Estatística básica

Estatística básica
Estatística é a ciência dos dados, envolvendo o
desenvolvimento de processos, métodos e técnicas de
coleta, classificação, organização, resumo, análise e
interpretação de dados sobre uma população, e os
métodos de tirar conclusões ou fazer predições com
base nesses dados.

Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com

Organização e
descrição
dos dados

Descritiva
Cálculo de médias,
variâncias, estudo de
gráficos, tabelas, etc.

Estatística
Indutiva
(Inferencial)

Estimação de
parâmetros, teste de
hipóteses, etc.


• A estatística tem a capacidade de sintetizar os dados;
• A amostragem é o ponto de partida (na prática) para
todo um Estudo Estatístico. É através da amostragem
que obtemos os dados da medição de determinada
característica ou propriedade de um objeto, pessoa ou
coisa;


• População: é a coleção de todas as observações
potenciais sobre determinado fenômeno;
•Amostra: é o conjunto de dados efetivamente
observados, ou extraídos;
População

Amostras

Cada observação individual ou item é denominada
como unidade elementar, que pode estar composta
por um ou mais itens medidos, propriedades,
atributos, etc, denominados como variáveis.

Variável é uma característica, propriedade ou
atributo de uma unidade da população, cujo
valor pode variar entre as unidades da
população.

Exemplo:
Variáveis

Unidade
elementar
Nome

Idade

Cargo

Sexo

Peso

Escolaridade

João

27

Supervisor

M

62 kg

2º grau

Alex

38

Chefe

M

78 kg

1º grau

Ana

32

Secretária

F

58 kg

3º grau


•Tipos de variáveis
Nominal

Qualitativa
Ordinal

Variável
Discreta

Quantitativa
Contínua

• Exemplo:

Para uma população de peças produzidos em um
processo, poderíamos ter:

Variável

Tipo

Estado: Perfeita ou defeituosa

Qualitativa Nominal

Qualidade: 1ª, 2ª ou 3ª categoria

Qualitativa Ordinal

Número de peças defeituosas

Quantitativa Discreta

Diâmetro das peças

Quantitativa Contínua


Agrupamento de dados e distribuição de frequências
• Quando vamos fazer um levantamento de uma população, um dos
passos é retirar uma amostra dessa população e obter dados relativos
à variável desejada nessa amostra;
• Cabe à Estatística sintetizar tais dados na forma de tabela e gráficos
que contenham, além dos valores das variáveis, o número de
elementos correspondentes a cada variável;


• A esse procedimento está associado o conceito de:
• Dados brutos: é o conjunto de dados numéricos obtidos que ainda
não foram organizados;
• Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou
decrescente);
• Amplitude (H): é a diferença entre o maior e o menor dos valores
observados;
•Frequência absoluta (ni): é o número de vezes que um elemento
aparece na amostra;

• n : número total de dados da amostra

k

n
i 1

i

n

• k : número de valores diferentes na amostra
• Frequência relativa (fi):

ni
fi 
n

k


i 1

fi  1

• Frequência absoluta acumulada (Ni): é a soma da frequência absoluta
do valor da variável i com todas as frequências absolutas anteriores;
• Frequência relativa acumulada (Fi):

Ni
Fi 
n


• Exemplo: Os seguintes dados foram amostrados do números de negócios
efetuados diariamente por um operador financeiro:
População: Número de negócios efetuados diariamente
Dados brutos: {14, 12, 13, 11, 12, 13, 16, 14, 14, 15, 17,
14, 11, 13, 14, 15, 13, 12, 14, 13, 14, 13, 15, 16, 12, 12}
Rol: {11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14,
14,14, 15,15,15, 16,16, 17}
Amplitude: 17 – 11 = 6
n = 26 observações

