les deux fonctions initiales soientpériodiques de période respectives 2π et 2, s(x) n’est pas périodique. Pour ce genre decas, on peut approximer s(x) par s (x) = sin x + sin(3, 1415x), qui est périodique.Mais ne nous tracassons pas trop, étant donné que nous allons travailler avec des périodes 9
  11. 11. simples et entières.Démontrons un lemme sur la périodicité, qui nous sera utile par la suite. Soit f une fonction continue par morceau périodique de T . a+TL’intégrale f (x) dx ne dépend pas du réel a. Autrement dit, a T a+T T 2 f (x) dx = f (x) dx = f (x) dx = · · · −T a 0 2 Pour démontrer ceci, nous allons exploiter l’additivité de l’intégrale. a+T 0 T a+T f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx a a 0 TChangeons de variable. Soit x = y + T , ce qui implique dx = dy. a+T a aAlors on a f (x) dx = f (y + t) dy = f (y) dy puisque f (y + T ) = f (y). T 0 0 0 aOn peut voir que f (x) dx + f (y) dy = 0, ce qui nous donne : a 0 a+T T f (x) dx = f (x) dx a 0Cette dernière expression est indépendante de aEn vue de ce que l’on a pu dire dans l’introduction, peut-on dire qu’une fonction f (x)périodique de période T peut s’écrire sous la forme d’une somme N a0 2πn 2πn f (x) = + (an cos( x) + bn sin( )x)? 2 n=1 T T Certainement pas, car nous n’avons pas encore montré les conditions pour que lesdeux membres soient équivalents. De plus, on n’a pas encore trouvé les expressions des a0constantes , an et bn , qui différencient une série d’une autre. 2Pour trouver les expressions de ces constantes, nous allons utiliser les outils d’intégralesur la période de la fonction que l’on désire étudier.(Et de par le lemme que nous avonsdémontré, on voit bien que la restriction à une période suffit).Pour faciliter la compréhension, nous allons d’abord faire les démonstrations avec unefonction f (x) qui a une période 2π, puis ensuite étendre la démonstration pour despériodes quelconques. 10
  12. 12. 2.1.2 Calcul d’intégrales intéressantes Avant de déterminer les expressions de ces constantes, nous devons déterminer certainesrelations qui nous seront très utiles par la suite.(Mentionnons au préalable que nousutilisons la parité des fonctions sinus et cosinus dans notre développement.) π cos nx cos kx dx −π π sin nx sin kx dx −π et π cos(nx) sin(kx) dx où n, k ∈ Z −πSi n = k : π π cos nx cos kx dx = 2 cos nx cos kx dx −π 0 π 1 =2 (cos((n + k)x) + cos((n − k)x) dx 0 2 1 1 =( sin((n + k)x) + sin((n − k)x))|π 0 n+k n−k 1 1 =( sin((n + k)π) + sin((n − k)π) n+k n−k =0 π π sin nx sin kx dx = 2 sin nx sin kx dx −π 0 π −1 =2 (cos((n + k)x) − cos((n − k)x) dx 2 0 −1 −1 =( sin((n + k)x) − sin((n − k)x))|π 0 n+k n−k −1 −1 =( sin((n + k)π) − sin((n − k)π) n+k n−k =0 11
  13. 13. Si n = k π π cos nx cos kx dx = 2 cos2 nx dx −π 0 π 1 + cos(2nx) =2 dx 0 2 1 1 = 2( x + sin(2nx))|π 0 2 4n 1 =2× π 2 =π π π sin nx sin kx dx = 2 sin2 nx dx −π 0 π 1 − cos(2nx) =2 dx 0 2 1 1 = 2( x − sin(2nx))|π 0 2 4n 1 =2× π 2 =πEt enfin, on voit que cos(nx) sin(kx) est impaire car cos(nx) sin(kx) = − cos(−nx) sin(−kx) πDonc, dans tous les cas, cos(nx) sin(kx) dx = 0 −πEn résumé, (n, k ∈ Z) π 0 si n = k cos nx cos kx dx = −π π si n = k π 0 si n = k sin nx sin kx dx = −π π si n = k π cos(nx) sin(kx) dx = 0 −π2.1.3 Calcul des coefficients Sans avoir montré l’existence, on suppose qu’une fonction périodique de période 2π,continue sur R et dérivable sur R est égale à sa série de Fourier. Alors, N a0 f (x) = + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1 12
  14. 14. Pour trouver a0 , on va prendre l’intégrale de −π à π (une période entière) dans lesdeux membres, ce qui nous donne π π π N a0 f (x) dx = dx + (an cos(nx) + bn sin(nx)) dx −π −π 2 −π n=1 π π π N a0 f (x) dx = dx + (an cos(nx) + bn sin(nx)) dx −π −π 2 −π n=1 l’intégrale d’une somme est égale à la somme de l’intégrale π N π N π a0 = dx + an cos(nx) dx + bn sin(nx) dx −π 2 n=1 −π n=1 −π N N a0 π an −bn = x|−π + sin(nx)|π + −π cos(nx)|π −π 2 n=1 n n=1 n a0 = × 2π 2 = a0 πOn a alors, π 1 a0 = f (x) dx π −πPour trouver an , on va multiplier les deux membres de l’égalité par cos(kx) où k un entierpositif. N a0 f (x) cos(kx) = cos(kx) + cos(kx) (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1 N a0 = cos(kx) + (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx)) 2 n=1Ensuite, nous prendre l’intégrale de −π à π dans les deux membres, ce qui nous donne π π π N a0 f (x) cos(kx) dx = cos(kx) dx + (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx)) dx −π −π 2 −π n=1 π N π N π a0 = cos(kx) dx + an cos(nx) cos(kx) dx + bn sin(nx) cos(kx) dx −π 2 n=1 −π n=1 −π π N π N π a0 = cos(kx) dx + an cos(nx) cos(kx) dx + bn sin(nx) cos(kx) dx 2 −π n=1 −π n=1 −π 13
