1. GEOMETRIA PLANA
Introdução
Você vai iniciar, agora, o estudo de uma das ciências mais belas
criadas pelo homem: a Geometria. Nascida da necessidade de
medir terras, encontra-se hoje presente, em todos os momentos
do nosso dia-a-dia, nos tamanhos e formas dos objetos que nos
cercam
Na Geometria admitimos a existência de três elementos intuitivos,
isto é, sem definição: ponto, reta e plano. A partir desses três
elementos são construídas todas as demais figuras geométricas. A
bem da verdade, esses três elementos existem apenas em nossa
imaginação. Tentaremos criar algumas imagens concretas para
representar o ponto, a reta e o plano, com a finalidade de ajudar
um pouco nossa intuição
Um pingo d’água, a cabeça de um alfinete, um grão de areia, a
marca deixada por um lápis num papel são concretizações
aproximadas da idéia de ponto; são aproximadas, pois o ponto
geométrico não tem “tamanho”, isto é, não tem dimensão.
Pense, agora, num barbante bem esticado: a figura obtida
assemelha-se a um “pedaço” de reta; “pedaço”, pois a reta
tem que ser entendida como infinitamente “comprida” em ambos
os sentidos. Da mesma forma, você pode visualizar um plano
imaginando uma folha de papel bem esticada:

2. NOÇÕES PRIMITIVAS
• As noções primitivas são aceitas sem definição.
• Adotaremos sem definir as noções de ponto, reta e
plano.
• PONTO
• A . ou B .
• Obs: As noções (conceitos, termos, entes) geométricos
• são estabelecidas por meio de definição.
RETA
PLANO
r

3. POSTULADOS OU AXIOMAS OU PROPOSIÇÕES
PRIMITIVAS
• São proposições aceitas sem demonstração.
EXEMPLO
Por um ponto passam infinitas retas.

4. • POSTULADO DA EXISTÊNCIA
• Numa reta, bem como fora dela, há infinitos
pontos,
A є r , B є r , C є r
D r, E r, F r, G r∉ ∉ ∉ ∉

5. • Num plano , bem como fora dele, há infinitos
pontos.
A Є α, B Є α, C Є α
D α, E α∉ ∉

6. • POSTULADO DA DETERMINAÇÃO
• Dois pontos distintos determinam uma única reta
que passa
• por eles.
• r = AB
obs .expressão duas retas
coincidentes é equivalente
a uma única reta.

7. • Três pontos não colineares determinam um
único plano que passa por eles.
• α = (A, B, C)

8. POSTULADO DA INCLUSÃO
• Se uma reta tem dois pontos distintos num
plano, então areta está contida nesse mesmo
plano.

9. É ESSENCIAL SABER QUE:
• Pontos coplanares são pontos que pertencem a um
• mesmo plano.
• Pontos colineares são pontos que pertencem a uma
• mesma reta.
• Figura é qualquer conjunto de pontos.
• Figura plana é uma figura que tem todos os seus
pontos num mesmo plano.
• Figura espacial é uma figura em que nem todos os
• seus pontos estão em um mesmo plano.
• Uma figura é convexa quando dois de seus pontos
definem sempre um segmento inteiramente contido nela

10. Notações gráficas
• Pontos coplanares

11. Pontos colineares

12. Figura plana

13. Figura espacial

14. Figura convexa

15. Figura não convexa (côncava)

16. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE
DUAS RETAS NO PLANO.
• CONCORRENTES

17. PARALELAS
Obs: A expressão duas retas coincidentes
é equivalente
a uma única reta.

18. RETA,SEMI - RETA E SEGMENTO
DE RETA
• Considerando dois pontos distintos A e B,
temos:
• A reta AB
• O segmento AB
• A semi-reta AB
• A semi-reta BA

19. SEGMENTOS CONSECUTIVOS
• Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente
• se, uma extremidade de um coincide com uma extremidade
• do outro

20. SEGMENTOS COLINEARES
• Dois segmentos de reta são colineares se, e somente se,
• estão numa mesma reta.
• AB e CD são colineares (não são consecutivos)
• RS e ST são colineares (e consecutivos)
MN e NP são colineares (e consecutivos)

