Gestion de portefeuille d'action

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La gestion du portefeuille d'action est une matière qui relève du trading financier qui consiste à analyser les tendance du marché, identifier des opportunités d'investissement, et combiner les actifs pour constituer le portefeuille efficient.

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Gestion de portefeuille d'action

  1. 1. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( ! 1 LA GESTION DE PORTEFEUILLES D’ACTIONS CCA : 2014-15
  2. 2. 2 CHAPITRE I : Gestion de portefeuille d’action Un investisseur peut porter pour gérer son portefeuille d’actions soit par une gestion active ou passive. La gestion passive convient surtout à l’investisseur qui ne possède pas d’aptitudes ou de renseignements particuliers lui permettant de prévoir, mieux que les autres, les cycles d’investissement et détecter les titres incorrectement évalués. Par contre, un investisseur qui croit posséder des aptitudes supérieures à la moyenne pour prévoir les mouvements du marché boursier et pour repérer les titres incorrectement évalués en procédera à une gestion active. La gestion passive : Dans un contexte où le model d’équilibre des actifs financiers (MEDAF) constituât une description exacte de la réalité et où les marchés sont relativement efficients, la composition d’un portefeuille d’actions est réalisée sans difficulté majeure. En effet, dans une pareille situation, un investisseur place une somme d’argent dans des fonds indiciels. Dans ce cas, l’investisseur possède un portefeuille dont le risque est non systémique et pratiquement nul puisqu’il détient un portefeuille d’actions diversifié. De plus, ce genre de situation ne vise pas à abattre le marché mais plutôt de réaliser un taux de rendement équivalent à celui des principaux indices. La gestion passive est fortement adaptée par les investisseurs. Cette popularité accrue de ce type de gestion peut s’expliquer par le faible coût de transaction qu’elle entraine, le peu de temps qu’elle nécessite, et, également par les résultats de nombreuses études empiriques qui sont arrivées à la conclusion que les gestionnaires professionnels n’ont pas réussi sur de longues périodes et à risques égaux à obtenir des rendements supérieurs à ceux des indices boursiers. La gestion active Par opposition à l’investisseur qui adopte une gestion passive, celui qui préconise une gestion passive pense qu’il existe sur le marché des titres sous-évalués et surévalués,
  3. 3. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( ! 3 ou qu’il possède des aptitudes supérieures à la moyenne pour prévoir les cycles du marché boursier. L’investisseur qui opte pour une stratégie active vise à obtenir, pour un même niveau de risque un rendement supérieur à celui qui préconise une stratégie passive. Il convient de noter qu’une stratégie active comporte, en générale, un niveau de risque plus élever qu’une simple stratégie passive et entraîne en outre, les frais de transaction plus élevés puisque l’investisseur doit constamment remanier son portefeuille. Une gestion active d’un portefeuille d’actions peut être basée sur la prévision des mouvements des marchés boursiers, la sélection des titres individuels ou la notation sectorielle. Le plus souvent en pratique, les investisseurs tentent avantage de leur capacité de détecter les titres individuels incorrectement évalués, à prévoir la tendance du marché et à desceller les secteurs les plus susceptibles de connaître des performances dans le futur proche. Cette stratégie implique que l’investisseur réajuste régulièrement le niveau de risque (coefficient de corrélation) de son portefeuille d’action en fonction de ses besoins concernant le marché boursier. Ainsi, lorsqu’il anticipe une hausse du marché, il détiendra un portefeuille dont le coefficient B est élevé si ses perspectives se concrétisent, il réalisera alors un rendement élevé et supérieur à celui du marché. Inversement, s’il anticipe une baisse du marché, il placera ses fonds dans un portefeuille ayant un coefficient beta « ß» assez faible et dans des titres sûrs. 1.!La mesure de la performance d’un portefeuille Elle passe par l’appréciation du risque qu’il peut comporter et du rendement qu’il est susceptible de générer. C’est la raison pour laquelle sera question de mesurer le rendement et le risque d’abord de titres individuels, et ensuite, ceux des titres et valeurs mobilières. Par la suite, nous allons voir par le biais de la diversification, q’un investissement peut réduire de façon substantielle le risque associé aux titres individuels. En fin, c’est l’objectif de ce chapitre, il sera traiter de la démarche pour sélectionner un portefeuille optimal en insistant particulièrement sur ce qu’il est convenu d’appeler dans la littérature financière le model « moyen-variance » ou le model de « Markowitz ».
