um rápido resumo sobre retas

1. Conteúdo da Aula
Geometria analítica
1 – Equação da Reta
2 – Área do triângulo
3 – ponto Médio
4 – Distância entre dois pontos
Professor Gledson Guimarães

2. Estudo da reta
e
Área do triângulo
Geometria
Analítica

3. PLANOPLANO CARTESIANOCARTESIANO

4. Com o modo simples de se representar números
numa reta, visto acima, podemos estender a idéia
para o plano, basta que para isto consideremos
duas retas perpendiculares que se interceptem
num ponto O
Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do
ponto P
1.2 – COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO

5. 1.1 – COORDENADAS CARTESIANAS NA RETA
É fácil concluir que existe uma correspondência um a um
(correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da
reta e o conjunto R dos números reais. Os números são
chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto
A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A é 1,
etc.
A reta r é chamada eixo das ABCISSAS.

6. Solução:
Se um ponto pertence ao eixo vertical
(eixo y) , então a sua abscissa é nula.
Logo, no caso teremos:
2m - 16 = 0,
de onde tiramos m = 8
o ponto ficaria P = ( 0, 8)
Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m.

7. Solução:
Se um ponto pertence ao eixo horizontal
(eixo ox) , então a sua ordenada é nula.
Logo, no caso teremos:
m = 0,
o ponto ficaria P = ( -16, 0)
Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m.

8. Fonte: http://www.somatematica.com.br

9. EQUAÇÃO GERAL DA RETA r:
A x + B y + C = 0A x + B y + C = 0
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta r
se am + bn + c ≠ 0, P não é um ponto da reta r
EXEMPLO: X - 3Y + 5 = 0
Onde o ponto P (1,2) ∈ r
Já o ponto P (2, -5) ∉ r

10. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:
y = ax + b onde,
a = coeficiente angular da reta
b = coeficiente linear da reta (ponto de
intersecção com o eixo Oy.
O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a
tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.
a = tg α ( abertura ou inclinação da reta )

11.  Coeficiente angular =
1
 Em todas as retas o
coeficiente linear ( ponto
de intersecção com o
eixo das ordenadas -
eixo de y ) é zero b = 0.
 Coeficiente angular = 3
 Coeficiente angular =2
ÂNGULO: 71.56º
ÂNGULO:
63.43º
ÂNGULO: 45º
PODEMOS AINDA DIZER QUE f(0) = 0 para todas as três funções apresentadas
acima

14. Y = 4
x = 6
y = 2x – 3
y = – 3x + 6
OBS: as equações são exemplos de cada situação representada nos
gráficos

19. X Y
0 1
2 5
X Y
1.x + 0.5 + 2.y – 0.y – 2.1 – 5x = 0
–4x +2y –2 = 0  2y = 4x +2
Encontrar os coeficientes angular e linear da
reta r que passa por A(0, 1) e B(2, 5).
Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:
Ou y = 2x +1
RESOLUÇÃO:
COEFICIENTE ANGULAR = 2
COEFICIENTE LINEAR = 1
Veja o gráfico de y = 2x +1 a seguir.
EXEMPLO:

20. No sistema de coordenadas abaixo, está representada a
função f(x) = 2 x +1.
1
5
COEFICIENTE ANGULAR = 2
COEFICIENTE LINEAR = 1
Observe que o coeficiente angular é o
número que multiplica o x na equação
reduzida da reta (no caso 2 ).
O coeficiente linear é o número
que fica isolado (termo
independente) na equação
reduzida da reta (no caso 1) 
este é o ponto que o gráfico
intercepta (“corta”) o eixo Oy. O
ponto que “corta” o eixo de x é a
raiz da equação.
Veja o esboço do gráfico dessa
função...

21. 01. Achar as equações geral e reduzida da reta determinada
pelos pontos A(3, 1) e B(4, -2)
X Y
3 1
4 -2
X Y
x.1 – 2.3 + 4y – 3y – 4.1 - x.(-2) = 0
x – 6 + 4y – 3y – 4 + 2x = 0
3x + y – 10 = 0
= 0
COEFICIENTE ANGULAR = – 3
COEFICIENTE LINEAR = 10

22. Questão 01

25. αβθ −=
msmr
msmr
tg
.1+
−
=θ

26. P9
) Se um ponto tem coordenadas iguais, ele
pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares (1ª
bissetriz) y = x.