21. SEGMENTOS ADJACENTES
• Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se e
somente se, possuem em comum apenas uma extremidade(não
tem pontos internos comuns).
• RS e ST não são adjacentes
• RS ∩ ST = ST
MN e NP são adjacentesMN ∩ NP = {N}

22. EXERCÍCIOS
• 01. Assinale as proposições verdadeiras:
• (01) Por um ponto passam infinitas retas.
• (02) Por três pontos dados passam uma só reta.
• (04) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a
• um plano, então a reta está contida nesse plano.
• (08) Por dois pontos distintos passa uma reta.
• (16) Três pontos distintos são sempre colineares.
• (32) Duas retas distintas que têm um ponto comum são
• concorrentes.
• (64) Quatro pontos distintos são sempre coplanares.

23. • 02. Determine AB, sendo M ponto médio de AB:

24. ÂNGULOS
Definição
A Ô B
0 é o vértice do ângulo
0A e 0B são os lados
Figura geométrica formada por duas semi-retas de
mesma origem.

25. Bissetriz
• Semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
OM é a
bissetriz

26. OBSERVAÇÕES:
• 1) A distância de um ponto P a uma reta r é
dada pela medida do segmento da perpendicular
que vai de P à reta r.

27. • 2) Cada ponto da bissetriz de um ângulo está a igual
distância dos dois lados
“A bissetriz é o lugar geométrico dos pontos
eqüidistantes dos dois lados do ângulo”.

28. ÂNGULOS CONSECUTIVOS
• Dois ângulos são consecutivos quando têm o mesmo
vértice e um lado comum.
AÔB e BÔC
AÔB e AÔC
BÔC e AÔC

29. ÂNGULOS ADJACENTES
• Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e
não têm pontos internos comuns
AÔB e BÔC

30. Medidas Angulares
SISTEMA SEXAGESIMAL
O ângulo reto se divide em 90º (noventa graus),
cada grau em 60 (sessenta minutos) e cada minuto
em 60’’ ’ (sessenta segundos).
1 reto = 90º 1º = 60’ 1’= 60’’.

31. SISTEMA CIRCULAR
• A medida de um ângulo central é dada em radiano pela
razão entre o comprimento do arco e o raio.
Na figura acima, o ângulo α, em radiano, é dado por

32. • Quando o comprimento do arco é igual ao
raio temos um radiano
• . Tendo em vista que o comprimento da
circunferência é C = 2πR, então a
circunferência tem 2π rd.
• Se 2π rd corresponde a 360o, então:
• π rad corresponde a 180o
• Os problemas da conversão de medidas
de um sistema
• para outro serão tratados em
Trigonometria.

33. CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

34. ÂNGULOS COMPLEMENTARES

35. ÂNGULOS SUPLEMENTARES

36. ÂNGULOS REPLEMENTARES

37. ÂNGULOS OPOSTOS PELO
VÉRTICE

38. DUAS PARALELAS CORTADAS POR
UMA TRANSVERSAL

39. Ângulos de lados paralelos e ângulos
de lados perpendiculares
• São congruentes se ambos são agudos ou ambos obtusos.
• São suplementares se um é agudo e o outro obtuso.

40. EXERCÍCIOS
1.
Na figura, tem-se dois círculos concêntricos de raios
5 u. c. e 3 u.c., respectivamente. Sendo s1 o comprimento
do arco AB e s2, o comprimento do arco A’B’, então o
valor de s2 – s1, em unidade de comprimento, é
aproximadamente
igual a:
01) 0,52
02) 1,05
03) 1,57
04) 3,14
05) 4,71

41. • 2. Calcule a medida do complemento e do
suplemento do ângulo que mede:
• a) 70º45’
• b) 85º50’’

42. • 03. O dobro do complemento de um
ângulo,aumentado de 40º é igual a terça
parte do suplemento do ângulo. Calcule
o suplemento do ângulo.