  4. 4. 4 I.! Mesure du rendement a.!Mesure de rendement d’un titre Le rendement d’un titre pour une période donnée (quotidienne, hebdomadaire, mensuelle,) noté RTT peut se calculer ainsi : !" = $%&$%'( $%'( + *" Exemple : À la fermeture du marché boursier, le prix de l’action MANAGEM été de 500 dhs le 31/Mars, et de 600 dhs le 30/Juin. De plus, cette action a rapportée un dividende de 10 dhs en juin. !" =22% 1)! Mesure du rendement moyen d’un titre sur N période : La moyenne arithmétique et la moyenne géométrique sont deux mesures pour apprécier la performance d’un titre sur un certain nombre de périodes. 2)! Calcul de la moyenne arithmétique observée : R = + , - ./ , 01+ 3)! Calcul de la moyenne géométrique des rendements observés : La moyenne géométrique mesure le rythme moyen d’accroissement de la richesse d’un investisseur. Par exemple, si le rendement moyen géométrique réalisé par un investisseur, au cours des cinq dernières années, a été de 10%, cela signifie que la richesse de ce dernier s’est accrue en moyenne de 10% par année pendant la période concernée. Pour calculer la moyenne géométrique, on utilise l’expression suivante : Rg= [(1+R1) (1+R2)…(1+Rn)] 1/n _ 1 D’où : [, 01+ + + ./ 1/n -1 Exemple d’illustration : On dispose des renseignements suivants concernant le prix successif du titre A : Prix au 31/12/12 : 1000 dhs Prix au 31/12/13 : 2000 dhs Prix au 31/12/14 : 1000 dhs En suppose qu’aucun dividende n’a été reçu pour la période de 2012-1014 Question : Calculer la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des rendements de l’investissement ? Solution : R13 = 3444&5444 5444 = 1-; R14 = 5444&3444 3444 = −0, 5- •! Rt = &4,;<-5 3 = 0,25-(25%)-
  5. 5. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( ! 5 •! Rg= 1 + 1 − 5 3 + 1 1/2 -1 = o Ce dernier résultat signifie que la richesse de l’investisseur s’est accrue de 25% à la cours des deux dernières années. Nous constatons donc que la performance a été nulle alors que la moyenne arithmétique présente un rendement moyen 25 %. Cette moyenne est trompeuse. En revanche, la moyenne géométrique est plus fiable. Toutefois, en dépit de cela, la moyenne arithmétique est très utilisée en finance notamment pour le calcul de la variance ou de l’écart- type et la moyenne des observations d’un titre. Plus la Rt>Rg, plus la volatilité est grande, et plus Rt>Rg est prononcée. b.!Le rendement espéré d’un titre : Le rendement que réalisera un investisseur sur un placement donné est incertain. Par exemple, on ne peut estimer le rendement que réalisera de la prochaine année celui qui achète un lot d’actions de LAFARGE. Les taux de rendement possibles sont fort nombreux qu’on peut vouloir résumer l’ventaille des rendements par une mesure de tendance centrale (espérance mathématique), mesure de dispersion (écart type). Pour évaluer le rendement espéré d’un titre A(!), il existe deux façons de procéder : une première approche consiste à, attribuer pour chacun des rendements possibles : E(R) = P1R1 + P2R2+…+Pn Rn , D’OÙ : E(R)= BC!C D E15 Le rendement espéré d’un titre est la moyenne pondérée des différentes moyennes possibles. Les facteurs pondérant sont donc des probabilités. N.B : •! Comme il s’agit d’une distribution des probabilités, on doit s’assurer que la somme des probabilités est égale à 1. Si on s’attend à ce que la distribution des taux de rentabilité passés soit maintenue dans le futur, le rendement espéré peut être estimé par la moyenne arithmétique des rendements espérés des périodes précédentes. E(R) = C(<CF<⋯CH D d’où : E(R) = CI D D E15 •! Pour estimer l’espérance à l’aide des données historiques, il est de pratique d’utiliser des suites de soixante rendements mensuelles (cinq années d’espérance boursière).
  6. 6. 6 II. Le rendement espéré d’un portefeuille : Un portefeuille est un ensemble de titres détenu par un investisseur. Le rendement espéré d’un portefeuille correspond à la moyenne pondérée des rendements espérés des titres d’un portefeuille. A(!)$ = J5. A(!)5 + J3. A(!)3 + ⋯ + J3. A(!)5 D’où :L(.)M = N0 , 01+ L(.)0 N0-: Les proportions de fonds investis dans le titre i N : Le nombre de titres inclus dans le portefeuille N.B : •! La somme des pondérations N0 , 01+ = + •! la valeur de N0 peut être négative ou positive. •! Lorsqu’un investisseur achète un titre, la valeur est positive, et lorsqu’il vend un titre à découvert, la valeur de N0-est négative. •! Dans le cas d’un achat, N0-se calcul ainsi : N0- = - OPQRSQR-TU-VSWXRSY-TZ-Y[ XQZ]RX]]ZOZQRVPQVZ^Qé-S-Y[ SVℎSRTU-RXR^Z- YZ-VSWXRSY-TZ-Y[XQZ]RX]]ZU^-XQZ]RXR-TSQ]-YZ-WP^RZaZUXYYZ •! Dans le cas d’une vente à découvert, le N0-se calcul ainsi : N0- = - (−)OPQRSQR-TU-VSWXRSY-TZ-Y[ XQZ]RX]]ZOZQRVPQVZ^Qé-S-Y[ SVℎSRTU-RXR^Z- YZ-VSWXRSY-TZ-Y[XQZ]RX]]ZU^-XQZ]RXR-TSQ]-YZ-WP^RZaZUXYYZ •! Si l’investisseur n’achète qu’un titre et que celui-ci est acheté sur marge, la valeur de N0-serait >1, positive, puisque le montant investit dans le titre i excédera la mise de fonds personnelle de l’investisseur. Exemple d’illustration : Un investisseur disposant d’un capital de 1.000.000 dhs, désire se constituer un portefeuille des titres A et B pour la période à venir. Les estimations suivantes sont disponibles : A(!)b =10% ; A(!)c = 25% ; Le taux auquel l’investisseur peut emprunter de son courtier en donnant les titres en garantie est de 12%. Question : •! Déterminer dans chacun des cas suivants l’espérance du rendement du portefeuille : "! L’investisseur place 400.000dhs dans le titre A et 600.000 dons le titre B. "! L’investisseur emprunte 500.000dhs à son courtier et place 1.500.000dhs dans le titre B.
