4. Cap´ıtulo 1
N´umeros complexos
1.1 N´umeros complexos
Defini¸c˜ao 1 (Conjunto dos n´umeros complexos). Definimos a estrutura dos n´umeros
complexos, como o conjunto1
C = {(x, y) x, y ∈ R}
munido de duas opera¸c˜oes, uma adi¸c˜ao definida como
z + w = (x1, y1)
z
+ (x2, y2)
w
:= (x1 + x2, y1 + y2)
e uma multiplica¸c˜ao, definida como
z.w = (x1.x2 − y1.y2, x1.y2 + y1.x2).
Denotamos (1, 0) = 1 e (0, 0) = 0. Para z = (x1, y1) definimos
−z = (−x1, −y1)
e
z−1
=
1
z
=
(
x1
x2
1 + y2
1
,
−y1
x2
1 + y2
1
)
.
Denotamos tal estrutura como (C, +×) ou apenas C.
1
Perceba que ´e feita associa¸c˜ao de C com o plano R2
.
3
5. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 4
Defini¸c˜ao 2 (Igualdade). Dois n´umeros complexos (x, y) e (z, w) s˜ao iguais quando
x = z e w = y.
Propriedade 1. (C, +, ×) ´e um corpo, chamado de corpo dos n´umeros complexos.
Demonstra¸c˜ao. A adi¸c˜ao ´e comutativa, associativa , possui elemento neutro e
inverso aditivo. (Provado para o Rn
no texto sobre espa¸cos vetoriais) ent˜ao, em rela¸c˜ao a
adi¸c˜ao temos uma estrutura de grupo abeliano (C, +).
Temos que mostrar agora que a multiplica¸c˜ao tamb´em ´e um grupo abeliano .
X O elemento neutro da multiplica¸c˜ao ´e (1, 0), pois
(1, 0)(x, y) = (1.x − 0.y, 0.x + 1.y) = (x, y).
X A multiplica¸c˜ao ´e comutativa, pois
(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2)
e
(x2, y2)(x1, y1) = (x2.x1 − y2.y1, y2.x1 + x2.y1)
s˜ao iguais.
Perceba tamb´em que
(x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0).
X A multiplica¸c˜ao ´e associativa, pois
[(x1, y1)(x2, y2)](x3, y3) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2)(x3, y3) =
= (x1x2x3
A1
−
A2
y1y2x3 − y1x2y3
A3
−
A4
x1y2y3 , y1x2x3
B1
+
B2
x1y2x3 + x1x2y3
B3
−
B4
y1y2y3)
e
6. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 5
(x1, y1)[(x2, y2)(x3, y3)] = (x1, y1)(x2x3 − y2y3, y2x3 + x2y3) =
= (x1x2x3
A1
−
A4
x1y2y3 − y1y2x3
A2
−
A3
y1x2y3 ,
B1
y1x2x3 − y1y2y3
B4
+
B2
x1y2x3 + x1x2y3
B3
)
s˜ao iguais .
X Para cada elemento n˜ao nulo z = (x1, y1) existe um inverso z−1
, tal que z.z−1
= 1,
pois
(x1, y1)
(
x1
x2
1 + y2
1
,
−y1
x2
1 + y2
1
)
=
(
x2
1 + y2
1
x2
1 + y2
1
,
y1x1
x2
1 + y2
1
−
y1x1
x2
1 + y2
1
)
= (1, 0) = 1.
X Falta mostrar apenas a propriedade distributiva. Sendo z = (x1, y1), w = (x2, y2) e
v = (x3, y3) temos w + v = (x2 + x3, y2 + y3) e
z(w + v) = (x1x2 + x1x3 − y1y2 − y1y3 , y1x2 + y1x3 + x1y2 + x1y3)
por´em temos tamb´em zw = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2) e
zv = (x1.x3 − y1y3, y1x3 + x1y3)
ent˜ao
zw + zv = (x1x2 + x1.x3 − y1y3 − y1y2, y1x3 + x1y3 + y1x2 + x1y2) = z(w + v)
ent˜ao vale a distributividade.
Tem-se ent˜ao que (C, +, ×) ´e um corpo, chamado de corpo dos n´umeros complexos.
Defini¸c˜ao 3 (Subtra¸c˜ao). Definimos a subtra¸c˜ao z1 − z2 como z1 + (−z2).
1.1.1 Forma alg´ebrica de um n´umero complexo
O corpo dos n´umeros complexos pode ser visto como uma extens˜ao do corpo dos
n´umero reais.
Propriedade 2. R e o conjunto A = {(a, 0) ∈ C} s˜ao isomorfos como espa¸cos
vetoriais.
7. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 6
Demonstra¸c˜ao. Definimos σ : R → A tal que σ(a) = (a, 0). Tal aplica¸c˜ao ´e
injetora e sobrejetora, al´em disso ´e linear
σ(a) + σ(b) = (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) = σ(a + b)
σ(ca) = (ca, 0) = c(a, 0) = cσ(a), c ∈ R.
Propriedade 3. R e o conjunto A = {(a, 0) ∈ C} s˜ao isomorfos como corpos.
Demonstra¸c˜ao. J´a vimos que a adi¸c˜ao ´e respeitada pela fun¸c˜ao σ, agora vejamos
o produto
σ(a)σ(b) = (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) = σ(a)σ(b).
Al´em disso envia unidade de R em unidade de C
σ(1) = (1, 0)
e neutro da adi¸c˜ao de R em neutro da adi¸c˜ao em C
σ(0) = (0, 0).
Ent˜ao temos uma aplica¸c˜ao bijetora entre R e um subcorpo de C que preserva adi¸c˜ao
e multiplica¸c˜ao. Ent˜ao temos uma imers˜ao natural de R em C.
Defini¸c˜ao 4. Associamos a cada n´umero real x o n´umero complexo (x, 0),
(x, 0) = x.
Propriedade 4. A soma e produto de n´umeros complexos ´e compat´ıvel com a soma
e produto de n´umeros reais.
Demonstra¸c˜ao. Sejam n´umeros reais x = (x, 0) e y = (y, 0), ent˜ao a soma
x + y = (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) = x + y
, logo ´e compat´ıvel.
