Les séries de Fourier
PlanIntroductionApproche avec des séries trigonométriques     Exemple : Fonction carréeApproche avec les séries complexesC...
Superposition d’ondes
Superposition d’ondes     Harmoniques              • Différences de                    fréquences              •    Décall...
Comment retrouver les différentes   fréquences et décalages qui composent un signal harmonique?
Expression générale du mouvement                  harmonique                         y(x, t) = A sin( 2πx −               ...
Somme d’harmoniques    La somme finie, constitu´e des harmoniques de la p´riode fondamentale T                             ...
Périodicité   Une fonction est p´riodique de p´riode p s’il existe un nombre r´el positif le                       e      ...
Lemme sur la périodicité à propos de l’intégrale    Soit f une fonction continue par morceau p´riodique de T .            ...
Série de Fourier d’une fonction périodique 2π                          N                                           a0   f ...
Si n = k:   π                        π       cos nx cos kx dx = 2     cos nx cos kx dx   −π                        0      ...
Si n = k              π                                  π                    cos nx cos kx dx = 2               cos2 nx d...
cos(nx) sin(kx) est impaire carcos(nx) sin(kx) = − cos(−nx) sin(−kx) π     cos(nx) sin(kx) dx = 0 −π
En r´sum´, pour n, k ∈ Z         e     e π                                                0 si n = k     cos nx cos kx dx ...
N                                                                                         a0            Supposons que f (x...
Pour an , multiplions par cos(kx) o` k est un entier positif, puis prenons                                         ul’int´...
Pour bn , faisons le mˆme proc´d´ mais avec sin(kx) o` k est un entier positif                              e       e e   ...
En résumé   Soit f une fonction p´riodique de p´riode 2π, si elle peut s’´crire sous forme                        e       ...
Exemple concret : la  fonction carrée
Fonction carr´e p´riodique de 2π, d´finie dans R comme :             e e                   e                               ...
Calculons les coefficients
N     a0   +     (an cos(nx) + bn sin(nx)).2    n=1                0              π          1     a0 = (       f (x) dx +...
π                1           bn =             f (x) sin(nx) dx                π    −π                     0               ...
Nous avons donc trouv´ que la s´rie de Fourier de f (x) est                        e         e                         N  ...
N=1N=5N=11N= 49
Phénomène de Gibbs
Conclusion   Plus le nombre N croˆ plus la fonction a l’air de coller au graphe de la                           ıt,fonctio...
Pourquoi la s´rie est compos´e seulement de termes de sinus?              e              e    Si une fonction est paire, a...
D´monstration : Si f (x) est paire, alors f (x) sin nx est impaire et f (x) cos nx     eest paire.                        ...
Par cons´quent,           e                               ∞                                                          a0Si ...
Une ´criture plus g´n´rale.         e              e eSi une fonction f (x) p´riodique de p´riode 2π peut ˆtre ´crite sous...
Et pour une période quelconque ?    Soit une fonction f (x) p´riodique de p´riode T quelconque, quelle est sa             ...
1 π        T           an =         f ( u) cos(nu) du                π −π 2π                 T              1   2         ...
Démonstration logicielle
Approche complexe des  séries de Fourier
Une autre ´criture de la s´rie de Fourier               e               e                   La relation d’Euler: eiπ + 1 =...
a0   Sans se pr´occuper du terme constant , on peut remplacer ces expressions              e                              ...
Puisque la s´rie trigonom´trique donne une fonction r´elle, alors la somme                 e              e               ...
La relation entre les constantes trigonom´triques et a−n et b−n .                                            e            ...
Par ces deux relations, nous pouvons constater que,                                     a−n − ib−n                        ...
Finalement, continuons notre raisonnement, et posons                         an − ibn         a−n + ib−n                  ...
Nous avons donc que si une fonction peut ˆtre ´crite sous forme de s´rie de                                               ...
Quelle est l’expression du coefficient Cn ?      an − ibnCn =          2            an − ibn       Cn =               2     ...
Une autre m´thode:                eSoit f p´riodique de 2π et supposons que        e                                      ...
Prenons int´grale sur une p´riode,              e               e          π                   π                         π...
Finalement,                               π                 π                                     Ck dx =            f (x)...
Pour une p´riode quelconque ?               eLa s´rie de Fourier d’une fonction f (x) de p´riode quelconque T .    e      ...
Convergence   Simple
Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I, et                                            ...
Exemple 1 : Soit sur [0, 1], fn (x) = xn . Il est clair que la fonction fnconverge simplement vers la fonction d´finie par ...
Exemple 2 Soit la suite de fonctions d´finie sur [0,1] par                                            e                   ...
1             1                     2n                                1                                 n      fn (x) =   ...
Convergence   Uniforme
D´finition : Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions      ed´finies sur I, et f d´finie sur I. On dit qu...
Toute suite de fonctions qui converge uniform´ment converge simplement.                                                eR´...
