Oscilaciones

Tema 1: Oscilaciones 1/45

Tema 1: Oscilaciones

Fátima Masot Conde

Ing. Industrial 2007/08

Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla


Tema 1: Oscilaciones
Índice:
1. Movimiento Armónico Simple.
• Características.
• Representación Matemática.
2. Energía del M.A.S.
3. Algunos Sistemas Oscilantes.
• Péndulo Simple.
• Péndulo Físico.
• Masa+Muelle
4. Oscilaciones Amortiguadas.
5. Oscilaciones Forzadas.


Movimiento Armónico Simple

Cuando un sistema
¿Cuándo ocurre?
¿Cuándo
¿Cuándo ocurre? estable pierde su
posición de equilibrio.

• Cuerdas instrumentos
Ejemplos musicales
Ejemplos
Ejemplos
j p
• Oscilación de barcos
sobre el agua
• Relojes de péndulo




Es el más básico del Movimiento Oscilatorio

Sistemas Ideales Sistemas Reales
(sin rozamiento)

Oscilador perfecto Movimiento Movimiento
sin pérdidas amortiguado forzado



Características

Este sistema estable responde con Cte del muelle (rigidez)
esta fuerza de recuperación cuando
se separa de su posición de Fx = Kx Ley de Hooke
equilibrio:
Fuerza desplazamiento
restauradora

d2 x
Kx = max = m 2 (Newton)
dt
2º grado

d2 x K
= x= 2
x
dt 2 m
Ecuación diferencial, característica del M.A.S.



Su solución:

x(t) = A cos( t + )
Amplitud Fase (inicial)

donde A, son ctes a determinar
K (ésta se saca directamente
y es la ‘frecuencia angular’ de la ecuación dif.-es el
m factor multiplicativo de x-.)

verifica la ecuación del MAS. Comprobémoslo




Comprobación:

v(t) = dx =
dt
A sin( t + )
x(t)
d2 x
a(t) = dt2
= A 2
cos( t + )= 2
x

A, , se determinan por las condiciones iniciales
¿Qué son las
Las condiciones que se tienen de veloc.
condiciones
y desplazamiento en el instante t=0
iniciales?




¿Cómo se determinan A y
de las condiciones iniciales?
¯
¯
x0 = x(t = 0) = A cos( t + )¯
¯ = A cos
t=0
t=0 ¯ ¯
¯
dx ¯ ¯
v0 = ¯
¯ = A sin( t + )¯ = A sin
dt t=0 t=0

v0 -A sin Cuidado:
= tan
x0 Acos A sólo es condición
inicial (= x0 ) si v0= 0
2 v0 2
A = x0 + 2
Dos ecuaciones con dos incógnitas, A
y que se despejan, conocidas v0 y x0



El MAS es un movimiento periódico:

x(t) = x(t + T )
Período de repetición

El movimiento se repite en
x(t)= x(t +T)
las mismas condiciones de
desplazamiento y velocidad x(t)= x(t +T)

x(t)= A cos( t )= A cos (t T ) = A cos t T = x(t +T)
x(t)=-A sin( t )= = - A sin( t T )= x(t +T)

Ambas se verifican si T 2 T = 2




T = 2
(s) Relación entre el período
y la frecuencia angular
rad/s

ciclos
La frecuencia lineal: f= 1
T
= Hz =
2 s

Si sólo tenemos un MAS, siempre podemos tomar
0
D=0 , eligiendo adecuadamente nuestro origen de
tiempos. En ese caso:
x(t) = A cos t




Desplazamiento MAS







x(t)

v(t) = dx
dt = A sin( t + )

d2 x
a(t) = dt2 = A 2
cos( t + )





MAS y Movimiento Circular

Partícula que se mueve sobre una
circunferencia, con velocidad cte.

= t+

La proyección sobre el ejee x:
La proyección sobre el ej x:
proyección
y eje
j

x(t) = A cos( t + )

Es un MAS
Es un M
M
MAS


Energía del MAS

Kx

Para: F =-K x

Energía potencial: U = 1 Kx2 = 1 KA2 cos2 ( t + )
2 2

Energía cinética: Ec = 1 mv 2 = 1 mA2
2 2
2
sin2 ( t + )

ETOTAL = U + Ec = 1 KA2 [cos2 ( t + ) + sin2 ( t + )]
2

=1
= 1
2 KA2 =Cte



Energía del MAS

En función del tiempo En función del espacio







Algunos sistemas oscilantes

Los sistemas oscilantes que vamos a ver:

• Péndulo simple
• Péndulo simple

• Péndulo físico
• Péndulo físico
fí
físico

• Objeto + Muelle vertical
• Objeto + Muelle vertical
Objeto
bjj En clase de
problemas



Péndulo simple

Cuerda longitud L
• En qué consiste
Masa m
Sistema IDEAL

• Fuerzas que actúan: mg y T

Ángulo desplazado
Longitud del
d s 2
arco recorrido
mg sin
n =m 2
dt
“casi” MAS

d2 s d2
Como s = L =L 2
dt2 dt


Péndulo simple

d2 g Tampoco
= sin
dt 2 L es un M.A.S.

Sin embargo, para
ángulos pequeños, d2 g
sin = M.A.S.

(infinitésimos equivalentes)
dt 2 L

Conclusión:: El movimiento de un péndulo es
Conclusión
Conclusión:
n
aproximadamente armónico simple
para pequeños desplazamientos
angulares.



Péndulo simple

Reescribiendo de la forma habitual
r
g
Con: =
d2 L
= 2 s
dt 2 2 L
T = =2
Ecuación de este sistema g
Período del péndulo

s
T no depende de la masa
[L]
Esto también sale por [T ] = s, =s
análisis dimensional: [g]



Péndulo simple

Solución: = 0 cos( t + )
(para )
Amplitud angular, [rd] ó grados

Fuera de esa aproximación, (oscilaciones de gran amplitud):
" μ ¶2 #
1 1 1 3 1
T = T0 1 + 2 sin2 0 + 2 sin4 0 + ···
2 2 2 4 2
=

p
2 L/g
T = T( 0) M.A.S.
.A.S
A



Péndulo físico

Cuerpo rígido que gira
¿Qué es? alrededor de un eje
que no pase por su C.M.

El momento de la
fuerza (Mg) =I
alrededor de ese eje:

d2
M gD sin =I 2
dt

d2 M gD M gD 2
= sin =
dt 2 I I
M.A.S.


Péndulo físico

r
M gD
=
I
Para este sistema: s
2 I
T = =2
M gD

Comprobar que el péndulo I ML2
simple también lo verifica, con D L

Para oscilaciones de gran s
amplitud, vale la misma I
fórmula que dimos en el T0 = 2
péndulo simple, con:
M gD



Oscilaciones amortiguadas

• Pierde energía por rozamiento.
• No mantiene su amplitud.
Ejemplo: Columpio que se para
(subamortiguamiento)

Casos:
C
Casos:
• Subamortiguamiento (amortiguamiento débil).
• Subamortiguamiento (amortiguamiento débil).
• Sobreamortiguamiento (amortiguamiento fuerte).
• Sobreamortiguamiento (amortiguamiento fuerte).
fu
fuerte).
• Amortiguamiento crítico.
• Amortiguamiento crítico.



Subamortiguamiento

La fuerza de amortiguación se modela con
una fuerza proporcional a la velocidad.

Fa = bv (sistema con amortiguación lineal)

Cte > 0

dx d2 x Ecuación diferencial
Kx b =m 2 del movimiento
dt dt subamortiguado.



Subamortiguamiento

A(t)
b
Solución: x(t) = A0 e ( 2m )t cos( 0 t + )
amplitud instante inicial

donde: s
μ ¶2
0 b
= 0 1
2m 0

m frecuencia del caso no
amortiguado= K / m
=
b A(t) = A0 e t/2
m cte de
b tiempo



0
= 0 cuando b = 2m 0
bc = constante de
amortiguamiento crítico

Si b < bc ' 0
DÉBILMENTE AMORTIGUADO
El sistema oscila, con una
frecuencia algo menor que
la natural, 0
Si
b bc El sistema no oscila.
(sistema sobreamortiguado)

Si El sistema vuelve a su posición
de equilibrio, sin oscilar, en el
b = bc tiempo más breve posible.
AMORT. CRÍTICO



Energía del oscilador amortiguado
E0

=
1 1 1 t/ t/
E = KA = m
2 2
A = m
2 2
A2 e
0 = E0 e
2 2 2
t
A = A0 e 2

A2 La energ´ disminuye
ıa
Cuando t = , A = 0
2
e en un factor 1/e

La Energía de un oscilador amortiguado
La Energía de un oscilador amortiguado
disminuye exponencialmente con el tiempo
disminuye exponencialmente con el tiempo
y p p



