1. CONJUNTOS DE NUMEROS
CONJUNTOS DE NUMEROS
Aunque la teoría de conjuntos es completamente general, en la matemática
elemental se encuentran ya conjuntos importantes que son conjuntos de números. De
particular interés, en especial en el análisis, es el conjunto de los números reales, que se
denota por
R
Acá se supone de hecho, al menos que se diga otra cosa, que el conjunto universal es el
conjunto de los números reales. Se revisarán en primer lugar algunas propiedades
elementales de los números reales antes de aplicar los principios fundamentales de la teoría
de conjuntos a conjuntos de números. El conjunto de los números reales con sus
propiedades se llama el sistema de los números reales.
NUMEROS REALES, R
Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlos
representar por puntos de una línea recta. Como en la Fig. 3-1, se elige un punto llamado
origen, para representar el 0, y otro punto, por lo común a la derecha, para representar el 1.
Resulta así de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los
números reales, es decir, que cada punto representa un número real único y que cada
número real viene representado por un punto único. Llamando a esta recta la recta real,
podrán emplearse uno por otro los conceptos de punto y de número.
Los números a la derecha del 0, o sea al mismo lado que el 1, son los llamados
números positivos, y los números a la izquierda del 0 son los llamados números negativos.
El 0 mismo no es ni positivo ni negativo.
ENTEROS, Z
Los enteros son los números reales
..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,…
Se denotan los enteros por Z; así que se escribe
Z = {...,- 2, - 1, 0, 1, 2,…}
Propiedad importante de los enteros es que son «cerrados» respecto de las
operaciones de adición, multiplicación y sustracción; es decir, que la suma, producto y
diferencia de dos enteros es a su vez un entero. Nótese que el cociente de dos enteros, por

2. ejemplo, 3 y 7, no es necesariamente un entero; así que los enteros no son cerrados respecto
de la operación división.
NUMEROS RACIONALES, Q
Los números racionales son los reales que se pueden expresar como razón de dos enteros.
Se denota el conjunto de los números racionales, por Q, así que,
Q = {x ⃒ x = p/q donde p ∈ Z, q ∈ Z}
Obsérvese que todo entero es un numero racional, ya que, por ejemplo, 5 = 5/ 1; por tanto,
Z es un subconjunto de Q.
Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adición,
multiplicación y sustracción, sino también respecto de la división (excepto por 0). Es decir,
que suma, producto, diferencia y cociente (excepto por 0) de dos números racionales es un
número racional nuevamente.
NUMEROS NATURALES, N
Los números naturales son los enteros positivos. Se denota el conjunto de los
números naturales por N; así que:
N = {1, 2, 3,…}
Los números naturales fueron el primer sistema de números que se forma y se les
usaba primordialmente antes para contar. Nótense las relaciones siguientes entre los
anteriores sistemas de números:
N⊂Z⊂Q⊂R
Los números naturales son cerrados respecto de las operaciones de adición y
multiplicación solamente. La diferencia y el cociente de dos números naturales no es
necesariamente un número natural.
Los números primos, son los naturales p, excluido el 1, que solo son divisibles por 1
y por p mismo. He aquí los primeros números primos:
2, 3, 7, 11, 13, 17, 19,…
NUMEROS IRRACIONALES, Q′
Los números irracionales son los reales que no son racionales, esto es, el conjunto
de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales Q en

3. los números reales R, por eso se denotan los números irracionales por Q′. Ejemplos de
números irracionales son √3, π, √2, etc.
DIAGRAMA LINEAL DE LOS SISTEMAS NUMERICOS
La Fig. 3-2 siguiente es un diagrama lineal de los distintos conjuntos de números
vistos hasta ahora. (Para que quede completo, se incluye en el diagrama el conjunto de los
números complejos, que son los de la forma a + bi, con a y b reales. Obsérvese que el
conjunto de los números complejos es un superconjunto del conjunto de los números reales.
DECIMALES Y NUMEROS REALES
Todo número real se puede representar por un «decimal con infinitas cifras». La
representación decimal de un número racional p/q se encuentra «dividiendo el numerador p
por el denominador q». Si la división dicha se acaba, como en
3/8 = 0,375
se escribe
3/8 = 0,375000…
o bien
3/8 = 0,374999…
Si la división P por q no acaba, se sabe entonces que hay un tramo de cifras que se repite
continuamente; por ejemplo:
2/11 = 0,181818...
Ahora bien, lo que caracteriza a los números reales respecto de los decimales, es
que en tanto que los números racionales corresponden precisamente a los decimales en que
se repite continuamente un tramo de cifras, los números irracionales corresponden a los
otros decimales de infinitas cifras.