27. P10
) Se um ponto tem coordenadas opostas, ele
pertence à bissetriz dos quadrantespares(2ª bissetriz)
y = - x.
.

28. Colinear (mesma reta)

29. Podemos escrever assim
Área do triângulo:

30. EXERCÍCIO DE REVISÃO 05
Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3)
e C(1,1)?
2 5
0 3
1 1
2 5
2
1
A = 2.3 + 0.1 + 1.5 –0.5 – 1.3 – 2.1
A = 6/2 A = 3 u. a.
Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)

31. Exercícios Resolvidos 01. Calcule a área do triângulo ABC formado
pelos pontos indicados na figura.
Maneira demonstrada no livro:

32. Exercícios Resolvidos
01. Calcule a área do triângulo ABC formado pelos pontos indicados na
figura.
4 6
2 -3
-3 1
4 6
-12
2
-18
-12
-9
-4
A = ½ |-53|
..
2
53
auA =
Forma abreviada mostrado pelo professor:

33. Equação Segmentária da Reta
Consideremos uma reta r que intercepta os eixos cartesianos
nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com p · q 0:
Dizemos que esta equação é a equação segmentária da reta r.
Observação – Os denominadores de x e y, na equação
segmentária, são, respectivamente, a abscissa do ponto onde r
intercepta o eixo x e a ordenada do ponto onde r intercepta o eixo
y.

35. 05. Determine a equação segmentária da reta cuja equação
geral é 5x + 6 y – 30 = 0.
X Y
0 5
6 0

36. 1
56
=+
yx
X Y
0 5
6 0

37. 06. (MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é:
a) y + 2x – 2 = 0
b) y – x – 2 = 0
c) y + 2x + 2 = 0
d) y –2x – 2 = 0
e) y – 2x + 2 = 0
1
21
=
−
+
−
yx
( Multiplicando toda a equação por –2 )
Fica:  2x + y = –2  2x + y +2 = 0

38. Consideremos dois pontos A e B tais que não
seja paralela ao eixo x, nem ao eixo y.
Traçando por A e B paralelas aos eixos
coordenados, obtemos o triângulo retângulo ABC.

40. 2 – FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

41. EXERCÍCIO 03: Vamos determinar a distância entre
os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

42. SOLUÇÃOSOLUÇÃO DADA QUESTÃOQUESTÃO
EXERCÍCIO 04: Calcule o ponto médio entre os
pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4).

44. EXERCÍCIO 04: – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO

45. Questão 05
As coordenadas do ponto médio do
segmento de extremidades (1, –2 ) e
( –1 – 4 ) são:
a) ( 3 , 1 )
b) ( 1 , 3 )
c) ( –2 , –3 )
d) ( 0 , –3 )
e) ( 3 , 3 )

46. Questão 05
As coordenadas do ponto médio do
segmento de extremidades (1, –2 ) e
( –1 – 4 ) são:
a) ( 3 , 1 )
b) ( 1 , 3 )
c) ( –2 , –3 )
d) ( 0 , –3 )
e) ( 3 , 3 )

47. Questão 06
Os pontos A (1, -7) e B ( – 4, 3)
pertencem à reta r. A equação dessa
reta é
a) y = 3x – 1
b) y + 2x – 5 = 0
c) y = 5 – 4x
d) 2x + y + 5 = 0
e) y = 5x + 24
X Y
1 -7
-4 3
X Y
-7x + 3 -4y –y -28 -3x = 0
– 10x – 5y – 25 = 0
Dividindo toda a equação por (-
5):
2x + y + 5 =
0

48. Questão 09 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1),
B(1,3) e C(4,1)?
XA YA
1/2 XB YB
XC YC
XA YA
-2 -1
½ 1 3
4 1
-2 -1
A = |1/2 [ -6 + 1 – 4 + 1 – 12 + 2 ] |
A = |1/2 [ – 18 ] |
A = | – 9 |
A = 9 u.a. (unidade de área)
observe que a área é
sempre positiva e que as
duas barrinhas | |
significam módulo