  7. 7. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( ! 7 Solution : H1 : (dee.eee.+e%)<(fee.eee.gh%)- +.eee.eee = +i% H2 : +.hee.eee.gh% &(hee.eee.+g%) +.eee.eee = j+, h%
  8. 8. 8 III. Mesure du risque : 3.1.! Mesure du risque d’un titre Le taux de rendement exigé ne suffit pas, lui seul, à caractériser une opportunité d’investissement. Il faut également considérer la dispersion possible au cours de rendements possibles autour du rendement exigé de l’espérance de la rentabilité. L’écart type ou son carrer, la variance, constituent la mesure de dispersion la plus utilisée pour estimer une base subjective attribuée à chacun des rendements possibles, une probabilité ou utiliser une suite de rendements historiques si l’on possède à partir des probabilités subjectives. La formule à utiliser est alors la suivante : VAR(R)= B5-[!5 −E(R)] 2 + …+ BD-[!D −E(R)] 2 ; D’où :VAR(R) = Bk[!k − A !k ]D E15 2 Une faible valeur de la variance indique que la plupart des rendements sont concentrés à proximité de l’espérance mathématique (risque faible). À l’inverse, une variance élevée indique que, la plupart des rendements sont éloignés de l’espérance mathématique (risque élevé). Notons maintenant que la variance + 0 signifie que le placement en cause ne comporte aucun risque. Exemple d’illustration : Supposant la distribution de la probabilité suivante associée aux rendements possibles pour l’an prochain : T.A.F : a)! Calculer l’espérance de rendement ? b)! Calculer la variance et l’écart type ? c)! Interpréter ? Solution : a)! Calcul de l’espérance de rendement : E(R)= (-0,1 x 0,2) + (0 x 0,3) + (0,1 x 0,25) + (0,2 x 0,15) + (0,25 x 0,1) = 6% b)! Var(R) = 0,2[-0, 1-0,06] +0,3[00-0,06] +0,25[0,1-0,06] +0,15[0,2-0,06] +0,1[0,25- 0,06] = 0,1315 σ(R) = √0, 1315 = 0,1146 c)! L’écart type est plus facile à interpréter que la VAN étant donné qu’il est estimé dans les unités que E(R). Ainsi, en supposant une distribution normale, on peut Rendement Probabilité -0,10 00 0,1 0,2 0,25 0,2 0,3 0,25 0,15 0,1
  9. 9. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( ! 9 notamment conclure qu’il y a environ tant de chance sur cent que l’intervalle suivant englobe le rendement du titre pour la période à venir. Cette probabilité s’obtient en utilisant la table de la loi normale centré réduit : [E(R) - σ(R) ; E(R) + σ(R) ] = [0,06 – 0,1147 ; 0,06 + 0,1147] Si l on dispose d une suite de rendements historiques pour un titre donné, on peut alors estimer la variance comme suit : VAR(R) = (C('C)F<⋯<.CH&C)F D&5 D où VAR(R) = (Cm&C)FH no( D&5 Remarque : Étant donné que le rendement moyen est déterminé pour les mêmes rendements historiques que celle pour estimer la variation de rendements, il y a sur le plan statistique perte d un degré de liberté pour obtenir une estimation non biaisée de variance de (!k − !)3D E15 par n-1. Exemple : Pour 2008-2014 le cours d’une action s’est comporté de la façon suivante : Aucun dividende n’a été versé durant la période. Cependant, l’action a été fractionnée en trois pour un en 2014. a)!Estimer le rendement espéré de l’action pour 2015 en utilisant les données historiques ; b)!Déterminer la variance et l’écart type de l’action à partir des données historiques Solution : a)! Nous allons déterminer en premier instant, la variation annuelle du cours de l’action : 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 TOTAL - 10,71 16,13 -8,33 6,06 0 201 44,57 Le rendement espéré pour l’année de 2015 est alors : 44,57 / 6 = 7,43 % B) VAR(R) = (54,p5&p,qr)F<(5s,5r&p,qr)F<(&t,rr&p,qr)F<(s,4s&p,qr)F<(4&p,qr)F<(34&p,qr)F s&5 = 0,01079 w= 0,01079 = 0,1039 3.2.! Mesure du risque d’un portefeuille La mesure du risque d’un portefeuille est beaucoup plus complexe que le rendement espéré d’un titre. En effet, dans le calcul du risque, on doit tenir compte en plus de la 1 [-5q44-y-r-]-–-r;44- r;44 31/12/2008 2800 31/12/2009 3100 31/12/2010 3600 31/12/2011 3300 31/12/2012 3500 31/12/2013 3500 31/12/2014 1400
  10. 10. 10 variabilité de chacun des titres du degré de dépendance existant entre les rendements de titres inclus dans le portefeuille. D’un point de vu statistique, le degré d’indépendance existant entre les titres se mesure par la variance ou le coefficient de corrélation. 3.2.1.! Notion de covariance : La covariance entre les taux de rendement de deux titres peut être négative, positive ou nulle. Dans le cas où la covariance est positive, cela veut dire que les taux de rendement des deux titres ont tendance à varier dans le même sens. Lorsque la covariance est nulle, cela implique que les taux de rendement varient indépendamment. Finalement, si les taux de rendement de deux titres ont tendance à varier en sens opposé, la covariance prend une valeur négative. La covariance entre deux titres (i et j) est la suivante :{|}(!E, !