(1) El documento trata sobre centroides y momentos de inercia, incluyendo cómo calcularlos para diferentes figuras geométricas. (2) Explica conceptos como flexión asimétrica y cómo descomponer momentos en componentes a lo largo de ejes principales. (3) Proporciona ejemplos numéricos de cálculos de centroides, momentos de inercia y esfuerzos flexionantes en puntos específicos de vigas sometidas a flexión asimétrica.

1. Centroides y Momentos de inercia
Apuntes
Mecánica de Materiales II
Alumno: Hernández Valverde Rubén
Profesor: Ing. Cortez Olivera Ricardo
Grupo: 5MM4
1

2. Índice
Centroides y Momentos de inercia ……………………………………………………………………………………………………………………………..1
Reacciones ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….3
Flexión asimétrica ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….4
Deformación en vigas ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….12
Método de superposición de efectos ………………………………………………………………………………………………………………..……..23
Primer Teorema de Mohr ……………………………………………………………………………………………………………………………………..….27
Segundo Teorema de Mohr ………………………………………………………………………………………………………………………………………27
Método de la viga conjugada ……………………………………………………………………………………………………………………………………28
Vigas Continuas ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..36
Método de la Ecuación de Tres Momentos para Vigas Continuas …………………………………………………………………………….36
Esfuerzos combinados ………………………………………………………………………………………………………………………………………………46
Columnas …………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………..56

3. Centroides y Momentos de inercia
Centroides y Momentos de Inercia
Problema: Determinar el momento de inercia (momento centroidal) de la figura que se muestra a continuación
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1

4. Centroides y Momentos de inercia
Problema: Determinar el centroide y los momentos de inercia centroidales de la figura que se muestra.
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2

5. Reacciones en una viga (repaso)
Reacciones
Carga { { V Y YX Figura { { X Y Figura
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$
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2do grado
H
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J %
I 2do grado I 3er grado
Problema: Calcular las reacciones en los apoyos de la siguiente figura
H
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7
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H
3

6. Flexión asimétrica
Flexión Asimétrica
La flexión simple se genera con respecto aun eje principal, donde los momentos se aplican
en un plano paralelo a dicho eje.
Sin embargo por lo común los momentos se aplican en planos o ejes no paralelos a los ejes
principales lo que se conoce como flexión asimétrica.
La forma más sencilla de flexión asimétrica se presenta en vigas que tienen por lo menos
un eje de simetría y están sometidas a momentos como se indica en la siguiente figura:
En la figura se observa que el momento se aplica sobre un eje en el
plano X,Y, el cual tiene un ángulo con respecto al eje X.
Para poder analizar este problema, el movimiento aplicado se tendrá que descomponer sobre cada uno de los ejes
principales y aplicar la ecuación de esfuerzo normal para que posteriormente utilizando la superposición de efectos
se encuentre el resultado.
Para determinar la ecuación que utilizaremos en el análisis de nuestra viga, tomemos
como referencia la siguiente figura, la cual tiene un momento aplicado sobre el eje “B” y
tiene un ángulo con respecto al eje “Z”.
Si se determinan las componentes del momento sobre el eje “Y” y “Z”, se tendrá:
H H …‘•
H H •‹
H I# H I#
/ /
H H
En la última figura se observa q se genera un eje , en el cual los esfuerzos tendrán un valor igual a cero, para esta
condición de carga este es el eje neutro, por lo cual es esfuerzo resultante es igual a cero. Se observa que tiene
también un ángulo con respecto al eje “Z” el cual se puede determinar con la siguiente fórmula.
H
–ƒ {–ƒ {
H
4

7. Flexión asimétrica
Problema: La sección rectangular que se muestra en la figura está sometida al momento flexionante indicado, el
cual tiene un valor de 25 kN/m. Determinar el esfuerzo normal en cada uno de los vértices del elemento.
H H •‹ { H {{•‹ { % H
H H …‘• { H {{…‘• { % H
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En el punto A (tensión, compresión)
%% . %%
En el punto B (tensión)
%% - %%
En el punto C (tensión, compresión)
%% . %%
En el punto C (compresión)
. %% . %% .
5

8. Flexión asimétrica
Problema: En la figura que se muestra, una viga sobre la que actúa un momento de 15 Klb*ft, determinar el
esfuerzo flexionante en los puntos A y B si la flexión es asimétrica como se indica.
Cálculo del centroide
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$ I0 { J{{ J{ $ J$
J$ J J J J%
Figura Áreas Z AZ Y AY
%
J$ J J% J J%
1
J$ J% % J%
2
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$
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%
Cálculo del momento de inercia
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Cálculo del esfuerzo flexionante
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H H …‘• { % I J{{…‘• { H %% I J
H H •‡ { % I J{{•‡ { H % I J
6