O produto x.y = (x, 0)(y, 0) = (xy − 0, 0.y + x.0) = (xy, 0) = xy.
Defini¸c˜ao 5. Definimos i = (0, 1).
8. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 7
Corol´ario 1. Tem-se que
(0, 1)(0, 1) = (0 − 1, 1.0 + 0.1) = (−1, 0) da´ı i2
= −1.
Corol´ario 2 (Forma alg´ebrica). Um n´umero complexo z = (x, y) pode ser escrito
como
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + yi.
Esse modo de escrever pode ser considerado mais pr´atico em se denotar um n´umero
complexo e facilitar as opera¸c˜oes.
Nos reais n˜ao existe x tal que x2
= −1 nos complexos temos solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao.
Corol´ario 3. Vejamos como ficam as opera¸c˜oes usando a forma alg´ebrica. A f´ormula
da multiplica¸c˜ao de dois n´umeros complexos pode ser escrita como
(x1 + y1i)(x2 + y2i) = x1x2 − y1y2 + (x1y2 + x2y1)i
podemos efetuar as contas com as propriedades conhecidas de binˆomios reais e subs-
tituir i2
= −1.
A adi¸c˜ao pode ser feita como
a + bi + c + di = a + c + (b + d)i
e a igualdade
a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d.
Exemplo 1. Vale i4p+1
= (i2
)2p
i = (−1)2p
.i = i. Seja
n∑
k=0
ik
=
in+1
− 1
i − 1
por divis˜ao Euclidiana de n por 4 tem-se n = 4p + r da´ı
n∑
k=0
ik
=
i4p+r+1
− 1
i − 1
=
ir+1
− 1
i − 1
=
ir+1
− 1
(−2)
(i + 1)
se r = 0 ent˜ao 4|n e
n∑
k=0
ik
= 1, se r = 1 tem-se
n∑
k=0
ik
= i + 1, se r = 2,
n∑
k=0
ik
= i,
finalmente se r = 3 tem-se
n∑
k=0
ik
= 0.
9. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 8
Propriedade 5. Sejam a e b complexos se a+b e a.b s˜ao reais com a+b < 0 e a.b < 0
ent˜ao a e b s˜ao reais.
Demonstra¸c˜ao. Tomando a = x1 + y1i e b = x2 + y2i tem-se a + b = x1 + x2 +
i(y1 +y2) como ´e real devemos ter y1 +y2 = 0 e x1 +x2 < 0 pela segunda condi¸c˜ao. Com o
produto temos a.b = (x1x2 −y1y2)+i(x2y1 +x1y2) logo x2y1 +x1y2 = 0 e x1x2 −y1y2 < 0.
X (2) x1x2 < y1y2, (1) x1 + x2 < 0.
X (3) x2y1 + x1y2 = 0 e (4) y1 + y2 = 0.
Da rela¸c˜ao (1) temos que x1 ou x2, devem ser negativos, suponha que seja x1. Se x2 = 0
conclu´ımos por (2) que 0 < y1y2, da´ı ambos s˜ao n˜ao nulos e de (3) tem-se x1y2 = 0 o que
´e absurdo. Se x2 < 0 ent˜ao 0 < x1x2 < y1y2 implicando que y1 e y2 tem o mesmo sinal e
ent˜ao n˜ao pode valer y1 + y2 = 0. Como n˜ao vale x2 ≤ 0 ent˜ao vale x2 > 0 e x1 < 0, logo
x1 e x2 s˜ao distintos. Do sistema (3) , (4) conclu´ımos que (
x1
x2
− 1)y2 = 0, da´ı y2 = 0 pois
se n˜ao x1 = x2, de y2 = 0 segue de (4) que y1 = 0, logo ambos n´umeros s˜ao reais.
Propriedade 6. Seja
A = {
a b
−b a
a, b ∈ R}
ent˜ao (A, +, ×) onde + e × s˜ao adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de matrizes ´e um corpo isomorfo
ao corpo dos complexos (C, + ×).
Demonstra¸c˜ao. Por propriedade de matrizes (A, +, ×) ´e um anel comutativo
com unidade. Todo elemento n˜ao nulo ´e invert´ıvel pois Det(A) = a2
+ b2
̸= 0 se a ou b ´e
zero, ent˜ao todo elemento n˜ao nulo ´e invert´ıvel logo (A, +, ×) ´e um corpo.
Definimos a fun¸c˜ao f : C → A tal que para qualquer z = a + bi ∈ C associamos
f(z) =
(
a b
−b a
)
tal fun¸c˜ao ´e um isomorfismo de corpos, pois dados z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, tem-se
f(z1 + z2) =
(
a1 + a2 b1 + b2
−b1 − b2 a1 + a2
)
=
(
a1 b1
−b1 a1
)
+
(
a2 b2
−b2 a2
)
= f(z1) + f(z2)
10. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 9
logo preserva a adi¸c˜ao.
f(z1z2) =
(
a1a2 − b1b2 a1b2 + b1a2
−a1b2 − b1a2 a1a2 − b1b2
)
=
(
a1 b1
−b1 a1
)
.
(
a2 b2
−b2 a2
)
= f(z1)f(z2)
logo o produto ´e preservado, seguindo ent˜ao que temos um isomorfismo.
Exemplo 2. Seja
A =
cos(a) −sen(a)
sen(a) cos(a)
pelo resultado anterior ´e isomorfo ao elemento z = cos(a)−isen(a) = cos(−a)+isen(−a) =
e−ia
, por isso elevando tal n´umero `a k, d´a o mesmo resultado que elevar a matriz, sendo
zk
= e−ika
= cos(−ka) + isen(−ka),
que por sua vez d´a o resultado de Ak
,
Ak
=
cos(ka) −sen(ka)
sen(ka) cos(ka)
.
Exemplo 3. O inverso de um n´umero complexo n˜ao nulo z = x + iy, x, y ∈ R ´e
x
x2 + y2
−
iy
x2 + y2
= z−1
.
Exemplo 4. Calcule (a + bi)2
. Temos (a + bi)2
= a2
+ 2abi + (bi)2
= a2
+ 2abi − b2
.
Exemplo 5. Qual a condi¸c˜ao para que o produto de dois n´umeros complexos (a+bi)
e (c + di) seja real?