  15. 15. parmi les n, il existe un et un seul n égal à k tel queN π N π π an cos(nx) cos(kx) dx = (an cos(nx) cos(kx) dx) + ak cos2 (kx) dxn=1 −π n=1,n=k −π −πPar conséquent, la somme s’annule sauf pour terme k qui donne ak π. N a0 π πDe plus, cos(kx) dx et bn sin(nx) cos(kx) dx donnent aussi 0 2 −π n=1 −π πOn obtient donc f (x) cos(kx) dx = ak π pour tout k entier positif ce qui revient à dire −π π 1que ak = f (x) cos(kx) dx, et de façon générale nous avons ainsi : π −π π 1 an = f (x) cos(nx) dx π −π Pour bn , on va réaliser le même procédé en multipliant les deux membres par sin(kx)où k est un entier positif. N a0 f (x) sin(kx) = sin(kx) + sin(kx) (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1 N a0 = sin(kx) + (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx)) 2 n=1De même en prenant l’intégrale définie de −π à π, nous avons π π π N a0 f (x) sin(kx) dx = sin(kx) dx + (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx)) dx −π −π 2 −π n=1 π N π N π a0 = sin(kx) dx + an cos(nx) sin(kx) dx + bn sin(nx) sin(kx) dx −π 2 n=1 −π n=1 −π π N π N π a0 = sin(kx) dx + an cos(nx) sin(kx) dx + bn sin(nx) sin(kx) dx 2 −π n=1 −π n=1 −πEn considérant les résultats qu’on a montré auparavant, on peut constater queN π N π π bn sin(nx) sin(kx) dx = (bn sin(nx) sin(kx) dx) + bk sin2 (kx) dxn=1 −π n=1,n=k −π −π π 2la somme s’annule sauf pour bk sin (kx) dx qui donne bk π. −π π N π a0et sin(kx) dx et an cos(nx) sin(kx) dx donnent 0. 2 −π n=1 −π 14
  16. 16. π 1Par conséquent, nous avons pour tout k entier positif, bk = f (x) sin(kx) dx π −πEt donc π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π Résumons quelque peu. Si une fonction périodique de période 2π peut s’écrire sousforme de série de Fourier, alors N a0 f (x) = + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1Alors, π 1 a0 = f (x) dx π −π π 1 an = f (x) cos(nx) dx π −π π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π On peut tout de suite appliquer ce que l’on vient de voir sur exemple.2.1.4 Exemple : Fonction carrée Prenons l’exemple d’une fonction carrée périodique de période 2π. 1 si 0 ≤ x < πAlors sur l’intervalle [−π; π], on a f (x) = −1 si −π ≤ x < 0Puisqu’elle est définie dans R et est périodique de 2π, on peut alors écrire 1 si 2kπ ≤ x < (2k + 1)πf (x) = où k ∈ Z −1 si (2k + 1)π ≤ x < 2kπ Si cette fonction peut être écrite sous la forme de série de Fourier, alors cette série est N a0égale à + (an cos(nx) + bn sin(nx)). 2 n=1Maintenant, il faut qu’on détermine les coefficients a0 , an et bn . Pour cela, nous pouvons directement appliquer ce que nous avons trouvé auparavant,mais on doit traiter les deux parties séparément, puisque f (x) est définie différemment 15
  17. 17. Figure 2.1 – Graphique de la fonction carréesur l’intervalle [−π, π]. 0 π 1 a0 = ( f (x) dx + f (x) dx) π −π 0 0 π 1 = ( −1 dx + 1 dx) π −π 0 1 = (π − π) = 0 π π 1 an = f (x) cos(nx) dx π −π 0 π 1 = ( − cos(nx) dx + cos(nx) dx) π −π 0 1 −1 1 = ( sin(nx)|0 + sin(nx)|π ) −π 0 π n n 1 −1 1 = ( (sin(0) − sin(−nπ)) + (sin(nπ) − sin(0))) π n n =0 π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π 0 π 1 = ( − sin(nx) dx + sin(nx) dx) π −π 0 1 1 −1 = ( cos(nx)|0 + −π cos(nx)|π ) 0 π n n 1 1 −1 = ( (cos(0) − cos(−nπ)) + (cos(nπ) − cos(0))) π n n 1 1 −1 = ( (1 − cos(−nπ)) + (cos(nπ) − 1)) π n n 2 = (1 − cos(nπ)) nπ 16
  18. 18. On remarque ici que la valeur de bn dépend de la parité de n. Aussi posons-nous soitn = 2k, soit n = 2k + 1 suivant la parité de k ∈ Z. 2 1Si n = 2k alors (1 − cos(nπ)) = (1 − cos(2kπ)) = 0 nπ kπ 2 2 4Si n = 2k + 1, alors (1 − cos(nπ)) = (1 − cos((2k + 1)π)) = nπ (2k + 1)π (2k + 1)π   0 si n est un entier pairDonc on a bn = 4  si n est un entier impair nπNous avons donc trouvé que la série de Fourier de f (x) est N 4 sin((2k + 1)x) (2k + 1)π k=0 Figure 2.2 – Addition de termes de la fonction carrée Mais maintenant, nous pouvons nous poser une question sur le nombre N : de quellegrandeur doit-il être afin d’obtenir exactement le graphe de la fonction désirée ?De plus, on rencontre une difficulté lorsqu’on veut construire cette fonction carrée enl’approchant avec la somme des termes consécutifs de la série que l’on vient de trouver. 17
  19. 19. En effet, comment peut-on construire une fonction discontinue à chaque x = kπ (où k estun entier) à l’aide de la somme de fonctions continues en tout point dans R et dérivablesdans tous ses degrés (ses fonctions dérivées de degré 1, 2, 3,...,etc. sont toutes continues,car les fonctions sinus et cosinus sont de classe C n ).Cependant, nous pouvons observer que plus on ajoute de termes dans cette somme, doncplus le nombre N croît, plus la fonction a l’air de coller au graphe de la fonction carrée. Mais elle ne deviendra jamais carrée puisqu’il existe toujours des courbes aux extrémités.Par cette idée intuitive, on peut déduire que la série de Fourier associée à cette fonction ∞ 4carrée f (x) est sin((2k + 1)x) (2k + 1)π k=0De même, on peut étendre la série de Fourier vers une écriture plus générale. Si unefonction f (x) périodique de période 2π peut être écrite sous forme de série de Fourier,alors cette série est égale à ∞ a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1Par cet exemple, nous pouvons aussi observer une chose étonnante. Cette fonction carréepeut être simplement écrite par la somme de sinus. En effet, la raison pour laquelle sonexpression est uniquement sous forme de termes en sinus est simplement due à sa parité.Cette "propriété de parité" nous dit que : – si la fonction est paire, alors sa série de Fourier est une somme de cosinus – si la fonction est impaire, sa série de Fourier est une somme de sinusRappelons-nous d’abord de certaines propriétés liées a la parité d’une fonction.Si une fonction est paire, alors f (x) = f (−x)et on peut simplifier l’expression de l’intégrale sur des intervalles symétriques : π π f (x) dx = 2 f (x) dx. −π 0Si une fonction est impaire alors, f (x) = −f (−x). π et f (x) dx = 0 −π Finalement, le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire est impaire, etle produit de deux fonctions de la même parité est paire. 18