~)= P1[!EA(!)]. [!~A(!~)]+…+ n D’où : {|}(!E, !~) = - Bk !ED − A !E [!~Ä − A !~ ]D E15 Avec : !ED-: Rendement du titre i étant donné la conjoncture n !~Ä-: Rendement du titre j étant donné la conjoncture k Bk-: La probabilité de réalisation de la conjoncture Exemple : P1 = 0,1, Ri1=8%, Rj1=12% Cela signifie qu’il y a 10 de chance sur 100 que le rendement de i soit de 10% et qu’en même temps le rendement du titre j soit de 10%. Aussi, cette formule nous montre que si !EÄet !~Äont tendance à être simultanément, soit supérieur, soit inférieur à leur espérance mathématique respectivement alors : !ED − A !E Et !ED − A !E COV(Ri-, Rj)>0 Inversement s’ils ont tendance à être de signe opposé, alors : COV-(Ri-, Rj)<0 Exemple d’illustration : Nous disposons des renseignements suivants des titres i et j : K Pk P ik P jk 1 2 3 0,1 0,2 0,3 0,008 0,00 0,2 0,12 0,04 0,4
  11. 11. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( !11 4 0,4 -0,12 -0,24 E (i) = 0,02 ; E (j)= 0,044 Var (!E, !~)=0,1.[0,08-0,02].[0,12-0,044]+0,2.[0,00-0,02].[0,04-0,044]+0,3.[0,2-0,02].[0,4- 0,044]+0,4.[-0,12-0,02].[-0,24-0,044] = 0,0356 Le résultat obtenu nous indique que le taux de rendement des titres i et j ont tendance à varier dans le même sens puisque la variance est supérieure à 0 (VAR>0). Maintenant, si l’on dispose d’une suite de ‘n’ rendements historiques pour les titres i et j, on peut alors estimer la covariance entre ces titres de l’expression suivante : COV (!E, !~)= 5 D . !E − !á .D Ä15 !~ − !à Exemple : Supposant que les rendements observés des titres i et j des six dernières années ont été les suivants : Année !E" !~" 2009 0,1 0,08 2010 0,32 0,17 1011 -0,08 0,02 2012 0,18 0,10 2013 0,09 0,40 2014 0,17 0,13 •! !á" = 0,12-; !à" = 0,15 •! COV (!E;-!~) = 5 ; x [0,1-0,12]. [0,08-0,15] +… =0,00458 N.A.B : •! Pour effectuer ces estimations, dans la pratique, on utilise généralement un nombre plus élevé (ex : 60 rendements mensuels) ; •! La covariance ne nous permet pas de conclure quant à l’ampleur de la dépendance entre les rendements des titres, c’est la raison pour laquelle il est fait recours au coefficient de corrélation. 3.2.2.!Coefficient de corrélation linéaire C’est une seconde mesure du degré de dépendance existant entre le rendement de deux titres. Pour le calculer, il s’agit simplement de diviser la variance sur le produit des écarts types. On obtient donc l’expression suivante : B !E; !~ = äãå(Cn;Cç) - - é Cn .é ~
  12. 12. 12 Le coefficient de corrélation est toujours de même signe que la covariance puisqu’il varie nécessairement entre 1 et -1. Ainsi, s’il existe une liaison parfaite entre les deux taux de rendement, le coefficient de corrélation sera de 1. On constate que dans un tel cas tout les rendements des titres sont une droite à pointe positive. D’autre part, s’il existe une liaison non parfaite entre les deux taux de rendement, le coefficient de corrélation sera de -1. En fin, les nuances des deux taux de rendement sont indépendantes. Cela implique un coefficient de corrélation nul. 3.3.! Risque d’un portefeuille composé de deux titres : La variance d’un portefeuille composé de deux titres i et j est exprimée comme suit : }è! !$ = JE 3 . }è! !E + Jê 3 . }è! !ê + 2JEJ~. {|}(X, ë) Cette dernière formule montre que le risque total (VAR) du taux de rendement d’un portefeuille de deux titres est déterminé par trois facteurs : •! La variation du taux de rendement de chaque titre ; •! Le degré de dépendance (la covariance des deux titres) ; •! La proportion de chaque titre dans le portefeuille ; Puisque la covariance correspond au coefficient de corrélation multiplié par le produit des écarts types : {|} !E, !~ = [w !E . w !ê + B(!E, !~) (Coefficient de corrélation) L’équation de la variance peut également s’écrire ainsi : }è! !í = JE 3 . }è! !E + JE 3 . }è! !~ + 2JEJ~. B(!E, !~) Avec : 2JEJ~. B(!E, !~) = {|} !E, !~ = [w !E . w !~ ] L’équation indique que, plus le coefficient de corrélation entre les rendements de i et j est petit, plus la variabilité du taux de rendement du portefeuille est faible. Et dans ce cas où le coefficient de corrélation est nul. EXPEMPLE D’ILLUSTRATION : Pour l’an prochain, un analyste fait les prévisions suivantes concernant les titres i et j : w !E = 20%-;-w !~ = 30% A !E = 15%-; A !~ = 18% {|} !, !~ = −0,04 Vous disposez d’une somme de 1 000.000,00 dhs à investir dans les titres i et j comme suit : a)! Vous composez votre portefeuille selon la pondération suivante, à savoir : JE = 400.000Tℎ], J~ = 600.000Tℎ]. Calculez E(R) de votre portefeuille ainsi que le w !