R´solution de la premi`re insuffisance :    e                    e   Nous savons que             ∀  0, ∃n0 () ∈ N, ∀x ∈ I, ∀...
Convergence   Normale
Soient I un intervalle de R et (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I.                                             ...
Séries trigonométriques                                                          Proposition 1 Si les s´ries num´riques   ...
Proposition 2    Si les suites num´riques (an )et(bn ) sont d´croissantes et tendent vers 0, alors                     e  ...
Théorème de Dirichlet
Quelques notations et d´finitions                                 e   Notation   Nous noterons pour la suite f (a+ ) la lim...
Introduction au th´or`me                  e e                                                            n                ...
D’autre part, grˆce aux formules d’Euler, on trouve :                   a                                     sin((n + 1 )...
Th´or`me(Dirichlet, 1824) Si f : R → C est 2π-p´riodique et lisse par      e e                                        emor...
Preuve                   p                      Soit Sp (x) =          ck eikx la somme partielle de la s´rie de Fourier e...
Nous pouvons alors ´crire, en se souvenant que l’int´grale du noyau sur la                        e                       ...
π                                                    +Calcul de lim                Dp (u)((f (u + x) − f (x ))du          ...
Preuve            Int´gration par partie :               e       b            f (x)sin(nx)dx    a                         ...
3.Synth`se de la d´monstration du th´or`me de Dirichlet.          e          e                 e e   Nous avons donc d´mon...
xf (x) = e si x ∈] − π; π[
Calcul de a0            π         1              eπ − e−π   a0 =        ex dx =         π −π               π   Calcul de a...
Calcul de bn        π                     π     1      x               1bn =       e sin(nx)dx = (       ex(ni+1) )     π ...
S´rie de Fourier associ´e ` la fonction e                     e a            π     −π     ∞                               ...
Merci pour votre   attention
FréquenceUne seconde
Applications en       téléphonieMultiplexingCompressionNumérotationSuppression de l’écho
Structure:         - Approche son (fred)- Séries trigonométriques (jie fang)- Calculs des coefficients (Antoine) +      fon...
Le timbreQualité spécifique du son produit par uninstrument, indépendante de la hauteur etl’amplitude                  Cor ...
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Séries de Fourier

1 531 vues

Publié le

Slides de présentation de dédramathisons. (colloque mathématique)
Retrouvez l'intégralité du travail à l'adresse suivante :
http://uclouvain.be/cps/ucl/doc/fsa/documents/Travail_Complet.pdf

Publié dans : Formation
0 commentaire
2 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
1 531
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
6
Actions
Partages
0
Téléchargements
143
Commentaires
0
J’aime
2
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Séries de Fourier

  1. 1. Les séries de Fourier
  2. 2. PlanIntroductionApproche avec des séries trigonométriques Exemple : Fonction carréeApproche avec les séries complexesConvergence des séries de Fourier
  3. 3. Superposition d’ondes
  4. 4. Superposition d’ondes Harmoniques • Différences de fréquences • Décallages de phase • Différences d’amplitude
  5. 5. Comment retrouver les différentes fréquences et décalages qui composent un signal harmonique?