  20. 20. Ainsi, si f (x) est paire, alors f (x) sin nx est impaire et f (x) cos nx est paire. π 2 a0 = f (x) dx π 0 π 2 an = f (x) cos(nx) dx π 0 π 1 bn = f (x) sin(nx) dx = 0 π −πSi f (x) est impaire, alors f (x) sin nx est paire et f (x) cos nx est impaire. π 1 a0 = f (x) dx = 0 π −π π 1 an = f (x) cos(nx) dx = 0 π −π π 2 bn = f (x) sin(nx) dx π 0Par conséquent, on voit que ∞ a0 Si f (x) paire, la serie = + an cos(nx) 2 n=1 ∞ Si f (x) impaire, la serie = bn sin(nx) n=1 Maintenant qu’on est familier avec la série de Fourier pour une fonction de période2π, on peut se demander quelle sera la forme de la série de Fourier pour une fonctionpériodique de période T quelconque. Étudions cela :Soit f (x) une fonction périodique de période T . On veut la développer en série de Fourier,mais on ne connait que le la série pour une période de 2π. Nous allons donc effectuer un T Tchangement de variable x = u tel que f ( u) soit périodique de période 2π. 2π 2π T TOn le voit facilement car f (x) = f ( u) et f (x + T ) = f ( (u + 2π)). 2π 2π T T TEt puisque f (x) = f (x + T ) ⇔ f ( u) = f ( (u + 2π)) donc f ( u) est bien périodique 2π 2π 2πde 2π. 19
  21. 21. On connait ainsi la forme de cette série de Fourier et de ses coefficients ∞ a0 + (an cos nu + bn sin nu) 2 n=1 T TEt on applique le changement de variable x = 2π u ⇒ dx = 2π du, ce qui va nous donnercomme expression π 1 T a0 = f( u) du π −π 2π T 1 2 2π = f (x) dx π −T 2 T T T 2 2 2 = f (x) dx = f (x) dx T −T 2 T 0 π 1 T an = f( u) cos(nu) du π −π 2π T 1 2 2πnx 2π = f (x) cos( ) dx π −T 2 T T T T 2 2 2πnx 2 2πn = f (x)cos( ) dx = f (x) cos( ) dx T −T 2 T T 0 T π 1 T bn = f( u) sin(nu) du π −π 2π T 1 2 2πnx 2π = f (x) sin( ) dx π −T 2 T T T T 2 2 2πnx 2 2πn = f (x) sin( ) dx = f (x) sin( ) dx T −T 2 T T 0 TEt la série de Fourier d’une fonction de période quelconque T sera ∞ a0 2πn 2πn + (an cos x + bn sin x) 2 n=1 T T Et cela satisfait également toutes les autres propriétés démontrées auparavant. 20
  22. 22. 2.1.5 Ecriture complexe des séries de Fourier Cette manière d’écrire la série de Fourier avec la somme de sinus et cosinus n’est pasl’unique représentation des séries de Fourier : nous pouvons aussi écrire la somme deFourier sous la forme exponentielle, ce qui simplifiera l’écriture et les calculs. Tout d’abord, nous devons montrer la relation d’Euler qui nous sera très utile pour lasuite. eiπ + 1 = 0 Par les séries de Taylor (plus précisément par la série de Maclaurin), on peut écrire lafonction ex sous la forme suivante : x2 xn ex = 1 + x + + ··· + + ··· 2! n!Nous pouvons faire la même chose pour sin x et cos x, ce qui nous donne : x2 x4 x6 x3 x5 x7 cos x = 1 − + − + · · · et sin x = x − + − + ··· 2! 4! 6! 3! 5! 7!Et vu que (iθ)2 (iθ)3 (iθ)4 (iθ)n eiθ = 1 + iθ + + + + ··· + + ··· 2! 3! 4! n! −θ2 −iθ3 θ4 = 1 + iθ + + + + ··· 2! 3! 4! 2 4 θ θ θ3 θ5 = (1 − + − · · · ) + i(θ − + ) 2! 4! 3! 5! = cos θ + i sin θ Nous obtenons alors que eiθ = cos θ + i sin θce qui veut aussi dire que eiπ = cos π + i sin π = −1 ou encore eiπ + 1 = 0 Comme corollaire de la relation eiθ = cos θ + i sin θ, nous pouvons déduire que eiθ + e−iθ cos θ = 2 eiθ − e−iθ sin θ = 2i a0 Ainsi, on pourrait, sans se préoccuper du terme constant , remplacer ces expressions 2 21
  23. 23. dans la série de Fourier trigonométrique.∞ ∞ einx + e−inx einx − e−inx (an cos(nx) + bn sin(nx)) = (an + bn )n=1 n=1 2 2i ∞ an inx ibn inx = ( (e + e−inx ) − (e − e−inx )) n=1 2 2 ∞ ∞ an ibn an ibn = einx ( − )+ e−inx ( + ) n=1 2 2 n=1 2 2 Au lieu de prendre tous les termes n de 1 à ∞, on peut penser qu’on peut inverser ceci sans pour autant changer le sens de la somme en prenant tout les n de−∞ à −1. ∞ −1 an ibn a−n ib−n = einx ( − )+ einx ( + ) n=1 2 2 n=−∞ 2 2 Nous avons envie de grouper les deux sommes, pour ça, il faut qu’on trouve unerelation entre les deux.Puisque la série trigonométrique donne une fonction réelle, alors la somme de ces deuxsommes doit aussi donner quelque chose de réel. La somme des deux doit donc satisfaire lasymétrie complexe : si on veut que la somme de deux nombres complexes soit un nombreréel il faut alors que si l’un est z, l’autre soit son conjugué z. an − ibnSi l’on pose que Cn = , donc on peut aussi déduire que 2 a−n − ib−n an + ibn C−n = , alors on a besoin que le terme correspondant de Cn soit Cn = 2 2 a−n + ib−net que celui de C−n soit C−n = 2Pour montrer cela nous devons d’abord montrer la relation entre les constantes trigonométriqueset a−n et b−n . π 1 On a vu que an = f (x) cos(nx) dx alors, π −π π 1 a−n = f (x) cos(−nx) dx π −π π 1 = f (x) cos(nx) dx π −π = an 22