43. • 4.Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas
• A soma α + β é igual a:
• a) 200º
• b) 180º
• c) 170
• d) 150º
• e) 140º

44. TRIÂNGULO
• Elementos do triângulo
• Vértices: A, B e C
• Lados: AB, AC, e BC
• Ângulos Internos: α, β e γ
• Ângulos Externos: α’, β’, γ’

45. Relação entre as medidas dos lados
• Cada lado de um triângulo é maior do que
o módulo da
• diferença e menor do que a soma dos
outros dois.
• | b – c | < a < b + c
• Ex.: Se 3 e 8 são as medidas de dois
lados, o 3º lado é 5 < a < 11

46. Relação entre os ângulos
• SOMA DOS ÂNGULOS
• Em um triângulo qualquer:
• Si = A soma dos ângulos internos é 180º.
• Se = A soma dos três ângulos externos é 360º

47. ÂNGULO EXTERNO
• - Um ângulo externo e o interno consecutivos são
• suplementares. α’+ α = 180º e α + β + γ = 180º→ α’= β + γ
• Um ângulo externo vale a soma dos internos não adjacentes

48. Classificação dos triângulos
• Quanto aos lados:
• * Eqüilátero: três lados com medidas iguais.
• * Isósceles: dois lados com medidas iguais (havendo
um
• lado diferente, ele é considerado a “base” do triângulo).
• * Escaleno: não possui lados com medidas iguais.
• OBS: Todo triângulo eqüilátero é também triângulo
isósceles

49. γ

50. OBS.: O lado a é chamado
de base e o ângulo  é o ângulo
do vértice.

51. TRIÂNGULO ESCALENO
Em todo
triângulo, o
maior lado se
opõe ao maior
ângulo

52. Quanto aos ângulos
• TRIÂNGULO RETÂNGULO
• Possui um ângulo reto
A hipotenusa é o maior lado e o seu
quadrado é igual
à soma dos quadrados dos outros dois
(catetos).

53. TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO
Possui um ângulo obtuso
Atenção:
Se a é o maior lado do triângulo
obtusângulo, então:
a2
> b2
+ c2

54. TRIÂNGULO ACUTÂNGULO
Possui os três ângulos agudos
Atenção:
Se a é o maior lado de um triângulo
acutângulo então:
a2
< b² + c²

55. EXERCÍCIOS
• 1.Na figura, sabe-se que AC = BC e que AB =
AD = CD. A medida α é igual a
• a) 60º.
• b) 45º.
• c) 40º.
• d) 36º.
• e) 30º.
ά

56. • 2. Com base no estudo dos triângulos, é correto
• afirmar:
a) Se o triângulo é isósceles, então é eqüilátero.
b) É possível construir um triângulo com lados medindo
8u.c., 5u.c, e 18u.c.
c) É possível construir um triângulo com ângulos medindo
30º , 40ºe 50º.
d) Se um triângulo é retângulo e isósceles, então possui
um ângulo de 45º.
e) É possível construir um triângulo retângulo com lados
medindo 1u.c., 1u.c. e 2u.c.

57. • 3. O triângulo ABC representado na figura abaixo
é isósceles. Se BC = BD = DE = EA, a medida θ do ângulo assinalado,
em radianos, é:

58. Pontos notáveis de um triângulo:
• Altura do triângulo
• A altura de um triângulo é o segmento da perpendicular baixada de um
vértice à reta suporte do lado oposto.
• ATENÇÃO!
• 01. Para cada triângulo, podemos traçar três alturas: uma relativa
• a cada lado.
• 02. As três alturas de um triângulo concorrem em um único
• ponto chamado ortocentro.

59. Bissetriz interna
• A bissetriz interna é o segmento da bissetriz compreendido
• entre um vértice de um ângulo e o lado oposto.
• As três bissetrizes internas de um triângulo concorrem
• em um ponto interior chamado incentro.
• ATENÇÃO!
Sendo os pontos de cada bissetriz
eqüidistante dos lados
de um ângulo, o Incentro é o único
ponto eqüidistante
dos três lados. Ele é o centro da
circunferência inscrita no
triângulo.