Número de
Operações
fechadas por
dia

Freq.
Absoluta

11
12
13
14
15
16

Freq.
Relativa

Freq.
Absoluta
Acumulada

Freq.
Acumulada

2
5
6
7
3
2

7,69%
19,23%
23,08%
26,92%
11,54%
7,69%

2
7
13
20
23
25

7,69%
26,92%
50,00%
76,92%
88,46%
96,15%

17

1

3,85%

26

100,00%

Total

26

100,00%


Classes
• As classes são um artifício para condensar o número de elementos
diferentes de uma amostra. Imagine construir uma tabela para 200
valores diferentes, nos moldes do problema anterior.
• Os principais pré-requisitos para uma boa definição de classes em um
conjunto de dados são:
•a) as classes devem abranger todas as observações;
•b) o extremo superior de uma classe é o extremo inferior da classe
subsequente (simbologia: |, intervalo fechado à esquerda e aberto à
direita);
•c) cada valor absoluto deve enquadrar-se em apenas uma classe;
•d) k  25, de modo geral, sendo k o número de classes;
•e) As unidades das classes devem ser as mesmas dos dados.

Classes
• Cálculo de k (Formas de calcular) :

k  1 log 2 N (Fórmula de Sturges)
k 

N

ln n
2 n2 nk 
ln 2
k

k

Obs.: N é o número de elementos diferentes da amostra e, muitas
vezes, pode ser considerado N = n (no. de observações).
• Intervalo da classe (h): h  H/k
• Ponto médio da classe (xi) : Ponto médio entre o limite inferior e o
limite superior de cada classe.

• Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior, temos:
H 6
k 
7 3
6
k  1  log 2 7  4
h 2
k  ln N
3
3
ln 2
Xi

Freq.
Absoluta

Freq.
Relativa

Freq. Absoluta
Acumulada

Freq.
Acumulad
a

11|13

12

7

26,92%

7

26,92%

13|15

14

13

50,00%

20

76,92%

15|17

16

6

23,08%

26

100,00%

26

100,00%

Faixa de
negócios

Total


Medidas de Posição
• Mostram o valor representativo em torno do qual os dados tendem a
agrupar-se com maior ou menor frequência.
n

x

• Média aritmética:

x1  x2  x3  x4  ...  xn
x 

n

• Média aritmética ponderada:
x1 . p1  x2 . p2  x3 . p3  ...  xn . pn
x

p1  p2  p3  ...  pn

i

i 1

n

n

 x .p
i 1
n

i

i

p
i 1

pi : peso da amostra xi

i

• Exemplo: Os dados {11, 13, 15, 17, 19} apresenta a seguinte
média (n=5, pois temos cinco números) :

11  13  15  17  19
x
 15
5
• Se um aluno obteve as notas {7, 10, 6, 8} com pesos {1, 2, 2,

3}, qual será a nota final do aluno:
7.1  10.2  6.2  8.3
63
x

 7,875
1 2  2  3
8


P
R
O
P
R
I
E
D
A
D
E

• A soma dos desvios é sempre
igual a zero
•A soma dos quadrados dos
desvios das observações de uma
série é sempre um valor mínimo


•

Média aritmética ponderada para dados agrupados em classes:
n

x1 .n1  x2 .n2  x3 .n3  ...  xn .nn
x

n1  n2  n3  ...  nn

 x .n
i 1
n

• Sabendo que:

n   ni
i 1

i

n
i 1

n

i

i

ni
fi 
n

x  x1 . f1  x2 . f 2  x3 . f 3  ...  xn . f n 

n

 x .f
i 1

i

• fi : Frequência de ocorrência da amostra xi

i

• Exemplo: Qual a média do número de operações fechadas
por dia:


• A média pela frequência absoluta é:

11.2  12.5  13.6  14.7  15.3  16.2  17.1
x
2  5  6  7  3  2 1
352
x
 13,54
26
• A média pela frequência relativa é:

x  11 .7,69 %  12 .19 ,23 %  13 .23,08 % 
14 .26 ,92 %  15 .11,54 %  16 .7,69 %  17 .3,85 %
x  13,54

• Exemplo: Calcule a média da tabela abaixo:

Valor
médio da
classe

12.7  14.13  16.6 362
x

 13,92
7  13  6
26
•Observe que o resultado apresentou uma pequena diferença do anterior (2,8% maior que 13,54 ). A precisão dos
dados na tabela em classes diminuiu pouco em relação aos dados originais.