  24. 24. π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π π 1 b−n = f (x) sin(−nx) dx π −π π 1 =− f (x) sin(nx) dx π −π = −bn Par ces deux relations, nous pouvons constater que, a−n − ib−n C−n = 2 an + ibn = 2 an − ibn = 2 = CnCeci nous montre bien que la somme des deux est bien réelle puisqu’elles satisfont Cn =C−n . Par la même procédure, on peut aussi montrer que C−n = Cn .Mais avant de pouvoir les écrire sous une seule somme, on peut constater qu’il nousmanque le terme n = 0.Puisqu’on sait que Cn = C−n , alors C0 = C−0 = C0 . Ca montre que C0 est un terme a0particulier car il est toujours réel est égale a . C’est la raison pour laquelle on a choisi, 2 a0dans la série de Fourier trigonométrique, d’introduire la constante comme étant . 2 Finalement, nous pouvons continuer notre raisonnement, et poser que an − ibn a−n + ib−n Cn = et Cn = 2 2 ∞ ∞ −1a0 a0 an − ibn a−n + ib−n + (an cos(nx) + bn sin(nx)) = + einx ( )+ einx ( )2 n=1 2 n=1 2 n=−∞ 2 ∞ −1 a0 = + Cn einx + Cn einx 2 n=1 n=−∞ et Cn = C−n et C0 = C−0 = C0 , donc ∞ = Cn einx −∞Nous avons donc que si une fonction peut être écrite sous forme de série de Fourier 23
  25. 25. exponentielle, alors sa série de Fourier sera ∞ Cn einx n=−∞Il nous faut maintenant trouver les expressions du coefficient Cn , à l’instar de ce qu’on apu réalisé précédemment. an − ibn a−n − ib−n N’oublions pas qu’on a défini que Cn = , C−n = et C−0 = C0 . 2 2Par ailleurs, nous avons aussi montré les expressions de an et bn , donc pour trouver Cn ,il nous suffit de substituer les expressions. an − ibn Cn = 2 1 1 π i π = ( f (x) cos(nx) dx − f (x) sin(nx) dx) 2 π −π π −π π 1 = f (x)(cos(nx) − isin(nx)) dx 2π −π Par la relation d’Euler, on peut voir directement que cos(nx) − isin(nx) = e−inx π 1 = f (x)e−inx dx 2π −π Cependant, cette méthode pour trouver le coefficient Cn dépend fortement de an etbn qu’on a trouvé auparavant. Donc cette méthode n’est pas très pratique.Dans ce cas, nous pouvons aussi montrer un autre moyen pour trouver l’expression ducoefficient Cn . Supposons que ∞ f (x) = Cn einx n=−∞alors si on multiplie les deux côtés par e−ikx ou k est un entier quelconque, on obtient ∞ f (x)e−ikx = e−ikx Cn einx n=−∞Pour la partie de droite, on a ∞ e−ikx Cn einx = e−ikx (· · · + C−2 e−2ix + · · · + C1 eix + · · · + Ck eikx + · · · ) n=−∞nous remarquons qu’il existe un et un seul terme où n = k qui nous donnera 24
  26. 26. Ck eix(k−k) = Ckdonc nous pouvons écrire de façon équivalente : ∞ ∞ e−ikx Cn einx = Cn ei(n−k)x + Ck n=−∞ n=−∞,n=k ∞ Donc on a Ck = f (x)e−ikx − Cn ei(n−k)x n=−∞n=kOn peut intégrer sur une période des deux côtés, π π π ∞ Ck = f (x)e−ikx dx − Cn ei(n−k)x dx −π −π −π n=−∞,n=kPrenons un terme dans la somme que nous devons intégrer, π π Cn eix(n−k) dx = Cn eix(n−k) dx −π −π Cn = ei(n−k)x |π −π i(n − k) Cn = (eiπ(n−k) − e−iπ(n−k) ) i(n − k) par la relation d’Euler, on sait que pour m entier, eiπm = 1 Puisque n et k sont tous les deux entiers, leur différence l’est également =0 π π Finalement, on a Ck dx = f (x)e−ikx dx −π −π π 2πCk = f (x)e−ikx dx −π π 1 Pour tout k entier, on peut avoir Ck = f (x)e−ikx dx. 2π −πDonc si on peut écrire ∞ f (x) = Cn einx −∞alors, π 1 Cn = f (x)e−inx dx 2π −πOn obtient bien le même expression que ce qu’on a trouve par la première méthode.Tout comme les séries de Fourier trigonométriques, on peut écrire les séries de Fourierexponentielles d’une fonction f (x) de période quelconque T . 25
  27. 27. T TOn utilisera aussi le changement de variable x = u pour rendre f ( u). 2π 2πFinalement on obtient que la série de Fourier d’une fonction périodique de T est ∞ 2πinx f (x) = Cn e T n=−∞où le coefficient de Fourier T T 1 2 −2πinx 1 −2πinx Cn = f (x)e T dx = f (x)e T dx T −T 2 T 02.2 Convergence des séries trigonométriques, des séries de Fourier, et Théorème de Dirichlet Jusqu’à présent, nous avons toujours utilisé soit l’hypothèse "si la fonction égale àsa série" ou soit le terme "la série de Fourier d’une fonction" parce qu’on a pas encoremontre de manière rigoureuse, l’équivalence entre la fonction et sa série de Fourier. Pourcela, nous devons montrer la convergence de la série de Fourier vers la fonction. La convergence est sans conteste l’aspect le plus compliqué dans la description mathématiquedes séries de Fourier. Aussi pouvons-nous seulement, avec notre modeste niveau, enaborder qu’une mince partie. Avant toute chose, il convient d’introduire certaines notions en ce qui concerne laconvergence, afin que le vocabulaire utilisé, qui peut somme toute paraître anodin, prennetout son sens. En premier lieu, nous devons distinguer les différentes formes de convergence :la convergence simple, la convergente uniforme, la convergence en norme ainsi que laconvergence "presque partout". Nous ne nous occuperons pas des deux derniers cas, cartrop complexes.2.2.1 Convergence simple Définition : Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions définies sur I, et f définiesur I. On dit que (fn ) converge simplement vers f sur I si ∀x ∈ I, la suite (fn (x))converge vers f (x). Autrement dit : ∀x ∈ I, ∀ > 0, ∃n0 ( , x) ∈ N, ∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < Où la notation ( , x) signifie que le choix du n0 dépend et de , et du x déterminé. Exemple : Soit sur [0, 1], fn (x) = xn . Il est clair que la fonction fn convergesimplement vers la fonction définie par f (x) = 0 si x est dans [0,1[ et f (1) = 1. 26
  28. 28. Figure 2.3 – Illustration de la convergence simple On constate dèjà ici l’insuffisance de la convergence simple pour les fonctions continues :chaque fonction (fn ) est continue, la suite (fn ) converge simplement vers f , et pourtantf n’est pas continue. Ainsi la continuité n’est pas toujours préservée par la convergencesimple, d’où par la suite l’idée de convergence uniforme. Une autre insuffisance d’une telle notion est que l’intégrale de la limite d’une suitefonctions intégrables n’est pas forcément égale à la limite de l’intégrale de la suite defonctions intégrables. Soit la suite de fonctions définie sur [0,1] par  1  fn (x) = n2 x,  0≤x≤ 2n 1 1 1 f (x) = n2 ( n − x), ≤x ≤n  n 2n 1 fn (x) = 0, x≥  n Montrons la convergence simple de la suite fn (x) sur [0,1]. 1 1Soit x>0. n →0 lorsque n → ∞, donc à partir d’un certain rang N , on a : n < x.On en déduit donc qu’à partir du même rang N , fn (x) = 0 et donc fn (x) → 0 lorsquen → ∞. Ainsi, la suite (fn (x)) converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1]. 1 1 1 2n nD’un autre côté, fn (x) = n2 xdx + n − n2 xdx = 1/4 (L’intégrale est donc 1 0 0 2n 1indépendante de n). Ceci prouve que la suite ( fn ) ne tend pas vers 0. Aussi cette 0intégrale n’est-elle pas égale à l’intégrale de la fonction nulle, qui est bien entendu nulle, 1 1 1et donc, lim fn (x)dx = lim fn (x)dx = f (x)dx = 0. n→∞ 0 0 n→∞ 0Ces insuffisances motivent donc une nouvelle notion de convergence. 27
  29. 29. Figure 2.4 – Illustration de la convergence uniforme2.2.2 Convergence uniforme Définition : Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions définies sur I, et f définiesur I. On dit que (fn ) converge uniformément vers f sur I si : ∀ > 0, ∃n0 ( ) ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)| < . La convergence uniforme est donc une forme de convergence beaucoup plus exigeanteque la convergence simple, qui ne demandait que, pour chaque point x, la suite (fn (x)) aitune limite. La convergence uniforme veut que toutes les suites (fn (x)) avancent vers leurlimite respectives avec un certain mouvement d’ensemble, autrement dit, la convergencea lieu à la même vitesse pour chaque point x, d’où le fait que l’on puisse déterminer unevaleur unique n0 à partir de laquelle toutes les fn (x) dont le n est supérieur à n0 soientinférieures à un donné, ce indépendamment de x. A l’inverse, pour la convergencesimple, le rang à partir duquel la distance devient très petite peut fortement varier d’un x àl’autre. De façon imagée, on peut dire que pour que la convergence uniforme, il est possible,selon le n0 , de former un tube plus ou moins petit autour de la fonction vers laquelle lasuite converge dans lequel tous les fn , n > n0 se trouvent. Pour la convergence simple,on aurait, toujours de façon imagée, certaines fonctions qui ferait des pics, dépassant cetube imaginaire, pour ensuite revenir vers la fonction vers laquelle la suite tend. Ceci seretrouve bien entendu dans la définition ci-dessus avec |fn (x) − f (x)| < . 28
  30. 30. Figure 2.5 – Exemple de convergence uniforme vers la fonction y = |x| Il semble assez intuitif que toute suite de fonction qui converge uniformément convergesimplement. Nous n’allons pas le démontrer formellement. La réciproque est en généralfausse, sauf cas exceptionnels. Réglons de suite la seconde insuffisance pour les fonctions intégrables : la définition deconvergence uniforme nous permet une majoration indépendante de x, d’où nous obtenonsl’inégalité suivante : b |fn (x) − f (x)|dx ≤ (b − a)max|fn − f | aCeci nous permet dès lors de permuter la position de limite sans affecter le résultat, et lalimite de l’intégrale est bien égale à l’intégrale de la limite. (Quand n tend vers l’infini, lesecond membre tend vers 0, d’où le premier également - du fait de la valeur absolu - et b blim fn (x)dx = f (x)dx )n→∞ a a Mais qu’en est-il de la première insuffisance en ce qui concerne les fonctions continues :si une suite de fonction (fn ) continues sur I converge uniformément vers f , f est-ellecontinue sur I ? La réponse est oui (on s’en doute), en voici la preuve : Nous savons que :∀ > 0, ∃n0 ( ) ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < . Prenons x0 ∈ I, qui répond donc à l’inégalité, et fixons un nombre entier N quicaractérise la fonction fN . Nous savons d’autre part que (fN ) est continue en x0 , donc : ∀x ∈ I, ∃δ( , x) > 0, |x − x0 | < δ ⇒ |fN (x) − fN (x0 )| < Et l’inégalité triangulaire achève la démonstration puisque|f (x) − f (x0 )| < |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (x0 )| + |fN x0 − f (x0 )| < 3 . 29
  31. 31. 2.2.3 Convergence normale Soient I un intervalle de R et (fn )n∈Z une suite de fonctions définies sur I. On dit que ∞(fn ) converge normalement sur I si la série sup|fn (x)|, x ∈ I est convergente. n≥0 La convergence normale est encore plus exigeante que la convergence uniforme, dansle sens où toute fonction qui converge normalement converge uniformément. Nous ne ledémontrerons pas.2.2.4 Convergence des séries trigonométriquesProposition 1 Si les séries numériques |an | et |bn | co,nvergent, alors la série trigonométriques 2πn 2πnS(t) = an cos( t) + bn sin( t) converge normalement (et donc uniformément) T T n≥0sur R Preuve Cela découle directement de l’inégalité : |an cos( 2πn t) + bn sin( 2πn )t)| ≤ |an | + |bn | T T Corollaire Si les séries numériques |an | et |bn | convergent, alors la série trigonométriqueS(t) est continue sur R. Si les séries n |an | et n |bn | convergent, alors la somme S(t) est continue sur R,à dérivée continue.Proposition 2 Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors la sérietrigonométrique S(t) est convergente pour t = k.T où k ∈ Z Nous ne démontrons pas cette proposition.2.2.5 Théorème de Dirichlet. Avant d’entamer la démonstration, il convient de repréciser les différents types deconvergence qui interviennent dans le cadre des séries de Fourier : la convergence simple,que traite le théorème de Dirichlet, la convergence uniforme, la convergence en norme,et la convergence presque partout. Chacune de ces notions de convergence requiert deshypothèses différentes sur la fonction f (x), ainsi que différents types de preuves. Lespreuves des trois derniers cas de convergence cités sont inabordables car elles nécessitentdes notions d’analyse fonctionnelle très avancées. Quelques notations et définitions 30
  32. 32. Notation Nous noterons pour la suite f (a+ ) la limite à droite en a et f (b− ) la limite à gaucheen b. Fonction continue par morceau Une fonction f : [a, b] → C est dite continue par morceau sur [a,b] si f est continue sur[a,b] sauf éventuellement en un nombre fini de points qui admettent des limites à gaucheet à droite. En particulier, f (a+ ) et f (b− ) existent. Fonction lisse par morceaux Une fonction f : [a, b] → C est dite lisse par morceau sur [a,b] si f et f sont continuespar morceaux sur [a,b]. En particulier, f (a+ ) et f (b− ) existent. Extension sur R Une fonction f : R → C est continue (respectivement lisse) par morceau sur R si elleest continue (respectivement lisse) par morceaux sur tout intervalle borné [a,b]∈ R Introduction au théorème n Expression du noyau de Dirichlet : Dn (x) = eikx k=−n Nous allons calculer cette somme dans un cas général afin d’alléger l’écriture. Soitdonc la somme symétrique (car allant de −n à n) de termes d’une suite géométrique deraison q. Nous allons utiliser la symétrie de la somme afin de modifier l’écriture : n 2n q 2n+1 qk = q −n q k = q −n q−1 k=−n k=0 1Pour obtenir un terme plus homogène, multiplions numérateur et dénominateur par q − 2 , 1 1 1 q −n− 2 q 2n+1 − 1 q n+ 2 − q −n− 2ce qui nous donne : −1 = 1 −1 q 2 q−1 q2 − q 2 En remplaçant maintenant q par eix , nous trouvons : 1 1 ei(n+ 2 )x − e−i(n+ 2 )x 1 1 ei( 2 )x − e−i( 2 )x Et en utilisant les formules d’Euler, nous pouvons transformer l’expression en : sin((n + 1 )x) 2 sin( x ) 2 Cependant, nous aurons besoin pour notre démonstration de l’intégrale de −π à π(qui équivaut soit disant passant au double de l’intégrale de 0 à π, la fonction déterminépar le noyau étant paire) de la fonction Dn (x). La primitive de l’expression trouvée étantextrêmement ardue, nous devons trouver une autre expression du noyau. Sachant que le noyau est une fonction réelle, il nous suffit en fait de prendre en compte nuniquement les parties réelles de la somme eikx , ce qui nous donne : k=−n 31
  33. 33. k=n Dn (x) = 1 + 2 cos(kx) k=1(Deux fois la somme car cosx est paire, 1 car nous considérons à part le cas où k=0) π Aussi trouvons-nous aisément que : Dn (x)dx = 2π, les termes en cosinus devenant −πdes sinus, qui s’annulent pour x = k.π. En résumé, n n 1 sin((n + 2 )x) Dn (x) = eikx = 1 + 2 cos(kx) = sin( x ) 2 k=−n k=1Et son intégrale de 0 à π équivaut à π. Passons maintenant au théorème de Dirichlet enlui-même. Théorème(Dirichlet, 1824) Si f : R → C est 2π-périodique et lisse par morceau surR, alors : f 1 lim SN (x) = (f (x+ ) + f (x− )) pour tout x. N →∞ 2 En particulier, f lim SN (x) = f (x) N →∞ fpour tout x où f est continue, avec SN (x) la série de Fourier correspondant à la fonction. Nous pouvons dès lors dire qu’une fonction qui vérifie les hypothèses du théorème deDirichlet converge simplement. Remarque :Il peut exister des fonctions continues dont lasérie de Fourier associée diverge pour certaines valeurs de x. Preuve Nous allons utiliser la notation complexe, et choisir le cas particulier T = 2π afin pd’alléger l’écriture. Notons Sp (x) = ck eikx la somme partielle de la série de Fourier k=−pen un point x fixé. 1 1. Calcul de Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− )) 2 Calculons la somme partielle Sp (x), et précisons que f (t) correspond à la fonction quel’on a représenté sous forme de série. x étant fixé, nous utilisons la variable t afin de nepas prêter à confusion ; il ne s’agit en quelque sorte que d’une variable muette : p 2π 1 Sp (x) = eikx e−ikt f (t)dt 2π 0 k=−p 32