  13. 13. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( !13 b)! En plus que votre capital, vous emprunter auprès de la banque une somme de 1.500.000,00 au taux de 10% et vous investissez l’intégralité de vos avoirs dans le titre i. Calculez alors le rendement et son écart type. Solution : a.! A ! = - 4,5;-∗-q44444 5.444.444 + 4,5t∗s44444 5444444 = 16,8%- }S^ !í = 0,43 ∗ 0,23 + 0,63 ∗ 0,33 + 2 ∗ 0,4 ∗ 0,6 ∗ −4 = -0,0196- w !í = - 0,0196 = 0,14 b.! A !$ = - 3.;44 5.444 0,15 + 5.;44 5444 0,1 = 22,5% }S^(!í)= ( 3;44 5444 )3 ∗ (0,2)3 + ( &5;44 5444 )3 ∗ 0 + 2 ∗ 3;44 5444 ∗ &5;44 5444 ∗ 0 = 0,25 w !í = - 0,25 = 0,5- On observe que l’emprunt permet à l’investisseur d’accroitre le rendement espéré de son portefeuille mais, à également comme effet d’augmenter de façon importante la variabilité du rendement et, par occasion, le niveau de risque. Exemple : Soit deux titres A et B dont les rendements espérés sont les suivants : 2010 2011 2012 2013 2014 A 0,05 -0,1 0,1 0,18 0,02 B 0,1 -0,14 -0,03 0,07 0,01 a)! Quel est le rendement du titre A et B pour la prochaine année ? b)! Calculer la variance entre le rendement de A et B ? c)! Calculez le coefficient de corrélation entre le rendement de, A et B ? d)! Supposant que vous investissez 1.000.000Dhs dans A et B à raison de 60% et 40% successivement. "! Déterminez l’espérance du rendement du portefeuille ? "! Variance du rendement du portefeuille ? Solution a.! A !b = 4,4;&4,5<4,5<4,5t<4,43 ; = 0,05- A !c = 0,1 − 0,14 − 0,03 + 0,07 + 0,01 5 = 0,002 o! }S^ !b = (4,4;&4,4;)F<(&4,5&4,4;)F<(4,5t&4,4;)F<4,43&4,4;)F q = 0,017 w !b = 0,1034 o! }S^ !c = 0,035 w !b = 0,1870
  14. 14. 14 b.! {P !b; !c = 4,4;&4,4; ∗ 4,5&4,443 <⋯ q = 0,007075 c.! {òôöõõ = 4,44p4p; 4,54rq∗4,5tp4 = 0,365 d.! A !í = 0,6 ∗ 0,05 + 0,4 ∗ 0,002 = 0,0308-~3,08% }S^ !í = 0,63 ∗ 0,17 + 0,43 ∗ 0,035 + 2 ∗ 0,4 ∗ 0,6 ∗ 0,007075 = 0,0128 w !í = 0,0128 = 0,1131 3.4.! Risque d’un portefeuille composé de n titre : Dans le cas d’un portefeuille composé de n titres, la variabilité du taux de rendement est donnée par la formule suivante : }è! !$ = - D E15 JE 3 . }è! !E + JEJ~{|}(!E, !ê) D ~15 D E15 Avec i différent de j pour JEJ~{|}-(!E, !ê)D ~15 D E15 N (n-1) en terme de covariance pour -D E15 JE 3 . }è! !E Cette formule indique que la variance d’un portefeuille constitué de n titre correspond à la somme de n variance pondéré et des n (n-1), termes de covariance pondérés. Etant donné que, la variance d’une variable aléatoire correspond à sa covariance avec elle-même, C’est-à-dire : }è! !E = {|}-(!E, !~) cette formule peut également s’écrire : }è! !í = JEJ~{|}-(!E, !ê)D ~15 D E15 en développant cette formule, on obtiendra un terme de variance chaque foi que i =j et un terme de covariance chaque foi que i # j. EXEMPLE D’ILLUSTRATION : On dispose des renseignements suivants concernant les titres 1,2 et 3 }è! !5 = 0,002 {|} !5, !3 = -−0,0008 }è! !3 = 0,001 {|} !3, !r = 0,0006 }è! !r = 0,004 {|} !5, !r = 0,0004 •! Calculez la variance de taux de rendement d’un portefeuille constitué de la façon suivante : J5 = 0,20 J3 = 0,30 Jr = 0,50
  15. 15. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( !15 Solution : }è! !í = -[0,23 x0,002 + 0,33 x0,001 + 0,53 x0,004] + -------------------------(0,2x0,3x −0,008 -0,3x0,5x0,006 + 0,2x0,5x0,0004 + (0,2x0,3x −0,008 + -------------------------0,3x0,5x0,006 + 0,2x0,5x0,0004 Nous pouvons écrire : }è! !í = -[0,23 x0,002 + 0,33 x0,001 + 0,53 x0,004] + [2(0,2x0,3x −0,008 + ---------------------------2 0,3x0,5x0,006 + 2(0,2x0,5x0,0004)] Exercice : Vous avez obtenu les informations suivantes concernant les actions des firmes A, B, C et D : ACTION RENDEMENT ESPÉRÉ ÉCART TYPE COEFFICIENT DE CORRÉLATION A 0,05 0,20 (A, B)=0,2 B 0,1 0,10 (A, C)=0,3 C 0,2 0,15 (A, D)=0,5 D 0,15 0,30 (B, C)=0,2 (B, D)=-0,5 (C, D)=0 Vous désirez former le portefeuille suivant : •! Vendre à découvert 200.000,00 DH de la firme A •! Acheter pour 300.000,00 DH de B, 400.000,00 de C, et 500.000,00 DH de D Vous disposez d’un capital de 1.000.000 DH et vous pouvez emprunter au taux de 5% les fonds additionnels requis pour financer l’achat des titres. Supposer qu’il n’y a aucune restriction concernant l’utilisation des fonds provenant de la vente à découvert des titres. a)! Déterminez le rendement espéré de votre portefeuille ; b)! Déterminer l’écart type du taux de rendement de votre portefeuille ; Solution : a)! A !í = (r44444.4,5<q44444.4,3<;44444.4,5; 5.344.444 = 0,1541- ∼ 15,42-% b)! }S^ = - äôü(Cn,Cç) é(Cn)é(Cç) {P(!c, !ä) [(0,1)*(0,15)]*0,2 0,003 {P(!c, !†) [(0,1)*(0,3)]*0,5 -0,015