9. Flexión asimétrica
Punto A
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' ' #
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Punto B
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' ' #
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# %%%%
. % . %% . % % % { J JJ J ×J{
7

10. Flexión asimétrica
Problema: Se aplica un par de 20 kNm a la sección transversal de una viga como se indica en la figura. Determinar
el esfuerzo en el punto A, punto B y en el punto D:
H H 7
H H …‘• { {{…‘• { H % %
H H •‡ { {{•‡ { H
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$ I0 { % {{ { $ %0 % $
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Figura Área Z AZ Y AY
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2
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8

11. Flexión asimétrica
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H %% % % 0 '
Punto A
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Punto B
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Punto D
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9

12. Flexión asimétrica
Problema: Una viga en ménsula de 3 m de longitud con la sección transversal mostrada, soporta dos cargas
inclinadas como se indica. Determinar:
a.) Inclinación de la línea neutra en el empotramiento
b.) Esfuerzos máximos de tensión y compresión.
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Cálculo del centroide
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Figura Áreas Z AZ Y AY
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2 .1 m
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Cálculo del momento de inercia
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10

13. Flexión asimétrica
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Cálculo del esfuerzo
Compresión máxima = 59126.31386 Kpa
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Tensión máxima = 61329.65371 kpa
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' ' %%0#% %%
11

14. Deformación en vigas
Deformación en vigas
Cuando se realiza el diseño de una viga, es importante determinar la deformación que ésta puede tener al aplicarle
cargas dado que se generar varios problemas si se tiene una gran deformación.
La deformación que se puede tener en una viga se puede dividir en:
• Deformación angular, la cual se conoce como la pendiente de la viga
• Deformación lineal, la cual es perpendicular el eje longitudinal de la viga y se conoce como la flecha de la misma
Cálculo de vigas en relación a su rigidez
Algunas ocasiones el diseño de una viga depende más de su rigidez que de su resistencia, por tal motivo se debe hacer
que a parte de no sobrepasar los esfuerzos máximos establecidos, la flecha de la viga no debe sobrepasar cierto valor
pues de lo contrario se tendría problemas, esto es muy importante en maquinaria de precisión como en tornos, cepillo y
en un ámbito mas completo, en células de manufactura.
Para poder determinar la deformación de una viga se tienen varios métodos de los cuales vamos a analizar tres.
a) Método de la doble integración. El cual toma como referencia la ecuación de momentos de una viga integrando
una vez para obtener la pendiente y se integra una segunda vez para obtener la flecha.
b) Método del área de momentos. En este método se toma como referencia el diagrama de momentos de la viga y
utilizando los teoremas de Mohr se determina la pendiente y la flecha.
c) Método de la viga conjugada. Se genera una viga de las mismas dimensiones de la vida real y se carga con el
diagrama de momentos de la viga real, obteniéndose la flecha y la pendiente de la viga utilizando los teoremas
de Mohr.
Los métodos B y C son métodos semigráficos por lo cual se tiene que tomar varias consideraciones para poder aplicarlos.
Ecuación diferencial de la elástica de la viga
Para determinar esta ecuación tomaremos como referencia una viga en voladizo como se indica en la figura.
La cual se somete a una carga en el extremo B de la
misma, generándose una deformación como se indica.
12

15. Deformación en vigas
Al aplicar la carga P, el eje longitudinal se flexiona tomando la forma
de una viga curva. Esta forma se conoce como elástica de la viga, así
mismo se observa que hay un desplazamiento lineal el cual se conoce
como flecha de la viga y un desplazamiento angular conocido como
pendiente de la viga. El ángulo que gira a la sección transversal con
respecto a su posición original se denomina pendiente de flexión
angular.
Para determinar la ecuación de la elástica de la viga tomemos como referencia un tramo de la viga, el cual tiene las
siguientes condiciones:
{ II{ {II {
II IJ I I I
Ñ
Ñ Ñ
Ñ H
H
Basados en ecuaciones diferenciales, el valor del radio es:
%
$ $
- F
$
$
como:
$
F 7 $
$
Sustituyendo en la ecuación que tenemos para momentos se llega a lo siguiente.
$
H
$ H
13

16. Deformación en vigas
Obteniendo así la “Ecuación diferencial de la elástica de la viga”
$
H $
H
La deformación en las vigas comúnmente será en el eje Y negativo, por lo tanto la ecuación anterior será afectada en el
momento con un signo negativo para que al calcular las deformaciones si el valor es positivo esta sea hacia abajo.
$
H $
.H
I I I
14

17. Deformación en vigas
Problema: Para la viga mostrada en la figura determinar la deformación que se tiene sobre el punto C.
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Si x = 1 ; I = 0 ; Sustituimos en la ecuación 2
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15

18. Deformación en vigas
Si x = 6 ; I = 0 ;
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NOTA. La primera integral nos determina la pendiente de la viga o deformación angular, mientras que la segunda
integración nos determina la flecha de la viga o deformación lineal.
J J I I I
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I { {
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Si x = 3 ; =? ;
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Si x = 3 ; I =? ;
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16

19. Deformación en vigas
Problema: Se tiene una viga de madera como se indica en la figura. Determinar la ecuación de la elástica así como la
deformación en el extremo libre. Se sabe que el Emadera=12GPa
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Si x = 0 ; I = 0 ; Sustituimos en la ecuación 2 y aplicando las ecuaciones de singularidad
$
Si x = 0 ; =0; Sustituimos en la ecuación 1
#
Si x = 7.5 ; I = ? ; Sustituimos en la ecuación 2
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17

20. Deformación en vigas
Si x = 7.5 ; =?; Sustituimos en la ecuación 1
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H . - . - % Ñ $
$ $
$ ' # Ñ
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JI
Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los apoyos así como la deformación
al centro de la misma en función de EI.
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18

21. Deformación en vigas
Si x = 0 ; I = 0 ; Sustituimos en la ecuación 2
$
Si x = 0 ; =0; Sustituimos en la ecuación 1
#
Si x = 8 ; I = 0 ; Sustituimos en la ecuación 2
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Si x = 8 ; =0; Sustituimos en la ecuación 1
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H %% Ñ
19

22. Deformación en vigas
Calculo de deformación al centro de la viga
Si x =4 ; I = ? ;
$ '${ { % { { ${ ${ %{ { '{ {
HI . - - - -
$
'' # Ñ
HI Ñ
Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los empotramientos
% 9 {% {
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${% {
- …….(1)
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H . #
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- H { . {# - .H {
${ ${ '{
%{ %{ ${
H . - . . . %{# - # ………..(2)
$ $ #$
{ { { { ${ ${ '{ %{ %{ { ${ { { {
H . - - - . . . - -
$ $ $ $ # $ …………(3)
Si I sustituyendo en (3) y aplicando funciones singulares
{ { { {
. - - #{ {- $
$
$
20

23. Deformación en vigas
Si sustituyendo en (2) y aplicando funciones singulares
{ {
. - H { . {# - #
$
#
Si % I sustituyendo en (3)
{ { { { ${ ${ '{ %{ %{ { ${ { { {
. - - - . . .
$ $ $ $
H .% . ………….(4)
Si % sustituyendo en (2)
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${ ${ '{ %{ %{ ${
. - . .
$ $ #$
%H . . % ………...(5)
Planteando y resolviendo el sistema de ecuaciones con (4) y (5)
H .% .
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Sustituyendo en (1)
% %
Problema: Para la viga en voladizo mostrada, determinar la pendiente la pendiente en el extremo A. Considerar que
Y X
$ # I9
%%%% $
{ {
H
#$
21

24. Deformación en vigas
. J. J-
( J
H .{ J{{ {. { J{{ {-H
H % J
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H . { . {# . -H { . { - { . {#
$
#{ ${
H { . {# - .H { . { . { . {#
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H - . H { . {# . - #
$ $
……(2)
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H - . . - # - $
$ $
…..(3)
Si sustituyendo en (2)
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$
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# .
Si I sustituyendo en (3)
- {. {{ { -
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- $
. $
. $
$ %
Si sustituyendo en (2) y aplicando funciones singulares
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H .
$
# #
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. % % %
JI .
## 9 {
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Si I •—•–‹–—›‡†‘ ‡ { { y aplicando funciones singulares
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I % %% % J←
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22

25. Deformación en vigas
Método de superposición de efectos
Uno de los métodos prácticos para calcular las reacciones en vigas hiperestáticas es considerar que las vigas soportan
diversas cargas las cuales pueden ser reacciones, con los cual se elimina la condición de estáticamente indeterminado,
como se indica en la figura.
Para cargas básicas y condiciones de apoyos básicos, la deformación máxima lineal y angular ya se encuentran
tabuladas, lo cual permite resolver de una forma sencilla algunas vigas hiperestáticas.
Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los apoyos.
H H
H { . {# . H { . {
H { . {# . H{ . {
H . { . {# - H{ . {
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H $
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Si
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23

