Este documento presenta una guía para el curso de Cálculo III. Incluye ejercicios para determinar el interior, frontera y representación gráfica de conjuntos en R2, analizar dominios, gráficos y límites de funciones de varias variables, y evaluar la continuidad de funciones en puntos específicos.

1. Universidad de Tarapacá
Departamento de Matemática
Cálculo III Guía # 2
1. Para los siguientes conjuntos de IR2
determine: el interior, la frontera, su
representación grá…ca, si son o no acotados
a) A = f(x; y) : 1 x 1; y < 0g. b) B = f(x; y) : x = 1; 1 < y < 2g:
c) C = f(x; y) : x 1; 0 y 2xg. d) D = f(x; y) : 2x+3y 5 = 0g:
e) E = f(x; y) : x2
+ 3y2
2g. f) F = f(x; y) : x2
+ 3y2
< 2g:
g) G = f(x; y) : x2
3y2
= 2g. h) H = f(x; y) : y > x2
g
2. Considere una función f : V IRn
! IR. Señale el valor de verdad
de las siguientes a…rmaciones, fundamentando su respuesta:
a) domf = V = f!x = (x1;x2; ::::; xn) 2 V IRn
= 9 z = f (!x ) 2 IRg
b) recf = fz 2 IR = z = f (x1;x2; ::::; xn)g
c) Grafico(f) = f(x1;x2; ::::; xn; z) = z = f (x1;x2; ::::; xn)g IRn+1
d) Si V IR2
, entonces para la función f : V ! IR, su dominio es un
subconjunto del plano, su recorrido es un subconjunto de los números reales
y su grá…co está contenido en el espacio.
3. En relación al grá…co de una función f : IR2
! IR, ¿qué representan las
trazas?, ¿qué representan las curvas de nivel?, ¿qué posible utilidad pueden
prestar?. Explique claramente.
4. Determine el dominio de las siguientes funciones, esboce su grá…co (del
dominio), señale si se trata de un conjunto abierto y/o cerrado o ni abierto
ni cerrado, indique la frontera y si es acotado.. Señale, cuando sea posible,
las trazas y las respectivas curvas de nivel. …nalmente esboce el gra…co de la
función en cada caso.
a) f(x; y) =
xy
x2 + y2
b) f(x; y) =
p
25 x2 y2 c) f(x; y) =
x
p
x2 + y2 9
d) f(x; y) =
p
x2 + y2 9
x
e) f(x; y) = xy f) f(x; y) =
1
xy
g) f(x; y) = arcsin (x + y) h) f(x; y) = ln(xy) i) f(x; y) = sin(x y)
5. De…na el límite de una función de dos variables
1

2. 6. Calcular los límites
a) lim
(x;y)!(1;1)
x2
1
x 1
+
y 1
y2 1
b) lim
(x;y)!(1;1)
(x3
1) (y4
1)
(x 1) (y2 1)
c) lim
(x;y)!(0;0)
(1 + x2
y)
1
x2
d) lim
(x;y)!(0;0)
x sin
1
y
+ y sin
1
x
e) lim
(x;y)!(2;0)
2x + ln (1 + xy)
1 + x + y
f) lim
(x;y)!(0;0)
p
x2 + y2 1
x2 + y2 1
+
x2
+ xy2
x2 + y3
!
g) lim
(x;y;z)!(1;2;1)
3xyz
2xy2 + 4z
h) lim
(x;y;z)!(2;1;3)
ye2x 3y+z
7. Dadas las funciones f(x; y), calcular los límites dados siguiendo caminos
particulares que pasen por el punto (x0; y0) indicado
a) f(x; y) =
xy
x2 + y2
, (x0; y0) = (0; 0)
i) Límites iterados.
ii) A lo largo de familias de rectas que pasen por el origen.
b) f(x; y) =
y3
x2 + y2
, (x0; y0) = (0; 0)
c) f(x; y) =
x2
y2
x2 + y2
, (x0; y0) = (0; 0)
i) Límites iterados.
ii) A lo largo de familias de rectas que pasen por el origen.
d) f(x; y) =
xy
jxj + jyj
; (x0; y0) = (0; 0)
e) f(x; y) = ln
1 x
1 y
, (x0; y0) = (1; 1); x, y < 1
i) Límites iterados.
ii) A lo largo de familias de rectas que pasen por el punto (1; 1):
f) f(x; y) =
x2
y 6xy x2
+ 6x 9y 9
(x 3)2
+ (y 1)2 , (x0; y0) = (3; 1)
i) Recta que pasa por el origen y por el punto (3; 1).
ii) A lo largo de la parábola y = (x 3)2
+ 1
8. Sea f(x; y; z) =
xyz
x3 + y3 + z3
. ¿Dónde está de…nido este campo?
Determine si existe lim
(x;y;z)!(0;0;0)
f(x; y; z), considere los límites iterados y
el límite a lo largo de la recta x = y = z:
2

3. 9. Analice la continuidad de
a) f(x; y) =
( exy
1
x
si (x; y) 6= (0; 0)
1 si (x; y) = (0; 0)
b) g(x; y) =
8
<
:
x2
y2
x4 + y4
si (x; y) 6= (0; 0)
1 si (x; y) = (0; 0)
10. Sea la función f(x; y) =
8
<
:
x3
y
x6y2
si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
a) Calcular el límite de f cuando (x; y) tiende a (0; 0) a lo largo de las rectas
y = kx:
b) Calcular el límite de f cuando (x; y) tiende a (0; 0) a lo largo de la curva
y = x3
.
c) ¿Es f continua en (0; 0)?
11. Analice la continuidad de
a) f(x; y) =
( exy
1
x
si (x; y) 6= (0; 0)
1 si (x; y) = (0; 0)
b) g(x; y) =
8
<
:
x2
y2
x4 + y4
si (x; y) 6= (0; 0)
1 si (x; y) = (0; 0)
12. Sea la función f(x; y) =
8
<
:
x3
y
x6y2
si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
a) Calcular el límite de f cuando (x; y) tiende a (0; 0) a lo largo de las rectas
y = kx:
b) Calcular el límite de f cuando (x; y) tiende a (0; 0) a lo largo de la curva
y = x3
.
c) ¿Es f continua en (0; 0)?
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