  16. 16. 16 {P(!ä, !†) [(0,15)*(0,3)]*0 0 a)! }S^ !í = 0,253 . 0,13 + 0,333 . 0,153 + 0,43 . 0,33 + 2 ∗ 0,25 ∗ 0,33 ∗ 0,002 + 2 ∗ 0,25 ∗ 0,42 ∗ (−0,015)+2*0,33*0,42*0 = 0,01629 w !í = 0,01629 = 0,1276 3.5.! Risque de portefeuille très diversifié : Le tableau suivant indique le nombre de variance et de covariance à considérer pour calculer le risque d’un portefeuille en fonction du nombre de titres qui y sont inclus. Nombre de titres inclus dans le portefeuille Nombre de termes de variance Nombre de termes de covariance n (n-1) 1 2 3 5 10 20 30 50 100 1000 1 2 3 5 10 20 30 50 100 1000 0 2 6 20 90 380 870 2450 9900 999000 On constate à la lecture du tableau que, pour un portefeuille composé d’une dizaine de titres ou plus, le nombre de terme de covariance à considérer dans le calcul du risque du portefeuille est largement supérieur ou nombre de termes de variance que l’on doit additionner. Ceci suggère l’importante conclusion suivante : Le risque d’un portefeuille bien diversifié est dans une très forte proportion déterminée par les termes de covariance (c’est-à-dire le degré de dépendance qui existent entre les rendements des titres qui y sont inclus) et non par les termes de variance (c’est à dire, le risque de chacun des titres pris individuellement)
  17. 17. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( !17 IV. L’ensemble de portefeuilles accessibles, la frontière efficiente, l’effet de diversification : A partir de deux titres, il est possible de constituer une infinité de portefeuilles en faisant varier la proportion des fonds investis dans chacun des titres. La forme précise que prendra l’ensemble des combinaisons possibles (l’espace : risque/rendement) dépendra du coefficient de corrélation entre les rendements des titres. A titre indicatif, nous discuterons ci-après des combinaisons possibles de risque et de rendement lorsque le coefficient de corrélation vaut : 1, 0, et -1. Ces trois situations particulières permettent notamment d’illustrer le fait que plus le coefficient de corrélation entre les rendements des titres est petit, plus les bénéfices inhérents à la diversification sont substantiels. Lorsqu’il y a un lien positif parfait entre les rendements de deux titres, la formule donnant l’écart type du taux de rendement d’un portefeuille se simplifie ainsi : w3 !í = -JE 3 w3 !E + J~ 3 w3 !~ + 2JEJ~ ∗ 1 ∗ w(!E)w(!~) Il s’agit donc d’une identité remarquable, d’où : w !í = [JE ∗ w !E + J~ ∗ w(!~)]3 L’expression précédente indique que dans le cas où le coefficient de corrélation entre les rendements des titres sont égaux à l’unité (1), le risque du portefeuille équivaut à la moyenne pondérée des risques des titres qui le composent. Ainsi, l’écart type d’un portefeuille équipondérant est exactement égal à la moyenne arithmétique des écarts types des titres qui y sont inclus. Il est toutefois, important de noter que cette dernière formule n’est applicable que si le coefficient de corrélation vaut exactement 1. Si le coefficient de corrélation vaut par exemple 0,95 il faut plutôt utiliser la formule générale. Lorsque le coefficient de corrélation vaut 1, l’ensemble des portefeuilles accessibles à l’investisseur en combinant dans des proportions variables deux titres est représenté par une droite dans l’espace risque/rendement. Pour illustrer cette notion supposant que l’on dispose des renseignements suivants concernant le titre ‘i’ et ‘j’: A !E = 5% ; A !~ = 8% w !E = 4% ; w !~ = 10% On peut notamment constituer les portefeuilles suivant avec l’hypothèse d’une corrélation parfaite et positive entre les rendements des deux titres :