26. H
Deformación en vigas
Si
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H H
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24

27. Deformación en vigas
Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar el valor de las reacciones y momentos
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H
25

28. Deformación en vigas
Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar las reacciones y momentos en los empotramientos
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26

29. Deformación en vigas
Primer Teorema de Mohr
El ángulo que forman las tangentes a la elástica (o deformada de la viga) entre un punto “x2” y otro “x1”, es igual al área
de la ley de momentos flectores comprendida entre esos dos puntos, dividida por la rigidez (EI).
H
. #9
H $ #
$
#9 { J I{
$ H
Segundo teorema de Mohr
Dados dos puntos pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de B con respecto a la de A es igual al momento
elástico con respecto a B del área de momentos reducidos comprendida entre A y B.
El momento elástico recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del
diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia de su centro de gravedad. Por otro lado, si la
figura que representa el diagrama puede descomponerse en figuras elementales, tales como rectángulos, triángulos,
parábolas etc. El momento elástico total resulta ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras
elementales.
27

30. Deformación en vigas
Método de la viga conjugada
Utilizando los teoremas de Mohr, se desarrollo un método denominado de la “Viga Conjugada”, el cual permite
determinar la pendiente y la flecha en una viga, en puntos determinados sin que se tenga que desarrollar la ecuación de
momentos.
En este método, la pendiente se determina utilizando el primer teorema de Mohr, con lo cual se tiene que:
J I JJ IJ I I JJ I I
H
H
Mientras que la flecha es igual al momento elástico de la viga conjugada, con respecto al punto donde se desea
determinar esta.
Este método proporciona solamente valores absolutos, por lo que se tiene que tomar en cuenta las condiciones graficas
de la viga para establecer los signos correspondientes.
Procedimiento de Análisis
Para determinar la pendiente y la flecha por el método de la viga conjugada, se siguen los siguientes pasos:
1. Se determinan las reacciones en los apoyos.
2. Se establecen los diagramas de momentos que generan las reacciones y las cargas en la viga.
3. Aplicar a la viga conjugada los diagramas de cargas o momentos.
4. Determinar las reacciones de la viga conjugada.
5. Para determinar la pendiente, calcular el valor de la fuerza cortante en el punto deseado y dividirlo sobre la
rigidez (EI).
6. Para calcular la flecha, determinar el momento estático del diagrama de momentos de las áreas que se tienen a
la izquierda o derecha del punto y dividirlo entre la rigidez (EI).
28

31. Deformación en vigas
{ - {
õ-
{ 1 {
õ1
29

32. Deformación en vigas
Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las pendientes en los poyos, así como la flecha en el
punto “c”, utilizando el método de la viga conjugada.
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%
%% H
{ { - - %{ {
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H
# I {%{{ {
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I { {{ {
J-
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{H { .{ {{%{ - % { { . % { { - %{ { . { {
{ { H . $
Pendientes en los apoyos:
{ - { H . $
õ-
30

33. { 1 { % H .
Deformación en vigas
$
õ1
Flecha en el punto C
' I { {{ { H . $
I { {{ { H . $
{H { . { {- { {. { {
{H { . H . %
{H { H . %
7
H H
31

34. Deformación en vigas
Problema: Para la viga mostrada en la figura, determinar la deformación o flecha en el extremo libre, en función de EI.
{ - {
õ-
# I {%{{% {
# H . $
$ I {%{{ {
$ H . $
{H { . #{ {. ${ {
{H { . % H . %
{H { % H . %
7
H H
32

35. Deformación en vigas
Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar la flecha en el punto C.
. { { - %{ {- { {
E = 200GPa %H
${ { {' '{ #{${
H
I = 1x10-3 m4
En el procedimiento de viga conjugada, cuando se tienen tramos en voladizos, estos se separan de la viga, analizándose
por separado los efectos y posteriormente se superponen los mismos.
# I { {{% {
# % H . $
$ I { {{ {
$ H . $
% I { {{ {
% H . $
H
H . % { {- { {
- { {-{ {{ {
{ { H . $
%
. $
JI
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33

36. Deformación en vigas
–ƒ { {
I { {{ { H . $
{H { { {{ { H . %
{H { %
H . %
H I{ % {
-
.
%
7 %
Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar la pendiente en los apoyos y la deformación en el
punto C mediante el método de viga conjugada.
E = 200GPa ; I = 2.5x10-3 m4
H { {.{ {{ { . { {{ { .
{ {{ {{ {
H { {.{ {{ {.{ {{ {-
. { {
34