Multiplicando temos
(a + bi)(c + di) = ac − bd + i(ad + bc)
a parte complexa deve ser nula ent˜ao ad + bc = 0.
Exemplo 6. Qual deve ser a condi¸c˜ao para que o n´umero (a+bi)4
seja estritamente
negativo, sendo a e b reais.
11. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 10
Expandimos por binˆomio de Newton
(a + bi)4
= b4
− 4ab3
i − 6a2
b2
+ 4a3
bi + a4
perceba que a nem b podem ser nulos, caso b seja nulo a4
´e n˜ao negativo o mesmo para
a = 0 implica (bi)4
= b4
. Temos que ter a parte complexa nula, logo 4a3
b = 4ab3
⇒ a2
=
b2
⇒ a = ±b. Agora a parte real deve ser negativa, mas ela ´e realmente negativa pois
a4
+ a4
− 6a2
a2
< 0 ⇔ 2a4
< 6a4
que vale, onde acima substitu´ımos a = ±b.
Ent˜ao os valores s˜ao a ± b, a ̸= 0.
Exemplo 7. Quais os poss´ıveis valores o n´umero complexo
(
1 + i
1 − i
)n
pode assumir? ( n inteiro) .
Se n ´e par ele ´e da forma 2t, temos (1+i)2
= 1+2i−1 = 2i e (1−i)2
= 1−2i−1 = −2i,
portanto o n´umero ´e da forma
(
1 + i
1 − i
)2t
=
(2i)t
(−1)t(2i)t
= (−1)t
.
Se n ´e ´ımpar ele ´e da forma 2t + 1, substituindo tem-se
(
1 + i
1 − i
)2t+1
= (−1)t 1 + i
1 − i
simplificando
1 + i
1 − i
=
1 + i
1 − i
1 + i
1 + i
=
2i
2
= i
ent˜ao
(
1 + i
1 − i
)2t+1
= (−1)t
i
os valores que (
1 + i
1 − i
)n
assumem s˜ao i, −i, 1 e −1 .
12. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 11
1.2 Conjugado e valor absoluto
Seja um n´umero complexo z = a + bi. Quando escrevermos dessa forma, geralmente (
a n˜ao ser que citado explicitamente o contr´ario), estaremos considerando a, b ∈ R.
Defini¸c˜ao 6 (Parte real). Definimos a parte real de z como
Re(z) := a.
Defini¸c˜ao 7 (Parte complexa). Definimos a parte imagin´aria de z por
Im(z) := b.
Tamb´em podemos chamar de parte complexa.
Exemplo 8. Calcule a parte real e a parte imagin´aria de
1
z
, onde z = x + iy.
Sabemos que
1
z
=
x
x2 + y2
−
iy
x2 + y2
, logo
Re(
1
z
) =
x
x2 + y2
Im(
1
z
) = −
y
x2 + y2
.
Exemplo 9. Calcular a parte real e imagin´aria de
z − a
z + a
, onde a ∈ R e z = x + iy.
Escrevemos
z − a
z + a
= 1 −
2a
z + a
= 1 − 2a
(
x + a
(x + a)2 + y2
−
iy
(x + a)2 + y2
)
=
1 +
(x + a)(−2a)
(x + a)2 + y2
+
2ay
(x + a)2 + y2
i
logo
Re(
z − a
z + a
) = 1 +
(x + a)(−2a)
(x + a)2 + y2
Im(
z − a
z + a
) =
2ay
(x + a)2 + y2
.
13. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 12
Exemplo 10. Dado z = x + yi Calcular Re(zn
) e Im(zn
).
(x + yi)n
=
n∑
k=0
(
n
k
)
(yi)k
xn−k
separamos os ´ındices em pares e ´ımpares
=
n∑
k=0
(
n
2k + 1
)
(yi)2k+1
xn−2k−1
+
n∑
k=0
(
n
2k
)
(yi)2k
xn−2k
=
= i
n∑
k=0
(
n
2k + 1
)
(y)2k+1
(i)2k
xn−2k−1
+
n∑
k=0
(
n
2k
)
(y)2k
(i)2k
xn−2k
=
= i
n∑
k=0
(
n
2k + 1
)
(y)2k+1
(−1)k
xn−2k−1
b∈R
+
n∑
k=0
(
n
2k
)
(y)2k
(−1)k
xn−2k
a∈R
= a + bi
logo
Re(zn
) =
n∑
k=0
(
n
2k
)
(y)2k
(−1)k
xn−2k
Im(zn
) =
n∑
k=0
(
n
2k + 1
)
(y)2k+1
(−1)k
xn−2k−1
.
Como exemplo, para n = 3 temos
Re(z3
) =
n∑
k=0
(
3
2k
)
(y)2k
(−1)k
x3−2k
= x3
− 3(y)2
x
Im(z3
) =
n∑
k=0
(
3
2k + 1
)
(y)2k+1
(−1)k
x3−2k−1
= 3yx2
− (y)3
.
Propriedade 7 (Linearidade de Re e Im). Sejam zk = xk + iyk n´umeros complexos,
ent˜ao valem
Re
( n∑
k=1
zk
)
=
n∑
k=1
Re(zk)
Im
( n∑
k=1
zk
)
=
n∑
k=1
Im(zk).
Demonstra¸c˜ao. Tomando z =
n∑
k=1
zk tem-se
z =
n∑
k=1
zk =
n∑
k=1
(xk + iyk) =
n∑
k=1
(xk)
a
+i
n∑
k=1
(yk)
b
= a + bi
14. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 13
da´ı Re(z) = a, Im(z) = b tem-se tamb´em Re(zk) = xk e Im(zk) = yk logo
n∑
k=1
Re(zk) =
n∑
k=1
xk = a
n∑
k=1
Im(zk) =
n∑
k=1
yk = b
logo valem
Re
( n∑
k=1
zk
)
=
n∑
k=1
Re(zk)
Im
( n∑
k=1
zk
)
=
n∑
k=1
Im(zk)
isto ´e Re e Im comutam com o somat´orio.
Exemplo 11. Calcule a parte real e imagin´aria de
(
−1 +
√
3i
2
)3
.