60. Mediatriz
• Mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular, passando pelo
seu ponto médio.
• Cada ponto da Mediatriz, está a igual distância dos dois
• extremos do segmento. A mediatriz é o “lugar geométrico”
• dos pontos eqüidistantes dos extremos de um segmento.
• Teorema: As três mediatrizes de um triângulo concorrem
• em um ponto chamado circuncentro, que é o centro da
circunferência
• circunscrita. O circuncentro é o único ponto eqüidistante
• dos três vértices.

61. • No triângulo acutângulo, o circuncentro é um
ponto interior

62. • No triângulo obtusângulo, o circuncentro é um
ponto exterior.

63. • No triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto
médio daHipotenusa.

64. • ATENÇÃO!
• No caso do triângulo retângulo, a hipotenusa coincide com o
diâmetro da circunferência circunscrita.
• Todo triângulo inscrito em um semi-círculo é retângulo

65. Mediana
• Mediana de um triângulo é o segmento compreendido
• entre cada vértice e o ponto médio ao lado oposto.
• As três medianas de um triângulo concorrem
• em um ponto interior chamado baricentro.

66. • O baricentro está localizado em cada mediana a
um terço da base e a dois terços do vértice
• .

67. ATENÇÃO!
• 01. No triângulo retângulo, a mediana relativa à
hipotenusa tem medida correspondendo à metade da
hipotenusa.
• Em conseqüência, os dois triângulos menores obtidos
são isósceles.

68. • 02. Em um triângulo isósceles, a mediana, a bissetriz, a mediatriz e
a altura relativa à base coincidem
• AM é a bissetriz do ângulo A.
• AM é a altura relativa ao lado BC.
• AM é a mediana relativa ao lado BC.
• AM é a mediatriz relativa ao lado BC.

69. • 03. No triângulo eqüilátero, a bissetriz, a mediana, a
mediatriz e a altura são coincidentes.
• Portanto, o ortocentro, o incentro, o baricentro e o
circuncentro coincidem.

70. Casos de congruência
• As condições mínimas para que dois triângulos sejam
congruentes
• são: LLL – Os lados dos dois triângulos
respectivamente congruentes
•

71. • LAL – Os dois triângulos apresentam dois lados
e o ângulo
• formado por esses lados respectivamente
congruentes.

72. • ALA – Os dois triângulos apresentam um lado e os dois
• ângulos adjacentes respectivamente congruentes.

73. Teorema de Tales
• .

74. EXERCÍCIOS
• 01. (FBDC) Na figura dada, as retas, r,s e t são
paralelas.
• Então, x + y é igual a:
• a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

75. • 02. No triângulo ABC, o lado AC mede 32
cm e o lado BC, 36cm. Por um ponto M
situado sobre AC, a 10 cm dovértice C,
traçamos a paralela ao lado AB, a qual
divide BC em dois segmentos BN e CN.
• Determine a medida de CN.
• Matematica

76. Semelhança de triângulo
• Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os
três ângulos ordenadamente congruentes e os ladoshomólogos
proporcionais.

77. Teorema fundamental
• Se uma reta é paralela a um dos lados de
um triângulo e intercepta os outros dois
em pontos distintos, então o triânguloque
ela determina é semelhante ao primeiro

78. CASOS DE SEMELHANÇAS DE
TRIÂNGULO
• Os dois triângulos apresentam dois ângulos
respectivamente congruentes.

79. Os dois triângulos apresentam os
três lados proporcionais.

80. • Os dois triângulos apresentam dois lados
respectivamente
• proporcionais e o ângulo compreendido entre
esses lados respectivamente
• congruentes.