  6. 6. Expression générale du mouvement harmonique y(x, t) = A sin( 2πx − λ 2πt T + φ)o` y est le d´placement p´riodique de la vibration de l’objet , λ la p´riode dans u e e el’espace , T la p´riode dans le temps et φ la phase. Fixons la variable x, nous eavons ici une fonction f (t) p´riodique de p´riode T . e e f (t) = A sin( 2πn t + φ) T
  7. 7. Somme d’harmoniques La somme finie, constitu´e des harmoniques de la p´riode fondamentale T e e N 2πnest An sin( t + φn ) n=1 T 2πn 2πn 2πn An sin( t + φn ) = An (sin( t) cos(φn ) + cos( t) sin(φn )) T T T 2πn 2πn = An sin(φn ) cos( t) + An cos(φn ) sin( t) T T on pose an = An sin(φn ) et bn = An cos(φn ) 2πn 2πn = an cos( t) + bn sin( t) T T a0Et un terme constant 2 N a0 2πn 2πn + (an cos( t) + bn sin( t)) 2 n=1 T T
  8. 8. Périodicité Une fonction est p´riodique de p´riode p s’il existe un nombre r´el positif le e e eplus petit possible p tel que f (x) = f (x + p)Est-ce que la somme des fonctions p´riodiques est une fonction p´riodique ? e eSi oui, quelle est sa p´riode ? eExemple 1: 1s(x) = sin(4x) + sin(x) + sin( x) est bien p´riodique de 4π. e 4Exemple 2 :s(x) = sin x + sin(πx) n’est pas p´riodique. e
  9. 9. Lemme sur la périodicité à propos de l’intégrale Soit f une fonction continue par morceau p´riodique de T . e a+TL’int´grale e f (x) dx ne d´pend pas du r´el a. e e aEn autres mots, a+T T T 2 f (x) dx = f (x) dx = f (x) dx = · · · −T a 0 2D´monstration : Par l’additivit´ de l’int´grale, e e e a+T 0 T a+T f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx a a 0 TPosons x = y + T ⇒ dx = dy a+T a a f (x) dx = f (y + t) dy = f (y) dy T 0 0 0 aConstatons que f (x) dx + f (y) dy = 0, a+T a T 0Donc f (x) dx = f (x) dx qui est ind´pendante de a e a 0
  10. 10. Série de Fourier d’une fonction périodique 2π N a0 f (x) = 2 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) n=1Quelles sont les expressions de a0 , an et bn ?Pour les trouver, calculons d’abord (o` n, k ∈ Z) u π • cos nx cos kx dx −π π • sin nx sin kx dx −π π • cos(nx) sin(kx) dx −π
  11. 11. Si n = k: π π cos nx cos kx dx = 2 cos nx cos kx dx −π 0 π 1 =2 (cos((n + k)x) + cos((n − k)x) dx 0 2 1 1 =( sin((n + k)x) + sin((n − k)x))|π 0 n+k n−k 1 1 =( sin((n + k)π) + sin((n − k)π) n+k n−k =0 π π sin nx sin kx dx = 2 sin nx sin kx dx −π 0 π −1 =2 (cos((n + k)x) − cos((n − k)x) dx 0 2 −1 −1 =( sin((n + k)x) − sin((n − k)x))|π 0 n+k n−k −1 −1 =( sin((n + k)π) − sin((n − k)π) n+k n−k =0
  12. 12. Si n = k π π cos nx cos kx dx = 2 cos2 nx dx −π 0 π 1 + cos(2nx) =2 dx 0 2 1 1 = 2( x + sin(2nx))|π 0 2 4n 1 1 = 2( π + sin(2nπ)) 2 4n =π π π sin nx sin kx dx = 2 sin2 nx dx −π 0 π 1 − cos(2nx) =2 dx 0 2 1 1 = 2( x − sin(2nx))|π 0 2 4n 1 1 = 2( π − sin(2nπ)) 2 4n =π
  13. 13. cos(nx) sin(kx) est impaire carcos(nx) sin(kx) = − cos(−nx) sin(−kx) π cos(nx) sin(kx) dx = 0 −π
  14. 14. En r´sum´, pour n, k ∈ Z e e π 0 si n = k cos nx cos kx dx = π si n = k −π π 0 si n = k sin nx sin kx dx = −π π si n = k π cos(nx) sin(kx) dx = 0 −π
  15. 15. N a0 Supposons que f (x) = + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1 π π π N a0 f (x) dx = dx + (an cos(nx) + bn sin(nx)) dx −π −π 2 −π n=1 π N π N π a0 = dx + an cos(nx) dx + bn sin(nx) dx −π 2 n=1 −π n=1 −π N an N −bn a0 π = x|−π + sin(nx)|π + −π cos(nx)|π −π 2 n=1 n n=1 n a0 = × 2π 2 = a0 π π 1 a0 = f (x) dx π −π
  16. 16. Pour an , multiplions par cos(kx) o` k est un entier positif, puis prenons ul’int´grale. e N a0f (x) cos(kx) = cos(kx) + (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx)) 2 n=1 π π π N a0 f (x) cos(kx) dx = cos(kx) dx + (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx)) dx −π −π 2 −π n=1 π N π N π a0 = cos(kx) dx + an cos(nx) cos(kx) dx + bn sin(nx) cos(kx) dx −π 2 n=1 −π n=1 −π π N π N π a0 = cos(kx) dx + an cos(nx) cos(kx) dx + bn sin(nx) cos(kx) dx 2 −π n=1 −π n=1 −πparmi les termes n, il existe un n ´gal ` k tel que e a π N N π π an cos(nx) cos(kx) dx = an cos(nx) cos(kx) dx+ak cos2 (kx) dxn=1 −π n=1,n=k −π −π π f (x) cos(kx) dx = ak π −π π 1 an = f (x) cos(nx) dx π −π