• Mediana: É o valor do meio de um conjunto de dados, quando os
dados estão dispostos em ordem crescente ou decrescente, ou seja, o Rol
de Dados.

 n 1
x
 termo
 2 
o

~

o

Se n é impar
o

n
n

  termo    1 termo
~
2
2

x 
2

Se n é par


Exemplo: Qual a mediana dos dados abaixo:
Dados brutos: {14, 12, 13, 11, 12, 13, 16, 14, 14, 15, 17, 14, 11, 13, 14, 15, 13, 12, 14, 13,
14, 13, 15, 16, 12, 12}
Rol: {11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14,14, 15,15,15,
16,16, 17}
n = 26 observações (par)
o

o

 26 
 26 
  termo    1 termo
~
13o termo  14o termo 13  14
2
 2

x 


 13,5
2
2
2
A mediana dos dados é 13,5.

• Exemplo: Calcule a mediana dos dados abaixo:

• A mediana estará na faixa de 13 a 15, pois temos no total 26 observações e mediana
encontra-se no meio (13º termo) (aqui não iremos calcular a média entre o 13º e o 14º Verique !).
~

x

13

 13

15  13

13  7


20  7

~

x

13

 13,92


• Moda ou classe modal (mo): É o valor que representa a maior
frequência em um conjunto de observações individuais. Em alguns casos,
pode haver mais de uma moda.
X

Xi

ni

0| 3

1,5

7

3| 6
6| 9
9| 12

4,5
7,5
10,5

13
6
2

 Classe modal



Média

• Sensível a valores extremos de um conjunto de observações
• Usa todos os dados disponíveis

• “Robusta” : Não sofre muito com a presença de alguns valores
muito altos ou muito baixos
Mediana • Não usa todos os dados disponíveis

Moda

• Não é afetada por valores extremos
• Não usa todos os dados disponíveis


• Percentil: De forma geral, o percentil de um conjunto de valores
postos em ordem crescente é um valor que contém p% das observações
abaixo dele.
Os percentis de ordem 25, 50 e 75 são chamados de quartis. Os decis são
os percentis de ordem 10, 20, ..., 90.

p0
x 1

100  0 n  1

p

1

x

n

x 1
p  100.
n 1


• Calcular o percentil de ordem 50 (2º Quartil).
Q50 = mediana (são 50 dados  o Q50 está no 25º termo)
X

ni

Acum.

1,810| 1,822

7

7

1,822| 1,834

14

21

1,834| 1,846

18

39

1,846| 1,858

7

46

1,858| 1,870

4

50

~

x  1,834

25  21

1,846  1,834 39  21
~

x  1,834
0,012

4

18

~

x  1,837


Medidas de Dispersão ou Variabilidade
As medidas de dispersão possuem a finalidade de verificar quanto os
valores da série estão distantes da média da série.
O principal meio de calcular a variabilidade é através da variância, que é
calculada pela fórmula abaixo:

 x
n

s 
2

i 1

i

x

n

 x
n

2



i 1

n

2
i

x

2

Onde n é o número de observações, x é a média e xi são os valores
individuais. Esta fórmula é valida para população. Para amostra deve-se
considerar n-1 ao invés de n.

Exemplo: Os dados {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} apresentam qual média,
variância e desvio padrão ?
A sequência apresenta n=10 números. A média é igual a soma dos valores
dividido pelo número de elementos. A variância e desvio padrão são
calculados na sequência:
55
 5,5
10

x
n

x
i 1

2
i

 12  2 2  ... 9 2  10 2  385
n

xi2


s2 

385
 5,5 2  8,25
n
10
 8,25  s  2,87

i 1

 s2

x

2




Para calcular a variância quando os dados estiverem dispostos em classes
deve-se utilizar a seguinte fórmula:

 x
k

s 
2

i 1

i



2

 x .ni
n



 x
k

i 1

i



2

 x . fi

k é o número de classes, ni é a frequência absoluta, n o número de observações e fi a frequência
relativa;

•Quando extraímos a raiz quadrada da variância, obtemos o desvio
padrão (s).
• Uma observação importante é que a variância possui as unidades dos
dados individuais elevado ao quadrado, enquanto que o desvio padrão e
média possuem mesma unidade.