  18. 18. 18 Proportions des fonds investis dans le titre i Proportions de fonds investis dans le titre j L(.°) ¢(.°) 100 0 0,05 0,04 75 25 0,0575 0,0475 50 50 0,0650 0,070 25 75 0,0725 0,085 0 100 0,08 0,10 Représentation de différents portefeuilles accessibles dans l’espace risque/rendement : Lorsque le coefficient de corrélation est égal à 1 (unité), les portefeuilles localisés sur la courbe ‘AC’ sont, dits efficient. C’est-à-dire, pour un niveau de risque donné, il donne le rendement maximal ou à l’inverse, pour un niveau de rendement donné il donne le risque minimal. Par conséquent, un investisseur rationnel ne devrait considérer que les portefeuilles situés sur la courbe ‘AC’. Le choix d’un portefeuille particulier parmi, ceux, localisés sur la courbe ‘AC’ dépend des préférences individuelles de l’investisseur. Cas où le coefficient de corrélation est nul (0) : Lorsque le Coefficient de corrélation est nul, la formule donnant l’écart type du rendement du portefeuille devient la suivante : w !$ = JE 3 w £E 3 + §E 3 w £~ 3 + 2JEJ~ 0 wCEwC~ w !$ = JE 3 wC(E) 3 + J~ 3 wC(~) 3 Dans le cas, où le coefficient de corrélation est nul, l’ensemble de portefeuilles accessibles est une courbe. Pour l’illustrer, prenons les données précédentes concernant les titres ‘i' et ‘j. si le coefficient de corrélation est égal à 0, on peut également constituer les portefeuilles suivants à partir de ces deux titres
  19. 19. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( !19 Proportion de fonds investis dans le titre ‘i’ Proportion de fonds investis dans le titre ‘j’ L(.M) ¢(.°) 100 0 0,050 0,040 75 25 0,0575 0,039 50 50 0,0650 0,054 25 75 0,0725 0,076 0 100 0,080 0,100 Parmi les portefeuilles localisés sur la courbe ABC (AB), ceux figurant sur BC, sont dits efficients. C’est-à-dire que pour un niveau de risque donné il procure le rendement maximal et inversement. Le point ‘B’ représente le portefeuille de risque minimal. Pour obtenir les coordonnées de ce point, on doit premièrement déterminer la proportion des fonds à investir dans le titre i de façon à ce que la variance du portefeuille soit à sont minimum : }S^ !í = JE 3 }S^ !E + J~ 3 }S^ !~ + 2JEJ~{P(!E, !~) Si on remplace J~ Par 1 − JE, on aura alors : }S^ !í = JE 3 }S^ !E + (1 − JE)}S^ !~ + 2JE(1 − JE){P(!E, !~) En dérivant }S^ !í -WS^-JE - , on aura alors : T(}S^ !í ) TJE = 2JE}S^ JE − 2}S^ !~ + 2JE}S^ !~ + 2{|} !E, !~ − 4JEVP(!E, !~) Après quelques manipulations algébriques, on obtient : N0 = •¶ß .® − ©™´(.0, .®) •¶ß .0 + •¶ß .® − g©™´(.0, .®) A partir des données précédentes, on peut calculer la {P-(!E, !~) puisque {P !E, !~ = B !E, !~ -. [w !E . w !~ ] {P !E, !~ = 0. 0,4 . 0,1 = 0
  20. 20. 20 D’où : JE = (4,5)F&4 (4,4q)F<(4,5)F&4 = 86,2% En utilisant ces proportions, on peut aisément déterminer le rendement espéré et le risque de portefeuilles localisés au point ‘B’. Le rendement espéré vaut : A !í = 0,862 0,05 + 0,138 0,08 = 5,41% w !í = JE 3 w¨E 3 + J~ 3 wC~ 3 D’où : w(Cí) 3 = 0,8623. 0,043 + 0,13830,13 = 3,71% Cas où le coefficient de corrélation est égal à -1 (P=-1) : w3 !W = -JE 3 w3 !E + J~ 3 w3 !~ + 2JEJ~ −1 [w- !E + w- !~ ] N.B : on doit considérer dans cette hypothèse les 2 racines : En simplifiant la formule précédente, on aura : w !í = [JEw !X − J~w(!ë)]3 w !í = +/− [JEw !X − J~w(!ë)]- Dans le cas où : JE ≥ - é(C~) é(CE)<é(C~) On retient la racine positive, en revanche, lorsque JE < - é(C~) é(CE)<é(C~) on retient la racine négative. L’ensemble des portefeuilles accessibles est formé de deux segments de droites. Illustrons cette notion en utilisant les données concernant les titres ‘i’ et ‘j’. À partir de ces deux titres on peut, entre autres, construire les portefeuilles suivants : Proportions des fonds investis dans le titre ‘A’ Proportions de fonds investis dans le titre ‘B’ L(.°) ¢(.°) 100 0 0,05 0,04 75 25 0,0575 0,005 71,4 28,60 0,0586 0,0 50 50 0,0650 0,03 25 75 0,0725 0,0650 00 100 0,08 0,1 (Graphique) Parmi les différents portefeuilles que l’on peut constituer, seuls les portefeuilles situés sur la courbe ‘BC’ sont efficient. On notera également qu’il est possible de construire
  21. 21. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( !21 un portefeuille dont le risque est nul. Il suffit pour cela d’investir dans le titre i une proportion équivalente à é(C~) é(CE)<é(C~)
  22. 22. 22 Exercice : Un analyste financier a fait les prévisions suivantes relatives pour les titres x et y pour la période à venir : a.! Calculer la variance du rendement du titre x b.! Calculer la variance du rendement du titre y c.! Calculer la covariance entre les rendements des titre x et y Exercice : Au cours des 12 derniers jours, le cours de l’action IAM ainsi que la valeur de l’indice MASI sont repris dans le tableau ci-après : T.A.F : 1. Calculer la rentabilité quotidienne de cette action ? 2. Calculer l’espérance de rendement de l’action ? 3. Calculer le risque de l’action et déterminer la sensibilité aux mouvements du marché ? Solution : 1.! Calcul de la rentabilité quotidienne de l’action IAM : JOURS COURS MASI VAR.Cours ^@ VAR.Masi COV(C/M) 1 196,18 102,30 2 195,80 102,20 -0,0019 0,000011 -0,00098 0,0000179122 3 194,55 101,60 -0,0064 0,000431 -0,00587 0,0000801052 4 194,14 101,40 -0,0021 0,000271 -0,00197 0,0000222362 k M∞ .N± .≤± 1 0,20 0,14 0,08 2 0,10 0,04 0,11 3 0,25 0,21 0,16 4 0,30 0,14 0,11 5 0,15 0,04 0,16 Jours Cours IAM MASI 1 196,18 102,30 2 195,80 102,20 3 194,55 101,60 4 194,14 101,40 5 193,75 100,60 6 195,11 101,40 7 196,35 102,10 8 197,00 103,60 9 197,30 104,70 10 198,00 105,80 11 198,20 106,00 12 199,00 107,50
  23. 23. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( !23 5 193,75 100,60 -0,0020 0,000268 -0,00789 0,0000412209 6 195,11 101,40 0,0070 0,000054 0,00795 0,0000194616 6 196,35 102,10 0,0064 0,000064 0,00690 0,0000119034 7 197,00 103,60 0,0033 0,000122 0,01469 0,0000203367 8 197,30 104,70 0,0015 0,000165 0,01062 0,0000013172 9 198,00 105,80 0,0035 0,000117 0,01051 0,0000133627 10 198,20 106,00 0,0010 0,000178 0,00189 0,0000007856 11 199,00 107,50 0,0040 0,000107 0,01415 0,0000262255 Somme 196,28 103,27 0,0144 0,001788 0,05001 0,0002548673 /11 - - 0,0013 0,000162524 0,00455 0,0000231698 Var = 0,001788 Cov (C, M)= 0,0000255 (le risque) EXERCICE : Un analyste financier a établi les prévisions suivantes concernant les distributions des rentabilités de l’action alpha et de l’indice du marché : Le taux d’intérêt sans risque est de 4% T.A.F : 1. calculer le taux de rendement du marché et du titre ; 2. calculer la variance de la rentabilité espérée du marché et du titre ; 3. calculer la covariance entre la rentabilité du marché et celle du titre ; 4. calculer le bêta du titre et le taux de rentabilité minimum à attendre de ce titre compte tenu de son risque systémique ; 5. comparer l’espérance de rentabilité de ce titre à son taux de rendement exigé ; SOLUTION : 1.! Le taux de rendement du marché et du titre ? R_AJ R_MJ -0,00025 0,0003750% 0,036 1,20% Probabilité M® .≥¥ .µ® 0,1 -0,25% -15% 0,3 12% 10% 0,5 20% 15% 0,1 30% 25%
  24. 24. 24 0,1 3,00% 0,03 7,50% 0,16575 0,11700375 2.! Calcul de la variance de la rentabilité espérée du marché et du titre ? }S^ !bê = 0,1 −0,25% − 0,166 3 + 0,3 0,12 − 0,166 3 ] + 0,5 0,2 − 0,166 3 + 0,1 0,3 − 0,166 3 = 0,049 = (0,005683) }S^ !∂ê = 0,1 −15% − 0,117 3 + 0,3 0,10 − 0,117 3 ] + 0,5 0,15 − 0,117 3 + 0,1 0,25 − 0,117 3 = 0,039-(0,0095) 3.! La covariance entre la rentabilité du marché et celle du titre : {P !bê, !∂ê = 0,1 −0,25% − 0,166 −15% − 0,117 - + 0,3 0,12 − 0,166 0,10 − 0,117 + 0,5[ 0,2 − 0,166 0,15 − 0,117 - ] + 0,1 0,3 − 0,166 0,25 − 0,117 - - = 0,00477(=0,002) 4.! Le béta ? β= äãå(C∑∏,Cπ∏) åbC(Cπ∏) = 4,44qpp 4,4r∫ = 0,1223 5.! Comparaison entre le taux de rendement exigé du titre avec son rendement : 5.1.! Calcul du taux de rendement exigé : ªA*èº∂ê-- Exercice : Soit un titre composé de deux titres A et B. les rentabilités prévues pour ces deux titres sont reprises dans le tableau suivant : Probabilités Rentabilités du titre A Rentabilité du titre B 25 % 15 % 10 % 25 % -5 % 30 % 25 % 10 % 15 % 25 % 20 % 5 % T.A.F : 1. calculer l’espérance et la variance des rentabilités des titres A et B ; A= 0,1 ; B= 0,15 }S^-(è)-= -0,00875, S^(Ω) = 0,00875 2.! Calculer la covariance entre les rentabilités des deux titres ; {P(è, Ω) = -−0,00875
  25. 25. GESTION(DE(PORTEFEUILLE( !25 3.! Calculer la composition du portefeuille de la variance minimum, calculer son espérance et sa variance ; "! N0 = •¶ß .® &©™´(.0,.®) •¶ß .0 <•¶ß .® &g©™´(.0,.®) = e,eeæøh<e,eeæøh e,eeæøh<e,eeæøh<g¿e,eeæøh = e,5 A(!W) = -0,5.0,1- + -0,5.0,15- = -0,125 -S^ !í = -0,53 . 0,00875 + 0,53 . (0,00875) + 2.0,5.0,5 − 0,00875 = 0 4. Montrer que lorsque le coefficient de corrélation entre la rentabilité de deux titres est égal à -1, il est possible de constituer un portefeuille de risque nul. VAR(!í)= Jb 3 }S^ !b + J¡ 3 }S^ !c + 2JbJc. B !b, !c w !b . w !c (1)}è! !$ = ¬b 3 }è! !b + ¬c 3 }è! !c − 2JbJcw !b w !c (1)est une identité remarquable de type S − √ 3 (1)-> }è! !$ = Jbw !b − Jcw !c 3 -; ↔ w !$ = Jbw !b − Jcw !c 3 = 0 D’où : Jbw !b = Jcw(!c)

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