Riflessioni su errori ed incertezza nelle previsioni

Prevedo. Sbaglio.
Mi correggo!

Galileo Galilei

Riccardo Rigon

Friday, October 26, 12

In memoria di
Sandro Marani
(1936-2012)


Si impara dai propri errori: per
questo imparare è così faticoso.


Elementi di metodo

L’esperimento

Straulino, Physics Education, 2008

Al centro della concezione Galileiana c’è la possibilità di eseguire “sensati
esperimenti”. Ovvero di condurre esperienze ideali in cui gli elementi che
controllano la dinamica dell’esperimento sono rigorosamente controllati
e misurati.

4
R. Rigon

Elementi di metodo

L’esperimento
Straulino, Physics Education, 2008

Ogni esperimento deve essere riproducibile. Se le condizioni
dell’esperimento sono riprodotte, allora i risultati dovranno
essere gli stessi.

5
R. Rigon

Elementi di metodo

L’esperimento
I rapporti tra le grandezze misurate sono poi tradotte in termini matematici,
ovvero in un linguaggio simbolico e formale.

“Non entri chi non sa la matematica”*

*Scritta che si dice fosse sull’entrata dell’Accademia di Platone 6
R. Rigon

Elementi di metodo

L’esperimento

Controllato

Misurato

Riproducibile

Traducibile in un linguaggio simbolico e
formale
7
R. Rigon

Prevedo

Isaac Newton


Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro

Le equazioni

Le equazioni sono parte di questo linguaggio formale. Esse esprimono
relazioni tra quantità (nelle intenzioni misurabili), nella forma di funzioni e
di rapporti tra “variazioni”. Nel caso di cui sopra, la seconda legge della
dinamica per un oggetto puntiforme, si tratta della variazione della velocità,
l’accelerazione, , nel tempo. Equazioni di questo tipo si dicono equazioni
differenziali.

9
R. Rigon


Problemi ai valori iniziali

L’accelerazione è la variazione di velocità:

La velocità è la variazione di posizione:

10
R. Rigon



Un problema dinamico è risolto quando è risolta l’equazione iniziale,
assegnati velocità e posizione iniziale.

11
R. Rigon



Per fare questo è necessario:

•trovare una funzione che descriva la forza
•assegnare la posizione iniziale e la velocità iniziale del sistema
•aver misurato la massa inerziale

A questo punto, passato, presente e futuro sono completamente
determinati 12
R. Rigon

Equazioni e misure

L’esperimento

Controllato
Misurato
Riproducibile

13
R. Rigon

Equazioni e misure

L’esperimento

formale

Supporta un problema alle condizioni
iniziali
E ci permette di prevedere il futuro !

14
R. Rigon

Equazioni e misure

Pierre Simon de Laplace
Saggio sulle probabilità, 1814

"Tutti gli avvenimenti, anche quelli che per la loro piccolezza non
sembrano essere dominati dalle grandi leggi della natura, ne sono una
conseguenza così necessaria come le rivoluzioni del Sole.
Nell'ignoranza dei legami che li uniscono all'intero sistema
dell'universo, li si fa dipendere da cause finali o dal caso. Ma queste
cause immaginarie sono state successivamente arretrate fino ai limiti
delle nostre conoscenze, e svaniscono del tutto davanti alla sana
filosofia, che non vede in esse se non l'espressione dell'ignoranza in cui
siamo circa le vere cause.

15
R. Rigon

Equazioni e misure

Pierre Simon de Laplace
Saggio sulle probabilità, 1814

Un'intelligenza che per un dato istante conoscesse tutte le forze da cui
la natura è animata e la situazione rispettiva degli esseri che la
compongono, se fosse così vasta da sottoporre questi dati all'analisi,
abbraccerebbe in un'unica e medesima formula i movimenti dei più
grandi corpi dell'universo e quelli del più lieve atomo:

nulla sarebbe incerto per essa, e l'avvenire,
come il passato, sarebbe presente ai suoi
occhi."

