ملزمة مفصلة تحتوي كل صغيرة وكبيرة من أعداد الاستاذ كامل موسى الناصري

1. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)1(
‫ﺍﳌﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ﺃﻷﻋﺪﺍﺩ‬The Complex Numbers
‫اﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬:‫اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺳﺎﺑﻘﺎ‬ ‫ﺗﻌﻠﻤﺖ‬‫إذا‬‫ﻛﺎن‬D‫ھﻮ‬ ‫واﻟﺬي‬ ‫اﻟﻤﻤﯿﺰ‬ ‫اﻟﻤﻘﺪار‬
2
4b a c‫ﺳﺎﻟﺒﺎ‬
‫ﻓ‬‫ﻠ‬‫ﻓﻲ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﯿﺲ‬)‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬(.‫اﻟﺜﺎﻧ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫واﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬‫ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‬ ‫واﻟﺘﻲ‬ ‫ﯿﺔ‬
2
0 ( 0)x a a  ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻟﮭﺎ‬ ‫ﻟﯿﺲ‬، ‫أﯾﻀﺎ‬‫ﻧ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬‫ﻋﺪد‬ ‫أي‬ ‫وﺟﻮد‬ ‫ﻋﺪم‬ ‫ﻼﺣﻆ‬
‫ﻓﻲ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻟﮭﺎ‬ ‫ﻟﯿﺲ‬ ‫ﯾﻘﺎل‬ ‫ﻟﺬا‬ ‫ﯾﺤﻘﻘﮭﺎ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﻲ‬‫ﻧﺤﻦ‬ ‫ﻟﺬا‬‫ﺑﺤﺎﺟﺔ‬‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻨﻮع‬ ‫ھﺬا‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻓﯿﮫ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫ﻟﻨﻈﺎم‬
‫اﺳﺘﻌﻤﻞ‬ ‫ﻓﻠﻘﺪ‬ ، ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬‫اوﯾﻠﺮ‬)Euler(‫اﻟﺮﻣﺰ‬i‫ﯾﺴﺎوي‬ ‫ﻣﺮﺑﻌﮫ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻋﻦ‬ ‫ﻟﻠﺘﻌﺒﯿﺮ‬  1
‫أي‬‫ﺑﺎ‬ ‫ﯾﻌﻨﻲ‬‫ﻟﺮﻣﺰ‬i‫ﺑـ‬1،‫ﻓﺄﺻﺒﺢ‬
2
1i  ‫ﻓ‬‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻤﺜﻼ‬:
2
1 0x  
2 2
x ix i ‫ﺣﻠﯿﻦ‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫أي‬.
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫أﻣﺎ‬:
2
6 25 0x x  ‫ﻓ‬‫أﯾﻀﺎ‬ ‫ﻟﮭﺎ‬ ‫ﻠﯿﺲ‬‫ﻓﻲ‬ ‫ﺣﻞ‬
‫وﺗﻜﻮن‬
2
6 25x x  2
6 9 25 9x x     
2
( 3) 16x    2
( 3) 16 ( 1)x     
2 2
( 3) 16x i  3 4x i  3 4x i 
‫ھﻤﺎ‬ ‫ﺣﻠﯿﻦ‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫أـﺼﺒﺢ‬:3 4 , 3 4x i x i   
‫اﯾﻠﺮ‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫ﺳﺒﻖ‬ ‫ﻣﻤﺎ‬‫ﻣﻌﻘﺪ‬ ‫ﻋﺪدي‬ ‫ﻧﻈﺎم‬)‫ﻣﺮﻛﺐ‬(‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﺔ‬ ‫أزواج‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﻟﯿﺤﻮي‬‫اﻷﻋﺪاد‬‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‬
(a , b)‫اﻟﻌﺪد‬ ‫اﻟﻤﺮﺗﺐ‬ ‫اﻟﺰوج‬ ‫ھﺬا‬ ‫ﯾﺴﺎوي‬ ‫ﺣﯿﺚ‬; 1z a bi where i   
‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫وأﻃﻠﻖ‬i‫اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫اﺳﻢ‬‫اﻟﺘﺨﯿﻠﯿﺔ‬Imaginary Unit‫ﯾﺴﺎوي‬ ‫ﻣﺮﺑﻌﮫ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻋﻦ‬ ‫ﻟﻠﺘﻌﺒﯿﺮ‬-1
‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫أﻣﺎ‬a bi‫اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺼﯿﻐﺔ‬ ‫ﻓﺄﺳﻤﺎه‬‫اﻻﻋﺘﯿﺎدﯾ‬ ‫أو‬‫ﺔ‬‫ﻟﻠﻌﺪد‬
‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬Standard Form of Complex Number .‫ﻓﺄ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أﻣﺎ‬‫ﻋﻄﯿﺖ‬
‫اﻟﺮﻣﺰ‬‫ﯾﻠﻲ‬ ‫ﻛﻤﺎ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺗﻌﺮف‬ ‫ﻟﺬا‬:
 | ; ,z z x y i x y     
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬: 
22
1 1 , sin 1 1 1ce      
‫اﻋﺘﺬار‬:‫اﺳﺘﻌﻤﻠﺖ‬‫اﻻﻧﻜﻠﯿﺰﯾﺔ‬ ‫اﻟﻠﻐﺔ‬‫اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ‬ ‫ﻟﻠﻐﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﺿﻌﯿﻒ‬ ‫اﻟﻄﺒﺎﻋﺔ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ‬ ‫ﻷن‬ ‫اﻟﺘﺮﻣﯿﺰ‬ ‫ﺿﻤﻦ‬

2. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)2(
‫ﻣ‬‫وﺗﺴﻤﯿﺎت‬ ‫ﺼﻄﻠﺤﺎت‬
‫ﻟﯿﻜﻦ‬z = x + i y‫ﻣﺮﻛﺒﺎ‬ ‫ﻋﺪدا‬
(1‫اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫ﯾﻘﺎل‬x‫أﻧﮫ‬)‫اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ‬ ‫اﻟﺠﺰء‬Real part(‫ﺑﺎﺧﺘﺼﺎر‬ ‫ﻟﮫ‬ ‫وﯾﺮﻣﺰ‬:Re ( z ) = x
(2‫اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫ﯾﻘﺎل‬y‫أﻧﮫ‬)‫اﻟﺘﺨﯿﻠﻲ‬ ‫اﻟﺠﺰء‬Imaginary part(‫ﺑﺎﺧﺘﺼﺎر‬ ‫ﻟﮫ‬ ‫وﯾﺮﻣﺰ‬:Im ( z ) = y
(3‫إذا‬‫ﻛﺎن‬y = 0‫ﻋﻨﺪﺋﺬ‬ ‫ﻓﯿﻜﻦ‬z = x‫وﯾﺼﺒﺢ‬z‫ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ‬ ‫ﻋﺪدا‬
‫ﺑﺎﻟﺼﻮرة‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﺎ‬ ‫ﻋﺪدا‬ ‫ھﻮ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﻲ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫أن‬ ‫أي‬z = x + 0i‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫ﻟﺬا‬
‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺟﺰﺋﯿﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ھﻲ‬.
(4‫إذا‬‫ﻛﺎن‬x = 0‫ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﻓﯿﺼﺒﺢ‬z = y i‫اﻟﻤ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫وﯾﻄﻠﻖ‬‫اﺳﻢ‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ھﺬه‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺮﻛﺐ‬:
‫ﺑﺤﺖ‬ ‫ﻣﺮﻛﺐ‬ ‫ﻋﺪد‬Pure imaginary number
(5‫اﻻﻋﺘﯿﺎدي‬ ‫أو‬ ‫اﻟﺠﺒﺮي‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬z = x + i y‫أﺧﺮى‬ ‫ﺻﯿﻐﺔ‬ ‫ﻟﮫ‬‫ھﻲ‬z = ( x , y )‫ﺑﺎﻟﺼﯿﻐﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬
‫اﻟﺪﯾﻜﺎرﺗﯿﺔ‬‫ﻟﯿﻤﺜﻞ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪد‬z‫ﻓﻲ‬ ‫وﺣﯿﺪة‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬‫ا‬‫اﻟﻤﺮﻛ‬ ‫ﻟﻤﺴﺘﻮى‬‫ﺐ‬( Complex plane).
‫ﻣﺜﻼ‬:‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ﻣﻤﺜﻠﺔ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬:2 +5i , - 5 +i , 4 – 3i , -5i
Real axis
Imaginaryaxis
- 5 i
- 5+ i
2 + 5 i
4 – 3 i

3. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)3(
‫ﻣﺜﻼ‬:‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪد‬z‫ﺟﺪ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﻲ‬:Im(z) , Re(z)
1 1 11) 2 3 Re( ) 2 ; Im( ) 3z i z z     
2 2 22) 2 3 Re( ) 3 ; Im( ) 2z i z z     
3 3 33) 2 3 Re( ) 2 ; Im( ) 3z i a b i z a z b         
4 4 44) 5 Re( ) 0 ; Im( ) 5z i z z   
5 5 55) 6 Re( ) 6 ; Im( ) 0z z z     
6 5 66) Re( ) ; Im( )
a
h h h
a i b b
z z z
 
   
‫ﺍﳌﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ‬ ‫ﻭﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﺍﳉﻤﻊ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﺧﻮﺍﺹ‬
‫أﻷﻋﺪاد‬ ‫ﺧﺬ‬, ,z w v 
1(‫ﺗﻮﻓﺮ‬‫اﻟﺠﻤﻌﻲ‬ ‫اﻟﻤﺤﺎﯾﺪ‬ ‫اﻟﻌﻨﺼﺮ‬‫واﻟﻮﺣﯿﺪ‬)( additive unit‫ﺣﯿﺚ‬ ‫اﻟﺼﻔﺮ‬ ‫وھﻮ‬:z + 0 = z.
2(‫ﻣﺮﻛﺐ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻟﻜﻞ‬z‫اﻟﺠﻤﻌﻲ‬ ‫ﻧﻈﺮﯾﮫ‬ ‫ﯾﻮﺟﺪ‬- z‫وﯾﺤﻘﻖ‬:Additive inverses z + (-z)= 0
3(‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﺠﻤﯿﻌﯿﺔ‬ ‫اﻟﺠﻤﻊ‬ ‫ﻋﻤﻠﯿﺔ‬‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬‫اﻷﻋﺪاد‬‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬:Addition is associative
       z w v z w v
4(‫ﻋﻤﻠﯿﺔ‬‫اﻟﺠﻤﻊ‬‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻠﯿﮫ‬Addition is commutative
z w w z   
5(‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻀﺮب‬ ‫ﻋﻤﻠﯿﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬‫اﻷﻋﺪاد‬‫اﻟﻤﺤﺎﯾﺪ‬ ‫اﻟﻌﻨﺼﺮ‬ ‫ﯾﺘﻮﻓﺮ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬‫اﻟﻮﺣﯿﺪ‬‫اﻟﻮاﺣﺪ‬ ‫وھﻮ‬:
Multiplicative unit z · 1 z
6(‫ﻣﺮﻛﺐ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻟﻜﻞ‬z،0z ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﻀﺮﺑﻲ‬ ‫ﻣﻌﻜﻮﺳﮫ‬ ‫ﯾﻮﺟﺪ‬
1
z 
‫وﯾﺤﻘﻖ‬:
1 Multiplicative z · z 1inverse  
7(‫ﺗﺠﻤﯿﻌﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻀﺮب‬ ‫ﻋﻤﻠﯿﺔ‬:
 ( Multiplication is associative) z w v z ( w v).

4. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)4(
8(‫ا‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻀﺮب‬ ‫ﻋﻤﻠﯿﺔ‬‫ﺗﺒﺪﯾﻠﯿﮫ‬ ‫ﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬:
Multiplicationis commutative z w wz 
9(‫اﻟﺠﻤﻊ‬ ‫ﻋﻤﻠﯿﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻮزﯾﻌﯿﺔ‬ ‫اﻟﻀﺮب‬ ‫ﻋﻤﻠﯿﺔ‬:
 Distributivity of multiplication over addition z w v z w z v   
‫ﻣ‬‫ﻦ‬:(1 , (2 ,(3 , (4‫ﻧﺴﺘﻨ‬‫ﺞ‬‫أن‬:( , )‫ﺗﺒﺪﯾﻠﯿﮫ‬ ‫زﻣﺮة‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬....( 11 )
‫ﻣﻦ‬:(5 , (6 ,(7 , (8‫ﻧﺴﺘﻨ‬‫ﺞ‬‫أن‬:( , )
‫ﺗﺒﺪﯾﻠﯿﮫ‬ ‫زﻣﺮة‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬......(12)
‫ﻣﻦ‬(9‫وﻣﻊ‬(11)‫و‬(12)‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ‬( , , ) ‫ﺣﻘﻼ‬‫و‬‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﺣﻘﻞ‬ ‫ﯾﺴﻤﻰ‬.
‫اﻟ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﯾﻄﺒﻖ‬ ‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻧﻈﺎم‬ ‫أن‬ ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ﺳﺒﻖ‬ ‫ﻣﻤﺎ‬‫ﻤﺮﻛﺒﺔ‬.
21 1i i    
4p  ‫اﻟﻜﺒﯿﺮة‬ ‫ﻟﻠﻘﻮى‬ ‫وﺧﺎﺻﺔ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‬ ‫اﻟﻘﺎﻋﺪة‬ ‫وﺿﻊ‬ ‫وﻧﺴﺘﻄﯿﻊ‬:‫ﻟﺘﻜﻦ‬
‫وﻟﺘﻜﻦ‬q‫ﻗ‬ ‫ﺧﺎرج‬ ‫ﺗﺴﺎوي‬‫ﺴﻤﺔ‬p‫ﻋﻠﻰ‬4‫اﻟﺒﺎﻗﻲ‬ ‫وﻟﯿﻜﻦ‬r‫اﻟﻘﻮل‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫اﻟﺒﺎﻗﻲ‬ ‫ﻧﻈﺮﯾﺔ‬ ‫وﺑﻤﻮﺟﺐ‬
. ., 4 0 4i e p q r where r   
44 4 4( ) 1 1p q r q qr r r rHence i i i i i i i i i            
 
34 32 2 4 8 2
1: ( ) 1ex i i i i
    
63 4 15 3 3 2
2: ( ) 1ex i i i i i i i       
1992 4 498
3: ( ) 1ex i i 
‫ﻗﻮى‬i‫اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬)The powers of i(

5. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)5(
18 18 18 20 2
4: 1 1ex i i i i i  
      
31 32 33 34 31 32 33 34
31 32 33 34 4
31 32 33 34 36
5 4 3 2 4
5: ( ) 1
( ) ,
( ) ; 9
1
q
ex i i i i i i i i
i i i i i q
i i i i i q
i i i i i i
       
    
   
       
     
     
      

2
1i i  
0i i  
7 7 7 7 7
4 2
6:( 4 ) ( 4 1) (2 ) 2
128 128
ex i i
i i i i
      
    
‫اﻟﻘﻮل‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬ ‫اﻷﻣﺜﻠﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬:‫إذا‬‫ﻛﺎن‬n‫ﻓﺎن‬ ‫ﺻﺤﯿﺤﺎ‬ ‫ﻋﺪدا‬ 1,1, ,n
i i i  
‫وأن‬:
4 4 1 4 2 4 3 mod 4
1 ; ; 1 ; ;n n n n n n
i i i i i i i i  
      
Modulo operation finds the remainder of division of one number by another.
n mod 4‫ﺗﻌﻨﻲ‬)‫اﻟﺒﺎﻗﻲ‬(‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﻟﻘﺴﻤﺔ‬n‫ﻋﻠﻰ‬4‫ﻣﺜﻼ‬ ،   25 mod 4 1 , 25 mod 7 4 
‫ﯾﻠﻲ‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫اﻧﺘﺒﮫ‬:‫اﻟﺘ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة‬‫ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫ﺎﻟﯿﺔ‬
1 1 ( 1) ( 1) 1 1         
‫واﻟﺼﺤﯿﺢ‬:
2
1 1 1i i i       
‫ﻣﺮﻛﺒﯿﻦ‬ ‫ﻋﺪدﯾﻦ‬ ‫ﺗﺴﺎوي‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬Equality of Complex Numbers
1 2,let z a bi z c di   
a bi c di a c and b d     
‫أي‬:1 2 1 2Re( ) Re( ) Im( ) Im( )z z and z z  

6. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)6(
Ex:
‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬x , y‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫واﻟﺘﻲ‬ ‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﯿﻦ‬:x2
- 2xy i – y2
= 4i – 3
‫اﻟﺤﻞ‬:(1‫اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ‬ ‫ﻟﻠﺼﯿﻐﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻃﺮﻓﻲ‬ ‫ﺣﻮل‬ a b i‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪد‬‫ﯾﻠﻲ‬ ‫وﻛﻤﺎ‬:
2 2
( – ) ( 2 ) – 3 4 x y xy i i   
(2‫ﻣﺮﻛﺒﯿﻦ‬ ‫ﻋﺪدﯾﻦ‬ ‫ﺗﺴﺎوي‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫ﻃﺒﻖ‬:
2 2
1 2Re( 3 ..........( 1) Re( ) )x y ez z q   
1 2 2 4
2
.......
Im( ) Im( )
...( 2)
xy
y eq
x
z z   
  

‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﺗﻌﻮض‬y‫اﻷوﻟﻰ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬:
2
( )
2 4 2
2
4 2
2 2
4
3 ..........( 1) 4 3
3 4 0
( 4)( 1)
x
x eq x x
x
x x
x x

       
   
  
2 2
4 0 4 4 4 1 2x x x i ‫ﻞ‬ ‫ﺗﮭﻤ‬              or
2 2
1 0 1 1
2
1 2
1 2
x x x
but y
x
When x y
When x y
     

  
    

‫ﻣﺮﻛﺒﲔ‬ ‫ﻋﺪﺩﻳﻦ‬ ‫ﻭﻃﺮﺡ‬ ‫ﲨﻊ‬:AAddddiittiioonn aanndd SSuubbttrraaccttiioonn ooff CCoommpplleexx NNuummbbeerrss
‫ ﻋﺪدا ﻣﺮﻛﺒﺎ ﻓﺈن‬ a + b i , c +d i ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬
( ) ( ) = (a+c)+(b+d) a b i c d i i   Sum:‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬

7. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)7(
( ) ( ) = ( )+( - ) ‫ﺮح‬ ‫اﻟﻄ‬
= ( ) ( )
:a bi c di a bi c di
a c b d i
    
  
subtraction
‫ﺍﳌﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ﺃﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﺿﺮﺏ‬)Multiplying Complex Numbers:(
‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫ﻟﻸﻋﺪاد‬ ‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮات‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻀﺮب‬ ‫ﻋﻤﻠﯿﺔ‬ ‫ﻧﻔﺲ‬ ‫ھﻲ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ﻟﻸﻋﺪاد‬ ‫اﻟﻀﺮب‬ ‫ﻋﻤﻠﯿﺔ‬ ‫إن‬.
1:Ex
2
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
a b i c d i a c d i b i c d i
ac ad i b c i b d i
ac ad i b c i b d
ac b d ad b c i
     
   
   
   
2
2 : ( 2 4 )(3 2 ) 6 4 1 2 8
6 4 1 2 8
2 1 6
E x i i i i i
i i
i
     
   
  
2
( 4 1)(3 9) ( 2 1)(3 3 ) 6 6 3 3 9 3i i i i i i             2 :Ex
2 2
3 : ( 2 4 ) 4 16 16 12 16E x i i i i       
2 24 4 2 2
2 2
4 : (1 4 ) (1 2 ) (1 2 ) 1 4 4
( 3 4 ) 9 2 4 16 7 24
E x i i i i
i i i i
              
        
16 8
21 1 1
5: ( )
1 1
i i
Ex
i i
    
    
    
2
2i i 
1 2
2i i 
8
8 82
( ) ( 1) 1
2
i
i
  
     
 
2
1i 
   
 
3 3 2 2
2 2
2 2
6 : (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 )
(1 4 4 )(1 2 ) (1 4 4 )(1 2 )
( 3 4 )(1 2 ) ( 3 4 )(1 2 )
3 6 4 8 3 6 4 8
11 2 11 2 4
E x i i i i i i
i i i i i i
i i i i
i i i i i i
i i i
              
             
       
           
       

8. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)8(
2
7 : (2 )( ) 3Ex i x iy
i
   
22 2
(2 )( ) 3 2 2 2i x i y x y i x i y i
i i
          2
( i )
2 2
( ........ ) ( ...... )
( )2 2)
2 3
3 ( 2
x yy i x i i
x
i
y x iy
   
 
    
 

1 2 7
1 2 7 1 2 7 4 3 7 8
9 : ,
( ) ( )
1
n
n n n
E x i n
i i i i i i
i i

  

    
  

‫ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ﻣﺮﺍﻓﻖ‬Complex conjugate
‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬:
‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬z x yi ‫ﻣﺮاﻓﻖ‬ ‫ﻓﺈن‬z‫ﺑﺎﻟﺼﻮرة‬ ‫ﯾﻜﺘﺐ‬z z x yi
  ‫وأن‬:
1) ; 2)z z z z    
‫اﻟﻌﺪد‬ ‫أن‬ ‫ھﻮ‬ ‫ﻟﻠﻤﺮاﻓﻖ‬ ‫اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ‬ ‫واﻟﺘﻔﺴﯿﺮ‬‫وﻣﺮاﻓﻘﮫ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮان‬x-axis‫اﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻛﻤﺎ‬
‫اﻟﺘﺮاﻓﻖ‬ ‫ﺧﻮاص‬ ‫واﻟﯿﻚ‬:

9. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)9(
7(z‫ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ‬ ‫ﻋﺪدا‬‫إذا‬‫وإذا‬‫ﻓﻘﻂ‬
8(‫ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﯾﺮﺗﺒﻄﺎن‬ ‫واﻟﺘﺨﯿﻠﻲ‬ ‫اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ‬ ‫اﻟﺠﺰأﯾﻦ‬:Re( ) ; Im( )
2 2
z z z z
z z
i
 
 
9(‫إذا‬‫ﻛﺎن‬ z x y i ‫ﻓﺈن‬:
2 2
z z x y  
‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‬ ‫اﻷﻣﺜﻠﺔ‬9‫ﻣﺜﺎل‬ ‫اﻟﻰ‬19‫اﻻﻋﺘﯿﺎدﯾﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺼﯿﻐﺔ‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ‬ ‫أﻛﺘﺐ‬)‫اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ‬(‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪد‬:
2
2
2 3
9 :
3
2 3 3 2(3 ) 3 (3 ) 6 2 9 3
3 3 9 9 1
9 7 9 7
10 10 10
i
E x
i
i i i i i i i i
i i i
i
i
S am ple


       
   
   

  
3 2 3 2
10:
2 2
i i
Ex
i i
 
 2
( i 
2
3 2 2 3 3
) 1
2 2 2
i i i
i
   
    
‫وا‬ ‫اﻟﺒﺴﻂ‬ ‫ﺑﻀﺮب‬ ‫اﻟﺴﺆال‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫و‬‫اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫ﺑﻤﺮاﻓﻖ‬ ‫ﻟﻤﻘﺎم‬.
2 2
2 2
2 1
11:
3 1
2 2 3 4 2 12 6 4 2
3 3 4 2 4 2 16 4
10 10 10 10 1 1
20 20 20 2 2
i i
Ex
i i
i i i i i i i i
i i i i i i
i
i i
 

 
       
   
     

    
2
2
7 3
12:
1 12
7 3 1 7 3 1 2 3 7 14 3 3 2 3
1 2 31 12 1 1 2 3 1 2 3
13 13 3
1 3
13
Ex
i i i i i
ii i
i
i
 
 
        
   
     

  

10. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)10(
3
2
3 3 3 3
2
2 2
2
3
13:( )
1
3 1 3 3 2 4
( ) ( ) ( ) (1 2 )
1 1 1 2
(1 2 )(1 2 ) (1 2 )(1 4 4 ) (1 2 )( 3 4 )
3 4 6 8 11 2
i
Ex
i
i i i i i i
i
i i i
i i i i i i i
i i i i


     
     
  
          
       
1
2
2
14: (4 3 ) (2 1)
4 3 1 2 4 8 3 6 10 5
2
1 2 1 2 1 4 5
Ex i i
i i i i i i
i
i i i

 
        
      
    
2 2
2 2
1 1
15 :
(2 ) (2 )
1 1 1 1
4 4 4 4 3 4 3 4
3 4 (3 4 ) 3
(3 4 )(3 4 )
Ex
i i
i i i i i i
i i
i i

 
   
     
  
 
 
4 3i 
2
4 8
0
9 16 25
i
i
i

 

2 2
(1 ) (1 )
16:
1 1
1
i i
Ex
i i
 

 

2
2i i  1
1 i


2
2i i  2 2
1 1 1
2 (1 ) 2 (1 ) 2
(1 )(1 )
i i
i i i
i i i i i
i i

 
  
    
 
 
2
2 2i i  2
2
2 4
2 0
1 2
i
i
i
 
   

2 2
2 2
2 3
1 7 )
1 2
2 3 2 1 3 2
. ( ) ( )
1 2 1 1 2 2
2 2 6 3 2 1 3 5 5
1 4 2 5
1 3 5 5 3
( ) ( )
2
1
2
1
2
2 5 5 2
3
( ) ( )
2
i i
E x x y
i i
i i i i i i
an s x y x y
i i i i i i
i i i i i i i i
x y x y
i i
i x i y x i y i
xy i
x y
x y
 

 
     
    
     
       
   
 
      
   



11. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)11(
 
 
 
 
 
 
 
 
  
7 1
6 9
71 7 0 1 70
69 70 1
7 0
2
1
18 :
1
1 1 1 1
: 1 1
11 1 1
1 1 1
(1 )
1 1
i
E X A M PL E
i
i i i i
S o lutio n i i
ii i i
i i
i
i i



    
     
   
  
      
2
2i i 
7 0
2
70
7 0 m o d 4 2
2
1
2
2 2 2 2 2 0
2
i
i
i i i
 
    
 
          
 
2 73
2 73
2 3 4 5 6 7 68 69 70 71 72 73
19:1 .....
: 1 .....
(1 ) ( ) ..... ( )
EXAMPLE i i i
Solution i i i
i i i i i i i i i i i i i
   
    
             
‫ھﻮ‬ ‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ان‬73+1=74‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻘﺴﻢ‬ ‫ﺣﺪا‬4‫ﻓﯿﻨﺘﺞ‬18‫واﻟﺒﺎﻗﻲ‬2‫اﻟﻰ‬ ‫اﻟﻤﻘﺪار‬ ‫ﯾﻘﺴﻢ‬ ‫ﻟﺬا‬ ،18
‫اﻟﺤﺪ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺑﺪءا‬ ‫ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ‬ ‫ﻟﺤﺪود‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬‫ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫اﻷول‬‫اﻷﺧﯿﺮﯾﻦ‬ ‫اﻟﺤﺪﯾﻦ‬ ‫ﻟﯿﺒﻘﻰ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺗﺴﺎوي‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﻛﻞ‬.
‫ﯾﺴﺎوي‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‬:   
18 1872 73 4 4
1i i i i i i     
‫آﺧﺮ‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬:‫ﺟﺬراھﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬M , L‫أن‬ ‫ھﻞ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﺛﻢ‬M , L‫ﻣﺘﺮاﻓﻘﺎن‬.
2
: 3 4 1 4 4
(3 4 ) (1 4 ) 3 12 4 16 19 8
,
20: 3 4 ; 1
4
Ex
solution M L i i
M L i i i i i i
M L ‫ﺘﺮاﻓﻘﯿﻦ‬ ‫ﻏﯿﺮﻣ‬
M i L i
      
           

   


‫ھﻲ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬:
2
( ) 0x M L x M L    
‫ھﻲ‬ ‫اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ‬ ‫ﻓﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻟﺬا‬:
2
4 19 8 0x x i   

12. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)12(
2 1 : 5 1 ; 5 1
: 5 1s o lu tio n M
E x M i L i
L i
  
  

5 1i 
2
2
1 0
,
(5 1) (5 1) 2 5 1 2 6
1 0 2 6 0
i
M L ‫ﺘﺮاﻓﻘﯿﻦ‬ ‫ﻏﯿﺮﻣ‬
M L i i i
X i X T h e e q u atio n
 

        
   

5 5 9 2
22 : ,
1 3 4
i i
Ex M L
i i
 
 
 
‫اﻟﺤﻞ‬:‫ﻣﻦ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺨﻠﺺ‬ ‫اﻟﺠﺬرﯾﻦ‬ ‫ﻧﺒﺴﻂ‬i‫ﺑ‬‫ﺎﻟﻤﻘﺎم‬
2
2
5 5 1 3 5 15 5 15 20 10
1 3 1 3 1 9 10
20 10
2
10 10
i i i i i i
M
i i i
i i
     
   
  
   
2
2
9 2 4 36 9 8 2 34 17
4 4 16 17
34 17
2
17 17
i i i i i i
L
x i i
i i
     
   
  
   
1) 2M L i   2 i 
2
4
2) (2 )(2 ) 4 5M L i i i
 
       


M , L‫ھﻲ‬ ‫واﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ، ‫ﻣﺘﺮاﻓﻘﺎن‬:
2
4 5 0x x  
‫اﻷﺳﺌﻠﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫آﺧﺮ‬ ‫ﻧﻮع‬:
‫ﻣﺜﺎل‬23:‫ﯾﺴﺎوي‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻤﺎ‬ ‫اﻟﻠﺬﯾﻦ‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺬرا‬ ‫ﺟﺪ‬2‫ﺿﺮﺑﮭﻤﺎ‬ ‫وﺣﺎﺻﻞ‬=17.
‫اﻟ‬‫ﺤﻞ‬:‫اﻟﺠﺬرﯾﻦ‬ ‫ﻟﯿﻜﻦ‬m , n
‫أن‬ ‫وﺑﻤﺎ‬:2 ; 17 ,m n m n m n are conjugate       
:Let m a bi n a bi
m n a bi
    
   a bi 
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 1
( )( )
17 1 4
1 4 , 1 4
a a a
m n a bi a bi a b i a b
b b
i i ‫ﺔ‬ ‫ﺟﺬرااﻟﻤﻌﺎدﻟ‬
    
       
    
  

13. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)13(
‫ﻣﺜﺎل‬24(‫ﺟﺬرﯾﮭﺎ‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫واﻟﺘﻲ‬ ‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت‬ ‫ذات‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬5 2i
‫اﻟﺤﻞ‬:‫ﻓﺈن‬ ‫ﻟﺬا‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫أﻋﺪاد‬ ‫اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت‬ ‫أن‬ ‫ﺑﻤﺎ‬‫ﻣﺘﺮاﻓﻘﺎن‬ ‫اﻟﺠﺬرﯾﻦ‬
‫إذن‬‫اﻟﺠﺬرا‬‫ن‬‫ھﻤﺎ‬:5 2 , 5 2i i ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أﻛﻤﻞ‬.
25:Ex
‫أن‬ ‫ﺑﺮھﻦ‬3 i‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺬري‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫ھﻮ‬:
2
8 16 2 0x x i   ‫اﻵﺧﺮ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ﺟﺪ‬ ‫ﺛﻢ‬.
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﺠﺬرﯾﻦ‬ ‫ﻧﻔﺮض‬:m , n‫وأن‬m = 3 + i‫أن‬ ‫ﻓﯿﺠﺐ‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺬرا‬ ‫ھﻮ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫أي‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫وﻟﻜﻲ‬ ،
‫ﯾﺤﻘﻘﮭﺎ‬:
‫أن‬ ‫أي‬3 + i‫ﺟﺬرﯾﮭﺎ‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫ﻓﮭﻮ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻘﻖ‬.
‫أن‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ‬ ‫اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫اﻟﻤﻌﻄﺎة‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدة‬ ‫ﻣﻘﺎرﻧﺔ‬ ‫وﻣﻦ‬:
 2
2
8 16 2 0
( ) 0
8 ; 16 2 3
3 8 5
x x i
x m n x m n
m n m n i But m i
i n n i ‫ﺬراﻵﺧﺮ‬ ‫اﻟﺠ‬
   
    
       
     
26:Eq
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺬري‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬
2
12 6 0x x x i c   ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻓﺠﺪ‬ ‫اﻵﺧﺮ‬ ‫أﻣﺜﺎل‬ ‫ﺛﻼﺛﺔ‬ ‫ھﻮ‬c
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﺠﺬرﯾﻦ‬ ‫ﻧﻔﺮض‬:m , n‫وأن‬m = 3n‫اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ‬ ‫ﻟﻠﺼﯿﻐﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻧﺤﻮل‬ ،:
2
2
(12 16 ) 0
( ) 0 12 16
3 12 16 4 12 16 3 4
3(3 4 ) 9 12
x i x c
x m n x m n m n i
n n i n i n i ‫ﺬراﻻول‬ ‫اﻟﺠ‬
m i i ‫ﺬراﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟﺠ‬
   
        
         
    
‫ﻃﺮﯾﻘﺘﯿﻦ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻟﺒﺎﻗﻲ‬:‫ﻓﻨ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﯾﺤﻘﻖ‬ ‫اﻟﺠﺬرﯾﻦ‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫اﻷوﻟﻰ‬‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺤﺼﻞ‬c
‫واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬:‫اﻟﺠﺬرﯾﻦ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬=c‫اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫وﻟﻨﻄﺒﻖ‬:
2
(3 4 )(9 12 ) 27 36 36 48 21 72c i i i i i i         
2
2
( ? ) 8( ? ) 16 2 0
(3 ) 8( 3 ) 16 2 0
9 6
i
i i i
i
   
     
 2
24 8i i   16 2i  0
9 1 24 16 0 0 0 ‫ﺎﺋﺒﺔ‬ ‫ﻋﺒﺎرةﺻ‬

     

14. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)14(
‫اﺧﺮ‬ ‫ﻧﻮع‬:‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫أﻟﻀﺮﺑﻲ‬ ‫اﻟﻨﻈﯿﺮ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫اﻻﻋﺘﯿﺎدﯾﺔ‬ ‫وﺑﺎﻟﺼﯿﻐﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬:
1
2
27 : 2 4
1 4 2 4 2 4 2
: 4 2
4 2 4 2 16 4 20
1 1
5 10
Ex i
i i i
solution let z i z
i i i
i ‫ﺮﺑﻲ‬ ‫اﻟﻨﻈﯿﺮاﻟﻀ‬


     
       
    
   
2
.
2 8 :
1
2
1E x z
i
so l z
i
 
 
2
( i  1
2
1 1 2 1 2
) 1 2
1 2 1 2 1 4
1 2 1 2
5 5 5
i i
i z
i i i
i
i ‫ﺮﺑﻲ‬ ‫اﻟﻨﻈﯿﺮاﻟﻀ‬
  
     
  

   
1
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
9 :
2
2
2 2
a bi a bi
sol z
a bi a bi
a abi b i a
a bi
Ex z
a b
abi b a b ab
i
a b i a b a b a b
i
  
 
 
    
   
   



‫ﻧﻮع‬‫اﺧﺮ‬:30:Ex
‫ﻟﺘﻜﻦ‬:
7 11
,
1
i x i
a b
i x y i
 
 
 
‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻼ‬ ‫وﻟﯿﻜﻦ‬a , b‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬ ، ‫ﻣﺘﺮاﻓﻘﯿﻦ‬x , y
‫اﻟﺤﻞ‬:
2
2
7 1 7 7 6 8
3 4
1 1 1 2
i i i i i i
a i
i i i
     
     
  
b = 3- 4i‫ﻷن‬b‫ﻟـ‬ ‫ﻣﺮاﻓﻖ‬a
11
3 4
x i
i
x yi

 

2
(3 4 )( ) 11 3 3 4 4 11
3 3 4 4 11
2 3 4 4 11 0
( 2 4 ) (3 4 11) 0 0
i x yi x i x yi xi yi x i
x yi xi y x i
x yi xi y i
x y y x i i
         
     
     
      

15. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)15(
‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﯿﻦ‬ ‫ﻋﺪدﯾﻦ‬ ‫ﺗﺴﺎوي‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫وﻣﻦ‬:
‫ﺗﺪرﯾﺐ‬ 1 1
‫ﻣﻦ‬ ‫اﻷﺳﺌﻠﺔ‬1‫اﻟﻰ‬14‫ﻟﻠﺼﯿﻐﺔ‬ ‫اﻟﻤﻘﺪار‬ ‫ﺣﻮل‬:
18(‫أن‬ ‫ﺑﺮھﻦ‬:
 
w w
c
z z
 
 
 
[Hint: ‫ﺐ‬ ‫ اﻛﺘ‬z =a+b i , w = c+d i
‫ﻟﻠﺼﯿﻐﺔ‬ ‫ﺣﻮل‬a b i‫اﻟﻤﻘﺎدﯾﺮﻣﻦ‬19‫اﻟﻰ‬31
 
 
3
19 (2 )(3 2 ) 6 1
1
20
3
x y i x y i i
i
i
   
 
 
 
   
 
 
4 4
1 2 3 49
39
37
8 7 8 7 7 8
2 3
(21)
1 2
(22) 2 2
(23) 1 .....
1
(24)
1
(25) ,n n n
i i
x y
i i
i i
i i i i
i
i
i i i n
   
  
    
   
    
  
    


   
 
   
 
 
 
 
2
1
24 4 2
25 1 3
26 3
27 3
28
1
29
2
i
i
i
i
x iy
x iy
i
i


 





 
 
   
2 2
7 3
30
1 12
2 2
31
1 2 1 2
i i
i i
 
 

 
2 4 0 .........( . 1) 2
3 4 11 0 .......( .2)
8 4
x y eq
y x eq
y x
  
  
 0
3 4y x

 11 0
11 11 0 1
2 4 0 2
y y
x x
 
    
   

16. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)16(
.(32)‫أن‬ ‫ﺑﺮھﻦ‬2 4 i‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺬري‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫ھﻮ‬
2
4 20 0x x  
 33‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬
7 13
,
2 4
i i
m n
i i
 
 
 
1(‫أن‬ ‫ﺑﺮھﻦ‬,m n‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻼ‬ ‫ﺟﺪ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫ﻣﺘﺮاﻓﻘﺎن‬:
2 2 3 3
, , ,m n m n m n m n   
2(‫ﺟﺬراھﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬,m n
.(34)‫ﺑﺎﻟﺼﯿﻐﺔ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‬ ‫ﻟﻸﻋﺪاد‬ ‫اﻟﻀﺮﺑﻲ‬ ‫اﻟﻨﻈﯿﺮ‬ ‫ﺟﺪ‬a b i‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻼ‬:   
1
, 1 3i i i

  
 : 35‫اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘ‬ ‫ﺻﺤﺔ‬ ‫ﺑﺮھﻦ‬‫ﺔ‬:
1 tan
cos2 sin 2
1 tan
i
i
i

 


 

‫ﺣﯿﺚ‬
2
,
2
n
n
 


 
‫أﻣﺜﻠﺔ‬:‫ﻳﻠﻲ‬ ‫ﳑﺎ‬ ‫ﻛﻼ‬ ‫ﺃﻛﺜﺮ‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﲔ‬ ‫ﻋﺪﺩﻳﻦ‬ ‫ﺿﺮﺏ‬ ‫ﳊﺎﺻﻞ‬ ‫ﺣﻠﻞ‬:
‫ﯾﺴﺘﻐﻞ‬ ‫أﺳﺌﻠﺔ‬‫ﻓ‬‫ﯿﮭﺎ‬2
1i  ‫اﻟﺤﺪﯾﻦ‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫ﯾﻀﺮب‬ ‫ﻓﺮق‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ﻓﻠﺘﺤﻮﯾﻞ‬× 2
i
2
2
2
31: 9 2
. 9 25 (3 5 ) 3
5
( 5 )
E
sol z x i x i
x z x
x i

  


2
2 2 2
2
. 4 9 (2 3 )(2 3
32: 9
)
4E
sol z x y i x yi x y
x z x y
i    
 
4
2 2 2 2 2
2
. ( 9)
33: 5 36
( 4) ( 9)( 4 ) ( 3)( 3)( 2 )( 2 )sol z x x x x i x x x i x
Ex z x x
i  

       
 
2
2 2
. (4 ) 9 (4 3
34: (4
)(4
) 9
3 )sol z x i x i
Ex z x
x i
  
       
2
. 16 9 16 9
35: 25
(4 3 )(4 3 )sol z i
Ex z
i i      

2
2
. 81 36 81 36 (9 6 )(9 6 )
9 13 9(9 4) 9(9 4 ) 9(3 2
36:
)(3 2 )
117
sol z i i i
or z i
Ex z
i i
      
     

  

17. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)17(
3 3 2 2
3
2 2
. 8 (2 )(
37: 8
4
4 2 )
(2 )(4 2 1) ( 12 )( 2 )
sol z x i x i x x i i
x i x x i x i x
x
i
E z x i
x
     
    

 


3 3
3
3 3 3 2
3
2
21 1 1
. (216 ) (216
1
38: 5
) (6 )(36 6 )
4 4 4
1
(6 )( 6 )
4
1
4
4
36
sol z x i y x i
Ex
y x y i x xy i i
x y i x y
z x i y
x i
       
  
 
2
2
2
39: 6
. 6 16 ( 8 )( 2 )
16E
s
x z x
ol z x
xi
xi i x i x i   





2 2
2
2
2
2 2
1
. 6 25 ( 6) 9
2
6 9 9 25
( 3) 16
( 3) 16 ( 3 4 )( 3 4
40: 6 25
)
sol z x x added and subtract
x
E
x
x
x i x i x
x z x x
i
    
    
  
     
 





2 2
2
2
2 2
2
1
. 8 ? 52 ( 8)
41
16
2
8 16 16 52
( 4) 36
( 4) 36 ( 4 6 )
: 8
( 4 )
2
6
5
sol z x x Added and subtract
x x
x
x i x i
Ex z x x
x i
     
    
  
      


 


2 2
2
2
1 1
. 1 ( 1)
42 :
2 4
1 1
1
4 4
1
sol z x x Added and su
Ex a z x x
btract
x x
 
    
    



18. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)18(
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
4
1 3
( )
2 4
1 3 1 3 1 3
( ) ( )( )
3: 4 9 25
2 4 2 2 2 2
. 4 9 25 (2 3 25 )(2 3 25 )
Ex z x
x
x i x i x i
sol z x i Sin y x i Sin y x i Sin y
Sin y
  
       
    
 


‫اﻷوﻟﻰ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻋﻮاﻣﻞ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﻟﺤﺎﺻﻞ‬ ‫ﺣﻠﻞ‬:
3
44 : 8Ex b x 
         
         
23 2 2
2 2
.: 8 2 2 4 2 2 1 1 4 2 1 3
2 1 3 2 1 3 1 3
Sol x x x x x x x x x
x x i x x i x i
               
 
                  
‫أﺧﺮى‬ ‫ﻓﻜﺮة‬:‫ﺑﺎﳌ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮﺏ‬ ‫ﺑﺪﻭﻥ‬‫ﺑﺼﻴﻐﺔ‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ‬ ‫ﺮﺍﻓﻖ‬a + bi‫ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ‬:
2
5
44:
3
i
Ex z
i


‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫ﻟﯿﻜﻦ‬z = 3 + i;2 2
9 1 10z z a b     
‫و‬‫ﺗﻨﺲ‬ ‫ﻻ‬‫ﻣﻦ‬‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫وﺣﺪة‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬
2 2
1 1i i     
‫ﻧﻀﺮب‬‫وﻣﻘﺎم‬ ‫ﺑﺴﻂ‬‫اﻟﻌﺪد‬)5i(‫ﻓﻲ‬10
25
(10) (9 1) (9 ) (3 ) (3 )
10 2 2
3 3 3
i i i
i i i
z
i i i
       
   
  
2
3
i
i


21 1 1 3
(3 ) (3 ) (3 1)
2 2 2 2 2
i
i i i i i

        
4
45:
2 4 3
i
Ex z
i



‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﻤﻘﺎم‬ z = 4 + 3 i
2 2
16 9 25 z z a b      

19. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)19(
24 4
(25) (16 9) (4 3 ) (4 3 )(16 9 )
25 25 2
4 3 4 3 4 3
i i i
i ii
z
i i i
 
      
   
  
4
25
4 3
i
i



24 4 4 12 16
(4 3 ) (4 3 ) (4 3)
25 25 25 25 25
i
i i i i i

  
           
‫ﻧﻮع‬‫ﻣﺮﻛﺒﯿﻦ‬ ‫ﻋﺪدﯾﻦ‬ ‫ﺗﺴﺎوي‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫آﺧﺮ‬:
‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬x , y‫ﺍﳊﻘﻴﻘﻴﲔ‬‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﳛﻘﻘﺎﻥ‬ ‫ﻭﺍﻟﻠﺬﻳﻦ‬:
2 1 3 2 1
.: (
2 3
) ( )
1 1 2 2
1
46:
1 2
i
i i
Ex x
i i i
sol x y
i i i i i
y
i i i
   
   

 
 

 


2
( i  )
2 2
2 2
2 2 6 3 2
( ) ( )
1 4
i i i i i i
x y i
i i
     
   
 
1 3 5 5 1 3
( ) ( ) ( ) (1 )
2 5 2 2
1 3
2 2
i i
x y i i x i y i
x x i y y i i
 
         
     
‫ﻟﻠﺼﯿﻐﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻃﺮﻓﻲ‬ ‫ﻧﺤﻮل‬:a + b i
3
2
3
( ) ( ) 0
2
1
1
( )
2
1
2
x y
x
x i y i i
x y iy i
    
     


‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫وﻣﻦ‬‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﯿﻦ‬ ‫ﻋﺪدﯾﻦ‬ ‫ﺗﺴﺎوي‬:
2
1 2
1
Re ( . . )
Im ( . .
1
Re ( . . ) 0 .....( 1)
2
3
Im ( . . ) 1 .....( 2)
2
1
1
)
1
2
z
z
z
z
R H S x y eq
R H S x y eq
x x
y
L H S
L H S
   
     
    
  

20. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)20(
2
2 21 1
.
1
.47 : (1 3
(1 6 9 ) 1 3 3
1 1
) (1 )(1 3 )
1
i
Ex x
i i
sol x i i y i
i
i i
i i
y i i
i
 
 
 
 

     

         
    
1

2
2i i 
1 2
1 2
( 8 6 ) 4 2
2
6 4 2 ( 8 ) ( 6 ) 4 2
1
Re Re 4
2
1
Im Im
8
6 2 6( ) 2 5
2
8z z
z z
x i y i
i x i y i y x y i i
y
and x x
y
y
y x
     
           
      
          

 

2
2
2
3
6 3 2
. (1 ) (1 )
2 2
6 6 3 2
(
6 3
.48: (1 )
2
1
4
i i
sol i i
x yi i i
i i i
x yi i
i
Ex i
x yi i
 
    
  
  
 

  
 

 
2
2i i 
2
) (1 )
6 5 5
2 2
5
6 6
1 2 2 1
6 6 1
1 1 1
6 6
3 3 3 ; 3
2
i
i
i i
x yi
i i i
x yi x yi
i
x yi x yi
i i i
i
x yi i x y


   

        
 
 
      
     
 
         
‫ﻟﻠﻨﺘﺎﺋﺞ‬ ‫ﺟﺪوﻻ‬ ‫ﻧﻈﻢ‬:‫اﻟﻄﺒﻊ‬ ‫ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ‬ ‫اﺧﺘﺼﺎرا‬ ‫ﻟﻠﻨﺘﺎﺋﺞ‬ ‫ﺟﺪاول‬ ‫اﻧﻈﻢ‬ ‫وﻟﻢ‬
-3x
3y

21. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)21(
1 2
1 2
2
2
. 2 2 4 1 8
2 2 8 2 2 3 8
(2 2 ) 3 8
Re Re 3 ......( 1)
Im Im 2 2 8 4 ....(
.49: ( 2 )(
2
2 ) 1
4 .
8
3
)
z z
z z
sol x y x i i y i i
x i i y i xy x i i y i
x y x y i i
Ex x i
x y eq
an
y i i
x
d x y x
y
y xy eq

    
        
    
   
    
   

   
‫اﻟﻤﻌﺎد‬ ‫ﺗﺤﻞ‬‫ﺑﺎﻷوﻟﻰ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﯾﺾ‬ ‫آﻧﯿﺎ‬ ‫ﻟﺘﯿﻦ‬:
2 2
(4 ) 3 4 3 4 3 0
( 3)( 1) 0 3 1 4
1 4 1 3 ; 3 4 3 1
x x x x x x
x x x or x But y x
when x y when x y
        
        
         
5
2 2 3 2 23
0
2 2 2 2 5
2 4 2 6 3 2 23
0
5 5 5
2 4 2 (6 3 2
2 3 23
50: 0
2 2
) 23 0
4 3 2
5
2 2 6 0
8 2
3
2
6
x y i i x y i i
i i i i
x x i y i y x x i y i y
x x
x yi x yi
i y i y x xi y i y
x i yi x i y i y
x y y i x i
Ex
i i
x y x

    
     
     
      
   
        
      

 
  
 

   
   

23 0 ( 8 23) ( 6 2 ) 0 0x y y x i i          
1 2
1 2
(2)
Re Re 8 23 0 ......( 1)
Im Im 6 2 0 3 .....( 2)
8(3 ) 23 0 23 23 0 1 3
z z
z z
x y eq
and y x x y eq
y y y y then x

      
      
          
2
51: ( ) 4
4 2 0 2x yi x yi i
Ex
x and y
x yi
         
  
  
2
4 4 0
52 :( ) 16
x yi x and y
Ex x yi
 

   

 

22. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)22(
2 2 2 2
2
2
2 2
2 8 2 8
( ) (2 ) 0
53:( ) 8
8
x xyi y i i x
Ex x yi
xyi y i
i
x y xy i i
       
  

 

1 2
1 2
2 2
Re Re 0 ......( 1)
4
Im Im 2 8 .....( 2)
z z
z z
x y eq
and xy y eq
x
    
    
2
2 4 2 2
2
16
0 16 0 ( 4)( 4) 0
2 2
x
‫ﻞ‬ ‫ﯾﮭﻤ‬
x x x x
x
x y

        
     
1 2
1 2
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
( )
2 4 2 4 2
2
2 2
2 12 16 2 12 16
( ) (2 ) 16
Re Re ......( 1)
8
Im Im 2 16 .....( 2)
64
12 64 12 12 64 0
5
( 16
4 : ( ) 12 16
12
12
)( 4
z z
z z
x
‫ي‬
x xy i y i i x xy i y i
xy i i
eq
and xy y eq
Ex x yi
x
x x x x x
x
x
x
x
x
i
y
y

         
   
  

     
        
 
 





8
) 0 4
4 2 ; 4 2
‫ﻞ‬ ‫ھﻤ‬
x but y
x
when x y when x y

    
        
- 44x
2- 2y
2
2 2
2
3 3 (3 )
. ( ) ( )
3 3 10
3 3 1
( )
10 10 10
3 1 3 1
10
3
.55 : ( )
3
10 10 10
i
Ex
i i i
sol x y i x y i
i i
i
x y i x y i
x y i
i
W hen x y or W e x y
i
h n
  
     
 

        


 

      

23. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)23(
2
2 2 2
2
. 2
.56: 2 (2 )( 4
(2 )( 4 ) 2
)Ex x yi i x y
sol x yi i x y i x yi

   





(2 ) ( 2 )i x yi   ( 2 )
1 2
1 (2 )( 2 ) 2
2 2
2 2 1 2 1
2 2 ;
5 5 5 5 10
x yi
i
i x yi x yi
i i
i
x yi x yi i x y


       
 

          
1
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
7 4 2 14 7 8 4 10 15
. 2 3
2 2 5 5
2 3 2 3
( ) 2 ( ) 4 3
2 4 3 2 4 3
( ) (
7 4
.57 : ( ) 2
2 ) 4 3
Re
2
z
i i i i i
sol m n i i
i i
m n i i m and n
i
Ex x y i m n i W hen m
B ut x y i m n i x y i i
x
n
x yi y i i x xyi y i
x y i
i
i
i
x y
     
      
 
      
      
       

    

 
    
  2
1 2
2
2 2
(4 )
2 4 2 4 2
2
2 2
Re 4 ......( 1)
3
Im Im 2 3 .....( 2)
2
9
4 4 9 16 4 16 9 0
4
3 3
(2 9)(2 1)
2 2
0
3 3
2
z
z z
x
‫ﻞ‬ ‫ﯾﮭﻤ‬
x y eq
and x y y eq
x
x x x x x
x
x x x but y
x
w hen x y

  
    
        
       
  
2 2
3
 
2
1
;
2
3 1
2 2
w hen x y

    

24. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)24(
‫ﻛﻞ‬i‫ﺍﻟﻔﺮﺿﻴﺔ‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ‬ ‫ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ‬ ‫ﺍﳉﺬﺭﺍﻟﱰﺑﻴﻌﻲ‬ ‫ﲢﺖ‬
10
.
.58: ( )
6 8
10
6 8
sol x y
E y i
i
x x
i
i
 
 


‫ﻧﻔﺮض‬:8 6 ,i a bi a b     ‫ﻋﻠ‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ‬ ‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫وﺑﺘﺮﺑﯿﻊ‬‫ﻰ‬:
1 2
1 2
2
2 2 2 2 2
2 2
( )
2 4 2 4 2 2 2
2
( ) 8 6 2 8 6 ( ) (2 ) 8 6
Re Re 8 ......( 1)
3
Im Im 2 6 .....( 2)
9
8 9 8 8 9 0 ( 1)( 9) 0
z z
z z
a
‫ﻞ‬ ‫ﯾﮭﻤ‬
a bi i a abi b i a b ab i i
a b eq
and ab b eq
a
a a a a a a a
a

               
    
    
              
3
1
1 3 ; 8 6 1 3
1 3 ; 8 6 1 3
a but b
a
when a b then i i
when x b then i i
   
      
         
‫اﻷوﻟﻰ‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ‬:‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬8 6 1 3i i   ‫ﺗﺼﺒﺢ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬:
10
1 3
x yi
i
 

10 1 3 10
1 3 1 3
i
x yi
i i

   
 
(1 3 )
10
i
1 3 1 , 3i then x y    
‫اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ‬:‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬8 6 1 3i i    ‫ﺗﺼﺒﺢ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬:
10
1 3
x yi
i
 
 
10 1 3 10
1 3 1 3
i
x yi
i i
 
   
   
( 1 3 )
10
i 
1 3 1 , 3i then x y     
2
2 14 53
59: 1
2 7
x x
EXAMPLE x xy i
x i
 
  
 
   
  
2 2
2 2 2
.: 14 53 14 49 49 53
7 4 7 4
7 2 7 2
sol x x x x
x x i
x i x i
      
     
    

25. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)25(
‫ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﯾﻌﻮض‬ ‫اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ‬:
2
7 2
1
x i
x xy i
 
  
  7 2
2 7
x i
x i
 
 
   
  
2 2
2
2 2
1 7 2 6 2
6 2
Re : 6 6 0 3 2 0
3 2
Im : 2
2 1
3 2 / 3
x xy i x i x xy i x i
x xy i x i
x x x x x x
x or x
xy
when x y
when x y
          
    
          
  
 
   
   
( . 60Ex‫ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﱰﺑﻴﻌﻴﺎﻥ‬ ‫ﺍﳉﺬﺭﺍﻥ‬ ‫ﺟﺪ‬:
8
1 3 
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ‬ ‫ﻟﻠﺼﯿﻐﺔ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﻧﺤﻮل‬:
8 8 8 1 3 8(1 3)
2 2 3
41 3 1 1 3 1 3 1 3
i i
i
i i
 
     
      
‫ﻧﻔﺮض‬2 2 3 i x yi  ‫اﻟﻄﺮﻓﯿ‬ ‫وﺑﺘﺮﺑﯿﻊ‬‫ﻦ‬‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ‬:
2
( ) 2 2 3x yi i  
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 3 2 2 2 3
( ) (2 ) 2 2 3
x xyi y i i x xyi y i
x y xy i i
         
    
1 2
1 2
2
2 2
( )
2 4 2 4 2
2
2 2
Re Re 2 ......( 1)
3
Im Im 2 2 3 .....( 2)
3
2 3 2 2 3 0
3
( 3)( 1) 0 3
3 1 ; 2 2 3 3
3 1 ; 2 2 3 3
z z
z z
x
‫ﻞ‬ ‫ﯾﮭﻤ‬
x y eq
and x y y eq
x
x x x x x
x
x x x but y
x
w hen x y then i i
w hen w hen x y then i i

    
     
        
       
     
        
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬1:‫ﻋﺎﻣﺔ‬ ‫ﺑﺼﻮرة‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫ان‬‫ﻻﺣﻘﺎ‬ ‫دﯾﻤﻮاﻓﺮ‬ ‫ﻣﺒﺮھﻨﺔ‬ ‫ﺑﻤﻮﺟﺐ‬ ‫ﺳﺘﺤﻞ‬.

26. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)26(
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬2:‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻲ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ﻧﺠﺪ‬ ‫أن‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬z x yi ‫اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ‬ ‫ھﺬه‬ ‫وﺗﺴﺘﻌﻤﻞ‬‫ﻟﻠﺘﺤﻘﻴﻖ‬‫ﻏﯿﺮ‬ ‫ﻷﻧﮭﺎ‬
‫اﻟﺒﺎﺋﺲ‬ ‫ﻣﻨﮭﺠﻨﺎ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻣﻮﺟﻮدة‬‫ﻛﺴﺆال‬ ‫اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﮭﺎ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬.‫وھﻲ‬‫ﻟﻸﻃﻼﻉ‬
The modulus or absolute value of a complex number z ‫ﻧﺠﺪ‬‫ﺍﳌﺮ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ﻣﻘﻴﺎﺱ‬‫ﻛﺐ‬
‫ﻟﯿﻜﻦ‬=r=|z|‫ﺣﯿﺚ‬2 2
r x y ،‫ر‬=‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬
‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻲ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ﻹﯾﺠﺎد‬ ‫اﻟﻘﺎﻋﺪة‬ ‫ﻧﻄﺒﻖ‬
2 2( )
r x y
x iy i
r x

  

‫ﻣﺜﻼ‬:8 6i
‫اﻟﺤﻞ‬:2 2
64 36 10r x y    ‫ﺣﯿﺚ‬8, 6x y  
10 8 6 6
8 6 9 3
2 2(10 8) 36
i i i i
  
      

.61Ex:‫ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﱰﺑﻴﻌﻴﺎﻥ‬ ‫ﺍﳉﺬﺭﺍﻥ‬ ‫ﺟﺪ‬4 3i
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬=16 9 5 r  ‫ﺣﯿﺚ‬x = 4 , y = 3
5 4 3 3 1
4 3 ( ) ( )
2 2(5 4) 2 2
i i i

      

‫آﺧﺮ‬ ‫ﺗﻄﺒﯿﻖ‬‫ﺗﺴﺎ‬ ‫ﻓﻲ‬‫ﻣﺮﻛﺒﯿﻦ‬ ‫ﻋﺪدﯾﻦ‬ ‫وي‬
62(EX.‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ 1 , 2‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺬري‬ ‫اﺣﺪ‬ ‫ھﻮ‬2
2 2 7 0x x bx a    
‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻓﺠﺪ‬a , b‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﯿﻦ‬.
‫اﻟﺤﻞ‬:‫أن‬ ‫ﺑﻤﺎ‬‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬1 – 2i‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﯾﺤﻘﻖ‬ ‫ﻓﮭﻮ‬ ‫ﻟﺬا‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺬري‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫ھﻮ‬:
2 2
2
2 2 7 0 2( ? ) 2( ? ) ( ? ) 7 0
2(1 2 ) 2(1 2 ) (1 2 ) 7 0
2(1 4 4 ) 2(1 2 ) (1 2 ) 7 0
6 8 2 4 2 7 0 15 4 2 0
( 15 ) ( 4 2 ) 0 0
4 2 0 2 15 0 15 2 0
x x bx a b a
i i b i a
i i b i a
i i b bi a b a i bi
b a b i i
b b and b a a a
          
        
         
                
        
                17
.63Ex:‫ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﱰﺑﻴﻌﻴﺎﻥ‬ ‫ﺍﳉﺬﺭﺍﻥ‬ ‫ﺟﺪ‬32
‫اﻟﺤﻞ‬:
4 2 32 1 32 32z i z z z              

27. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬)27(
‫اﻟﺴﺆاﻟﯿﻦ‬ ‫ﻓﻲ‬)1-2(‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﺟﺪ‬z‫ﯾﺤﻘﻖ‬ ‫واﻟﺬي‬:
1:4 7 3 ( ) ; 2:3 2 4 ( ) :3 4Q z i i z Q z z i z ans i      
‫ﺑﺎﻟﺼﯿﻐﺔ‬ ‫اﻛﺘﺐ‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﺮاﻓﻖ‬ ‫اﻟﻀﺮب‬ ‫ﺑﺪون‬‫اﻟﻌﺪد‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫اﻻﻋﺘﯿﺎدﯾﺔ‬:
25
3 :
2 4
i
Q
i 
‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻼ‬ ‫أﻛﺜﺮ‬ ‫أو‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﯿﻦ‬ ‫ﻋﺪدﯾﻦ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﻟﺤﺎﺻﻞ‬ ‫ﺣﻠﻞ‬:4:Q
       
       
4 4 4 2
2 2 3 3
90 45 - 16y + 12x
8
- 27 +
25
a b c x d x
e x x f x g x i h x
; ; ; -64
- 8 +12 ; -6x + 25 ; ; 5 i
‫اﻷﺳﺌﻠﺔ‬‫ﻣﻦ‬5‫اﻟﻰ‬16‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬x , y‫اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫واﻟﺘﻲ‬: 2
5: 2 3 4Q x y i i  
 
  
    
2 2 2
2
2
2 1 2
6:( ) 16; 7: 1 8:
3
8 4 2
9: 10: 4 1 8
8 4
12 52
11: 6 ; 12: (
4 6
i
Q x yi Q x y i Q x y a bi x y i
i
i
Q x y i Q x y i x y i i
i i
x x
Q x y i x Q xy
x i

         


       

 
  
     
    
  
2 2
2
4 8
2 )
1 1
5 25 4(1 5 )1 200
13: 3 2 8 14: 3 2 ; 15:
4 3 2
16: 2 7 5 whene z = -1= 2i
x y i
i i
i
Q x i y i Q x y Q x y i
i i
Q z z x y i i
  
 
  
       

   
‫ﻣﻦ‬ ‫ﻟﻜﻞ‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﯿﺎن‬ ‫اﻟﺠﺬران‬ ‫ﺟﺪ‬:17 : Q
100 7 3
: ; B: ; : 11-24 3 ; E : -i
16 3 1 12
: 4 3 ; : 16 12 ; : 4 2 3 2
A D
F i G i H i
 

   
   
‫ﺗﺴﺘﻄﯿﻊ‬ ‫ھﻞ‬‫إﺟﺎﺑﺔ‬‫اﻟﻔﺮﻋﯿﻦ‬G , H‫ﺑﺎﻻ‬‫ﻋﺘﻤﺎد‬‫ﻋﻠﻰ‬‫إﺟﺎﺑﺔ‬F‫؟‬
‫ﺗﺪﺭﻳﺐ‬)1 - 2(

28. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬
28
‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﺣﻞ‬
‫ﻓﻲ‬‫اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﺟﺪ‬:
 
2
2
. 8 8 2 2
2 2 , 2 2
.58: 8 0
sol x x i
S i
Ex
i
x
       
 
 
2
2
.59: 8
. 8 8
0
‫ﯿﺔ‬ ‫ﻓﺮﺿ‬
sol x
Ex x i
i x i     
 
2
2 2
2 2
: 8 ( ) 8
( ) (2 ) 8
0 ...(1)
4
2 8 ...(2)
‫ﺎﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﺑﺘﺮﺑﯿﻌ‬
L et i a bi a bi i
a b ab i i
a b
ab b
a
       
   
 

   
‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ‬:
 
2
2 4 2 2
2
, 2 2
16
0 16 0 ( 4)( 4) 0 2
4 4
2
2
8 (2 2 )
2 2
‫ﻞ‬ ‫ﯾﮭﻤ‬
a
i
a a a a a
a
but b b
a
Hence i i
Hence S i

 
          
 
   

   
 

 
4
2 2 2 2
2
. ( 64)( 9) 0 (
.60
64 8) (
: 55 576 0
9 3)
8, 8, 3, 3
sol z z z z or z z i
S
q z
i i
E z
            
  
  
2
.61: 4 8 4 0Ex i z i z i   
‫ﻓﻲ‬ ‫ﻃﺮﻓﯿﮭﺎ‬ ‫ﺑﻀﺮب‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﺘﺨﻠﺺ‬ ‫ﻟﻠﺤﻞ‬)-i(‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻓﻨﺤﺼﻞ‬:
2
4 8 4 0z z i   
‫ﺑﺎﻟﻘﺎﻧﻮن‬ ‫ﺗﺤﻞ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻛﻞ‬)‫اﻟﺪﺳﺘﻮر‬: (

29. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬
29
2
2
1 , 4 , 8 4 ; 4 16 4(8 4) 32
4 4 32 4 4 2
2 2 2
2 2 2 ‫ﯿﺔ‬ ‫ﻓﺮﺿ‬
a b c i D b ac i i
b b ac i i
z i
a
           
      
     
‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻲ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫أوﻻ‬ ‫ﻧﺠﺪ‬:
2
2 2
2 2
: 2 ( ) 2
( ) (2 ) 2
0 ...(1)
1
2 2 ...(2)
‫ﺎﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﺑﺘﺮﺑﯿﻌ‬
L et i a bi a bi i
a b ab i i
a b
ab b
a
       
   
 

   
2
2 4 2 2
2
( )
1
0 1 0 ( 1)( 1) 0 1
1 1
1 2 (1 )
1
‫ﻞ‬ ‫ﯾﮭﻤ‬
a
a a a a a
a
but b b hence i i
a

          
 
       


‫اﻟﻔﺮﺿﯿﺔ‬ ‫ﻗﺒﻞ‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫ﻧﻌﻮد‬ ‫ﺛﻢ‬:2 2 2z i  
 
2 2 2 2 2(1 )
2 2 2 4 2 (1) 2 2 2 2 (2)
4 2 , 2
z i i
z i i The root or z i i The root
Hence S i i
       
        
 
.(62)Exa‫أن‬ ‫اﺛﺒﺖ‬1‫ﺟ‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫ھﻮ‬‫ﺬور‬‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
3
2 1 0z z  ‫اﻵﺧﺮﯾﻦ‬ ‫اﻟﺠﺬرﯾﻦ‬ ‫ﺟﺪ‬ ‫ﺛﻢ‬.
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ﻟﻜﻲ‬1‫ﯾﺤﻘﻘﮭﺎ‬ ‫أن‬ ‫ﻓﯿﺠﺐ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺬور‬ ‫أﺣﺪ‬.
‫ﺻﺎﺋﺒﺔ‬ ‫ﻋﺒﺎرة‬
3
1: 2 1 0 1 2 1 0 0 0z z z         
z = 1.
‫أﺻﺒﺢ‬x – 1‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻣﺘﻌﺪد‬ ‫ﻋﻮاﻣﻞ‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫ھﻮ‬‫ﺗﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫اﻟﻄﻮﯾﻠﺔ‬ ‫اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ‬ ‫اﻷﺧﺮى‬ ‫اﻟﻌﻮاﻣﻞ‬ ‫وﻹﯾﺠﺎد‬
‫ﺗﻨﺎزﻟﯿﺎ‬ ‫ﺗﺮﺗﯿﺒﺎ‬ ‫اﻟﺤﺪود‬.
‫اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﺧﺎرج‬ ‫أن‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ‬ ‫اﻟﻄﻮﯾﻠﺔ‬ ‫اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﺑﻌﺪ‬
‫ھﻮ‬2
2 2 1z z  
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫ﻟﺬا‬:  2
1 2 2 1 0Z z z    
‫اﻣﺎ‬Z – 1= 0‫اﻟﻰ‬ ‫ﯾﺆدي‬Z = 1‫اﻷول‬ ‫اﻟﺠﺬر‬
2
3
2 2 1
21
z z
zZ
  

3
1
2
z
z
 
 2
2
2
2 z
z


2
1
2 z
z 
 2
1
1
0
z
Z
Z
 




30. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬
30
‫ﺃﻭ‬
2
2 2 1 0z z   ‫اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫وھﺬه‬
‫اﻟﻄﺮﻓﯿ‬ ‫ﯾﻀﺮب‬‫ﻦ‬×( - 1 )‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻓﻨﺤﺼﻞ‬:
2
2 2 1 0z z  
‫ﺑﺎﻟﺪﺳﺘﻮر‬ ‫ﺗﺤﻞ‬.a = 2 , b = 2 , c = 1
‫واﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟﺠﺬران‬
2
2 4 4(2)(1)4 2 4 2 2 1 1
2 2(2) 4 4 2 2
b b ac i
z i
a
         
      
‫ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ‬ ‫ﺍﳉﺬﻭﺭ‬
( .62Ex‫ﺟﺪ‬‫اﻟﺘﻜﻌﯿﺒﯿﺔ‬ ‫اﻟﺠﺬور‬8 i‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫وﻣﺜﻞ‬.
2
( )
3 3 3 3
2 2
2
2
0
1
8 8 8 0
( 2 ) ( 2 4 ) 0
2 0 2 (1)
2 4 0 1 , 2 , 4
4 2 4 16 2 12 2 2 3
3
2 2 2 2
: 2 ( 2, 0) 1
3 (
i
L et z i z i z i
z i z z i i
z i z root
Or z z i a b i c
b b ac i i i
z i
a
T HE roots z root
z i
 
     
    
    
       
       
     
   
  
2
2 2
3,1) 2
3 ( 3 ,1) 3
| | 2
root
z i root
z r a b
    
   
‫ﺑﺪاﯾﺘﮫ‬ ‫ﻣﺘﺠﮭﺎ‬ ‫ﺗﺸﻜﻞ‬ ‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫وﻛﻞ‬ ‫أرﻛﺎﻧﺪ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻧﻘﺎط‬ ‫ﺛﻼث‬ ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫ﻟﮭﺬه‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ‬
‫وﻃﻮﻟﮫ‬ ‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬2‫ﻣﺘﺘ‬ ‫ﻣﺘﺠﮭﯿﻦ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ‬ ‫وﻗﯿﺎس‬ ، ‫ﻃﻮل‬ ‫وﺣﺪة‬‫ﺗﺴﺎوي‬ ‫ﺎﻟﯿﯿﻦ‬
2
3

‫ﻗﻄﺮﯾﺔ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫زاوﯾﺔ‬
‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ھﻲ‬ ‫اﻟﺜﻼﺛﺔ‬ ‫واﻟﻨﻘﺎط‬‫اﻷﺻﻞ‬‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺬور‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺟﺬر‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻣﻘﯿﺎس‬ ‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫وﻧﺼﻒ‬
‫ﯾﺴﺎوي‬ ‫واﻟﺬي‬2 2
| | 2z a b  .
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬:‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫ھﺬه‬ ‫إﯾﺠﺎد‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬
‫اﻟﺘﻲ‬ ‫دﯾﻤﻮاﻓﺮ‬ ‫ﻣﺒﺮھﻨﺔ‬‫ﻻﺣﻘﺎ‬ ‫ﺳﺘﺄﺗﻲ‬.x
x = 1
r = 2
y
2z
0z
1z
2
3

2
3

2
3


31. ‫ﺍﻟﻨﺎﺻﺮﻱ‬‫ﻣﻮﺳﻰ‬‫ﻛﺎﻣﻞ‬
31
‫ﻣﻦ‬ ‫اﻷﺳﺌﻠﺔ‬Q1‫اﻟﻰ‬Q6‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﺟﺪ‬
  
2 2 2
2 3
2
2 2
4 5 6
1: 8 7 1 0 ; : 5 5 3i ; Q : 7 13 1 0
3
:z 2 4 3 0 ; : 4 1 3 0 ; : 12 5 0
1
Q x i x Q i z i z i
i
Q z i z Q z z i Q z i
i
          
 
             
 
7:Q‫ﻛﺎن‬ ‫اذا‬2‫اﻟﺜﻼﺛﺔ‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫ھﻮ‬‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬3 2
8 4 8 0z Z Z   ‫اﻵﺧﺮﯾﻦ‬ ‫اﻟﺠﺬرﯾﻦ‬ ‫ﻓﺠﺪ‬.
8:Q‫ﺟﺪ‬55 48i ‫ا‬ ‫ُو‬‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‬ ‫ﺳﺘﺨﺪم‬‫إﯾﺠﺎد‬‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺬري‬:2
(1 2 ) 13(1 ) 0z i z i    
9:Q‫اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﺟﺪ‬z‫ﯾﺤﻘﻖ‬ ‫واﻟﺬي‬
22
18 24 0z z i   
: 10Q‫ا‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫ﺟﺪ‬‫ﻟﺘﻜﻌﯿﺒﯿﺔ‬‫ﻟﻠﻌﺪد‬i‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫وﻣﺜﻞ‬.
             
         
1
.: 1 , ; 2 1 , 4 ; 3 4 ,3 ; 4 1 , 1 5 ;
8
5 3 , 2 ; 6 2 3 , 2 4 ; (7) 3 ; (8) 38- , 1 5 ,
Ans i i i i i i i i
i i i i i i i
 
           
 
          
   
2 3
1 3
9 4 3 , 4 3 ; 10 ,
2 2
i
i i i i
 
    
‫ﺗﺪﺭﻳﺐ‬( 1 – 3 )

32. ALNASSIRYKAMIL32
‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻟﻠﻮﺍﺣﺪ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ‬ ‫ﺍﳉﺬﻭﺭ‬
3 3 2
2
2
1 1 0 ( 1)( 1) 0
1 0 1
1 0 ; 1
4 1 1 4 1
2
3
2
13
2 2
Let x x x x x
Either x x
or x x a b c
b b a ic
x
a
        
    
     
         


  

1 1z 0 1z 0 1z 
2
1 3
2 2
z i  1z 2
1z 
3
1 3
2 2
z i  
2
2z 2z 

2
1 , , 
1 3
2 2
i   2 1 3
2 2
i   
1 3
2 2
i   2 1 3
2 2
i   
Omegaw
1
2
, 
2
2 2
1
2
2
1 3
( ) ( )
2 2
1 3 3 1 3
4 2 4 2 2
z i
i i i z
  
      

33. ALNASSIRYKAMIL33
2
2 1( )z z
22
1 3 1 3
2 2 2 2
i i    
1 3 1 3
2 2 2 2
i i    
3
1 2 3
1 3
1
2 2
z z z i    
1 3
2 2
 
2
1 1
1 0
2 2
1 0
i
 
   
   

2
1 0   
2 2
2 2
2
1 , 1
1 , 1
1 ........
   
   
 
     
     
  
40
2 3
1 1 1      
3 1n n   
mod 385 3 24
: ( ) 1 1Ex        
( .63Ex
14 25 16 32
7 8
7 37
) ) )
3 6
) ) )
1 1
a b c
d e f
   

 
 


 

34. ALNASSIRYKAMIL34
14 3 4 2 2
) ( )a      
25 3 8 1
) ( )b      
16 32 3 5 3 10 2 2
) ( ) ( ) 1c                
7 8 3 2 3 2 2 2
) ( ) ( ) 1d i                
3
7 3 2 2 2
3 3 3 3 3
) 3
1 1 ( ) 1
e  
     
      
     
37 3 12 2
6 6 6 6
)
11 1 ( )
6
f
   
   

  
   


2 6
( )i
i i
   2
( i  ) 6i 
64:Ex
53
1 3
1 3
i
i
 
   
53
2
53 53
53 53
1 3 1 3 1 3
.
1 3 1 3 1 3
1 2 3 3 2 2 3 1 3
4 4 2 2
i i i
Sol
i i i
i i
i
     
            
        
              
     
1 3
2 2
i   
3 17 2 2 1 353 ( )
2 2
i        
( 65Ex
2
1 0x x  
50 100
x x
2
1 0x x  
1a b c  
2
24 1 1 4 1 3 1 3
2 2 2 2 2
b b ac i
x i or
a
 
     
      

35. ALNASSIRYKAMIL35
1x 
50 100 50 100 3 16 2 3 33 2
( ) ( ) 1x x                  
2
2
x 
50 100 2 50 2 100
100 200 3 33 1 3 66 2 2
( ) ( )
( ) ( ) 1
x x  
       
  
         
‫ﺍﻷ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ‬‫ﲢﻮﻱ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺳﺌﻠﺔ‬
2
, ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﺴﻠﺴﻞ‬ ‫ﻧﺘﺒﻊ‬:
2
20 20 3n
   
 7n 
20 20 203 21n
       
    
2
3

3
2 2
4 4
67 : 4Ex  
 
  
2
1 0   
( 68Ex
2 6
(1 3 )  
2
1    
2 6 6 6 6
(1 3 ) ( 3 ) (2 ) 64 64 1 64              
 
 
3 3 32 2
3 3
69 : 5 3 5 3 5(1 ) 3 5
2 8 8
Ex      
 
            
     
3


36. ALNASSIRYKAMIL36
22
2 3
2
2
2
12 12
13 6 1992
13 6 1992
1
13 6 1992
(13
3 6 1992
70:
13 6 199
992
2
6 1 )
Ex
 
  
 
 

 

   
 
   
 

 
  
 
  
 
3
122 24 3 8
12 12 12
1 1
( ) 1

 
  
     
             
   
6
3 362 2
2
2
2
(
71:
a ba b a b
Ex
a b
a
a b
b
a b a b
a b
 
 
   
 
 
  
  
 
 
  


 
 
  
2
)
a b
2
( a b  

)
a b 
 
6
62 6
( 1) 1 
 
      
 
2
1   
2
3 3 2 3 3 2( 1 ) 3 3 2 2 5                  
72 82Ex to Ex
2
2
2
2
22
2
5 5 5(3 ) 5(3 )
: . .
5 5 75
72 :
3 3 (3 )(3 )
15
3 3 169
E
S
x
Sol L H

 
  


    
     
     
 
   
 



2
5 15 
2 22
2 3 2 3
2 22 2 2 3 4
2
2
5 5( )
9 3 3 9 3 3
5( ) 5( ) 25( 2 )
10 3( ) 10 3 169
25( 2 ) 25( 1 2) 75
. .
169 169 169
R H S
  
     
      
 
 
    
   
       
        
       
       
    
   
 

37. ALNASSIRYKAMIL37
2
2
22
2
2 (2 ) 2
: . .
1 1 1
73:
2 2 3
(2 )(2 )
Sol L H
E
S
x


 


 
  

   
  
  
 
2
2 
2 22
2 3 2
4 3 2 2
2
4 2 2 5 2( )
2 2 1 2 1
. . .
(5 2) 9 9 3
R H S
  
    
    
    
   
      
      
    

1 1 1
2 2 22 2 2
1
2
1
2
2
2
2 4
1 2 1 2 1
: . .
1
1 . .
1 2
74
.
:
1
Sol L H S
i R
E i
H
x
S
  
  
 





         
        
      
  
      
  
 
  
  
2
2
2
2
1 10( ) 1 10 9 9 3
:
1 10 10 3
75:
1
. . 1 . . .
1 3( ) 1 3 4 4 2
3 3 2
So
Ex i
l L H S i R H S
 
 
 
 
   
       


 




3 4 2 3 2 2
14 7
1
3 2 3 2
0 5
2
1 2
76:
2 3
( ) ( ) 1 1 1 1 2
: . . . . . .
( ) 2 2 1 2 3
Sol L H S
x
H S
E
R
   
 
 
 
     
       
    

 


   

  
2 2
4
2
2
2
: . . . (1 ) 5
77: (1 ) (5 3 5 ) 4
(1 ) 3 1Sol L H S
Ex i
i
  
         
   
    

2
2i i   
2 2
2 2 2 2
5 3
(4 ) ( 2 ) 4 4 4( ) 4( 1) 4 . . .i R H S
 
     
    
 
             

38. ALNASSIRYKAMIL38
22
3 2 3
2
2 2 2 2 4 2 6
2 2 2
2
3
3
2
. . . 2( 1) 5(1 )
( 2 3 ) ( 5 2 ) (9 ) 9 9 . .
2
.79 : (2 2) (5 5 ) 9
.
L H S
R
E
H
x
S
 
   
 
      
 
    
               
          
    
2 3 4 4
2 2 2
3 2
2 2 2
2
78 : ( 3 ) ( 3
: . . . 6 9 ( 6 9 )
6 9 ( 6 6
)
)
8 3
9
S ol L H S
i
Ex i
i
i
i
     
  
  
 

       
        
   


9 6   
   
 
2
2
9 )
( 8 8 ) 8( 1 ) 8 8 16
1 3
. . . 8 16
2 2
1 3
8 16( ) 8
2 2
i i i
B ut i T hen L H S i
i i i

    
 
  
         
     
 
    
 
8 8 3 8 3( 1) . .3 .8i R H S        
62 2 2
3
62
5 1
.8
5 (5
0 :
: . .
5
1
5
.
i i i i
Sol L H S
i
i
Ex
i
 
 


  
  
 
  


 
 
2
)
(5 i  
6
6 4 2
6 3 2
2
2 22 2
2 2
2 2 22 2
2
2 2 2 2
1
1 . . .
( ) 1)
. . .
7(1 ) 4 7(1 ) 4
97 4
81:
(7 4 7 ) (7 7 4
7 4
)
i i i
R
Ex
H S
L H S
 
 
   
   
   
 
   
   
       
 

  
         
  
   

   
     
4
9 2
2
2 2 2
1 1
9 9 9
  
  
 
    2
9
1
. . .
9
R H S

 

39. ALNASSIRYKAMIL39
‫ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺃﺧﺮﻯ‬ ‫ﺃﺷﻜﺎﻝ‬:
( :83Ex
4
2 
a b i
2
2 
2 2 2 2
2 2 2
2
6 2 6(2 ) 6(2 ) 6(2 )
2 2 4 2 2 1 5 2( ) 5 2
6
z
   
     
   
    
       

2
(2 )
3
 2 1 3
4 2 4 2( ) 4 1 3 3 3
2 2
i i i          
( :84Ex
5 5
( 1 3 ) ( 1 3 )i i    
5 5
5 5
5 2 5 5 10 3 2 3 3
2
1 3 1 3
( 1 3 ) ( 1 3 ) 2( ) 2( )
2 2 2 2
(2 ) (2 ) 32 32 32 ( )
32 32
i i i i
       
 
   
             
   
       
     
 
2 2
1 1
. . . . (5 )( )
5 4 3( 1 ) 3 2( 1 )
1 1 1 1
(5 )(
1 1
.82 : (5 )(
) (5 )( )
5 4 3 3 ) 3 2 2 2 2
2 (2 ) 2
(5 )( ) (5 )(
(
)
5 4 3 3 2
2 )( 2 )
Sol L H S
Ex

   
 
     


  

 


 

  
      
     
        
     
   
 


 
 
2   )
4 2  2 2
2
)
4 4 4
(5 )( ) (5 )( ) (5 )( )
4 4 ( 1 ) 5
( 5

  
  


  
     
       
  
4
)(
5 

 
) 4 . . .R H S 

40. ALNASSIRYKAMIL40
‫ﺃﺧﺮﻯ‬ ‫ﺃﻣﺜﻠﺔ‬:‫ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺍﻟﱰﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬M , N‫ﺃﻥ‬ ‫ﻫﻞ‬ ‫ﻭﺑﲔ‬M ,N‫ﻣﱰﺍﻓﻘﺎﻥ‬.
2 2
2 2 2 3
2
:85 1 ; 1
. 1 1 2 ( ) 2
,
(1 ) 1 ) 1
1
(
Sol M N i i i i
Hence M N are not congugate
Ex M i N i
M N i i i i i
   
   
 

  
          
 


     

2
( ) 1i    
2
( 1)
: (2 ) 0
i i
The equation x i x i
   
    
2
2 2
3
.
3 2
86
:
, 3
2
: 2Ex M i N
S
i
o
i
M
i
l i
i
 
 




  
2
( i 2
2
) 2 3
2
: 3
i i
N i
i
 


 
  2
( i 2
) 3 2i i  
2 2 2
2
2 2
2 2 2 3 2 3 2 4 2
2
2
2 3 3 2 5 5
5 ( ) 5 ,
(2 3 )(3 2 )
6 4 9 6 6 4 9 6
6( ) 13 6 13 7
. : 5 7 0
M N i i i i i i
i i M N‫ﺘﺮاﻓﻘﯿﻦ‬ ‫ﻏﯿﺮﻣ‬
M N i i i i
i i i i
The Equ x i x
     
 
   
     
 
      
     
   
       
        
  



2
2
2 2 2
2 2
3 2 3 2
2 3 2
(1 3 ) (1 3 )
. :
1 3 1 3 (1 3 )(1 3 )
3 3 3 3
1 3 3 9 1 3( ) 9
6 1 5
1
.8 7 : ,
1
3 7
3 3
0
1
E x
N
N
o l M
M
S
     
   
     
  






  
   
   
     
 
 
     

  

 


41. ALNASSIRYKAMIL41
2 3
2 2
2 2
1
1 3 1 3 (1 3 )(1 3 ) 7
,
5 1
. : 0 7 5 1 0
7 7
M N
M N are congugate
The equ x x x x
  
   
   
   

      
  
3 2 3
2
2 2
2 2 2 3
2
2
2
3 3
. : 3 ; 3
3 3 2 3( ) 2 3
,
( 3 ) ( 3 ) 3 3 9
1 3 ( ) 9 1 3 9 8 3
. : (2 3)
3
(
3
. 88 : ,
8 3 ) 0
Sol M i i N i i
M N i i i i
M N ‫ﺘﺮاﻓﻘﯿﻦ‬ ‫ﻏﯿﺮﻣ‬
M N i i i i i
i i i
The e
Ex M i
u x i i
i
q x
N

   
 
   
    

 
       
          
      
         
 

   



 
 

: 1Q
2
2
7
1
i i
i i
 
 
 
 
: 2Qx ,y 
2
17 34 3
1 1
1
i
x i y
i
 

     

3 8Q to Q
       
2
2 2 2
2
3 3 2 22 2 2 2
2
2
3: 2 , 2 ; 4: 1 6 2 , 2 5
5: 1 , 3 3 ; 6: 2 2 1 , 2 2 2
2 2
7 : ,
1 3 1 3
i
Q Q
i
Q Q
Q

     

       
 
 
     
       
 
 
10 20
; Q8:1- 1 , 1- 1  
: 9Q
2
1 
‫ﺗﺪﺭﻳﺐ‬)1 - 4(

42. ALNASSIRYKAMIL42
: 10Q1 3a i  
2
2 2a a 
: 11Q
17
1 3
1 3
   
     
2
1 0z z  
: 12Q2
1 0z b z  b1 
: 13Q
2
3 i   
2
2 2
1 1 2 1
2 6
1   
     
       
     
: 14Q2 3 , 2 3x i y i   
2 2 2
x y 
15 22Q to Q
   
2
2 22 2 2
2 2011
2 2 2
2
5 3 1 1
15: 1 0 ; 16:
5 3 92 5 2 2 2 5
2 3 1 15 1 1
17 : ; 18:
2 3 3 7 5 4 16 9 2 3 9
19:
Q Q
Q Q
a b c d
Q
a b
  
     
 
      



     
    
     
     
 


12 22
2 2
59
1 1 2 2
1 1 1
1 ; 20:
7 8 9 7 8 9 3
1 1 1 2
21: 1 ; 22: 1
2 3 2 5 5
Q
c d
i
Q Q

    

      
 
   
      
      
   
     
 
 
2
2 2 2
2
1:2 , 2 ; 2: 3 , 1 3: 4 4 8 8 0
4: 4 4 8 8 0 ; 5: 10 37 0 ; 6: 25 144 0
7 : 7 3 3 0 ;
Q i i Q x y Q z i z i
Q z i z i Q z z Q z z
Q z z
          
          
    2 2
8: 2 0 : 9: 3 3 0
12: 3 i ; 14: 13 11
Q z i z i Q z z
Q Q or
      
 

43. KAMIL ALNASSIRY43
‫ﺍﳌﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ﻟﻸﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﺍﳍﻨﺪﺳﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ‬Geometrical representation of Complex Numbers
‫ﺃﺭﮔﺎﻧﺪ‬ ‫ﳐﻄﻂ‬Argand diagram
Real axis
Imaginary axis
‫ﺍﻟﻘﻄﺒﻲ‬ ‫ﺍﶈﻮﺭ‬Polar axis
‫ﺍﳌﺴﺘﻮﻱ‬ ‫ﰲ‬ ‫ﻗﻄﺒﻴﺔ‬ ‫ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬Polar coordinate in the plane
r
Polar axis
za , bz( , )r 
r
2 22 2 2
cos ; sin
1tan so t
so
na
a r b r or
r a r a b
b b
a a
b
 
  
 
 





44. KAMIL ALNASSIRY44
Example6 2 , 3 4
1 2
z i z i   
1 2 1 2,z z z z 
1 21) z z
1 2 (6 2 ) (3 4 ) (6 3) (2 4) 9 2z z i i i i          
1 26 2 (6 , 2) , 3 4 (3, 4)z i m z i n        
Om1z

n2z

m , n , O , hh
h = ( 9 , - 2 )1 2 9 2z z i   
1 22) z z
1 2 1 2( ) (6 2 ) ( 3 4 ) (6 3) (2 4) 3 6z z z z i i i i              
1
2
6 2 (6,2)
3 4 ( 3,4)
m z i
n z i
   
      
h
1 2(3,6) 3 6 3 6h i z z i      

45. KAMIL ALNASSIRY45
‫ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﻘﻄﺒﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ‬Polar form of the complex number
(cos sin )z r i  
z r cis ccosinessine

r( )z x y i 
2 2
| |z r x y  r > 0|z|
complex numberThe modulus of
1 2,z z
1 2 1 2
1 1
2 2
1 2 1 2
1) | | | | | |
| |
2)
| |
3) | | | | | |
z z z z
z z
z z
z z z z
  

  
‫ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮﻯ‬ ‫ﰲ‬ ‫ﺑﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﳝﺜﻞ‬ ‫ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ﺃﻥ‬‫ﻫﻲ‬ ‫ﳐﺘﻠﻔﺔ‬ ‫ﺻﻴﻎ‬ ‫ﻭﻟﻪ‬:
1‫ﺩﻳﻜﺎﺭﺗﻴﺔ‬ ‫ﺻﻴﻐﺔ‬rectangular co-ordinates( , )x yArgand
2‫ﺍﻋﺘ‬ ‫ﺻﻴﻐﺔ‬‫ﺟﱪﻳﺔ‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫ﻴﺎﺩﻳﺔ‬Rectangular or Cartesian formz x i y 
3‫ﺻﻴﻐﺔ‬‫ﺍﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬‫ﻗﻄﺒﻴﺔ‬( , )
‫ﺮة‬ ‫اﻟﻤﺨﺘﺼ‬
r 1
tan
y
x
 

4‫ﻗﻄﺒﻴ‬ ‫ﺻﻴﻐﺔ‬‫ﺔ‬‫ﻭ‬‫ﻣﺜﻠﺜﻴﻪ‬(cos sin )z r i  
5‫ﺃﺳﻴﺔ‬ ‫ﺻﻴﻐﺔ‬Euler's formula
i
z r e 
e

46. KAMIL ALNASSIRY46
‫ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ﺳﻌﺔ‬Amplitude (Argument)of Complex Number
A nti clockwise rotatin
‫ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺔ‬z a bi (Principal value of an argument )
( )Arg zz
 , 20  
( )arg z( ) 2 ;arg z n n    
AAa
Principal value of an argument
The principal value of anargument is the valuewhich lies between and 
‫ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻊ‬ ‫ﰲ‬( )Arg z   ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻊ‬ ‫ﰲ‬( )Arg z     
‫ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻊ‬ ‫ﰲ‬( )Arg z    ‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻊ‬ ‫ﻭﰲ‬( )Arg z      




47. KAMIL ALNASSIRY47
, 0 , 0z a bi a b   
1( , )z a b

2
2 2
z r a b  
cos , sin
a a
r r
  tan
b
a
 
3, ,
3 4 6
  
(cos ,sin ) 
1 3
( , )
2 2
3 1
( , )
2 2
1 1
( , )
2 2

3

6

4

z
 
Z
z

Z
   

z

Z
   

z

Z
2   


48. KAMIL ALNASSIRY48
4a or b
a = b = 0
z = 0
‫ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺗﻪ‬‫ﺍﻟﻘﻄﺒﻴﺔ‬‫ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬
: 89)Example2 2 3i 
1
2 3 2 ( 2 3 , 2 ) 2ed
z i quadrant
Then   
     
 
22 2 2 2
( 2 3) 2 4r x y     
3
( 2 3 , 2 ) 3 1
( , )
4 2 2
z
r

  
co s , sin
2 3 3 2 1
co s , sin
4 2 4 2
3 1
,
2 2 6
5
( )
6 6
x y
r r
B u t A rg z
 
 


 
   
 
 
   
 
   
 
     
5 5
(4, ) (4, 2 ) , k
6 6
z or z k
 
   
5 5
4(cos sin )
6 6
z i
 
 
(1,0)
0
(1,0)
 
(0,1)
2

 
3
(0,-1)
2



49. KAMIL ALNASSIRY49
2 : (90)z i Example 
a = 0
2 2
2 (0, 2)
4 2
z o i
z r x y
   
    
2
cos 0 , sin 1
2
3
(cos ,sin ) (0, 1) int
2
x y
r r
circle
 

  

     
    u
3 3
2 , or 2 , 2
2 2
z z k
 

   
     
   
3 3
2(cos sin )
2 2
z i
 
 
7 3
: ( 91)
1 12
Examplez  

 
2
2 2
7 3 7 1 3 7 3 1 2 3
1 12 1 1 12 1 2 3 1 2 3
7 14 3 3 6 13 13 3
1 3
1 12 13
1 3 (1 , 3 ) ( , ) 4 2
| | 1 3 2
th
i i
i i
i i i
i
i
z i Quadrant
z r x y
z
  
     
  
     
   
   

         
     
 

cos , sin
1 3
cos , sin
2 2
1 3
,
2 2 3
5
( ) 2 2
3 3
x y
r r
But A rg z
 
 


 
   
 

 
 
   
 
     

50. KAMIL ALNASSIRY50
5
arg( ) 2 2 ,
3
z n k k

       
5 5
2 , 2 , 2
3 3
z or z k
 

   
     
   
5 5
2 cos sin
3 3
z i
  
  
 
42 14
: ( 92)
2
i
Example
i
z  


2
2 2
42 14 2 84 42 28 14 70 70
14 14
2 2 4 1 5
| | 196 196 196 2 14 2
14 14 ( 14,14 ) ( , ) 2ed
i i i i i i
i
i i
z r x y
z i Quadrant
z
  
        
     
  
      
           


cos , sin
14 1 14 1
cos , sin
14 2 2 14 2 2
1 1
,
42 2
3
( )
4 4
x y
r r
But A rg z
 
 


 
   
 
 
   
 
  
 
     
‫ﺍ‬‫ﺍﻻﻋﺘﻴﺎﺩﻳﺔ‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫ﺍﳉﱪﻳﺔ‬ ‫ﻟﺼﻴﻐﺔ‬‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬ ‫ﺃﻭ‬:14 14z i  
‫ﺍﻟﺪﻳﻜﺎﺭﺗﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ‬: 14 ,14z  
‫ﺍﻟﻘﻄﺒﻴﺔ‬ ‫ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬:
3 3
14 2 , 14 2 , 2
4 4
z or z k
 

   
     
   
‫ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ‬)‫ﺍﻟﻘﻄﺒﻴﺔ‬(:
3 3
14 2 cos sin
4 4
z i
  
  
 
‫ﺍﻷﺳﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ‬
3
4
14 2
i
z e



51. KAMIL ALNASSIRY51
.(93)Ex
11
6

8
11
6
3 1
(cos ,sin ) ( , )
2 2
    
11 11 3 1
(cos sin ) 8(cos sin ) 8( ( ) )
6 6 2 2
4 3 4
z r i i i
i
 
 

     
 
.(94)Ex
3
4

12
3
4
1 1
(cos ,sin ) ( , )
2 2
   
3 3 1 1
(cos sin ) 12(cos sin ) 12( ( ) )
4 4 2 2
1 1 1 1 1
12 2 ( ( ) ) 12 2( ) 6 2 6 2
2 22 2 2
z r i i i
i i i
 
 

     

       
.(95)Ex
27
2

7
mod (2 )
27 24 3 3 3
rg( ) : 12
2 2 2 2
A z
    


   
3
( ) (0, 1) (cos ,sin )
2
(cos sin ) 7(0 1 ) 7
Arg z
z r i i i

 
 
   
     
6a i2
3

a
2
3
1 3
( , ) (cos ,sin )
2 2
 

 
2 2 1 3 1 3
(cos sin ) ( )
3 3 2 2 2 2
: 6
1 3
6
2 2
z r i r i r r i
z a i
hence r r i a i
   
     
 

  
B ut

52. KAMIL ALNASSIRY52
1 2
1 2
3
Im( ) Im( ) 6 2 2
2
1 1
Re( ) Re( )
2 2
z z r r
z z r a a
    
 
     2 2 2 
‫ﻣﻬﻤﺔ‬ ‫ﻗﻮﺍﻋﺪ‬:
1 2
1 2 1 2
1
1 2
2
1) arg( ) arg( ) arg( ) mod 2
2) arg arg( ) arg( ) mod 2
3) If 0 and is any integer then
arg( ) arg( ) mod 2
If z and z are two non zero complex numbers then
z z z z
z
z z
z
z n
nz n z




 
 
  
 




 7
mod 2
11 77
2) arg ( 3 ) 7
:96
2 2 3 5 5 5
1) arg arg (2 2 3 ) arg( 1 )
1 3 4 12
arg( 3 ) 7
6 6
5 5
(12 )
6 6
i
E
i
i
i
x
i
i

 






   
 
        
 
  


 



53. KAMIL ALNASSIRY53
‫ﻓﻴﻬﻤ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﲔ‬ ‫ﺍﳉﺪﻭﻟﲔ‬‫ﺎ‬‫ﻓﺎﺋﺪﺓ‬‫ﻭﻣﻬﻤ‬‫ﲔ‬‫ﺟﺪﺍ‬:‫ﺍ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ﻧﻈﺮﺓ‬ ‫ﻣﻦ‬‫ﳌﺮﻛﺐ‬
‫ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‬ ‫ﺳﻌﺘﻪ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﺘﻌﺮﻑ‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﳝﻜﻦ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ‬.
a ai 3a a i 3a a i 0a i a i ‫اﻟﻌﺪد‬‫ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‬
4

6

3

0 or  3
2 2
or
 
‫اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ‬
97 :Ex
Arg ( z ) Family Quadrant z
3
4 4
 
  
4

( , ) 2nd
Q   8 8i 
5
2
3 3
 
  
3

( , ) 4th
Q   6 6 3 i
7
6 6
 
  
6

( , ) 3rd
Q   6 3 6 i 
3
2

‫ﻋﺎﺋﻠﺔ‬ ‫ﺑﺪون‬ ‫اﻟﻤﺤﻮر‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ 6 3 i
7
6 6
 
  
6

( , ) 3rd
Q  
6 2
2( 3 )
i
i
 
  

54. KAMIL ALNASSIRY54
‫ﺍﻟﻘﻄﺒﻴﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ‬ ‫ﻋﺪﺩﻳﻦ‬ ‫ﻭﻗﺴﻤﺔ‬ ‫ﺿﺮﺏ‬
Products and Quotients of Complex Numbers in Polar Form
Let z1 and z2 be complex numbers, where
 
 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 21 2
cos sin1 2 1 2
cos cos sin sin (sin cos cos sin
cos( ) sin( )
:
z z r r i
r r
This mean
i
s
   
      


  
 
 
 
 
  
 
 
    
 
 
 

 
‫ﻣﺮﻛﺒﲔ‬ ‫ﻋﺪﺩﻳﻦ‬ ‫ﻗﺴﻤﺔ‬
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
: (cos sin ) / (cos sin )
/ [cos ( ) sin ( )]
‫ﻤﺔ‬ ‫ﻗﺴ‬
r i r i
r r i
   
   
 
   
The quotient
1 1 1
2 2 2
1
1 2 1 2
2
:
| |
1.
| |
2. arg arg( ) arg( ).
This means
z z r
z z r
z
z z
z
 
 
 
    
 

55. KAMIL ALNASSIRY55
‫ﻣﱪﻫﻨﺔ‬‫ﺩﳝﻮﺍﻓﲑ‬De Moivre’s theorem
n
 cos sin cos sin .
n
i n i n     
97 : Prove that (cos sin ) cos sin ,n
Ex i n i n n       
cos( ) cos( ) sin( ) sin ( )n n and n n       
 . . (cos sin ) cos sin( )
nn
L H S i i       
 cos sin( ) cos sin( )
n
i n i n       
cos sin( ) cos sin( ) . .n i n n i n R H S       
(cos sin )z r i  
(cos sin )n n
z r n i n  

56. KAMIL ALNASSIRY56
6
2 2
6
6 6 6
98 : Prove that (1 3 ) 64
. W rite z in polar form : z = r(cos + i sin )
r = 1 3 2
5
arg( ) 2 use De M oivre's Theorem
3 3
5 5 5 5
(1 3 ) ( ) 2(cos sin 2 cos( 6) sin( 6)
3 3 3 3
Ex i
S ol
a b
z then
i z i i
 
 
 
   
 
   
   
   
           
mod 2
64( cos10 sin 10 ) 64( cos 0 sin 0) 64i i

 

    
 
6
66 6 3 21 3
(1 3 ) 2( ) 2( ) 64 64( ) 64
2 2
i i   
 
          
 
24
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1
1 2
2
1 3
.99) Pr 1
3
: 1 3 | | 2 ; arg( )
3
3 | | 2 ; arg( )
6
| | 2
| | 1 ; arg( ) arg( ) arg( )
| | 2 3 6 3
i
Ex If z ove that z
i
Sol let z i z r z
let z i z r z
z
z z z z
z




  

 

      
      
       
 1
1 2 1 2
2
24
24
mod 2
| |
cos( ) sin( ) cos sin
| | 6 6
cos sin cos 24 sin 24
6 6 6 6
cos4 sin 4 cos0 sin 0 1 (0) 1
z
z i i
z
then z i i
i i i

 
   
   
 
     
 
       
      
( .100)Ex
6 4
( 2 6 ) ( 1)i i  

57. KAMIL ALNASSIRY57
 
1 1 1 1
1
6 4
6 6
6
6
1
.:
5
2 6 | | 2 6 2 2 ; arg( ) 2
3 3
5 5
(cos sin ) 2 2 (cos sin )
3 3
5 5 5 5
( ) 2 2 (cos sin ) 2 2 cos sin
3 3 3 3
5 5
512 cos( *6) sin(
( 2 6 ) ( 1
*6) 512(cos10
3 3
)Sol Let z
Let z i z z
z r i i
z i
i
i
i
i
 
 
 
 
   
 

         
   
   
         
 
    
  
mod 2
sin10 ) 512(cos0 sin0) 512i i

    
2 2 2 2
2
3
1 1 | | 1 1 2 ; arg( )
4 4
3 3
(cos sin ) 2 (cos sin )
4 4
Let z i i z z
z r i i
 
 
 
 
            
   
 
4
4
4
2
mod 2
6 4
1 2
3 3 3 3
( ) 2 (cos sin ) 2 cos 4 sin 4
4 4 4 4
4(cos3 sin3 ) 4(cos sin ) 4
( ) ( ) 512( 4) 2048
z i i
i i
z z z

   
   
   
           
     
     
.102: cos sin :
1 1
1) 2cos 2) 2 sin
1 1
3) 2cos 4) 2 sinn n
n n
Ex If z i then prove that
z z i
z z
z n z i n
z z
 
 
 
 
   
   
1 11
1) cos sin (cos sin )
cos sin cos( ) sin( )
cos sin
z z z i i
z
i i
i
   
   
 
 
      
     
  cos sini   2cos

58. KAMIL ALNASSIRY58
 
 
1 11
2 ) cos sin (cos sin )
cos sin cos( ) sin( )
cos sin cos sin
cos
z z z i i
z
i i
i i
   
   
   

 
      
     
   
 sin cosi    2 sin
1
3 ) (cos sin ) (cos sin )
cos sin cos ( ) sin ( )
cos sin
n n n n n
n
i
z z z i i
z
n i n n i n
n i n

   
   
 
 
 
      
     
  cos sinn i n   2cos n
 
 
1
4 ) (cos sin ) (cos sin )
cos sin cos ( ) sin ( )
cos sin cos sin
cos
n n n n n
n
z z z i i
z
n i n n i n
n i n n i n
n
   
   
   

 
      
     
   
 sin cosi n n   sin 2 sini n i n  
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬:‫ﻛﺎﻥ‬ ‫ﺍﺫﺍ‬z‫ﻋﺪﺩﺍ‬‫ﻭﺃﻥ‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﺎ‬n‫ﻓﺈﻥ‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺎ‬ ‫ﺻﺤﻴﺤﺎ‬ ‫ﻋﺪﺩﺍ‬
1
n
z‫ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﻨﻮﻧﻲ‬ ‫ﺍﳉﺬﺭ‬ ‫ﻫﻮ‬z
n(cos sin )z r i  
 
1 1 1
2 2
(cos sin ) cos ( ) sin( )n n n k k
z r i r i
n n
   
 
  
     
k0 , 1 , 2 , 3 , ….., (k -1 )‫ﺣﻴﺚ‬k‫ﺍﳉﺬﺭ‬ ‫ﺭﺗﺒﺔ‬
k0 , 1 , 2
k0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

59. KAMIL ALNASSIRY59
Ex103)- 32
  5
1 1 1
5 5 5
1
5
(cos sin ) , , 32 32 , arg( )
32 32(cos sin )
2 2
32 (cos sin ) (2 ) cos ( ) sin( )
5 5
2 2
2 cos ( ) sin( )
5 5
L et z r i z z r z
T hen z i
k k
z i i
k k
z i
   
 
   
 
   
        
   
  
    
 
  
   

123
2
n

n
( 104)Ex4 4 3i
4 4 3i z 
1
3
z
2 2
4 4 3 (4, 4 3 ) 4 2
| | 16 48 8
4 1 5
cos 2
8 2 3 3 3
5 5
(cos sin ) 2 (cos sin )
3 3
th
i Quadrant
z r a b
a
r
z r i z i
  
  
   
 
 
      
     
        
    
 
 
 
 
0
1
2
3
4
0 : 2(cos sin )
5 5
3 3
1: 2(cos sin ) 2
5 5
2 : 2(cos sin ) 2 3
7 7
3 : 2(cos sin ) 4
5 5
9 9
4 : 2(cos sin ) 5
5 5
w hen k z i ‫ﺬراﻷول‬ ‫اﻟﺠ‬
w hen k z i root
w hen k z i root
w hen k z i root
w hen k z i root
 
 
 
 
 
  
   
     
   
   

60. KAMIL ALNASSIRY60
0
1
1 1
3 3
1
3
5 5
2 2
5 5 3 38 (cos sin ) 2 cos ( ) sin ( )
3 3 3 3
5 6 5 6
2 cos ( ) sin ( )
9 9
5 5
: 2 (cos sin ) (1)
9 9
11 11
: 2 (cos sin ) (2)1
9
0
9
when k
when k
wh
k k
z i i
k k
z i
z i Root
z ot
e
i Ro
 
 
 
   
 
 
 
   
        
 
  
  

 
 
 
2
17 17
: 2 (cos sin ) (3)
9
2
9
n z i Rootk
 
 
( 105)Exu
2
3
( 2 2 3)u i  
(cos sin ) ; 2 2 3
( 2, 2 3) 2 .
| | 4 4 3 4
2 1 2
cos
4 2 3 3 3
2 2
4 ( cos sin )
3 3
nd
Let z r i z i
z qua
z r
z i
 
  
  
   
 
    
     
    

        
 
 
1 1
22 1 3 3
2 23 3
3
3
3
0
1
2
3
2 2 4 4
4 ( cos sin ) 4 ( cos( ) sin( )
3 3 3 3
4 4
2 2
3 316 cos sin
3 3
4 6 4 6
16 cos sin
9 9
4 4
0 : 16 (cos sin )
9 9
1: 16
z z i i
k k
i
k k
z i
when k z i ‫ﺬراﻷول‬ ‫اﻟﺠ‬
when k z
   
 
 
   
 
    
             
 
  
  
 
 
  
   
  
  3
3
2
10 10
(cos sin )
9 9
16 16
2 : 16(cos sin )
9 9
i ‫ﺬراﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟﺠ‬
when k z i ‫ﺬراﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫اﻟﺠ‬
 
 

  

61. KAMIL ALNASSIRY61
( 106)Ex
6
64 0z i 
 
1
6 6
664 0 64 64z i z i z i       
 
2 2
1
11 6
66
1
2
3 3 3
64 ; 64 ; arg( ) 64(cos sin )
2 2 2
3 3 3 3 1 3
64 64(cos sin ) 2(cos sin ) ,,, ( 2 )
2 2 2 2 6 2
3 4 3 4
2(cos sin )
12 12
2(cos sin ) 2 2
4 4
7
2(cos sin
1
0
1
2
i g r a b g i
z i i i k
k k
i
z i i
z i
let k
let k
  

    

   
 

        
 
        
 
 
    
 

 
3
4
5
6
7
)
12
11 11
2(cos sin )
12 12
5 5
2(cos sin ) 2 2
4 4
1
2
3
4
9 19
2(cos sin )
12 12
23 23
2(cos sin )5
12 12
z i
z i i
z
let k
let k
let k
let k
i
z i

 
 
 
 
  
     
  
  




2 2
6 3n
  
 
60‫ه‬
0z
5z
4z
1z
2z
3z
Real axis
Imaginary axis

62. KAMIL ALNASSIRY62
 
3
1
:( 106)
1 3
i
Let z Ex
i



z
5 5
sin , cos
12 12
 
   
3 2
. : 1 1 (1Sol i i    2
2i i 
 
 
2
3
1
1 1
1
2 2
1 1
1
2
)(1 ) 2 2 2 2
1 2 2 1 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2
4 4 41 3 1 3 1 3
2 2
2,2 2 .
3
tan 1
4 4 4
| | 2 2
3 3
2 2(cos sin )
4 4
1 (1, 3 ) 1 .
nd
st
i i i i
i i i i i
z i ‫ﺔ‬ ‫ﺟﺒﺮﯾ‬
i i i
Let z i
z Quad
r z a b
z i
Let z i Quad
  
  
   
 

     
         
     
  
  
     
       
   
 
    2
2 2
2 2
2 2
2
1
2
| | 2
3
tan 3
1 3
2(cos sin )
3 3
3 3
2 2(cos sin )
3 3 5 54 4 2 cos( ) sin( ) 2(cos sin )
4 3 4 3 12 122(cos sin )
3 3
r z a b
z i
iz
z i i
z i


  
 
 
     
 

   
    
 

 
         
2 3 2 2 3 2
4 4
5 2 3 2 5 2 3 2 6 2
: 2 cos cos
12 4 12 44 2
5 2 3 2 3 1 2
5 5
2(cos sin )
12
6 2
: 2 sin
12 4 42
12
2
Re.
Im.
2
‫ﺔ‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﯿ‬
But
z i
parts
parts
z i ‫ﺔ‬ ‫ﺟﺒﺮﯾ‬
 
 

 
 
  
   
 



  


63. KAMIL ALNASSIRY63
( 107)Ex   
9 4
cos sin cos sini i    
         
    
9 4 5 4 4
45
: cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin
cos sin cos sin cos sin
cos5
Solution i i i i i
i i i
         
     

     
     
   2 2
sin5 cos sin cos5 sin5i i      
   sin sin ; cos cos       
       
    
49 4 9
cos sin cos sin cos sin cos( ) sin( )
cos9 sin9 cos( 4 ) sin( 4 ) cos(9 4 ) sin(9 4 )
cos5 sin5
i i i i
i i i
i
       
       
 
      
        
 
( 108)Ex
 
 
5
3
cos2 sin 2
cos3 sin 3
i
i
 
 


 
 
5
3
cos2 sin2 cos10 sin10
cos(10 9) sin(10 9) cos sin
cos9 sin9cos3 sin3
i i
i i
ii
   
   
  
 
      

( 109)Ex1 26 cos sin ; 8 cos sin
4 4 2 2
z i z i
      
      
   
1 2z z
1
2
6
cos( ) sin(
8 4 2 4 2
z
i
z
    
    
 
3 3
cos( ) sin( ) = cos( ) sin( )
4 4 4 4 4 4
i i
      
       
   
( 109)Ex
3 2
1 0z z z   
  4 3 2
1 1 1z z z z z     4
1 0z  1
          4 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 0z z z z z i z z z i z i            
1 ,z z i   11, ,i i 
4 2
1 0z z    6 2 4 2
1 1 1 0z z z z     

64. KAMIL ALNASSIRY64
: 1Q
3 1
2 2
z i 
32
z
: 2Qsin3 , cos3 sin , cos 
: 3Q
1 3 1 3
3 2
1 2 2
i
z i i
i

   

zz 4
a + b i
: 4Qa
a+ b i
         
   
1 1 2 2 = 2 2 ; 2 1 3 4 3 4 8 3 8
1 4 4 3
3 ; 4 2 3 2
1 3
i i i i i
i i
i i
i i
       
 
   
 
b
       
       
       
5 5 5 5
45
8 6
(1) 1 3 1 3 32 ; (2) 1 3 1 3 32 3
3 2 cos6 sin 6 16 3 16 ; 4 2 cos75 sin75 2 2 3
5 1 16 ; 6 1 8 ;
i i i i i
i i i i
i i i
        
          
    
   
 
   
 
 
 
  
 
20
3 3
9
4 3
1 3 1 3
7
2 2 2 2
1 3 1 33 1
8 ; 9 ; 10 1
2 2 82 2 1 3
i i
i i ii
i i
i i
 
     
 
   
           
: 5Q
     
 
 
 
9 11
11
9
1 cos sin cos sin cos2 sin 2
cos sin
2 cos20 sin 20
cos sin
i i i
i
i
i
     
 
 
 
    

 

: 6Q
2
2
1
(1, ) Prove that : tan
1
z
If z i
z
 

 

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ‬1 – 5