4. DESIGUALDADES
Se introduce el concepto de «orden» en el sistema de los números reales por la
Definición: El número real a es menor que el número real b, lo que se escribe:
a<b
si b - a es un número positivo.
Se pueden demostrar las propiedades siguientes de la relaci6n a < b. Sean los números
reales a, b y c; entonces:
P1: O bien a < b, o a = b, o b < a.
P2: Si a < b, y b < c, entonces a < c.
P3: Si a < b, entonces a + c < b + c.
P4: Si a < b y c es positivo, entonces ac < bc.
P5: Si a < b y c es negativo, entonces bc < ac.
Geométricamente, si a < b el punto a sobre la recta real está a la izquierda del punto
b.
También se indica a < b por
b>a
lo que se lee: «b es mayor que a». Asimismo, se escribe
a≤b ob≥a
si a < b o a = b, es decir, si a no es mayor que b.
Ejemplo 1-1: 2 < 5; -6 ≤ - 3 y 4 ≤ 4; 5 > - 8.
Ejemplo 1-2: La notación x < 5 significa que x es un número real menor que 5; así que x
esta a la izquierda de 5 en la recta real. La notaci6n 2 < x < 7 significa 2 < x y x < 7; con lo
que x estará entre 2 y 7 en la recta real.
Observación 3-1: Es de notar que el concepto de orden, o sea la relación a < b, se define
mediante el concepto de número positivo. La propiedad fundamental de los números
positivos que se utiliza para demostrar propiedades de la relación a < b, es que tales
números son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación. Hecho que,
además, esta ligado íntimamente al de que los números naturales también son cerrados
respecto de las operaciones de adición y multiplicación.
Observación 3-2: Son ciertas las afirmaciones siguientes para a, b y c números reales
cualesquiera:
(1) a ≤ a.
(2) Si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b.
(3) Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c.
VALOR ABSOLUTO

5. El valor absoluto de un numero real x, denotado por
│x│
se define así:
x= x si x≥0 -x si x<0
es decir, que si x es positivo o cero, entonces │x│ es igual a x , y si x es negativo, entonces
│x│ es igual a -x. En consecuencia, el valor absoluto de cualquier número es siempre no
negativo, esto es, │x│ ≥ 0 para todo x ∈ R.
Desde el punto de vista geométrico, el valor absoluto de x es la distancia del punto x
de la recta real al origen, esto es, al punto 0. Asimismo, la distancia entre dos puntos
cualesquiera, o sea entre dos números reales a y b, es │a - b│ =│b - a│.
Ejemplo 2-1: │-2│ =│2│, │7│ =│7│, │-π│ =│π│,
│3 - 8│ =│-5│= 5, │8 - 3│ =│5│= 5, │-3 - 4│ =│-7│= 7
Ejemplo 2-2: La re1ación
│x│ < 5
significa que la distancia entre x y el origen es menor que 5, esto es, que x debe estar entre
- 5 y 5 sobre la recta real. Dicho de otro modo:
│x│ < 5 y - 5 < x < 5
tienen el mismo significado. De modo análogo
│x│ ≤ 5 y - 5 ≤ x ≤ 5
significan lo mismo.
INTERVALOS
Examínense los siguientes conjuntos de números:
A1 = {x ⃒ 2 < x < 5}
A2 = {x ⃒ 2 ≤ x ≤ 5}
A3 = {x ⃒ 2 < x ≤ 5}
A4 = {x ⃒ 2 ≤ x < 5}

6. Nótese que los cuatro conjuntos contienen solamente los puntos que están entre 2 y 5 con
las excepciones posibles de 2 y/o 5. Estos conjuntos se llaman intervalos y los números 2 y
5 son los extremos de cada intervalo. Por otra parte, A1 es un intervalo abierto, pues no
contiene los extremos; A2 es un intervalo cerrado, ya que contiene ambos extremos, y A3 y
A4 son abierto-cerrado y cerrado-abierto; respectivamente.
Se representan gráficamente estos conjuntos sobre la recta real como sigue:
Obsérvese que en cada diagrama se encierran con un círculo los extremos 2 y 5 y que se
repinta el segmento entre dichos puntos. Cuando un intervalo incluye un extremo, esto se
hace ver llenando el círculo del extremo.
Como los intervalos aparecen con mucha frecuencia en las matemáticas, se emplea
generalmente una notación abreviada para designar intervalos. Por ejemplo, los intervalos
anteriores se denotan, a veces, por
A1 = ]2, 5[
A2 = [2, 5]
A3 = ]2, 5]
A4 = [2, 5[
Nótese que se usa un corchete al revés para designar un extremo abierto, es decir, un
extremo que no pertenece al intervalo, y que se usa un corchete para designar un extremo
cerrado.
INTERVALOS INFINITOS
Los conjuntos de la forma
A = {x ⃒ x > 1}
B = {x ⃒ x ≥ 2}
C = {x ⃒ x < 3}
D = {x ⃒ x ≤ 4}

7. E = {x ⃒ x ∈ R}
se llaman intervalos infinitos y se les denota también por
A = (1, ∞), B = [2, ∞[, C = (- ∞, 3), D = ]- ∞, 4], E = ( -∞, ∞)
Se representan estos intervalos infinitos sobre la recta real como sigue: