1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
Diketahui segitiga ABC yang siku-siku di B.
C Pada segitiga tersebut didefinisikan perbandingan-
perbandingan trigonometri dasar untuk sudut A sbb :
1. Sinus A. 4. Sekan A
a b 1
b sin A sec A
b c cos A
a 2. Cosinus A 5. Cosecan A
c b 1
cos A csc A
b a sin A
3. Tangen A 6. Cotangen A
a c 1
tan A cot A
A c B c a tan A
1 CONTOH
Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B. Jika sin A =
,
3
tentukan perbandingan trigonometri dari sudut A yang lainnya !
JAWAB
Perhatikan gambar !
Diperoleh :
C 2 2
cos A csc A 3
3
3 1 tan A
1
2
cot A 2 2
2 2 4
3 3 2
A B sec A
2 2 4
1
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
2. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
LATIHAN 1
1 . Diketahui tan B = , tentukan nilai dari cos B , sin B, sec B, cosec B, dan cotan B !
2 . Perhatikan gambar
A . Misal DB = x , lengkapi isian berikut :
C AD = AB - …
= ….. - ….
B . Pada segitiga ACD, CD2 = AC2 – AD2
4 8 Lengkapi isian berikut :
CD2 = …………… - ……………..
= …………………………….. ….. 1)
Pada segitiga BCD, CD2 = BC2 – BD2
Lengkapi isian berikut :
A D B CD2 = …………… - ……………..
10 = …………………………….. ….. 2)
Karena 1) = 2), tentukan nilai x dengan menggunakan
kesamaan tersebut !. Kemudian tentukan juga panjang AD dan panjang BD !
C . Tentukan nilai dari sin B, cos B, dan tan B.
D . Tentukan nilai dari sin A, cos A, dan tan A.
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT ISTIMEWA
Berikut ini adalah tabel perbandingan trigonometri dari sudut-sudut istimewa :
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1
Info
Kita dapat memanfaatkan jari-jari tangan untuk menghafalkan nilai perbandingan trigonometri
dari sudut-sudut istimewa. Perhatikan diagram berikut :
Kosinus
2
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
3. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B. Jika panjang AB = 6 cm, CONTOH
dan A = 30°, hitunglah panjang sisi BC, dan AC !
JAWAB
Panjang sisi BC dapat dihitung dengan menggunakan
C perbandingan trigonometri berikut :
BC BC
tan A tan 30
AB 6
1
Jadi : BC 6 tan 30 6 3 2 3 cm
3
30° Untuk menghitung panjang AC dapat menggunakan
B 6 cm A perbandingan trigonometri sin A , cos A, atau menggunakan
teorema Pytagoras.
Jika digunakan teorema Pytagoras, maka diperoleh :
AC 2 62 2 3
2
AC 2 48 AC 4 3 cm
LATIHAN 2
2 1
1. Jika diketahui sin dan tan 3 . Hitunglah :
3 2
a. cos d. cos
b. tan sin cos
e.
c. sin tan cos
2 Tentukan nilai dari :
Sin 2 30 Sin 2 60 Sin 60
a. Sin 2 60 Cos 2 60 b. c.
Cos 2 30 Cos 2 60 1 Cos 60
3. Perhatikan gambar !
C
Hitunglah :
a. Panjang AC.
b. Panjang CD.
c. Besar sudut ABC.
d. Panjang BD.
60° e. Panjang BC.
A 8 cm D B
3
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
4. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT DI BERBAGAI KUADRAN
Pengertian Kuadran.
y
Sistem koordinat bidang dimensi dua terdiri
dari dua buah sumbu yang membagi
Kuadran II Kuadran I
bidang menjadi empat bagian. Tiap bagian
bidang tersebut dinamakan kuadran.
x
O
Kuadran III Kuadran IV
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SECARA UMUM.
Jika diketahui sudut XOP = α , dengan titik P ( x , y ) adalah sembarang titik pada bidang, maka
perbandingan trigonometri berikut berlaku secara umum :
1. Sinus . 2 . Cosinus. 3 . Tangen .
Sudut α terletak di kuadran pertama, jika :
Sudut di Kuadran Pertama
0° ≤ α ≤ 90°.
Perbandingan trigonometri sudut di kuadran
y pertama :
( bernilai positif )
P(x,y )
( bernilai positif )
x
( bernilai positif )
O
O
Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Pertama.
y
P(x,y)
y r
x
x
4
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
5. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
Sudut di Kuadran Kedua
y
Sudut α terletak di kuadran kedua, jika :
90° ≤ α ≤ 180°.
P ( -x , y )
Perbandingan trigonometri sudut di
kuadran
kedua :
x ( bernilai positif )
O
( bernilai negatif )
( bernilai negatif )
Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Kedua.
y
Jika α sudut di kuadran pertama, maka :
P ( -x , y
)
r
x
O
Isilah tabel berikut :
120o 135o 150o 180o
Sin ……………… ……………… ……………… ………………
cos
……………… ……………… ……………… ………………
Tan
……………… ……………… ……………… ………………
5
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
6. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
Sudut di Kuadran Ketiga
Sudut di Kuadran Ketiga
y
Sudut α terletak di kuadran ketiga, jika :
180° ≤ α ≤ 270°.
O x Perbandingan trigonometri sudut di
kuadran ketiga :
( bernilai negatif )
P ( –x , –y )
( bernilai negatif )
( bernilai positif )
Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Ketiga.
y Jika α sudut di kuadran ketiga, maka :
O x
r
P ( –x , –y )
Isilah tabel berikut :
210o 225o 240o 270o
Sin ……………… ……………… ……………… ………………
cos
……………… ……………… ……………… ………………
Tan
……………… ……………… ……………… ………………
6
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
7. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
Sudut di Kuadran Keempat
y
Sudut α terletak di kuadran keempat, jika :
270° < α ≤ 360°.
x Perbandingan trigonometri sudut di
O
kuadran keempat :
( bernilai negatif )
P ( x , –y )
( bernilai positif )
( bernilai negatif )
Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut yang Berelasi di Kuadran Keempat.
y Jika α sudut di kuadran keempat, maka :
x
O
r P ( x , –y )
Sudut Negatif
y Sudut α bernilai negatif jika arah
perputarannya searah dengan arah perputaran
jarum jam.
x
O
y
x
O
Untuk Sudut Negatif Berlaku :
r
Jika α sudut di kuadran pertama, maka : P ( x , –y )
7
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
8. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
Isilah tabel berikut :
300o 315o 330o 360o
Sin ……………… ……………… ……………… ………………
cos
……………… ……………… ……………… ………………
Tan
……………… ……………… ……………… ………………
Sudut α > 360°
Untuk sudut α > 360° , berlaku :
Pengembangan
Perbandingan Trigonometri Antara α° dan ( 90 + α )°
Perbandingan Trigonometri Antara α° dan (270 – α )°
Perbandingan Trigonometri Antara α° dan (270 + α )°
2 CONTOH
tan 225 sin 2 60
1 . Hitunglah :
sec 315
1 1
2 . Diketahui sin = dengan sudut tumpul, dan cos = dengan sudut di kuadran
3 6
tan . tan
keempat. Tentukan nilai dari
cos
JAWAB
2 2 2 2
2 tan 180 45 1 3
tan 45 1 3
tan 225 sin 2 60 2 2
1.
sec 315 1 1
cos 360 315 cos 45
3 2
1 2 2
4 7 2 7 2 98 49
2 4 2 8 64 32
2
8
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
9. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
1
2. Diketahui : sin = dengan sudut tumpul, berarti sudut di kuadran kedua.
4
1
Dan cos = dengan sudut di kuadran keempat
6
2 2
Maka : cos =
3
1 1 5
1
3 tan = 2
2 2 4
2 6
sin =
5
tan = 2 6
tan . tan
1
4
2 . 2 6 3 6
Jadi,
cos 2 2 4
3
LATIHAN 3
1. Hitunglah nilai dari :
sin 135 . cos 225 tan 840 . sec 300
a. b.
cot 330 sin 2 240
2. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini.
sin (90 - ) sin (90 - ) tan (90 - p) cot 99 cos 378
a. b. c. d.
cos (90 - ) sec (180 - ) cosec (180 p) cos 198 cos 81
3. Diketahui sin 4 dan cos 12 , dan dikuadran I. Hitunglah :
5 13
a. cos e. sin cos cos sin
b. tan f. sin sin cos cos
c. sin tan tan
g.
d. tan 1 tan . tan
2 3
4. Jika tan = dengan sudut di kuadran ketiga, dan sin = dengan sudut di
5 7
kuadran keempat, hitunglah sin . tan 2 cos .
5. Jika A, B , dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, tunjukkan bahwa :
1 1
a . cos B C cos A b . sin B C cos A
2 2
9
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
10. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
SISTEM KOORDINAT BIDANG
1 . SISTEM KOORDINAT KARTESIUS.
y Sistem koordinat kartesius terbentuk dari dua
buah garis sumbu yang saling tegaklurus.
P(a,b) Kedua sumbu tersebut diberi nama sumbu x
yang arahnya mendatar, dan sumbu y yang
arahnya tegaklurus.
x Setiap titik P pada bidang kartesius dinyatakan
sebagai pasangan bilangan ( a , b ) , dengan a (
O disebut absis ) menyatakan jarak titik terhadap
sumbu y, dan b ( disebut ordinat ) menyatakan
jarak titik terhadap sumbu x .
Bentuk ( a , b ) dinamakan koordinat.
2 . SISTEM KOORDINAT KUTUB ( POLAR ).
P ( r , α° ) Setiap titik P pada koordinat kutub
dinyatakan sebagai pasangan bilangan (
r , b ) , dengan r menyatakan jarak antara
r titik P dengan titik O, dan α menyatakan
sudut yang dibentuk oleh OX dan OP.
x
O
HUBUNGAN ANTARA SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DAN SISTEM
KOORDINAT KUTUB.
Sebuah titik yang dinyatakan dalam sistem koordinat kartesius dapat diubah ke dalam
koordinat kutub, dengan menggunakan hubungan berikut :
y
r x 2 y 2 , dan tan y
x
P(x,y)
Untuk menentukan nilai α perlu diperhatikan letak kuadran dari titik P.
r
Untuk mengubah titik dari sistem koordinat kutub ke sistem koordinat
kartesius, dapat digunakan hubungan berikut : x
x r cos dan y r sin O
10
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
11. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
CONTOH
1. Ubahlah titik ( 3 , 3 ) dari bentuk koordinat kartesius menjadi bentuk koordinat kutub !
2. Ubahlah titik ( 6 , 330° ) ke bentuk koordinat kutub menjadi bentuk koordinat kartesius !
JAWAB
1. r x2 y2 32 3 2 2 3
y 3
tan 1
x 3
135 ( α di kuadran kedua )
Jadi koordinat kutubnya adalah ( 2 3 , 135 ).
1
2. x r cos x 6 cos 330 x 6 . 3 x 3 3
2
1
y r sin y 6 . sin 330 y 6 . y 3
2
Jadi koordinat kartesiusnya adalah ( 3 3 , 3 ).
LATIHAN 4
1. Ubahlah ke dalam koordinat kutub :
a. 5 , 5 3 c. 4, 4
b. 2 , 2 d. 3 ,1
2. Ubahlah ke dalam koordinat kartesius :
a . 8 , 30 c. 6 , 240
b. 4 , 135 d. 12 , 330
11
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
12. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
PENGUKURAN SUDUT
Besar/nilai suatu sudut dapat ditentukan dengan menggunakan ukuran-ukuran sudut sbb :
1 . Ukuran Derajat.
Satu derajat didefinisikan sebagai besar sudut sudut pusat
satu lingkaran penuh
2 . Ukuran Radian.
Perhatikan juring OAB, OA’B’, dan OA’’B’’.
Ketiga juring tersebut sebangun, jadi :
B’
B
B AB = A’B’ = A’’B’’
O A A A’ OA O’A’ O’’A’’
Nilai dari perbandingan tersebut hanya ditentukan oleh besar sudut
AOB. Nilai perbandingan tersebut adalah nilai ukuran sudut AOB
dalam satuan radian.
r
Satu radian adalah besar sudut pusat yang menghadap busur yang
panjangnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran
r
Hubungan Antara Ukuran Derajat dan Ukuran Radian.
Perhatikan gambar di samping.
Besar sudut AOB : B r A
O
Dalam satuan derajat :
AOB = 180° …………………….. 1)
Dalam satuan radian :
AB …………………….. 2)
AOB = = = radian
OA
Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh : 180 radian , jadi :
dan
1. Ubahlah ke dalam ukuran radian : 3. Hitunglah : CONTOH
a . 15 b . 60
Cos - 1
6
Sin 4
3
2
2. Ubahlah ke dalam ukuran derajat :
Sin 5
Cot 5
1 3 6 4
a. radian b. radian
9 2
12
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
13. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
JAWAB
15 1 1 1
1. a. 15 radian = radian 2. a. radian = 180 = 20
180 12 9 9
60 1 3 3
b. 60 radian = radian b. radian = 180 270
180 3 2 2
Cos - 1 Sin 4
2 1
3
1 2
3 2
1 3 3
3.
6 3
2 2
Sin 5 Cot 5 1 1 2 4
6 4
2
LATIHAN 5
1. Nyatakan sudut-sudut berikut ini dalam ukuran radian :
a . 40. d . 75. g. 210.
b . 30. e . 120. h. 250.
c . 80. f . 134. i. 315.
2. Nyatakan sudut-sudut berikut ini dalam ukuran derajat :
2 7 7
a. radian. c. radian. e. radian.
3 4 6
1 3 4
b . radian. d. radian. f. radian.
5 10 9
3. Sederhanakan :
sec A 1
a. b. tan . cos
cot A 2
4. Hitunglah :
1 1 2 7
2
a . sin sec tan cos 1 1
sec csc
3 6 3 6 4 3
c.
7 4 7 1
b. 2
cot tan 2 tan sin
4 3 6 6
13
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
14. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
HUBUNGAN ANTAR PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
Diketahui :
r
y
x
1. Hubungan Antara Sinus dan Kosinus.
y2 x2
Diketahui : sin 2 dan cos 2 , jadi :
r2 r2
y2 x2 r2
sin 2 cos 2 1
r2 r2 r2
2. Hubungan Antara Sinus , Kosinus , dan Tangen.
y
sin y
r tan
cos x x
r
3. Hubungan Antara Tangen, dan Secan.
y 2 x2 r 2
tan 2 x 1 2
2 2 sec2 x
x x x
4. Hubungan Antara Tangen, dan Secan.
x2 y2 r2
cot 2 x 1 csc 2 x
y2 y2 y2
14
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
15. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang bernilai benar untuk semua nilai
variabel.
Ada dua cara untuk membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri, yaitu :
1 . Ambil salah satu ruas kemudian dibuktikan sama dengan ruas yang lain.
2 . Ambil kedua ruas, masing-masing ruas disederhanakan, dan dibuktikan bahwa kedua ruas
hasilnya sama.
Buktikan identitas trigonometri berikut : CONTOH
1 2 cos 2 A 1 1 2
1. tan A cot A 2.
sin A . cos A 1 sin A 1 sin A cos 2 A
JAWAB
1. Rkanan = tan A cot A 1 1
2. Rkiri =
sin A cos A 1 sin A 1 sin A
=
cos A sin A 1 sin A 1 sin A
=
sin 2 A cos 2 A 1 sin A 1 sin A
=
cos A . sin A 2
=
(1 cos 2 A) cos 2 A 1 sin 2 A
= 2
sin A . cos A
1 2 cos 2 A
=
1 1 cos 2 A
= 2
sin A . cos A =
= Rkiri cos 2 A
= Rkanan
LATIHAN 6
Buktikan identitas trigonometri berikut :
1.
sin 2 x
1 cos x 7.
sec 2
x 1 cot x sin x
1 cos x tan x . sin x cos x
2 . tan cot csc . sec sec A csc A sin A cos A
8.
3. 2
sin x . csc x sin x cos x 2 sec A csc A sin A cos A
4. cot 2
x1 1 cos x 1
2
9.
1
1
2 sec2 x
1 1 sin x 1 sin x
5. sec tan sec
1 sin 2 cos 2 1
10 . cot tan
6. cos sin . tan sec sin . cos
15
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
16. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
1 . GRAFIK FUNGSI Y = SIN X°
Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = sin x °, terlebih dahulu perlu dihitung nilai
fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb :
Sudut 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
y 0 1 0
Sudut 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
y 1 0
Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = sin x° , sebagai berikut :
y
x
0° 30° 45° 60° 90° 120°135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
Nilai maksimum dari fungsi y = sin x° samadengan 1 dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama
dengan 1.
Info
Fungsi trigonometri termasuk fungsi yang periodik, maksudnya nilai-nilai dari fungsi tersebut
akan berulang dalam suatu interval tertentu yang dinamakan periode.
Periode dari fungsi y = sin x dan y = cos x samadengan 360 atau 2 radian .
16
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
17. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
2 . GRAFIK FUNGSI Y = COS X°
Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = cos x °, terlebih dahulu dihitung nilai fungsi
tersebut pada sudut istimewa, sbb :
Sudut 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
y 0 1 0
Sudut 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
y 1 0
Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = cos x° , sebagai berikut :
y
x
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
Nilai maksimum dari fungsi y = cos x° samadengan 1 dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama
dengan 1.
17
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
18. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
3 . GRAFIK FUNGSI Y = TAN X°
Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = tan x °, terlebih dahulu perlu dihitung nilai
fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb :
Sudut 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
y 0 1 ∞ 1 0
Sudut 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
y 1 ∞ 1 0
Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = tan x° , sebagai berikut :
y
x
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
asimtot
asimtot
Nilai maksimum dari fungsi y = tan x° samadengan dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama
dengan . Periode dari fungsi ini samadengan 180 atau radian.
LATIHAN 7
1 . Isilah tabel berikut :
x 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
2 sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
x 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
2 sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
a . Dengan menggunakan bantuan tabel di atas, gambarlah grafik fungsi y = 2 sin x°
b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut !
18
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
19. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
2 . Isilah tabel berikut :
x 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
cos 2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
x 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
cos 2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
a . Dengan menggunakan bantuan tabel di atas, gambarlah grafik fungsi y = cos 2x°
b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut !
PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA
Bentuk umum dari persamaan trigonometri sederhana adalah :
1. Persamaan sinus : 2. Persamaan cosinus 3. Persamaan tangen
sin x sin cos x cos tan x tan
Penyelesaian : Penyelesaian :
x k.360 x k.360 Penyelesaian :
atau atau x k.180
x 180 k.360 x k.360
Dengan k bilangan bulat .
Catatan : jika tanda derajat ( “ ° ” ) tidak dicantumkan, maka ukuran sudut yang dipakai
adalah ukuran radian.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut :
1 CONTOH
1 . sin x , untuk 0 x 360
2
2. 2 cos 3x 3 , untuk 0 x 360
1
3. 3 3 tan x 0 , untuk 0 x 2
4
JAWAB
1
1. sin x , untuk 0 x 360
2
Sin x° berharga negatif di kuadran ketiga atau keempat, misal diambil pada kuadran ketiga
( jika diambil pada kuadran keempat akan diperoleh hasil akhir yang sama ).
Jadi :
Sin x° = sin ( 180 + 30 )° Sin x° = sin 210°
Penyelesaian :
x 210 k.360
Untuk k = 0 diperoleh : x 210 0.360 210
atau
x 180 210 k.360 30 k.360
Untuk k = 1 diperoleh : x 30 1.360 330
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah :
HP = { 210° , 330° }
19
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
20. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
2. 2 cos 3x 3 , untuk 0 x 360
Persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk umum, sbb :
3
cos 3x , diperoleh :
2
cos 3x cos 30
Penyelesaian :
3x 30 k.360 x 10 k.120 3x 30 k.360 x 10 k.120
Untuk k = 0 , diperoleh x 10 Untuk k = 1 , diperoleh x 110
atau
Untuk k = 1 , diperoleh x 130 Untuk k = 2 , diperoleh x 230
Untuk k = 2 , diperoleh x 250 Untuk k = 3 , diperoleh x 350
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah :
HP = { 10° , 110°, 130°, 230°, 250°, 350° }
1
3. 3 3 tan x 0 , untuk 0 x 2
4
Bentuk umum dari persamaan tersebut, adalah :
1 1
tan x 3.
4 3
Karena lambang derajat tidak dicantumkan, maka ukuran sudut yang dipakai adalah
radian, sehingga diperoleh :
1 5
tan x tan
4 6
Penyelesaian :
1 5 5 1 13
x k. x k. x k.
4 6 6 4 12
1
Untuk k = 1 , diperoleh x
12
13
Untuk k = 0 , diperoleh x
12
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah :
1 13
HP = { , }
12 12
LATIHAN 8
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut :
1
1 . sin x = 3 , untuk 0 ≤ x ≤ 360.
2
2 . 2 cos 2x = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360.
3 . tan ( 15 x ) = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360.
4. 2 sin 3x 1 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2.
5. sin ( 3x 30 ) = sin 2 x , untuk 0 ≤ x ≤ 360.
1
6 . cos x = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 2.
2
1
7 . 1+ 3 tan ( x ) = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2.
3
8 . sin 3x = cos( x – 45 ) , untuk 0 ≤ x ≤ 360 ( Petunjuk : ingat cos x = sin ( 90 – x ) ).
2
9 . cos ( x ) = sin x , untuk 0 ≤ x ≤ 2.
3
10 . cot 4 x + 1 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2.
20
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
21. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
RUMUS-RUMUS SEGITIGA
ATURAN SINUS
C
Pada segitiga ABC berlaku aturan sinus sbb :
b a a b c
sin A sin B sin C
A c B
Info
Aturan sinus dapat diterapkan, jika pada segitiga diketahui :
1 . sisi sudut sudut 2 . sudut sisi sudut 3 . sisi sisi sudut
1. Diketahui segitiga ABC dengan A = 45° , B = 60° , dan a = 12 cm. CONTOH
Hitunglah panjang b !
2. Diketahui segitiga KLM, dengan panjang sisi KL = 4 cm,
panjang sisi LM = 3 cm, dan M = 30°. Hitunglah cosinus K .
JAWAB
1. Panjang b adalah :
b a a . sin B
b C
sin B sin A sin A
Jadi : b a = 12 cm
12 . sin 60
b
sin 45
45° 60°
1
12 . 3 A B
b 2 6 6 cm
1
2
2
L
2. Nilai sinus dari K adalah :
k m k . sin M
sin K
sin K sin M m 4 cm 3 cm
1
3.
3 . sin 30 2 3
sin K
4 4 8 30
K M
Untuk menentukan nilai cosinus dari sudut K , digambar
sketsa berikut :
21
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
22. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
8 Jadi :
3
55
cos K
K 8
LATIHAN 9
2
1 . Diketahui segitiga ABC, dengan panjang sisi AC = 3 5 cm , C = 60. Jika sin B =
3
hitunglah panjang sisi AB ! .
1
2 . Diketahui segitiga PQR, dengan panjang sisi PQ = 3 cm, QR = 4 6 cm, dan R =
2
30. Hitunglah cosinus P !
3 . Pada segitiga KLM, diketahui m = 12 cm , K = 45, dan C = 30.
Hitunglah panjang l !
4 . Pada segitiga RST, panjang sisi RT = 5 C
cm, panjang sisi ST = 5 2 cm.
a . Hitunglah besar S
b . Hitunglah besar T
5 . Dua orang pada saat yang sama
berangkat menuju titik C. Salah seorang
berangkat dari titik B dengan kecepatan
2 km/jam. Temannya berangkat dari 120
titik A. Jika mereka sampai di titik C 30
dalam waktu yang sama, hitunglah A B
kecepatan temannya tersebut !
ATURAN KOSINUS
C Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus sbb :
b a 2 b 2 c 2 2bc cos A
a
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
A c B
Bentuk lain dari aturan kosinus adalah :
b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2
cos A cos B cos C
2bc 2ac 2ab
22
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
23. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
Info
Aturan cosinus dapat diterapkan, jika pada segitiga diketahui :
1 . sisi sudut sisi 2 . sisi sisi sisi
1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 4 cm, CONTOH
panjang BC= 6 cm , dan sudut C = 120. Hitunglah panjang sisi AB !
2. Segitiga PQR mempunyai panjang sisi PQ = 5 cm , PR = 7 cm, dan QR = 9 cm. Hitunglah
cosinus sudut QPR !
JAWAB
1. Panjang sisi AB, adalah :
B
AB 2 AC 2 BC 2 2 . AC . BC . cos C
AB 2 4 2 6 2 2 . 4 . 6 . cos 120
AB 2 16 36 24 76 6 cm
120
Jadi : AB 76 2 19 cm
A 4 cm C
2. Cosinus sudut QPR adalah : P
PQ PR QR
2 2 2
cos QPR
2 . PQ . PR
5 cm 7 cm
52 7 2 92 7 1
cos QPR
2.5.7 70 10
Cosinus sudut QPR bernilai negatif,
Q R
berarti sudut QPR merupakan sudut 9 cm
tumpul.
Info
Dalam navigasi, ukuran dan arah suatu sudut
dinyatakan dalam bentuk jurusan tiga angka U
Hal-hal yang perlu diketahui :
1 . Sebagai arah patokan adalah arah utara.
2 . Sudut berputar searah jarum jam. 060
3 . Ukuran sudut dinyatakan dengan menggunakan
tiga angka .
Sebagai contoh adalah jurusan 060 pada gambar di
samping.
23
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
24. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
LATIHAN 10
1. Diketahui segitiga ABC , dengan panjang AB = 2 3 cm, panjang BC = 5 2 cm,
dan B = 135 . Hitung panjang sisi AC !
2. Diketahui segitiga PQR , dengan panjang PQ = 4 cm, panjang QR = 3 cm, dan
panjang PR = 3 cm. Hitung nilai cosinus dari P, Q, dan R !
3. Sebuah kapal berlayar dari kota A ke kota B dengan jurusan 045 sejauh 60 km
dari kota A, kemudian kembali berlayar dengan jurusan 135 menuju ke kota C
sejauh 120 km dari kota B .Hitunglah jarak dari kota A ke kota C.
4. Dua buah kapal berangkat bersama dari tempat yang sama dan
membentuk sudut 60. Kapal pertama berkecepatan 12 km/jam,
dan kapal kedua berkecepatan 15 km/jam. Hitunglah jarak 60
kedua kapal sesudah bergerak selama 2 jam !
5. Sebuah pesawat terbang dari kota A ke kota B sejauh 14 km
dengan jurusan 045, kemudian terbang ke kota C dengan
jurusan 135 sejauh 48 km. Hitunglah besar ABC, ACB, dan jarak AC.
Kemudian tentukan jurusan A dari C !.
LUAS SEGITIGA
Luas dari segitiga ABC dapat dihitung dengan menggunakan C
rumus :
b a
1 1 1
L = a b sin C , atau L = a c sin B , atau L = b c sin A
2 2 2
A c B
Info
1 . Jika sebuah segitiga diketahui besar dua buah sudutnya beserta sisi yang diapit
kedua sudut tersebut, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus
sebagai berikut :
C
Jika segitiga ABC diketahui besar B , C, dan
sisi a , maka luasnya samadengan :
a
L=
Besar A = ( 180 - B - C )°
A B
2 . Jika segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya, maka luas dari segitiga
tersebut dapat dihitung dengan rumus :
L=
C
Dengan .
b a
Rumus ini dikenal dengan nama Rumus Heron.
A c B
24
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
25. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
Hitunglah luas segitiga berikut : CONTOH
1 . Segitiga ABC, panjang AB = 16 cm, AC = 12 cm, dan A = 150.
2 . Segitiga PQR, panjang QR = 8 cm, Q = 30 , dan R = 120.
3 . Segitiga KLM, panjang k = 10 cm , l = 6 cm , dan m = 12 cm.
JAWAB
1 . Luas segitiga ABC adalah :
1
B L = AC . AB . sin 150
2
1 1
= 12 . 16 . 48 cm 2
16 cm 2 2
150
C
A 12 cm
2 . Besar sudut P = ( 180 120 30 ) = 30
P
Jadi luas segitiga PQR, adalah :
QR 2 . sin Q . sin R
L =
2 sin P
8 2 . sin 30 . sin 120
=
2 sin 30 120
30
1 Q R
64 . 3
2 8 cm
= = 16 3 cm 2
2
3. Karena diketahui panjang ketiga sisinya, K
maka dapat dipakai rumus Heron, sbb :
12 cm
6 10 12
s 14
2 6 cm
Jadi : L = 14 . 14 6 . 14 8 . 14 12
L
M
= 14 . 8 . 6 . 2 1344 10 cm
= 64 21 8 21 cm2.
25
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
26. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
LATIHAN 11
Hitunglah luas segitiga berikut :
1 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 10 cm, b = 2 7 cm, dan C = 60
2 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 8 3 cm , B = 45, dan C = 150.
3 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 6 cm , b = 7 cm, dan c = 4 cm.
4 . Hitunglah luas segienam beraturan yang panjang sisi-
sisinya 20 cm !
5 . Diketahui segitiga ABC samakaki, dengan AB = BC. Jika
AC = 6 cm, dan
C
luas segitiga 20 cm
tersebut 3 7 cm²,
6 cm hitunglah panjang AB !
A B
26
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
27. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
I . PILIHAN GANDA
1. Jika A dan B sudut lancip dengan tan 4. Suatu segitiga ABC diketahui A = 150,
7 1 sisi a = 12 cm dan sisi c = 5 cm, maka
A = dan sin B = , nilai dari luas segitiga AMC = …
3 3
( cos A . tan B ) ² sama dengan … A. 12 cm²
1 B. 13 cm²
A. 2 C. 14 cm²
4
D. 15 cm²
3
B. 2 E. 16 cm²
16 5. Ditentukan segitiga ABC dengan
128 panjang sisi-sisinya AB = 9 cm, AC = 8
C.
9 cm dan BC = 7 cm. Nilai sin A adalah
9 …
D.
128 2
3 A.
E. 3
4 1
2 7 B. 5
sec sin 3
2. Nilai dari 3 6 ... 2
1 5 C. 5
cot cos 5
3 6
1 1
A. D. 5
2 2
1 3
B. 2 E. 5
2 5
1 ( Ebtanas 1997 )
C. 3 6. Diketahui segitiga KLM siku-siku di L.
2
15 cos K sin K
D. 3 Jika cot K = , nilai ...
8 sin L cos L
E. 3
7
A.
17
15
B.
3. Perhatikan gambar ! 17
7
C.
R 23
23
D.
17 cm 17
13 cm 23
E.
7
7. Ditentukan segitiga ABC dengan
Q panjang sisi BC = 3 cm,sisi AC = 4 cm
P 27 cm
1
Nilai cot Q = … dan sin A = . Nilai cos B = …
2
5
A. 2
7 A. 5
5
1
B. 1
3 B. 5
3
5
C. 1
13 C. 3
5 2
D. 2
12 D.
27 3
E. 1
13 E.
2
27
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
28. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2
8 . Diketahui segitiga ABC dengan B. 3 cm
panjang AB = 6 cm, besar A = 30dan C. 2 cm
C = 120. Luas segitiga ABCadalah … 3
A. 18 cm² D. 3 cm
2
B. 9 cm²
C. 6√3 cm² E. 2 3 cm
D. 3√3 cm² ( Ebtanas 2002 )
E. 2√3 cm² 13 . Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga
( Ebtanas 1998 ) yang sisinya 5cm, 6 cm dan √21 cm
9 . Pada segitiga ABC, diketahui panjang adalah …
sisi AB = 15 cm, BC = 14 cm, dan AC = 1
A. 21
13 cm. Nilai tan C = … 5
5 1
A. B. 21
13 6
5 1
B. C. 5
12 5
12 1
C. D. 5
13 6
2 1
D. E. 5
3 3
13 ( Ebtanas 2003 )
E.
5 14 . Pada segitiga ABC diketahui sisi AB =
( Ebtanas 1999 ) 6 cm, AC = 10 cm dan sudut A = 60.
3 Panjang sisi BC = …
10 . Jika sin A = , dengan 90 ≤ A ≤
5 A. 2√19 cm
180, maka nilai cos A = … B. 3√19 cm
3 C. 4√19 cm
A. D. 2√29 cm
5
E. 3√29 cm
3
B. ( UAN 2004 )
5
15 . Diketahui segitiga ABC dengan AB = 4
4
C. cm, AC = 6 cm, BC = 8 cm dan ABC
5 = α. Nilai cos α = …
4
D. A.
1
5 4
3
E. B.
11
4 24
11
11 . Diketahui Δ PQR dengan PQ = 3 cm, C.
18
PR = 5 cm dan QPR = 60. Jika PS
garis bagi QPR, panjang PS = …
18
D.
20 24
A. 3 21
9 E.
24
20
B. ( UN 2005 )
9 3 16 . Diketahui segitiga BAC dengan AB = 7
45
C. 3 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai
4
20 sin BAC = ....
D. 3
3 5
20 A.
E. 3 7
6 2
( Ebtanas 2001 ) B. 6
7
12 . Diketahui Δ ABC dengan panjang sisi
24
AB = 3 cm, AC = 4 cm dan CAB = 60. C.
CD adalah tinggi Δ ABC. Panjang CD = 49
… D.
2
2 7
A. 3 cm
3 1
E. 6 ( UN 2005 )
7
28
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com