Escrevemos o n´umero na forma polar
−1 +
√
3i
2
= (−1)(cos(−
π
3
) + isen(−
π
3
))
elevando ao cubo e usando a f´ormula de Moivre tem-se
−(cos(−π) + isen(−π)) = (−1)(−1) = 1.
De maneira similar podemos calcular
(
−1 −
√
3i
2
)6
= (
1 +
√
3i
2
)6
= cos(2π) + isen(2π)) = 1.
Exemplo 12. Calcule a parte real e imagin´aria de in
para n natural. Tomamos a
divis˜ao euclidiana de n por 4, n = 4q + r e da´ı
in
= i4q+r
= ir
onde r = 0, 1, 2, 3. Temos como exemplos
i0
= 1, i1
= i, i2
= −1, i3
= −i
i4
= 1, i5
= i, i6
= −1, i7
= −i
i8
= 1, · · ·
15. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 14
Exemplo 13. Calcular a parte real e complexa de (
1
√
2
+
i
√
2
)n
Escrevemos
(
1
√
2
+
i
√
2
)n
= cos(
nπ
4
) + isen(
nπ
4
)
logo a parte real ´e cos(
nπ
4
) e a parte complexa ´e sen(
nπ
4
).
Defini¸c˜ao 8 (Imagin´ario puro). z ´e imagin´ario puro ⇔ Re(z) = 0, nesse caso temos
z = bi.
Exemplo 14. O n´umero 0 ´e um imagin´ario puro, pois Re(0) = 0. Alguns autores
tomam o n´umero 0 como n˜ao sendo imagin´ario puro, tomando os imagin´arios puros da
forma bi, b ̸= 0.
Defini¸c˜ao 9 (Real ). z ´e real ⇔ Im(z) = 0, nesse caso temos z = a, nesse caso
podemos dizer tamb´em que z ´e real puro .
Exemplo 15. 0 ´e o ´unico n´umero que ´e imagin´ario puro e real puro. Se z = a + bi
´e imagin´ario puro ent˜ao a = 0 se ´e real puro ent˜ao b = 0, da´ı z = 0.
Exemplo 16. N˜ao vale em geral que Re(a.b) = Re(a)Re(b) o mesmo em geral
tamb´em n˜ao vale para parte imagin´aria, pois
Re(i2
) = Re(−1) = −1 ̸= Re(i)Re(i) = 0.
Im(i2
) = Im(−1) = 0 ̸= Im(i)Im(i) = 1.
1.2.1 Condi¸c˜oes para que
z
w
seja real ou imagin´ario puro
Exemplo 17. Calcule a parte real e imagin´aria de
a + bi
x + yi
.
Escrevemos
a + bi
x + yi
= (a + bi)(
x
x2 + y2
−
yi
x2 + y2
) =
=
ax + by
x2 + y2
+
(bx − ay)
x2 + y2
i.
16. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 15
Logo temos
Re(
a + bi
x + yi
) =
ax + by
x2 + y2
, Im(
a + bi
x + yi
) =
(bx − ay)
x2 + y2
.
Como exemplo num´erico considere z =
3 + 5i
1 + 7i
Re(z) =
38
50
, Im(z) =
−16
50
.
Para que
a + bi
x + yi
seja real temos que terbx−ay = 0 e para ser imagin´ario puro ax+by =
0.
Para o produto, temos
(a + bi)(c + di) = ac − bd + i(ad + bc)
a parte imagin´aria ´e ad + bc e a parte real ac − bd para ser imagin´ario puro ac − bd = 0 e
para ser real ad + bc = 0.
Exemplo 18. Quais as condi¸c˜oes para que z +
1
z
seja real ou imagin´ario puro ,
respectivamente?
Seja z = x + iy ent˜ao
z +
1
z
=
(x2
+ y2
+ 1)x + iy(x2
+ y2
− 1)
x2 + y2
para que seja real ´e necess´ario que x2
+ y2
= 1 ent˜ao o n´umero complexo possui m´odulo
1. Para que fosse imagin´ario puro seria necess´ario ter x2
+ y2
= −1 o que n˜ao ´e poss´ıvel
com x, y ∈ R ent˜ao devemos ter x = 0
1.2.2 Conjugado de um n´umero complexo
Defini¸c˜ao 10 (Conjugado). Definimos o conjugado de z = a + bi como
z = a − bi.
Exemplo 19. Se z1, z2 ∈ C e z1 + z2, z1.z2 s˜ao reais ent˜ao z1 = z2 ou z1, z2 ∈ R.
17. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 16
Sendo z1 = x + iy e z2 = a + bi ent˜ao z1 + z2 = a + x + i(y + b), o produto ´e
z1z2 = ax − by + i(ax + by)
para que ambos sejam reais ´e necess´ario que y + b = 0 e ay + bx = 0, substituindo a
primeira na segunda tem-se b(x − a) = 0, temos duas possibilidades b = 0 da´ı y = 0 que
implicam z2, z1 ∈ R ou x = a ainda com y + b = 0 nesse caso z1 e z2 s˜ao conjugados.
Exemplo 20. Resolver a equa¸c˜ao
z = tzi.
z = a + bi, ent˜ao a equa¸c˜ao fica como
a − bi = ati − bt
por isso temos o sistema −bt = a e at = −b, substituindo a primeira na segunda,
supondo b ̸= 0 tem-se t2
= 1, por isso t = 1 ou t = −1. Se t = 1, −b = a. Se t = −1,
b = a . Caso b = 0 ent˜ao a = 0 e caso a = 0 , b = 0 ent˜ao temos todas solu¸c˜oes.
Propriedade 8 (Idempotˆencia).
z = z.
Demonstra¸c˜ao. Vale que z = a − bi = v da´ı v = a + bi = z, ent˜ao
z = z.
Propriedade 9. z + z = 2Re(z).
Demonstra¸c˜ao. z + z = a + bi + a − bi = 2a = 2Re(z).
Propriedade 10. z − z = 2i Im(z).
Demonstra¸c˜ao. a + bi − (a − bi) = a + bi − a + bi = 2bi = 2i Im(z).
18. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 17
Propriedade 11. Sejam zk = ak + bki, n´umeros complexos, ent˜ao
( n∑
k=1
zk
)
=
( n∑
k=1
zk
)
Demonstra¸c˜ao.
