3. ℝ
ℚ
ℤ
ℕ
ℚ∗
Los conjuntos numéricos se pueden graficar en un diagrama, donde:
Observación: Los conjuntos
más grandes abarcan o
incluyen a los conjuntos
más pequeños.
El conjunto Real (ℝ) incluye a
los todos los conjuntos ℕ, ℕ0,
ℤ, ℚ y ℚ*.
Eso quiere decir que todos
esos conjuntos también son
Reales.
¿Pero, qué pasa cuando un conjunto NO es Real?
ℕ0
4. Cuando un número NO se puede clasificar como Real (ℝ), entonces se
clasifica como IMAGINARIO.
Sí!!! Imaginario!!
¿Suena lógico, no? Lo que no es real, entonces es imaginario.
¿Quién no tuvo amigos imaginarios cuando era niño?
Esos amigos no eran reales, sino que Imaginarios.
Este nuevo conjunto es un conjunto se simboliza: II
Es un conjunto totalmente a
parte de los Reales, por lo
tanto no comparten ningún
elemento en común. Es
decir, su intersección es
vacía.
II
6. Nosotros ya sabemos que si unimos el
conjunto racional y el conjunto irracional
y los dejamos dentro de un conjunto más
grande, obtenemos el conjunto real.
ℚ ∪ ℚ*=ℝ
Entonces, ¿qué conjunto
nace de la unión del
conjunto real y el conjunto
imaginario?
ℚ∗
ℚ
ℝ
Racionales Irracionales
Reales
Exacto, el
conjunto de
los números
COMPLEJOS
ℝ ∪ 𝐼𝐼 = ℂ
Además, como ya sabemos,
los números reales y los
números imaginarios son
conjuntos muy distintos y
no comparten elementos en
común.
Por lo tanto, se dice que no
existe intersección entre
los reales y los imaginarios,
entonces esta intersección
es vacía.
ℝ ∩ 𝐼𝐼 = ∅
Unión
Intersección
𝐼𝐼
ℝ
Reales
Imaginarios
Complejos
ℂ
Vacío
7. Como sabemos que ℝ ∪ II = ℂ, entonces se tiene que un número
complejo va a estar compuesto por un REAL y un IMAGINARIO.
Entonces, todo complejo está compuesto por números de la
forma:
ℂ = a + bi ; donde a ∈ ℝ ∧ 𝐛𝐢 ∈ II
a + bi
II
bi
ℝ
a
ℂ
Traducción: donde a pertenece a
los Reales y bi pertenece a los
imaginarios
8. Usualmente, se designa con la letra z a un número complejo cualquiera.
Es decir:
Parte Real
Re(z)
Se escribe:
Parte
Imaginaria
Im(z)
Se escribe:
Unidad
imaginaria
z = a + bi
Entonces de la UNIÓN se deduce que los números COMPLEJOS
están compuestos por la SUMA entre un REAL y un IMAGINARIO
(Un Complejo Z)
A esta forma de
escribir los números
complejos se le llama
FORMA BINOMIAL o
BINÓMICA
(Básicamente porque es
un binomio)
9. Ejemplo: Identifiquemos parte real y parte imaginaria de un complejo
z = a + bi Re(z) Im(z)
−4 + 5𝑖 -4 5
7 − 8𝑖 7 -8
3 + 𝑖 3 1
12 12 0
2𝑖 0 2
3𝑖 − 6 -6 3
3
5
𝑖 + 2 2
3
5
(complejo) (Parte real) (Parte Imaginaria)
Aquí sólo se escribe el
factor numérico.
Si sólo vemos la parte
real, quiere decir que la
parte imaginaria es
CERO. (12+0i)
Si sólo vemos la parte
imaginaria, quiere decir
que la parte real es
CERO. (0+2i)
No importa el orden del
complejo, siempre la
parte imaginaria será la
que acompañe a la
unidad imaginaria.
10. PLANO O SISTEMA DE ARGAND
Es un sistema no muy distinto al que conocemos como el plano cartesiano
en el que se representan expresiones Reales.
La diferencia está en que el PLANO DE
ARGAND se representan números COMPLEJOS.
Donde en el eje horizontal se
representan los números REALES
y en el eje vertical se representan los
números IMAGINARIOS.
Los números complejos
representados en el plano de
Argand se escriben en FORMA
CARTESIANA o CANÓNICA.
Es decir, se escriben como un par ordenado (a,b),
donde a es la parte real y b es la parte imaginaria del
complejo
11. 1) 𝑧1 = 1 + 2𝑖
2) 𝑧2 = −3 + 𝑖
3) 𝑧3 = 5
4) 𝑧4 = −4𝑖
A(1 , 2)
B(-3,1)
C(5,0)
D(0,-4)
Representación de complejos en el plano de Argand
𝑧3 = 5 + 0𝑖
𝑧4 = 0 − 4𝑖
Observación.
En el par ordenado (a,b) no se escribe la unidad imaginaria "𝒊".
Se asume que “b” es la parte imaginaria.
⇒
⇒
A
B
D
C
12. En resumen
FORMA BINOMIAL (o binómica) DE UN COMPLEJO
FORMA CARTESIANA (o canónica) DE UN COMPLEJO
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑧 = (𝑎, 𝑏)
13. Observaciones
Si un en número Complejo z la
parte imaginaria es cero, se
dice que este número complejo
es un REAL PURO
z = a + 0i ⇒ z = a
z = 5 + 0i ⇒ z = 5
(5,0)
(a,0)
Si un en número Complejo z la
parte real es cero, se dice que
este número complejo es un
IMAGINARIO PURO
z = 0 + bi ⇒ z = bi
z = 0 + 8i ⇒ z = 8i
(0,8)
(0,b)