Exemplo: Calcular a variância e desvio padrão dos dados abaixo:
X

Freq.
Absoluta

1,810|1,822

7

1,822|1,834

14

1,834|1,846

18

1,846|1,858

7

1,858|1,870

4

Iremos
realizar
os
cálculos na forma de
tabela, porque os dados
ficam mais organizados e
os cálculos mais fáceis de
serem entendidos.

Verifique que as colunas serão organizadas de acordo com a fórmula para
calcular a variância.
 x  x  .n
k

s

2



i 1

2

i

i

n


x

xi

ni

xi-xm

(xi-xm)2

(xi-xm)2.ni

1,810|1,822

1,816

7

-0,0024

0,00058

0,0040

1,822|1,834

1,828

14

-0,012

0,00014

0,0020

1,834|1,846

1,840

18

0,000

0,00000

0,0000

1,846|1,858

1,852

7

0,012

0,00014

0,0010

1,858|1,870

1,864

4

0,024

0,00058

0,0023

Soma

9,200

Soma

0,00936

Média (xm)

1,840

s2

0,00187

s 2  0,00187
s  0,043
CV  s

x

.100 %  0,043

1,840

.100 %  2,4%


Outra forma de expressar a dispersão dos dados é através do Coeficiente
de Variação (CV), que é dado pela fórmula:

s
CV  .100%
x
onde s é o desvio padrão, e x é a média.
• O Coeficiente de Variação dá uma indicação de quanto os dados estão
dispersos em torno da média. Quanto maior o valor de CV, maior a
dispersão.


Exemplo: No exemplo de cálculo de variância e desvio padrão, obtivemos
os valores 8,25 e 2,87 respectivamente. A média tinha resultado em 5,5
O valor do Coeficiente de Variação será:

s
2,87
CV  .100 % 
.100 %  52 %
5,5
x
Um valor de 52% indica que os dados estão muito dispersos com relação
a média.
Por exemplo, os dados {5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 5,7; 5,8; 5,9; 6,0}
apresentam média: 5,55; desvio-padrão: 0,29 e CV = 5% (Confira!)


Covariância: Mede a correlação (dependência) linear entre duas
variáveis x e y.

É calculada como:

 x
n

Cov( x, y ) 

i 1

i



 x . yi  y
n



 x. y  x. y

A covariância entre as mesmas variáveis, isto é, Cov(x, x) por
exemplo, é igual a própria variância Var(x) = s2.

 x
n

Cov( x, x ) 

i 1

i



 x . xi  x
n



 Var( x )  s 2

• Os seguintes valores de covariância dão uma indicação se os
valores são independentes, ou possuem correlação positiva ou
negativa.
Cov( x, y )  0

Variáveis independentes

Cov( x, y )  0 Correlação linear positiva
Cov( x, y )  0

Correlação linear negativa


Cov( x, y )  0

Cov( x, y )  0

Correlação
linear positiva

Correlação
linear negativa

Cov( x, y )  0

Variáveis
independentes

• Na prática quando as variáveis são independentes o valor da covariância
resulta em um valor próximo de 0 (entre -3 a 3), mas não sendo estes valores
fixos e, portanto, é sempre recomendável considerar o gráfico das variáveis x
e y para uma avaliação conjunta.

Exemplo: Calcular a covariância dos dados abaixo, e verifique se a
correlação é positiva ou negativa.

X

Y

10

21

15

15

18

12

12

18

9

20


Solução: Sempre esboce o gráfico das variáveis X e Y para confirmar!
X

X.Y

10

21

210

15

15

225

18

12
18

216

9

20

180

12,8

17,2

Cov( x, y )  x. y  x. y
 209,4  12,8.17,2
 10,76

216

12

Média

Y

209,4

A covariância resultou em um valor negativo, indicando uma correlação
linear negativa que podemos confirmar pelo gráfico.

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