( n∑
k=1
zk
)
=
( n∑
k=1
ak
)
+
( n∑
k=1
bk
)
i =
( n∑
k=1
ak
)
−
( n∑
k=1
bk
)
i =
n∑
k=1
(ak−bki) =
( n∑
k=1
zk
)
.
Propriedade 12.
z.w = z.w.
Demonstra¸c˜ao. Sejam z = (a+bi) e w = (c+di) ent˜ao z.w = (ac−bd)+(bc+ad)i
, da´ı
z.w = (ac − bd) − (bc + ad)i
, z = (a − bi), w = (c − di),
z.w = (ac − bd) − (bc + ad)i
ent˜ao vale a igualdade.
Propriedade 13. Vale
n∏
k=1
zk =
n∏
k=1
zk.
Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n, para n = 1 vale. Supondo a validade para
n
n∏
k=1
zk =
n∏
k=1
zk
vamos provar para n + 1
n+1∏
k=1
zk =
n+1∏
k=1
zk.
Temos que
n+1∏
k=1
zk =
( n∏
k=1
zk
)
.zn+1 =
n∏
k=1
zk .zn+1 =
n∏
k=1
zk zn+1 =
n+1∏
k=1
zk .
19. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 18
Corol´ario 4. Sendo n ∈ N , vale zn = zn
, pois
zn =
n∏
k=1
z =
n∏
k=1
z = zn
.
Propriedade 14. z ∈ R ⇔ z = z.
Demonstra¸c˜ao.
⇒). Se z ∈ R ent˜ao z = a + 0i logo z = a − 0i = a.
⇐). Se z = z ent˜ao z − z = 0 = 2iImz da´ı Imz = 0 implicando que z ∈ R.
1.2.3 Condi¸c˜ao de ra´ızes conjugadas
Propriedade 15 (Ra´ızes conjugadas). Se um polinˆomio p(z) =
n∑
k=0
ckzk
tem coefici-
entes reais ck e z ∈ C ´e uma raiz, ent˜ao z tamb´em ´e uma raiz de p(z). Se um polinˆomio
de coeficientes reais, possui raiz compleza z, ent˜ao o conjugado de z tamb´em ´e raiz.
Demonstra¸c˜ao. Se p(z) =
n∑
k=0
ckzk
= 0 , podemos tomar o conjugado de 0 = 0
n∑
k=0
ckzk =
n∑
k=0
ckzk =
n∑
k=0
ckzk =
n∑
k=0
ckzk =
n∑
k=0
ckzk
= 0.
Propriedade 16. Vale que (
1
z
) =
1
z
Demonstra¸c˜ao.
1
z
=
x
x2 + y2
−
y
x2 + y2
i ⇒ (
1
z
) =
x
x2 + y2
+
y
x2 + y2
i
1
z
=
x
x2 + y2
+
y
x2 + y2
i
logo temos a igualdade.
Propriedade 17. Se P(z) ´e uma fun¸c˜ao racional com coeficientes em R, ent˜ao vale
P(z) = P(z).
20. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 19
Demonstra¸c˜ao.
P(z) =
n∑
k=0
akzk
m∑
k=0
bkzk
aplicando o conjugado
P(z) =
n∑
k=0
akzk
m∑
k=0
bkzk
=
n∑
k=0
akzk
m∑
k=0
bkzk
= P(z).
Propriedade 18. z ´e imagin´ario puro ⇔ z = −z.
Demonstra¸c˜ao. Se z ´e imagin´ario puro ent˜ao z = bi, logo z = −bi = −z. Se
z = −z ent˜ao z + z = 0, logo 2Rez = 0 implicando que Rez = 0 e z imagin´ario puro.
1.2.4 Valor absoluto-m´odulo
Defini¸c˜ao 11 (Valor absoluto-m´odulo). Definimos o valor absoluto ou m´odulo de
um n´umero complexo z = x + yi como
|z| =
√
x2 + y2.
Corol´ario 5. O m´odulo de n´umeros complexos abrange o de n´umeros reais, pois se
z = a + 0.i ent˜ao |z| =
√
a2 + 02 =
√
a2 = |a| = |z|.
Corol´ario 6. Sendo z = a + bi ent˜ao |iz| = |z| pois |i.z| = |ia − b| =
√
a2 + (−b)2 =
√
a2 + (b)2 = |z|. Vale tamb´em que |−iz| = |z| pois |−i.z| = |−ia+b| =
√
(−a)2 + (b)2 =
√
a2 + (b)2 = |z|. Em especial |i| = | − i| = 1.
Corol´ario 7. Vale tamb´em | − z| = |z| pois z = a + bi, −z = −a − bi e da´ı | − z| =
√
(−a)2 + (−b)2 =
√
a2 + b2.
Propriedade 19 (Idempotˆencia).
||z|| = |z|.
21. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 20
Demonstra¸c˜ao.
|z| =
√
a2 + b2
e como
√
a2 + b2 ´e positivo real, ent˜ao |
√
a2 + b2| =
√
a2 + b2
|
√
a2 + b2| =
√
(
√
a2 + b2)2 =
√
a2 + b2.
Propriedade 20. Valem as propriedades
Rez ≤ |Rez| ≤ |z| e Imz ≤ |Imz| ≤ |z|.
Seja z = a + bi, valem as desigualdades a2
< b2
+ a2
e b2
< a2
+ b2
, tomando a raiz de
ambos lados segue |a| <
√
b2 + a2 e |b| <
√
b2 + a2 , ent˜ao
Rez ≤ |Rez| ≤ |z| e Imz ≤ |Imz| ≤ |z|
pois Rez = a Imz = b e as desigualdades Rez ≤ |Rez| e Imz ≤ |Imz| s˜ao igualdade
conhecidas de m´odulo de um n´umero real.
1.2.5 Uso de conjugado na divis˜ao
Propriedade 21.
|z|2
= z.z.
Corol´ario 8. Se z ̸= 0 ent˜ao
1
z
=
z
|z|2
.
Ent˜ao para calcular a divis˜ao de
w
z
basta calcular
wz
|z|2
.
Demonstra¸c˜ao. |z|2
= a2
+ b2
e z.z = (a + bi)(a − bi) = a2
+ b2
, ent˜ao vale a
igualdade.