Factor de calidad del oscilador amortiguado

El factor de calidad: Q = 0 (adimensional)
interviene en la nueva frecuencia amortiguada:
s μ ¶2
0 1
= 0 1
2Q

Y se puede relacionar con la pérdida de energía
por ciclo:
1 t/ 1
dE = E0 e dt = E dt



Factor de calidad del oscilador amortiguado

En un ciclo:
μ ¶
E T 2 2
= ' =
E ciclo 0 Q
amortiguamiento débil

O sea: 2
Q=
( E/E)ciclo
Q es inversamente proporcional a la
Q es inversamente proporcional a la
pérdida relativa de energía por ciclo
pérdida relativa de energía p ciclo
p g por


Oscilaciones forzadas

El sistema oscilante tiende
naturalmente a detenerse debido
a las pérdidas

Ejemplo: Un columpio

• Si no se le suministra energía
al mismo ritmo que la pierde, su
amplitud disminuye.
• Si se le suministra más energía de
la que pierde, su amplitud aumenta.




• Si se suministra la misma
energía que pierde (al mismo
ritmo), la amplitud se
mantiene constante (estado
estacionario)

Una forma de
Una forma de
fo
forma
suministrar la energía
suministrar la energía
g



Podemos modelar la fuerza impulsora como:

F (t) = F0 sen( t)

Ecuación del movimiento oscilatorio forzado:
A favor del desplazamiento
Opuestas al desplazamiento
F (t)
(t)
)
dx d2 x (Newton)
Kx b + F0 sen( t) = m 2 X
dt dt F = ma

Fuerza
recuperadora Amortiguamiento Fuerza impulsora



Comparativa de movimientos

F (t) bv Kx
Kx = ma

••No tiene amortiguación y
No tiene amortiguación y
no necesita ser forzada
no necesita ser forzada
fo
forzada
Oscilación ideal
••Su frecuencia es la
Su frecuencia es la
fr
frecuencia
frecuencia 'natural'
frecuencia
fr
frecuencia 'natural'
p
0 = K/m

••Su amplitud es constante
Su amplitud es constante
p




F (t) bv
bv Kx
Kx = ma

• Tiende a pararse, debido al amortiguamiento
Oscilación
• Frecuencia depende de la
amortiguada
s frecuencia natural
μ ¶2
0 0 b
6= 0; = 0 1
2m 0

• Su amplitud disminuye exponencialmente




F (t) bv Kx = ma

Oscilación • Sigue oscilando, mientras actúe F(t)
forzada • Frecuencia, igual a la de la fuerza impulsora
• Su amplitud depende de 0 y de




Solución a este sistema (régimen estacionario):

El sistema oscila con la
x(t) = A cos( t ) El sistema oscila con la
misma frecuencia que la
mis que la
fuerza impulsora
fuerza impulsora
fu
fuerza p
menos
Su amplitud: cte. amortiguación

Su cte. de fase
F0 b
A= p tan
tan =
m2 ( 2
0
2 )2 + b2 2 m( 2
0
2)

masa del oscilador frecuencia impulsora
frecuencia natural Amplitud de la fuerza impulsora



Interpretación de la solución. Curvas de resonancia

Diagrama de la
amplitud en función de
la frecuencia de la
fuerza impulsora.

Parámetro: Constante de
amortiguación, b.

Cuanto más grande es el amort. b, el pico viene a ensancharse, se
hace menos agudo y se desplaza hacia frecuencias más bajas. Si
desaparece completamente




Diagrama de la potencia
media transmitida en
función de la frecuencia
de la fuerza.

Parámetro: Factor de
calidad, Q.

QÀ (amort. pequeño) Resonancia alta y aguda
Q¿ (amort. grande) Resonancia ancha y pequeña




: Anchura de la curva de
resonancia, a la mitad de
la altura máxima.

1
Para Q À =
0 Q
medida de la
agudeza de
la resonancia




Ejemplos de resonancia
• Caminar con un recipiente de agua
• Columpio
• Puentes (marchas marciales sobre puentes)

Cuando Q (sistema ideal), Pmax
max

Esto no ocurre en la práctica, pero puede llegar a tener
un valor suficientemente grande como para que el sistema
se deteriore, 107 P0
Potencia del oscilador sin forzar

Ejemplo histórico: Puente de Angres (1880)


Bibliografía

•Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté
(vol. II)
•Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II)
•Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley.
•Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.
Pearson Education (vol. II)

Fotografías y Figuras, cortesía de
Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté
Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.
Pearson Education


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