  17. 17. Pour bn , faisons le mˆme proc´d´ mais avec sin(kx) o` k est un entier positif e e e u N a0f (x) sin(kx) = sin(kx) + (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx)) 2 n=1 π π π N a0 f (x) sin(kx) dx = sin(kx) dx + (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx)) dx −π −π 2 −π n=1 π N π N π a0 = sin(kx) dx + an cos(nx) sin(kx) dx + bn sin(nx) sin(kx) dx −π 2 n=1 −π n=1 −π π N π N π a0 = sin(kx) dx + an cos(nx) sin(kx) dx + bn sin(nx) sin(kx) dx 2 −π n=1 −π n=1 −π N π N π πpuisque bn sin(nx) sin(kx) dx = bn sin(nx) sin(kx) dx+bk sin2 (kx) dx n=1 −π n=1,n=k −π −π π Alors f (x) sin(kx) dx = bk π −π π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π
  18. 18. En résumé Soit f une fonction p´riodique de p´riode 2π, si elle peut s’´crire sous forme e e ede s´rie de Fourier, e N a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1Alors, 1 π a0 = f (x) dx π −π π 1 an = f (x) cos(nx) dx π −π π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π
  19. 19. Exemple concret : la fonction carrée
  20. 20. Fonction carr´e p´riodique de 2π, d´finie dans R comme : e e e 1 si 2kπ ≤ x (2k + 1)π f (x) = −1 si (2k + 1)π ≤ x 2kπ
  21. 21. Calculons les coefficients
  22. 22. N a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)).2 n=1 0 π 1 a0 = ( f (x) dx + f (x) dx) π −π 0 0 π 1 = ( −1 dx + 1 dx) π −π 0 1 = (π − π) = 0 π 1 π an = f (x) cos(nx) dx π −π 0 π 1 = ( − cos(nx) dx + cos(nx) dx) π −π 0 1 −1 1 = ( sin(nx)|−π + sin(nx)|π ) 0 0 π n n 1 −1 1 = ( (sin(0) − sin(−nπ)) + (sin(nπ) − sin(0))) π n n =0
  23. 23. π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π 0 π 1 = ( − sin(nx) dx + sin(nx) dx) π −π 0 1 1 0 −1 = ( cos(nx)|−π + cos(nx)|π ) 0 π n n 1 1 −1 = ( (cos(0) − cos(−nπ)) + (cos(nπ) − cos(0))) π n n 1 1 −1 = ( (1 − cos(−nπ)) + (cos(nπ) − 1)) π n n 2 = (1 − cos(nπ)) nπbn d´pend de la parit´ de n. e e 2 1Si n = 2k alors (1 − cos(nπ)) = (1 − cos(2kπ)) = 0 nπ kπ 2 2 4Si n = 2k+1, alors (1−cos(nπ)) = (1−cos((2k+1)π)) = nπ (2k + 1)π (2k + 1)π 0 si n est un entier pairDonc on a bn = 4 si n est un entier impair nπ
  24. 24. Nous avons donc trouv´ que la s´rie de Fourier de f (x) est e e N 4 sin((2k + 1)x) (2k + 1)π k=0Deux questions se posent :Combien de termes doit-on additionner afin d’obtenir exactement le graphe dela fonction d´sir´e? e eComment peut-on construire une fonction discontinue ` chaque x = kπ (o` k a uest un entier) ` l’aide de la somme de fonctions continues en tout point dans R? a
  25. 25. N=1N=5N=11N= 49
  26. 26. Phénomène de Gibbs
  27. 27. Conclusion Plus le nombre N croˆ plus la fonction a l’air de coller au graphe de la ıt,fonction carr´e. De cette id´e intuitive, on peut d´duire que la s´rie de Fourier e e e e ∞ 4associ´e ` cette fonction carr´e f (x) est e a e sin((2k + 1)x) (2k + 1)π k=0
  28. 28. Pourquoi la s´rie est compos´e seulement de termes de sinus? e e Si une fonction est paire, alors sa s´rie de Fourier est une somme de cosinus. eSi une fonction est impaire, alors sa s´rie de Fourier est une somme de sinus. e
  29. 29. D´monstration : Si f (x) est paire, alors f (x) sin nx est impaire et f (x) cos nx eest paire. π 2 a0 = f (x) dx π 0 π 2 an = f (x) cos(nx) dx π 0 π 1 bn = f (x) sin(nx) dx = 0 π −π Si f (x) est impaire, alors f (x) sin nx est paire et f (x) cos nx est impaire. π 1 a0 = f (x) dx = 0 π −π π 1 an = f (x) cos(nx) dx = 0 π −π π 2 bn = f (x) sin(nx) dx π 0