Propriedade 22.
|z| = |z|.
Demonstra¸c˜ao. z = a + bi ent˜ao |z| =
√
a2 + b2 e z = a − bi implica |z| =
√
a2 + (−b)2 =
√
a2 + b2 .
22. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 21
Propriedade 23. |z.w| = |z| |w|
Demonstra¸c˜ao. Sendo z = a + bi, w = x + yi ent˜ao z.w = (ax − by) + (ay + bx)i
da´ı |zw| =
√
(ax − by)2 + (ay + bx)2 =
√
a2x2 − 2axby + b2y2 + a2y2 + 2aybx + b2x2 =
√
a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2 e
|z||w| =
√
a2 + b2
√
x2 + y2 =
√
(a2 + b2)(x2 + y2) =
√
a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2
logo |z||w| = |zw|.
Corol´ario 9. Se z ̸= 0 ent˜ao |1| = 1 = |
z
z
| = |z|.|
1
z
| da´ı |
1
z
| =
1
|z|
. O mesmo valendo
para z, essas propriedades implicam que
|w|
|z|
= |
w
z
|
w
z
=
w
z
.
Propriedade 24.
n∏
k=1
|zk| = |
n∏
k=1
zk|.
Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n. Para n = 1 vale, supondo para n, vamos
provar para n + 1.
|
n∏
k=1
zk| = | (
n∏
k=1
zk)zn+1| = |
n∏
k=1
zk||zn+1| =
n∏
k=1
|zk|.|zn+1| = |
n+1∏
k=1
zk|.
Corol´ario 10. wz = wz pois wz = w z = wz.
Corol´ario 11. 2Re z.w = z.w + z.w = z.w + wz.
Corol´ario 12. |z + w|2
= |z|2
+ 2Re z.w + |w|2
pois
|z + w|2
= (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = z.z + z.w + zw + w.w =
= |z|2
+ 2Re z.w + |w|2
.
Corol´ario 13. |z − w|2
= |z|2
− 2Re z.w + |w|2
e
|z + w|2
+ |z − w|2
= 2(|z|2
|w|2
).
23. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 22
Corol´ario 14 (Desigualdade triangular). Como Re z.w ≤ |z.w| ent˜ao
|z|2
+ 2Re z.w + |w|2
≤ |z|2
+ 2|z.w| + |w|2
= |z|2
+ 2|z|.|w| + |w|2
= (|z| + |w|)2
.
Ent˜ao tem-se
|z + w|2
≤ (|z| + |w|)2
implicando |z + w| ≤ |z| + |w|.
Corol´ario 15. |z − w| ≤ |z| + |w| pois | − w| = |w| da´ı aplicamos a desigualdade
triangular.
Propriedade 25. Se z = x + yi e w = a + bi ent˜ao
z
w
=
ax + by
a2 + b2
+ i
ay − bx
a2 + b2
.
Demonstra¸c˜ao.
z
w
= z
1
w
=
z.w
|w|2
=
ax + by
a2 + b2
+ i
ay − bx
a2 + b2
.
Propriedade 26. |z| = 0 ⇔ z = 0.
Demonstra¸c˜ao. Se z = 0 ent˜ao |z| =
√
0 = 0, se |z| = 0 ent˜ao |z|2
= 0 e da´ı
a2
+ b2
= 0, que s´o acontece quando a = b = 0.
Propriedade 27. Se z = cosx + isenx para algum x ent˜ao |z| = 1.
Demonstra¸c˜ao. |z| = cos2
x + sen2
x = 1.
Propriedade 28. Vale a desigualdade
||zn| − |z|| ≤ |zn − z|.
Demonstra¸c˜ao. Por desigualdade triangular valem as desigualdades
|zn| − |z| ≤ |zn − z| e − |zn| + |z| ≤ |zn − z|
ent˜ao
||zn| − |z|| ≤ |zn − z|.
24. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 23
Exemplo 21. Se z = reiθ
ent˜ao |eiz
| = e−rsen(θ)
. Vale
iz = ir(cos(θ) + isen(θ)) = ircos(θ) − rsen(θ)
ent˜ao
eiz
= eircos(θ)
e−rsen(θ)
tomando o m´odulo
|eiz
| = |eircos(θ)
|
=1
| e−rsen(θ)
>0
| = e−rsen(θ)
.
Exemplo 22. Calcule o valor absoluto e conjugado dos n´umeros −2 + i , −3,
(2 + i)(4 + 3i).
−2 + i = −2 − i
−3 = −3.
(2 + i)(4 + 3i) = 5 + 10i = 5 − 10i.
| − 2 + i| =
√
4 + 1 = 5
| − 3| =
√
9 = 3.
|(2 + i)(4 + 3i)| = |5 + 10i| = 5.
√
5
Exemplo 23 (ITA -quest˜ao 5- 1990- Solu¸c˜ao). Suponha z ∈ C com 1+|z| = |z +1|,
z = a + bi, ent˜ao
1 +
√
a2 + b2 =
√
(a + 1)2 + b2
elevando ao quadrado implica
1 + 2
√
a2 + b2 + a2
+ b2
= (a + 1)2
+ b2
= a2
+ 2a + 1 + b2
⇒
√
a2 + b2 = a
logo a ≥ 0, elevando ao quadrado novamente a2
+ b2
= a2
, portanto b = 0.
Disso temos que Im(z) = 0 e Re(z) ≥ 0.
25. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 24
1.2.6 Conjugado e valor absoluto da divis˜ao
Exemplo 24. Se z = x + yi e w = a + bi ent˜ao
z
w
=
ax + by
a2 + b2
+ i
ay − bx
a2 + b2
.
Com isso, podemos calcular o conjugado e o valor absoluto
(
z
w
) =
ax + by
a2 + b2
− i
ay − bx
a2 + b2
|
z
w
| =
√
(
ax + by
a2 + b2
)2 + (
ay − bx
a2 + b2
)2 =
1
a2 + b2
√
(ax + by)2 + (ay − bx)2.
Como exemplo num´erico vamos calcular o valor absoluto e o conjugado dos n´umeros
3 − i
√
2 + 3i
e
i
i + 3
.