16
R. Rigon

Riflessioni

Riccardo Rigon

Pensa Trasversale

Paradossalmente, Laplace che diceva che Dio è un’ipotesi di cui non aveva
bisogno, pone a base del suo determinismo una mente onnipotente !

Io preferisco pensare che, semplicemente ci sono cose conoscibili e cose non
conoscibili. Tra queste, per esempio, rientrano le condizioni iniziali di un
sistema fisico classico.

Tuttavia, come vedremo, il fatto che una certa situazione sia o no conoscibile
esattamente non sempre è cruciale

17
R. Rigon

De-costruiamo il processo
Galileiano-Newtoniano


Pensa trasversale

L’esperimento

Controllato

Un esperimento controllato, un classico esperimento ideale, è quello in cui

1, UNA SOLA
sola variabile è studiata alla volta e gli sperimentatori tentano di rendere ogni
costante variabile dell’esperimento, eccettuata quella lasciata mutare.
Spesso gli sperimentatori cercano anche di effettuare degli esperimenti di
controllo in cui, per esempio, si cerca di mantenere anche la variabile da
controllare costante.

19
R. Rigon

Pensa trasversale

L’esperimento

Controllato

Quando Galileo effettuò i suoi esperimenti con i pesi, lo fece usando diverse
sostanze, ma mantenendo la stessa altezza, usò oggetti di forma uguale,
cosicchè, alla fine, solo il peso dell’oggetto variava.
Magritte - Souvenir de voyage, 1921

20
R. Rigon

Pensa trasversale

L’esperimento

Controllato

Il mancato controllo completo delle variabili dell’esperimento introduce degli
errori.
Magritte - Souvenir de voyage, 1921

21
R. Rigon

Pensa trasversale

L’esperimento

Misurato
Riproducibile
Ovviamente Galileo assume che ci sia qualcosa da misurare, lunghezze, tempi,
principalmente. Ma talvolta le grandezze da analizzare non sono direttamente
misurabili per confronto.

22
R. Rigon

Pensa trasversale

L’esperimento

Misurato
Riproducibile
La misura richiede strumenti che hanno una loro fisica (e talvolta una loro
dinamica). Ed una misura non è mai perfetta. Ripetendo l’esperimento spesso si
ottengono misure differenti.

23
R. Rigon

Pensa trasversale

L’esperimento

Non da mai risultati certi

Spesso consideriamo l’errore trascurabile ma la misura rimane sempre
una stima. Se l’errore sia veramente trascurabile, dipende anche da ciò
che vogliamo ottenere.

24


“Fare Scienza è oggi una attività che
non si svolge più nella notte dei secoli
bui, nè alla chiara luce dei lumi, ma nel
crepuscolo della probabilità ”

Paolo Agnoli citando Paolo Vineis che cita John
Locke


Pensa trasversale

L’esperimento

formale

se introduciamo gli errori e l’incertezza derivante
dalle misure, nella seconda legge della dinamica:

non c’e’ errore sull’accelerazione perchè è in funzione della variabile indipendente, la posizione
26
R. Rigon

Pensa trasversale

La seconda equazione della dinamica

contiene errori combinati in vario modo
(in realtà la situazione è più complicata perchè gli errori non sono solo additivi)

ed è, fondamentalmente, un’equazione diversa quella
che andiamo a risolvere.
27
R. Rigon

Pensa trasversale

Supporta un problema alle condizioni
iniziali
Il problema da risolvere è un problema diverso di
quello “standard”, se vogliamo tener conto degli errori.

NON SOLO

e, ovviamente, anche le condizioni iniziali sono note
con incertezza

28
R. Rigon

Pensa trasversale

E non ci permette di prevedere il futuro
con precisione assoluta !
Roden - Il pensatore

Normalmente abbiamo in mano le equazioni
giuste solo in apparenza 29
R. Rigon

Pensa trasversale

c’e’
anche un altro aspetto trascurato

Non di tutte le equazioni esiste ed è unica la soluzione

Non di tutte le equazioni esiste una soluzione
“analitica” (una formula risolvente esplicita)
30
R. Rigon

Pensa trasversale

Analitica a chi ?
La parola “analitico” è una grande frode. Starebbe ad intendere una
conoscenza assoluta dei valori della funzione. Per lo più, se escludiamo i
polinomi, le funzioni, per esempio le funzioni trascendenti, non sono
invece note in modo assoluto, ma solo per approssimazioni.