  30. 30. Par cons´quent, e ∞ a0Si f (x) paire, la s´rie = e + an cos(nx) 2 n=1 ∞ Si f (x) impaire, la s´rie = e bn sin(nx) n=1
  31. 31. Une ´criture plus g´n´rale. e e eSi une fonction f (x) p´riodique de p´riode 2π peut ˆtre ´crite sous forme de e e e es´rie de Fourier, alors cette s´rie est ´gale ` e e e a ∞ a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1
  32. 32. Et pour une période quelconque ? Soit une fonction f (x) p´riodique de p´riode T quelconque, quelle est sa e es´rie de Fourier ? e T Tchangement de variable x = u tel que f ( u) soit p´riodique de periode 2π. e 2π 2πAinsi on a ∞ T a0 f ( u) = + (an cos nu + bn sin nu) 2π 2 n=1 T TOn applique le changement de variable x = 2π u ⇒ dx = 2π du π 1 T a0 = f ( u) du π −π 2π T 1 2 2π = f (x) dx π −T 2 T T T 2 2 2 = f (x) dx = f (x) dx T −T 2 T 0
  33. 33. 1 π T an = f ( u) cos(nu) du π −π 2π T 1 2 2πnx 2π = f (x) cos( ) dx π −T 2 T T T T 2 2 2πnx 2 2πn = f (x)cos( ) dx = f (x) cos( ) dx T −T 2 T T 0 T 1 π T bn = f ( u) sin(nu) du π −π 2π T 1 2 2πnx 2π = f (x) sin( ) dx π −T 2 T T T T 2 2 2πnx 2 2πn = f (x) sin( ) dx = f (x) sin( ) dx T −T 2 T T 0 TEt la s´rie de Fourier d’une fonction de p´riode quelconque T est e e ∞ a0 2πn 2πn + (an cos x + bn sin x) 2 n=1 T T
  34. 34. Démonstration logicielle
  35. 35. Approche complexe des séries de Fourier
  36. 36. Une autre ´criture de la s´rie de Fourier e e La relation d’Euler: eiπ + 1 = 0De mani`re plus g´n´rale, e e e eiθ = cos θ + i sin θComme corollaire eiθ + e−iθ cos θ = 2 eiθ − e−iθ sin θ = 2i
  37. 37. a0 Sans se pr´occuper du terme constant , on peut remplacer ces expressions e 2dans la s´rie de Fourier trigonom´trique. e e∞ ∞ einx + e−inx einx − e−inx (an cos(nx) + bn sin(nx)) = (an + bn )n=1 n=1 2 2i ∞ an −inx ibn inx = ( (e inx +e )− (e − e−inx )) n=1 2 2 ∞ ∞ inx an ibn −inx an ibn = e ( − )+ e ( + ) n=1 2 2 n=1 2 2 ∞ −1 inx an ibn inx a−n ib−n = e ( − )+ e ( + ) n=1 2 2 n=−∞ 2 2
  38. 38. Puisque la s´rie trigonom´trique donne une fonction r´elle, alors la somme e e ede ces deux sommes doit aussi donner quelque chose de r´el. La somme des edeux doit donc satisfaire la sym´trie complexe: esi on veut que la somme de deux nombres complexes soit un nombre r´el il faut ealors que si l’un est z, l’autre soit son conjugu´ z. e an − ibn a−n − ib−nOn pose que Cn = , donc C−n = , alors on a besoin que 2 2 an + ibnle terme correspondant de Cn soit Cn = et que celui de C−n soit 2 a−n + ib−nC−n = 2
  39. 39. La relation entre les constantes trigonom´triques et a−n et b−n . e π 1 a−n = f (x) cos(−nx) dx π −π π 1 = f (x) cos(nx) dx π −π = an π 1 b−n = f (x) sin(−nx) dx π −π π 1 =− f (x) sin(nx) dx π −π = −bn
  40. 40. Par ces deux relations, nous pouvons constater que, a−n − ib−n C−n = 2 an + ibn = 2 an − ibn = 2 = CnCeci nous montre bien que la somme des deux est bien r´elle puisqu’elles satis- efont Cn = C−n .il nous manque le terme n = 0.Puisqu’on sait que Cn = C−n , alors C0 = C−0 = C0 . Ca montre que C0 est un a0terme toujours r´el : e 2
  41. 41. Finalement, continuons notre raisonnement, et posons an − ibn a−n + ib−n Cn = et Cn = 2 2 ∞ ∞ −1 a0 a0 inx an − ibn inx a−n + ib−n + (an cos(nx) + bn sin(nx)) = + e ( )+ e ( )2 n=1 2 n=1 2 n=−∞ 2 ∞ −1 a0 = + Cn einx + Cn einx 2 n=1 n=−∞ et Cn = C−n et C0 = C−0 = C0 , donc ∞ = Cn einx n−∞
  42. 42. Nous avons donc que si une fonction peut ˆtre ´crite sous forme de s´rie de e e eFourier exponentielle, alors sa s´rie de Fourier serait e ∞ Cn einx n=−∞
  43. 43. Quelle est l’expression du coefficient Cn ? an − ibnCn = 2 an − ibn Cn = 2 π π 1 1 i = ( f (x) cos(nx) dx − f (x) sin(nx) dx) 2 π −π π −π π 1 = f (x)(cos(nx) − isin(nx)) dx 2π −π Par la relation d’Euler, on peut voir directement que cos(nx) − isin(nx) = e−inx , donc π 1 = f (x)e−inx dx 2π −π
  44. 44. Une autre m´thode: eSoit f p´riodique de 2π et supposons que e ∞ f (x) = Cn einx n=−∞multiplions par e−ikx o` k est un entier u ∞ f (x)e−ikx = e−ikx Cn einx −∞ ∞ e−ikx Cn einx = e−ikx (· · · + C−2 e−2ix + · · · + C1 eix + · · · + Ck eikx + · · · ) n=−∞ ∞ = Cn ei(n−k)x + Ck n=−∞,n=k ∞ Ck = − Cn ei(n−k)x + f (x)e−ikx n=−∞n=k
  45. 45. Prenons int´grale sur une p´riode, e e π π π ∞ Ck , dx = f (x)e−ikx dx − Cn ei(n−k)x dx −π −π −π n=−∞,n=kprenons un terme de la somme que nous devons int´grer, e π π Cn eix(n−k) dx = Cn eix(n−k) dx −π −π Cn = ei(n−k)x |π −π i(n − k) Cn = (eiπ(n−k) − e−iπ(n−k) ) i(n − k) = 0 (car eiπm = 1 pour un nombre m entier)
  46. 46. Finalement, π π Ck dx = f (x)e−ikx dx −π −π π πCk = f (x)e−ikx dx −π ∞ Si f (x) = Cn einx −∞ π 1 Cn = f (x)e−inx dx 2π −π
  47. 47. Pour une p´riode quelconque ? eLa s´rie de Fourier d’une fonction f (x) de p´riode quelconque T . e e T TOn pose x = u pour rendre f ( u) p´riodique de 2π. e 2π 2π ∞ 2πinx Cn e T n=−∞o` le coefficient de Fourier u T 1 2 −2πinx Cn = f (x)e T dx T −T 2 ou T 1 −2πinx Cn = f (x)e T dx T 0
  48. 48. Convergence Simple
  49. 49. Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I, et ef d´finie sur I. On dit que (fn ) converge simplement vers f sur I si ∀x ∈ I, la esuite (fn (x)) converge vers f (x). Autrement dit : ∀x ∈ I, ∀ 0, ∃n0 (, x) ∈ N, ∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| O` la notation (, x) signifie que le choix du n0 d´pend et de , et du x u ed´termin´. e e
  50. 50. Exemple 1 : Soit sur [0, 1], fn (x) = xn . Il est clair que la fonction fnconverge simplement vers la fonction d´finie par f (x) = 0 si x est dans [0, 1[ et ef (1) = 1.MAIS la continuit´ n’est pas toujours pr´serv´e par la convergence simple. 1`re e e e einsuffisance.
  51. 51. Exemple 2 Soit la suite de fonctions d´finie sur [0,1] par e  2 1  fn (x) = n x, 0 ≤ x ≤ 2n  fn (x) = n2 ( 1 − x), 1 ≤x≤ n  1 n 2n 1 fn (x) = 0, x≥ n 1 Soit x 0. n → 0 lorsque n → ∞, donc ` partir d’un certain rang N , a 1on a : n x. Donc ` partir du mˆme rang N , fn (x) = 0 et donc fn (x) → 0 a elorsque n → ∞. Ainsi, la suite (fn (x)) converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1].
  52. 52. 1 1 2n 1 n fn (x) = n2 xdx + n − n2 xdx = 1/4 (Ind´pendant de n) e 1 0 0 1 1 2n 1 → lim fn (x)dx = lim fn (x)dx = f (x)dx = 0. n→∞ 0 0 n→∞ 0 Ces deux insuffisances motivent une nouvelle notion : la convergence uni-forme.
  53. 53. Convergence Uniforme
  54. 54. D´finition : Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions ed´finies sur I, et f d´finie sur I. On dit que (fn ) converge uniform´ment vers f e e esur I si : ∀ 0, ∃n0 () ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)| .
  55. 55. Toute suite de fonctions qui converge uniform´ment converge simplement. eR´solution de la seconde insuffisance : e Majoration par la d´finition de convergence uniforme : e b |fn x − f (x)|dx ≤ (b − a)max|fn − f | aQuand n tend vers l’infini, le second membre tend vers 0, d’o` le premier u´galement - du fait de la valeur absolu - ete b b lim fn (x)dx = f (x)dx n→∞ a a
  56. 56. R´solution de la premi`re insuffisance : e e Nous savons que ∀ 0, ∃n0 () ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)| Prenons x0 ∈ I (n’importe lequel), qui r´pond donc ` l’in´galit´, et fixons un e a e enombre entier N qui caract´rise la fonction fN . Nous savons d’autre part que e(fN ) est continue en x0 , donc ∀x ∈ I, ∃δ(, x) 0, |x − x0 | δ ⇒ |fN (x) − fN (x0 )| Et par l’in´galit´ triangulaire : e e |f (x) − f (x0 )| |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (x0 )| + |fN x0 − f (x0 )| 3.
  57. 57. Convergence Normale
  58. 58. Soient I un intervalle de R et (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I. e ∞ On dit que (fn ) converge normalement sur I si la s´rie e sup|fn (x)|, x ∈ I est n≥0convergente. La convergence normale est encore plus exigeante que la convergence uni-forme, dans le sens o` toute fonction qui converge normalement converge uni- uform´ment. Nous ne le d´montrerons pas. e e
  59. 59. Séries trigonométriques Proposition 1 Si les s´ries num´riques e e |an | et |bn | convergent, alors la 2πn 2πns´rie trigonom´triques S(t) = e e an cos( t) + bn sin( )t) converge nor- T T n≥0malement (et donc uniform´ment) sur R e Preuve Cela d´coule directement de l’in´galit´ : |an cos( 2πn t) + bn sin( 2πn )t)| ≤ e e e T T|an | + |bn | Corollaire Si les s´ries num´rique |an | et |bn | convergent, alors la s´rie trigonom´trique e e e eS(t) est continue R.sur Si les s´ries n |an | et n |bn | convergent, alors la somme S(t) est continue esur R, ` d´riv´e continue. a e e
  60. 60. Proposition 2 Si les suites num´riques (an )et(bn ) sont d´croissantes et tendent vers 0, alors e ela s´rie trigonom´trique S(t) est convergente pour t = k.T o` k ∈ Z e e u Nous ne d´montrons pas cette proposition. e
  61. 61. Théorème de Dirichlet
  62. 62. Quelques notations et d´finitions e Notation Nous noterons pour la suite f (a+ ) la limite ` droite en a et f (b− ) la limite aa` gauche en b. Fonction continue par morceau Une fonction f : [a, b] → C est dite continue par morceau sur [a,b] si f estcontinue sur [a,b] sauf ´ventuellement en un nombre fini de points qui admettent edes limites ` gauche et ` droite. En particulier, f (a+ )etf (b− ) existent. a a Fonction lisse par morceaux Une fonction f : [a, b] → C est dite lisse par morceau sur [a,b] si f et f sontcontinues par morceaux sur [a,b]. En particulier, f (a+ )etf (b− ) existent.
  63. 63. Introduction au th´or`me e e n ikxExpression du noyau de Dirichlet : Dn (x) = e k=−n ixSuite de raison e ; modifions l’´criture dans un cas g´n´ral : e e e n 2n q 2n+1 qk = q −n q k = q −n q−1 k=−n k=0 −1Multiplions num´rateur et d´nominateur par q e e 2 : −n− 1 2n+1 n+ 1 −n− 1q 2 q −1 q 2 −q 2 −1 = 1 −1 q 2 q−1 q2 − q 2Et en r´injectant eix : e i(n+ 1 )x 1 −i(n+ 2 )x e 2 −e i( 1 )x e 2 − −i( 1 )x e 2
  64. 64. D’autre part, grˆce aux formules d’Euler, on trouve : a sin((n + 1 )x) 2 sin( x ) 2 Et finalement, fort de savoir que le noyau est r´el, nous pouvons, en ne econservant que les parties r´elles de l’expression complexe du noyau, trouver eune derni`re expression : e k=n Dn (x) = 1+2 cos(kx) , qui nous permet de calculer facilement l’int´grale e k=1de −π ` π (ce qui est quasi insoluble avec les autres expressions), ce qui nous asera fort utile pour la d´monstration! e En r´sum´ : e e n n sin((n + 1 )x) Dn (x) = eikx = 1 + 2 cos(kx) = 2 sin( x ) 2 k=−n k=1Et son int´grale de 0 ` π ´quivaut ` π. e a e a
  65. 65. Th´or`me(Dirichlet, 1824) Si f : R → C est 2π-p´riodique et lisse par e e emorceau sur R, alors : f 1 lim SN (x) = (f (x+ ) + f (x− )) pour tout x N →∞ 2 En particulier, f lim SN (x) = f (x) N →∞ fpour tout x o` f est continue, avec u SN (x) la s´rie de Fourier correspondant ` e ala fonction. Remarque : C’est donc des conditions pour une convergence simple vers lafonction. Il peut exister des fonctions continues qui divergent en certains pointsde x.