No primeiro caso
z
w
=
3(
√
2 − 1)
11
+ i
(9 +
√
2)
11
.
|
z
w
| =
1
11
√
(3(
√
2 − 1))2 + (9 +
√
2)2.
No segundo caso
z
w
=
1
10
− i
3
10
.
|
z
w
| =
1
10
√
10.
Exemplo 25. Se
m−1∑
k=0
xkam−1−k = z ̸= 0 e xm
− am
= t calcule x − a.
Temos que
m−1∑
k=0
xk
am−1−k
= z, usamos a identidade
(xm
− am
) = (x − a)
m−1∑
k=0
xk
am−1−k
logo
x − a =
t
z
.
26. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 25
Exemplo 26. Calcule a parte real e imagin´aria de (1 + i)n
, temos
(
1 + i
√
2
)n
= cos(
nπ
4
) + isen((
nπ
4
))
logo
(1 + i)n
=
√
2
n
cos(
nπ
4
) +
√
2
n
isen((
nπ
4
)
portanto a parte real ´e
√
2
n
cos(
nπ
4
) e a parte imagin´aria ´e
√
2
n
sen((
nπ
4
). o conjugado
do n´umero ´e
√
2
n
cos(
nπ
4
) −
√
2
n
sen((
nπ
4
)i. O m´odulo do n´umero ´e
√
2
n
.
Exemplo 27. Calcule o m´odulo e valor absoluto de in
para n ∈ N.
Temos que in
= ir
onde r ´e o resto da divis˜ao de n por 4, ent˜ao temos as possibilidades
1, i, −1, −i
conforme o resto seja 0, 1, 2 ou 3 respectivamente que implica conjugado 1, −i, −1, i.
Agora o valor absoluto ´e 1.
Como um exemplo num´erico consideramos i17
, 17 deixa resto 1 na divis˜ao por 4 ent˜ao
o n´umero ´e i e seu conjugado ´e −i.
1.2.7 Desigualdade de Cauchy Schwarz
Propriedade 29. Vale a desigualdade
|
n∑
k=1
xkyk| ≤
n∑
k=1
|yk|2
n∑
k=1
|xk|2
para elementos xk, yk ∈ C.
Demonstra¸c˜ao. Seja
f(t) =
n∑
k=1
(|xk| + t|yk|)2
=
n∑
k=1
(|xk|2
+ t2
n∑
k=1
|xk||yk| +
n∑
k=1
t2
|yk|)2
vale f(t) ≥ 0, sendo uma equa¸c˜ao do segundo grau o discriminante ´e sempre negativo,
logo podemos chegar em
(
n∑
k=1
|xk||yk|)2
≤
n∑
k=1
|xk|2
n∑
k=1
|yk|2
27. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 26
que implica
n∑
k=1
|xk||yk| ≤
n∑
k=1
|yk|2
n∑
k=1
|xk|2
como vale
|
n∑
k=1
xkyk| ≤
n∑
k=1
|xk| |yk|
=|yk|
ent˜ao segue a desigualdade
|
n∑
k=1
xkyk| ≤
n∑
k=1
|yk|2
n∑
k=1
|xk|2.
1.2.8 Distˆancia
Defini¸c˜ao 12 (Distˆancia). Definimos a distˆancia entre dois n´umeros complexos z1 e
z2 por
d(z1, z2) = |z1 − z2|.
Propriedade 30. A distˆancia define uma m´etrica em C pois temos as seguintes
propriedades:
X Simetria
d(z1, z2) = d(z2, z1).
X Desigualdade triangular
d(z1, z2) ≤ d(z1, z3) + d(z3, z2)
X Positividade
d(z1, z2) ≥ 0, d(z1, z2) = 0 ⇔ z1 = z2.
Tais propriedades seguem das propriedades de R2
.
28. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 27
Figura 1.1: Plano de Argand-Gauss
1.3 Plano de Argand-Gauss e forma polar
Defini¸c˜ao 13 (Forma polar e argumento de um n´umero complexo).
Como podemos representar um n´umero complexo z = a + bi pelo ponto P = (a, b)
no plano cartesiano, a parte real a representada sobre o eixo x e a parte imagin´aria b
representada sobre o eixo y. A distˆancia da origem at´e o ponto P ´e
|z| = r =
√
a2 + b2.
a + bi, pode ser representado por r(cos(θ) + isen(θ) onde sen(θ) =
b
√
a2 + b2
e cos(θ) =
a
√
a2 + b2
logo tg(θ) =
b
a
.. o ˆangulo θ se chama argumento do n´umero complexo a + bi
e essa representa¸c˜ao se chama forma trigonom´etrica ou polar. Lembrando da rela¸c˜ao
cosθ + isenθ = eiθ
z = a + bi = r(cosθ + isenθ) = r.eiθ
se elevarmos a n temos
zn
= (a + bi)n
= rn
(cosθ + isenθ)n
= rn
einθ
como temos einθ
= cos(nθ) + isen(nθ) temos assim
Propriedade 31. O conjunto dos pontos z tais que |z − z0| = r > 0 ´e uma circun-
ferˆencia de raio r e centro em z0.
Demonstra¸c˜ao. Denotando z0 = (x0, y0) e z = (zx, zy)
|z − z0| = r ⇔ (zx − x0)2
+ (zy − y0)2
= r2
que s˜ao exatamente os pontos da circunferˆencia de raio r e centro em z0 = (x0, y0).
29. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 28
Propriedade 32. arg(z1.z2) = arg(z1) + arg(z2).
Demonstra¸c˜ao. z1 = r1eiθ1
, z2 = r2eiθ2
, multiplicando tem-se
z1.z2 = r1.r2ei(θ1+θ2)
logo arg(z1.z2) = θ1 + θ2 = arg(z1) + arg(z2).
Propriedade 33. arg(
z1
z2
) = arg(z1) − arg(z2).
Demonstra¸c˜ao.
z1 = r1eiθ1
, z2 = r2eiθ2
, dividindo tem-se
z1
z2
=
r1
r2
ei(θ1−θ2)
da´ı arg(
z1
z2
) = arg(z1) − arg(z2).
Exemplo 28. Determine z ∈ C tal que arg(z + i) =
π
4
e |z| = 2.