  34. 34. 2π p 1 = eik(x−t) f (t)dt 2π 0 k=−p 2π 1 = Dp (x − t)f (t)dt 2π 0 2π−x 1 = Dp (u)f (u + x)du 2π −x [Changement de variable (t=u+x) + utilisation du fait que le noyau de Dirichlet estpair.] π 1 = Dp (u)f (u + x)du 2π −π 2π π k+2πf périodique de période 2π, donc, comme on a pu le démontrer, = = 0 −π k Ceci nous permet dès lors d’écrire en se souvenant que l’intégrale du noyau sur lapériode est π : π π 1 1 1 Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− )) = Dp (u)f (u + x)du − Dp (u)f (x+ )du − 2 2π −π 4π −π π 1 − Dp (u)f (x )du4π −π Ce qui nous donne en utilisant la parité du noyau de Dirichlet : π π 0 1 1 1 Dp (u)f (u + x)du − Dp (u)f (x+ )du − Dp (u)f (x− )du 2π −π 2π 0 2π −π 0 π = 1 2π ( −π Dp (u)(f (u + x) − f (x− ))du + 0 Dp (u)((f (u + x) − f (x+ ))du ) Il ne nous reste donc plus qu’à prouver que ces deux intégrales tendent vers 0 lorsquep tend vers l’infini, et nous aurons gagné. La démonstration étant quasi identique pourchaque intégrale, nous ne le démontrerons que pour une seule. π 2. Calcul de lim Dp (u)((f (u + x) − f (x+ ))du p→∞ 0 1 sin((p + 2 )x) Nous avons vu dans l’introduction au théorème que Dp (x) = x sin( 2 ) Choisissons α, 0 < α < π, tel que f soit lisse par morceau sur ]x; x + α[ (sans oublier π α πque x est fixé), et décomposons en + 0 0 α α 2.1 Traitons d’abord le cas de la première intégrale 0 33
  35. 35. Notons M la borne supérieure de f sur [0; α] et remarquons que u ≤ πsin( u ) pour 2tout u ∈ [0, π] Nous appliquons le théorème des accroissements finis à f sur [x; x + u] :|f (u + x) − f (x+ )| ≤ M u. Et donc, en réinjectant dans l”intégrale dont on a pris la valeur absolu, tout en serappelant que u ≤ πsin( u ) , nous obtenons : 2 α |sin((p + 1 )u)| α |sin((p + 1 )u)| 2 |((f (u + x) − f (x+ ))|du ≤ 2 M udu ≤ M πα 0 sin( u ) 2 0 sin( u ) 2 Ainsi, l’intégrale peut être rendue arbitrairement petite pour autant que l’on choisissebien α. π 2.2 Cas de la seconde intégrale α Nous allons utiliser le lemme suivant afin de démontrer cela (remarquons que ce lemmemarche tout aussi bien pour le premier cas) : Lemme Toute fonction f lisse par morceau sur [a, b] vérifie : b lim f (x)sin(nx)dx = 0 n→∞ a b lim f (x)cos(nx)dx = 0 n→∞ a Preuve b n−1 αk+1 Il nous suffit d’intégrer par partie : f (x)sin(nx)dx = f (x)sinxdx = a k=0 αk n−1 αk+1 n−11 + − 1 (f (αk )cos(nαk ) − f (αk+1 )) + f (x)cos(nx)dxn n αk k=0 k=0 Et l’on constate bien que lorsque n → ∞, l’expression → 0 (Rappelons-nous bien quel’hypothèse de départ est que f est lisse par morceau, d’où le fait que sa dérivée soitcontinue, et a fortiori bornée, ce qui justifie le fait que la seconde partie de l’expressiontende vers 0.) Revenons-en au traitement de notre second cas. f (x+u)−f (x+ )Posons g(u) = sin( u ) . Il suffit maintenant simplement de constater que g(u) est 2lisse par morceau sur [α; π], ce qui implique que π 1 lim g(u)sin((p + )u) = 0 d’après le lemme précédent, ce que l’on cherchait àp→∞ α 2 34
  36. 36. démontrer. 3.Synthèse de la démonstration du théorème de Dirichlet. 1 Nous avons donc démontré que lim Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− )) = 0, pour une fonction p→∞ 2f lisse par morceau, ce qui nous assure que qu’en tout point de discontinuité, la fonctionconverge vers une valeur, et qu’en tout autre point où f est continue, la limite de la sériede Fourier correspondant à la fonction pour p très grand tend vers la fonction.2.2.6 Analyse d’une fonction qui répond aux hypothèses du théorème de Dirichlet. On se propose d’étudier la fonction f (x) = ex si x ∈] − π; π[, fonction qu’on étend parla suite sur l’ensemble des réels. D’après ce qu’on a pu démontrer sur la périodicité, nouspouvons nous contenter d’étudier la fonction sur ] − π; π[Figure 2.6 – Graphique de f (x) = ex si x ∈] − π; π[, fonction qu’on étend par la suitesur l’ensemble des réels. Remarquons tout de suite que la fonction est discontinue aux points x = π + k.2π,qu’elle est de période de 2π et qu’elle vérifie les hypothèses du théorème de Dirichletpuisqu’elle est clairement lisse par morceau. Ainsi, nous pouvons légitimement écrire ∞ a0cette fonction sous forme de série de Fourier, c’est-à-dire f (x) = 2 + (an cos(nx) + n=0bn sin(nx)) Calcul de a0 1 π x eπ − e−π a0 = e dx = π −π π Calcul de an 1 π x an = e cos(nx)dx. π −π πPour trouver ex cos(nx)dx, deux méthodes-entre autres- s’offrent à nous : la double −π πintégration par partie, ou ex(ni+1) , en considérant ensuite la partie réelle de l’intégrale. −πNous allons utiliser la première pour la recherche de an et la seconde pour la recherche de 35
  37. 37. bn . ( A la seule différence près que cos(nx) étant subsitué par sin(nx) pour la recherhcede bn , nous devrons considérer la partie imaginaire de l’intégrale.)Soit I = ex cos(nx)dx. Après la première intégration par partie, nous trouvons : ex sin(nx) 1I= − ex sin(nx) n nIntégrons maintenant par partie J = ex sin(nx) ; nous trouvons : −ex cos(nx) 1 π xJ= + e cos(nx) n n −π ex sin(nx) 1 −ex cos(nx) 1Ainsi, I = − ( + I) nx n n n 1 e sin(nx) ex cos(nx)⇔ I(1 + 2 ) = + nx n x n2 n.e sin(nx) + e cos(nx)⇔I= n2 + 1 π eπ .cos(nπ) e−π .cos(nπ) cos(nπ) πDès lors, ex cos(nx)dx = 2+1 − 2+1 = 2 (e − e−π ) −π n n n +1 1 cos(nπ) π Et finalement, an = ( (e − e−π )) π n2 + 1 Calcul de bn 1 π x 1 πbn = e sin(nx)dx = ( ex(ni+1) ) π −π π −π 1 π x(ni+1) eπ(ni+1) e−π(ni+1) ⇒ e = − π −π ni + 1 ni + 1 −ni + 1 π nπi −π −nπi= 2 (e e −e e ) n +1 En prenant uniquement la partie imaginaire, en considérant bien que sin(nπ) est detoute façon nul, nous trouvons : 1 −nbn = ( 2 (eπ cos(nπ) − e−π cos(nx))) π n +1 1 ncos(nπ) −π Et finalement, bn = ( (e − eπ )) π n2 + 1 Et en groupant le tout, nous trouvons l’expression de la série. (En considérant bienque suivant que n est pair ou impair, cos(nπ) équivaudra à 1 ou -1) Série de Fourier associée à la fonction ∞ eπ − e−π (−1)n f (x) = + (eπ − e−π )(cos(nx) − nsin(nx)) 2π n=1 π(n2 + 1) 36