31
R. Rigon

Pensa trasversale

Analitica a chi ?
Così, anche le equazioni che hanno soluzioni in forma nota, analitica, non sono
in realtà, vorrei dire, “in ultima analisi”, ;-), note esattamente, ma solo in
astratto, come per il numero pi greco.

32
R. Rigon

Pensa trasversale

Per lo più

Le equazioni si possono risolvere solo numericamente, cioè con
metodi approssimati, portando a risultati

incerti.
33
R. Rigon

Sbagliato sino in fondo ?

L’errore può essere “epistemico”
Ovvero anche l’equazione di partenza può essere
sbagliata. Stando all’esempio, non solo

Perchè la forza e la massa (i parametri) dell’equazione non sono noti
esattamente, ma anche perchè, la seconda legge della dinamica potrebbe
non essere quella, ma richiedere piccole (?) modifiche

34
R. Rigon

Sbagliato sino in fondo ?

L’errore può essere “epistemico”

Albert Einstein

Che è, con qualche imprecisione notazionale la seconda legge della dinamica
nella relatività ristretta.
35
R. Rigon

Riflessioni

Ovviamente essendo la matematica un linguaggio
formale

Ha dei limiti di rappresentazione

Per i greci antichi la matematica era la geometria
euclidea. Per i nostri discendenti forse avrà forse
una forma diversa
36
R. Rigon

Riflessioni

Quanto illustrato è naturalmente
il caso semplice

Di un corpo puntiforme, con pochi
gradi di libertà

37
R. Rigon

Fluidi
Hokusai


Adding complexity

Un fluido è un oggetto molto più
complesso di un punto

Per esempio, l’equazione della dinamica (di Newton!), di un fluido
Newtoniano è:

conosciuta con equazione di Navier-Stokes

39
R. Rigon

Adding complexity

Un fluido è un oggetto molto più
complesso di un punto

Per esempio, l’equazione della dinamica (di Newton!), di un fluido
Newtoniano è:

conosciuta con equazione di Navier-Stokes ;-)

40
R. Rigon

Adding complexity

Senza entrare nei dettagli

“Accelerazioni”

densità del fluido
“Forze” di vario genere

Si tratta di equazioni differenziali alle derivate
parziali 41
R. Rigon

Adding complexity

Si vuole risolta l’equazione

su tutto un determinato dominio
ci vuole ben più du Navier-Stokes per descrivere i fenomeni idrologici correlati a quello che vedete
42
R. Rigon

Adding complexity

Bisogna assegnare, non solo le condizioni iniziali
in ogni punto del dominio

ma anche le condizioni al contorno
per ogni istante di tempo che si vuole modellare 43
R. Rigon

Adding complexity

Avremmo bisogno di

misure !
44
R. Rigon

Adding complexity

Non essendo questo possibile

introduciamo

errori e approsimazioni

45
R. Rigon

Riflessioni

Inoltre le Geo-scienze

usano gli esperimenti in modo diverso della ricerca
puramente Galileiana

Non si fanno esperimenti veri e propri
ma si registrano invece eventi* e molti eventi (una
piena, un terremoto) non sono certamente ripetibili.