81. TEOREMA
• Ligando-se os pontos médios de dois lados de um
triângulo qualquer, o segmento obtido é paralelo ao
terceiro lado e com medida igual a sua metade.
• Como os dois triângulos obtidos são semelhantes,
conclui-se que:

82. Teorema das bissetrizes internas
• A bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em
dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

83. EXERCÍCIOS
• 01. (FJA/2006) Considerando-se as informações contidas na figura
abaixo, pode-se concluir que o segmento CF mede:

84. • Na figura, está representada uma escada AB, de
• comprimento c, apoiada em um muro.
• Considerando-se essa informação, pode-se concluir que
• o valor de c é igual, em metros

85. • (UFBA 1ª fase)
• Considere a figura acima em que:
• • a distância entre as retas paralelas r e s é igual a
• 20 u.c. os segmentos AB e CD medem, respectivamente, 10 u.c. e
30 u.c.;P é o ponto de interseção dos segmentos AD e BC.
• Com base nesses dados, calcule a área do triângulo
• APB, em u.a.

86. Triângulo retângulo
• TRIÂNGULO RETÂNGULO ISÓSCELES
• Se um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é
• 45º, então os dois catetos possuem medidas iguais.

87. TRIÂNGULO RETÂNGULO COM
ÂNGULO DE 30º
• A altura AH divide o triângulo equilátero ABC em dois triângulos retângulos
que apresentam um ângulo de 30º.
• Observando o triângulo AHC, concluímos:
• Se o cateto se opõe a um ângulo de 30º, a sua medida é
• igual a metade da hipotenusa.

88. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
• O triângulo retângulo é a figura
geométrica mais freqüente nas
aplicações matemáticas
• . Por esta razão, faremos um
estudo mais detalhado
• desse tipo de triângulo.
• Se no triângulo retângulo
traçarmos a altura relativa à
• hipotenusa, obteremos 3
triângulos retângulos
semelhantes

89. • h é a altura relativa à hipotenusa.
• m é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
• n é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa

90. • Usando a proporcionalidade dos lados dos triângulos
semelhantes ΔABC, ΔHAC e ΔHBA, demonstra-se
que:

91. • Cada cateto é média geométrica entre a
hipotenusa e a projeção do cateto sobre ela.

92. • A altura é média geométrica entre os dois
segmentos
• que ela determina sobre a hipotenusa.
• h² = m.n

93. • O produto de um cateto pela altura é igual ao
produto da sua projeção pelo outro cateto
b.h = am e c.a =an

94. APLICAÇÕES DO TEOREMA DE
PITÁGORAS
• O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos
catetos.
• a2
= b2
+ c2

95. OBSERVAÇÃO:
• A área de um triângulo retângulo é dada pelo semi-produto dos dois
catetos
• .

96. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
• Sendo α a medida de um dos ângulos agudos de um
triângulo retângulo, temos:

97. Usando as razões trigonométricas acima,
temos:
QUADRADO

98. TRIÂNGULO EQUILÁTERO

99. EXERCÍCIOS
• 01. (UNEB) Se, no triângulo ABC, representado na
• figura, a altura relativa à base AB mede 4u.c., então o
• lado AB mede, em u.c.,

100. • 02. (FRB) Um observador, ao nível do chão, avista a
• base da janela J1 segundo um ângulo α = 30º e a J2,
• segundo um ângulo β = 45º, como mostra a figura.
• Sendo a distância entre as bases das duas janelas igual
• a 3m, pode-se afirmar que a distância h, do chão à base
• de J1, mede, em metros,

101. Triângulo equilátero
• O Δ AHC é retângulo:

102. Circunferência inscrita

103. Circunferência circunscrita
• .

104. Triângulos quaisquer
• LEI DOS SENOS
• Os lados de um triângulo são
proporcionais aos senos
• dos ângulos opostos e a
constante de
proporcionalidade é o diâmetro
da circunferência circunscrita
ao triângulo
• Seja um triângulo qualquer
ABC, considere uma
circunferência
• circunscrita, sendo 0 o centro
dela e R o seu raio.

105. LEI DOS COSSENOS
• Em qualquer triângulo o
quadrado de um lado é igual à
• soma dos quadrados dos
outros dois lados menos duas
vezes o produto desses dois
lados pelo cosseno do ângulo
por eles formado
• Considere um triângulo qualquer
ABC:
• Seguindo a lei dos cossenos
• a2
= b2
+c2
- 2bc.cosÂ
• b 2
= a2
+ c2
- 2ac.cosB
• c2
= a2
+ b2
– 2ab.cosC