Seja z = a + bi, ent˜ao |z| =
√
a2 + b2 = 2 implicando a2
+ b2
= 4. z + i = a + (b + 1)i
o argumento nos d´a
a2
a2 + (b + 1)2
=
1
2
=
(b + 1)2
a2 + (b + 1)2
=
(b + 1)2
5 + 2b
pois a2
+ b2
= 4 , segue que a2
= (b + 1)2
e da´ı (b + 1)2
+ b2
= 4, de onde tiramos
as solu¸c˜oes b =
−1 +
√
7
2
e por conseguinte a =
1 +
√
7
2
como uma das solu¸c˜oes z =
1 +
√
7
2
+
−1 +
√
7
2
i.
Propriedade 34 (Primeira f´ormula de Moivre). Sendo z = (cos(θ) + isen(θ) ent˜ao
zn
= rn
[(cos(nθ) + isen(nθ)]
por´em vamos provar esse resultado por indu¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao.
Para n = 0 temos
(a + bi)0
= 1 = r0
[(cos(0θ) + isen(0θ)] = [1 + i0] = 1
tomando agora o resultado v´alido para n
zn
= rn
[(cos(nθ) + isen(nθ)]
31. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 30
Exemplo 30 (ITA 2009- Quest˜ao 4- Solu¸c˜ao). Se a = cos(
π
5
) e b = sen(
π
5
) ent˜ao
calcule [cos(
π
5
) + sen(
π
5
)]54
.
Pela f´ormula de de Moivre, temos
[cos(
π
5
) + sen(
π
5
)]54
= [cos(
54π
5
) + sen(
54π
5
)] =
= [cos(
55π
5
−
π
5
) + sen(
55π
5
−
π
5
)] =
= cos(11π)
−1
cos(
π
5
)
a
+ sen(11π)
0
sen(
π
5
) + i sen(11π)
0
cos(
π
5
) − icos(11π) sen(
π
5
)
b
= −a + bi.
Propriedade 35. O ponto z ´e a reflex˜ao do ponto z em torno do ponto x. (fazer
figura).
Demonstra¸c˜ao.
1.4 Ra´ızes
Propriedade 36 (Ra´ızes complexas n-´esimas). Todo n´umero complexo
z = r(cos(θ) + isen(θ)) ̸= 0
possui exatamente n ra´ızes complexas n-´esimas w, que satisfazem wn
= z para cada
n´umero natural n ≥ 1, dadas por
zk = r
1
n [cos(
θ + 2kπ
n
) + isen(
θ + 2kπ
n
)]
k ∈ [0, n − 1]N .
Demonstra¸c˜ao. Queremos determinar os valores de w = p(cos(φ)+isen(φ)) tais
que z = wn
. Tem-se
wn
= pn
(cos(nφ) + isen(nφ)) = z = r(cos(θ) + isen(θ))
da´ı pn
= r, p = r
1
n , cos(nφ) = cos(θ) , sen(nφ) = sen(θ), ⇔ nφ = θ +2kπ, φ =
θ + 2kπ
n
,
k ∈ Z. De k = 0 at´e n − 1 temos argumentos distintos e n´umeros complexos distintos ,
pois os argumentos est˜ao entre [
θ
n
,
θ
n
+ 2π), para outros valores de k se reca´ımos nestes
j´a citados pois k = nq + r onde 0 ≤ r < n pela divis˜ao euclidiana
θ + 2kπ
n
=
θ + 2rπ
n
+ 2qπ.
32. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 31
Exemplo 31. Em especial temos as ra´ızes da unidade , que s˜ao ra´ızes da equa¸c˜ao
zn
= 1, dadas por
cos(
2kπ
n
) + isen(
2kπ
n
), k ∈ [0, n − 1]N .
Exemplo 32. Calcule as ra´ızes da equa¸c˜ao z4
− p = 0 onde p > 0.
As ra´ızes ser˜ao dadas por zk = 4
√
p(cos
(2kπ)
4
+ isen
(2kπ)
4
).
z0 = 4
√
p
z1 = 4
√
p(cos
(2π)
4
+ isen
(2π)
4
) = i 4
√
p
z2 = 4
√
p(cos
(4π)
4
+ isen
(4π)
4
) = − 4
√
p
z3 = 4
√
p(cos
(2.3π)
4
+ isen
(2.3π)
4
) = −i 4
√
p.
Exemplo 33. Calcule as ra´ızes da equa¸c˜ao z4
− 3 = 0.
As ra´ızes ser˜ao dadas por zk =
4
√
3(cos
(2kπ)
4
+ isen
(2kπ)
4
).
z0 =
4
√
3
z1 = i
4
√
3
z2 = −
4
√
3
z3 = −i
4
√
3.
Exemplo 34. Calcule as ra´ızes da equa¸c˜ao z8
− 14z4
+ 48 = 0. Tomamos w = z4
e
da´ı a equa¸c˜ao fica w2
− 14w + 48 = 0 cujas ra´ızes s˜ao w1 = 8 e w2 = 6. As ra´ızes s˜ao
z0 =
4
√
8
z1 = i
4
√
8
z2 = −
4
√
8
z3 = −i
4
√
8
z4 =
4
√
6
33. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 32
z5 = i
4
√
6
z6 = −
4
√
6
z7 = −i
4
√
6.
Exemplo 35. Calcule as ra´ızes da equa¸c˜ao
z2
+ (1 − 2i)z + (1 + 5i) = 0.
Temos ∆ = (1 − 2i)2
− 4(1 − 5i) = −3 − 4i − 4 + 20i = −7 + 16i logo os valores s˜ao dados
por
z =
−(1 − 2i) ±
√
−7 + 16i
2
.
Propriedade 37. Se ez
̸= 0 e α ∈ C tal que ez+α
= ez
ent˜ao α = 2kπi, ∀ k ∈ Z.
Demonstra¸c˜ao. α = a + bi, da´ı
ez+α
= ez
eα
= ez
⇒ eα
= 1
pois ez
̸= 0 ´e invert´ıvel. Ent˜ao segue
ea
ebi
= 1
como a fun¸c˜ao de lei ex
´e injetora, segue que a = 0, da´ı
ebi
= cos(b) + isen(b) = 1
implicando que cos(b) = 1 e sen(b) = 0 que implica b = 2kπ, ent˜ao α = 2kπ.i.