*Molti miei colleghi arguirebbero qui che loro fanno molti esperimenti in laboratorio ... ma
46
R. Rigon

Riflessioni

Ci si trova quindi nelle condizioni

di dover ricostruire le condizioni “di
controllo” di un esperimento da una serie
di misure parziali e di indizi
Renè Magritte - La condizione umana, 1933

47
R. Rigon

Riflessioni

Fare approssimazioni è dunque inevitabile

Ma è così grave ?
Renè Magritte - La clef de verre, 1959

48
R. Rigon

Ciclicità

Se guardiamo al moto dei pianeti
attorno al sole
NASA/JPL reconstruction

essi ritornano con una certa regolarità, all’incirca nelle stesse posizioni relative.
Se sbagliamo di un po’ la soluzione delle equazioni che li regolano, non abagliamo
di molto. I fenomeni sono ciclici, e l’errore di previsione che si fa rimane limitato
nel tempo.
49
R. Rigon

E il suo contrario

Caos deterministico

Non è il nome di una rock band

Lorenz‘s attractor

50
R. Rigon

Impredicibilità

Se il sistema è caotico

Preparati due esperimenti con il sistema in due in
condizioni iniziali qualsivoglia prossime, esso evolverà
in direzioni diverse: tanto diverse quanto la variabilità
del sistema lo permette.

Ogni errore iniziale diventa
importante e il sistema diventa
impredicibile

Il sistema meteorologico terrestre è così
51
R. Rigon

Impredicibilità

Se il sistema è caotico

Ogni errore nelle condizioni iniziali (e/o) al contorno
diventa arbitrariamente grande

Può piovere o no, senza che riusciamo a prevederlo

52
R. Rigon

Eterogeneità

Poco male se le condizioni iniziali
e i parametri

fossero ovunque uniformi

Rothko - Untitled

53
R. Rigon

Eterogeneità

Invece sono anche eterogenei

Shozo Shimamoto

54
R. Rigon

Eterogeneità

Per conoscere l’informazione qui
bastano pochi numeri
(è solo un’impressione)

Qui ce ne vuole un po’ di più
(almeno in funzione della complessità dei patterns)

55
R. Rigon

Eterogeneità -> Casualità

In fondo un’immagine è solo una sequenza di numeri

Solo che alcune sequenze di numeri possono essere
“compresse”, altre di meno. Una sequenza di numeri
completamente casuale, non può essere compressa
56
R. Rigon

Un esempio

Questa è una immagine o una misura di qualcosa ?

Landsat Image

57
R. Rigon

Riflessioni

Maggiore eterogenità
=
Maggiore casualità
=
Maggiore informazione necessaria
=
Maggiore incertezza nelle previsioni

58
R. Rigon

Dio è buono

A meno che ...

“ Non si può negare che il nostro universo non è il caos; noi
riconociamo essere, cose, oggetti che noi chiamiamo con nomi.
Questi oggetti o cose sono forme, strutture dotate di una certa
stabilità; che riempiono una certa porzione di spazio e durano
per un certo tempo ...”
R. Thom, Structural stabity and morphogenesys,1975

E dunque non si constati che molta informazione non sia
rilevante a descrivere queste forme, patterns, e siano
importanti solo statistiche di quanto descriviamo.
A ben vedere, anche le equazioni di Navier-Stokes, o la stessa
seconda legge della dinamica, hanno la valenza di statistica di
una realtà soggiacente, ad una scala più fine.

59
R. Rigon

Problemi diretti e problemi inversi

In ogni caso

Determinare i parametri di un insieme di equazioni, che si assumono
note e veritiere, in un’ambito eterogeneo, in funzione di una serie di
misure effettuate durante un certo evento

è un problema inverso

particolarmente mal posto dal punto di vista matematico e consente, al più
di selezionare, non un insieme di parametri, ma molti insiemi di parametri
“ottimali”, o se vogliamo, “non inacettabili”.

60
R. Rigon

Alla luce della nostra ignoranza

Thomas Bayes

a little of Bayesian inference

Bayes

La probabilità condizionale

Visto che non conosciamo con certezza il valore di una variabile, una buona
strategia potrebbe essere quella di cercare di attribuire ad essa una probabilità.