  66. 66. Preuve p Soit Sp (x) = ck eikx la somme partielle de la s´rie de Fourier en un e k=−ppoint x fix´. e 1 1. Calcul de Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− )) 2 2π p ikx 1 Sp (x) = e e−ikt f (t)dt 2π 0 k=−p 2π p 1 = eik(x−t) f (t)dt 2π 0 k=−p 2π 1 = Dp (x − t)f (t)dt 2π 0 2π−x 1 = Dp (u)f (u + x)du 2π −x π 1 = Dp (u)f (u + x)du 2π −π
  67. 67. Nous pouvons alors ´crire, en se souvenant que l’int´grale du noyau sur la e ep´riode est 2π : e π π 1 + − 1 1 Sp (x)− (f (x )+f (x )) = Dp (u)f (u+x)du− Dp (u)f (x+ )du− π 2 2π −π 4π −π 1 Dp (u)f (x− )du4π −π Par la parit´ du noyau et l’additivit´ de l’int´grale : e e e π π 0 1 1 1 Dp (u)f (u + x)du − + Dp (u)f (x )du − Dp (u)f (x− )du 2π −π 2π 0 2π −π 0 π= 1 2π ( −π Dp (u)(f (u + x) − f (x− ))du + 0 Dp (u)((f (u + x) − f (x+ ))du )
  68. 68. π +Calcul de lim Dp (u)((f (u + x) − f (x ))du p→∞ 0Exploitons le lemme suivant :LemmeToute fonction f lisse par morceau sur [a, b] v´rifie : e b lim f (x)sin(nx)dx = 0n→∞ a b lim f (x)cos(nx)dx = 0n→∞ a
  69. 69. Preuve Int´gration par partie : e b f (x)sin(nx)dx a n−1 αk+1 = f (x)sinxdx k=0 αk n−1 αk+1 n−1 1 − 1 = + (f (αk )cos(nαk ) − f (αk+1 )) + f (x)cos(nx)dx n n αk k=0 k=0 Lorsque n → ∞, l’expression → 0. ( Rappelons nous de l’hypoth`se de ed´part : f est lisse par morceau → f et f sont continues, donc born´es.) e e Fort de ce lemme, nous pouvons prouver ce qui nous int´resse, en nous erappelant que par l’hypoth`se du th´or`me de Dirichlet, la fonction f est lisse e e e sin((p+ 1 )x)par morceau, et que Dp (x) = sin( x2) . 2 + f (x+u)−f (x ) Posons g(u) = , qui est lisse par morceau sur [0, π] sin( u ) 2 π 1 Donc, par le lemme pr´c´dent, lim e e g(u)sin((p + )u) = 0 p→∞ 0 2Ce que l’on cherchait ` d´montrer. a e
  70. 70. 3.Synth`se de la d´monstration du th´or`me de Dirichlet. e e e e Nous avons donc d´montr´ que : e e 1 lim Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− )) = 0 p→∞ 2pour une fonction f lisse par morceau et de p´riode 2π. e
  71. 71. xf (x) = e si x ∈] − π; π[
  72. 72. Calcul de a0 π 1 eπ − e−π a0 = ex dx = π −π π Calcul de an Soit I = ex cos(nx)dx. Apr`s la premi`re int´gration par partie, nous e e etrouvons : x e sin(nx) 1I= − ex sin(nx) n n Int´grons maintenant par partie J = ex sin(nx); nous trouvons : e x π −e cos(nx) 1J= + ex cos(nx) n n −π ex sin(nx) 1 −ex cos(nx) 1Ainsi, I = − ( + I) nx n x n n 1 e sin(nx) e cos(nx)⇔ I(1 + 2 ) = + nx n x n2 n.e sin(nx) + e cos(nx)⇔I= π n2 + 1 eπ .cos(nπ) e−π .cos(nπ) cos(nπ) πD`s lors, e x e cos(nx)dx = − = 2 (e − e−π ) −π n2 + 1 n2 + 1 n +1 1 cos(nπ) π Et finalement, an = ( 2 (e − e−π )) π n +1
  73. 73. Calcul de bn π π 1 x 1bn = e sin(nx)dx = ( ex(ni+1) ) π −π π −π 1 π x(ni+1) eπ(ni+1) e−π(ni+1) ⇒ e = − π −π ni + 1 ni + 1 −ni + 1 π nπi= 2 (e e − e−π e−nπi ) n +1 En prenant uniquement la partie imaginaire, en consid´rant bien que sin(nπ) eest de toute fa¸on nul, nous trouvons : c 1 −nbn = ( 2 (eπ cos(nπ) − e−π cos(nx))) π n +1 1 ncos(nπ) −π Et finalement, bn = ( 2 (e − eπ )) π n +1 Et en groupant le tout, nous trouvons l’expression de la s´rie. (En con- esid´rant bien que suivant que n est pair ou impair, cos(nπ) ´quivaudra ` 1 ou e e a-1)
  74. 74. S´rie de Fourier associ´e ` la fonction e e a π −π ∞ e −e (−1)n f (x) = + (eπ − e−π )(cos(nx) − nsin(nx)) 2π n=1 π(n2 + 1) π −π ∞ e −e 1 (−1)n = ( + 2 + 1) (cos(nx) − nsin(nx)) π 2 n=1 π(n
  75. 75. Merci pour votre attention
  76. 76. FréquenceUne seconde
  77. 77. Applications en téléphonieMultiplexingCompressionNumérotationSuppression de l’écho
  78. 78. Structure: - Approche son (fred)- Séries trigonométriques (jie fang)- Calculs des coefficients (Antoine) + fonction carrée (jie fang) - Application logicielle (fred) (gibbs) - Complexes (Jie-Fang) - convergence (antoine)
  79. 79. Le timbreQualité spécifique du son produit par uninstrument, indépendante de la hauteur etl’amplitude Cor Trombone ténor Clarinette

×