  38. 38. ∞ eπ − e−π (−1)n= π (1 + 2 π(n2 + 1) ) (cos(nx) − nsin(nx) n=12.3 Phénomène de Gibbs Nous avons vu lors de l’analyse de la fonction carrée qu’au plus on additionne destermes trigonométriques, au plus la fonction tend vers une forme carrée. Mais nousremarquons aussi que sur les points anguleux de la fonction, bien qu’on puisse ajouter ungrand nombre de termes, défaut d’approximation persistera. Figure 2.7 – Illustration du phénomène de Gibbs Etant donné que tout terme de la série de Fourier est une fonction continue, ilest normal que la série ne puisse approcher uniformément la fonction aux points dediscontinuité. Des études ont déjà montré que l’amplitude d’oscillation autour des discontinuitésest toujours plus importante. Quantitativement, il en ressort que très régulièrement,l’oscillation y est 18% plus importante que sur le reste la fonction continue. C’est le casdans la fonction carrée. Nous verrons dans la partie traitant des applications l’importancede cette fonction carrée qui est incontournable en électronique lorsque l’on manipule desinformations binaires qui ne s’expriment qu’à l’aide de deux valeurs uniques. 37
  39. 39. Deuxième partieApplications de l’analyse harmonique 38
  40. 40. Chapitre 1Synthèse numérique d’un son àpartir de l’addition des séries deFourier Nous allons voir comment l’on peut modéliser des signaux à l’aide des séries de Fourierpar addition de termes en sinus et cosinus. Nous avons développé une application quimontre visuellement et auditivement l’importance de l’addition de termes dans les sériesde Fourier pour modéliser par exemple la fonction carrée. Il faut cependant différencierplusieurs types de signaux. Les signaux harmoniques, les signaux périodiques qui correspondentà la composition de différents signaux harmoniques et les signaux non périodiques. Chacunde ces signaux seront analysés à l’aide d’outils différents. Pour les signaux harmoniques,une analyse sinusoïdale suffit. Pour des signaux composés de plusieurs harmoniques, onutilisera les séries de Fourier. Et finalement pour les signaux non périodiques on peututiliser les transformées de Fourier. 39
  41. 41. Chapitre 2Applications informatiques2.1 FFT : Fast Fourier Transform Nous avons vu que les séries de Fourier sont des outils très pratiques afin de pouvoirmodéliser des signaux sous forme d’addition de sinusoïdes et cosinuoïdes. Il est doncpratique de disposer de ces séries mais le calcul n’est pas toujours simple et efficace.C’est pourquoi avec le développement de l’informatique sont apparus des algorithmes quipermettent de calculer les coefficients selon une méthode linéaire. Ainsi, nos processeursbinaires savent traiter bien plus rapidement l’information. Jusqu’ici on s’était intéresséà l’approche temporelle du son, c’est-à-dire que l’on se contentait de considérer le signalcomme une grandeur évoluant au fil du temps. C’est la vision la plus directe mais pasnécessairement la plus intuitive. Lorsque l’on écoute un son, l’analyse la plus simple,la plus primitive c’est, d’une part, de savoir s’il est fort ou faible en terme de volumesonore et par ailleurs s’il est grave ou aigu. 1 Nos oreilles sont essentiellement sensibles àla fréquence et à l’amplitude du son. A partir de là, il parait évident que la représentationtemporelle n’est pas la plus triviale pour “visualiser” un son de la même manière qu’onl’écoute. Nous allons donc recourir à une opération qui suit cette logique, la transformée deFourier. Une transformée est une opération consistant à faire correspondre une fonctionà une autre pour représenter la même information d’une façon différente. Dans le casde Fourier, l’idée est d’exprimer le son comme dépendant de la fréquence et non plusdu temps le tout à partir de l’hypothèse que tout signal est fondamentalement composéd’une somme de sinusoïdes de fréquences différentes. On peut distinguer assez clairementl’évolution du volume sonore mais on n’a aucune information visible sur la hauteur duson joué. 1. Pour l’oreille humaine, des sons très graves oscillent autour des 16Hz alors que des sons très aigusoscillent autour des 16kHz 40
  42. 42. Figure 2.1 – Représentation temporelle d’un son Figure 2.2 – Représentation fréquentielle d’un son Comparons les graphes. Sur la Figure 2.2 on a donc plus le temps comme abscisse mais la fréquence. Toutde suite, le graphique est nettement moins massif. Pourquoi ? On distingue clairementque le son est très simple car composé essentiellement d’une seule fréquence (788, 5Hz,c’est presque un sol) plus deux petits pics à dans les hautes fréquences ( 3000Hz et7000Hz). Par contre il est difficile de savoir comment le son évolue au fil du temps. 41

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