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

-2 -1 1 2

Ad ogni valore della variabile, un numero tra 0 ed 1 62
R. Rigon

Bayes


Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in seguito alla
conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si scrive:

Implicitamente od esplicitamente: ogni distribuzione di probabilità è
condizionale

63
R. Rigon

Bayes


Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in seguito alla
conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si scrive:

La conoscenza che ci ha permesso di
assegnare la probabilità

Implicitamente od esplicitamente: ogni distribuzione di probabilità è
condizionale

63
R. Rigon

Bayes


O più semplicemente:

se l’evento x è condizionato da y

64
R. Rigon

Bayes

Probabilità composte

Come negli esempi iniziali, à possibile considerare, il contemporaneo
realizzarsi di più insiemi di eventi. Si parla allora di Probabilità
composta o multivariata:

A, B P (A, B)

65
R. Rigon

Bayes
Bayes Theorem

Il Teorema di Bayes

Dice che la distribuzione di probabilità (pdf) di due variabili casuali, x e y è
data da

dove è la probabilità di ottenere x da un campione casuale, una volta che
sia stato ottenuto y, èd è chiamata probabilità condizionale di x rispetto ad y, e
p(y) è la probabilità di ottenere y. Equivalentemente il teorema si legge anche:

vista la simmetria esistente tra le variabili x e y

66
R. Rigon

Bayes

Probabilità condizionale
formula di Bayes

P (A B)
P (A|B) =
P (B)

Ω
A
B

67
R. Rigon

Playing with Bayes

Ritorniamo ora ad un problema
ai valori iniziali

Abbiamo delle condizioni iniziali

Abbiamo delle condizioni al contorno

Abbiamo dei parametri che regolano la struttura delle equazioni (e la
forma delle loro soluzioni)

Abbiamo dei dati che misurano le quantità previste dalle equazioni

68
R. Rigon

Playing with Bayes

Assegnamo per essi/e, non un valore, ma
una probabilità “a-priori”

Che scriviamo per semplicità

69
R. Rigon

Playing with Bayes

Assegnamo per essi/e, non un valore, ma
una probabilità “a-priori”

Con operazioni computazionalmente costose,
possiamo calcolare:

la probabilità di ottenere una certa previsione assegnato il passato. Possiamo

quindi pensare di valutare la previsione media , e la sua

variabilità, portando ad una valutazione delle incertezze.
Osservate però che la probabilità non è materia di causalità, ma solo

di relazioni

70
R. Rigon

Playing with Bayes

Il teorema di Bayes

è la distribuzione, in genere
multivariata, dei parametri assegnata
a-priori (prior)

è l’evidenza (evidence) che danno i
modello

71
R. Rigon

Playing with Bayes

Parameters

si chiama verosimiglianza
(likelihood)

la distribuzione dei parametri , etc.,
condizionata alle simulazioni
(posterior)

Se si vuole, quest’ultima è uno studio della
probabilità delle ipotesi 72
R. Rigon

Playing with Bayes

Senza voler essere conclusivi, in questo argomento
abbastanza complesso

Si osservi, assegnato il nuovo set di parametri

si può ripetere l’operazione, sino ad identificare la
distribuzione dei parametri compatibile con le
informazioni contenute nel modello

73
R. Rigon

Playing with Bayes

Ma si potrebbero fare molti altri giochi

74
R. Rigon

Opinioni finali

Roden - Il pensatore


To sum up

•L’incertezza nelle previsioni è inevitabile
•Si fanno sempre - e spesso deliberatamente - errori epistemici
•Sarebbe bene introdurre nei modelli dei modelli di errore (quelli
conosciuti ovviamente)

76
R. Rigon

To sum up

•Dei modelli vanno verificati sia la consistenza delle assunzioni, la struttura
formale e, naturalmente, i risultati (su molti casi studio).
•Le assunzioni andrebbero consolidate sulla base di principi generali

77
R. Rigon

To sum up

Modelli
Responsabilità
Decisioni

*Alcuni commenti sulla responsabilità degli scienziati, dei tecnici e dei politici 78
R. Rigon

Sbagliamo con i modelli ?
Certo che sbagliamo: ma figuriamoci senza !
S. Marani


Grazie per l’invito ...

Grazie per l’attenzione!

G.Ulrici, 2000 ?

80
R. Rigon

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