Arithmétique
Divisibilité dans ℤ & identité de
Bézout
Programme de la 4ème maths
Plan de la leçon:
• Divisibilité dans ℤ ( division euclidienne)
• PGCD de deux entiers(algorithme d’Euclide)
• Théorème de...
Prérequis et préparatif
QCM
http://www.evalqcm.fr
Code d'inscription :
5199JUKP
Fichier Excel
pour le calcul du
PGCD & sér...
Division euclidienne
Division dans ℤ
Division euclidienne
dans IN
Division euclidienne
dans ℤ
• Théorème:
Soit a et b deux entiers relatifs
avec b non nul. Il existe un unique
couple ( q,r...
PGCD de deux entiers
« algorithme d’Euclide »
• On ré effectue la
division
euclidienne
• a’=b’q+r’
a=bq+r
• Si non alors
•...
L’algorithme avec Excel
• On a partagé sur OneDrive un fichier Excel où la
procédure de calcul du PGCD moyennant
l’algorit...
Propriétés du PGCD de
deux entiers
Noter bien …
a et b deux entiers non nul:
• Si b divise a alors: ab = |b|
• Si b ne divise pas a et r le reste modulo b d...
Théorème de Bézout
Équations diophantiennes du type:
ax +by =c
Lemme de Gauss
a , b et c trois entiers non nuls. Si a  b =1 et a divise bc alors a divise c
Théorème ( Identité de Bézou...
La procédure de la résolution de
l’équation: ax+by=C
Déterminer le
PGCD d=a  b
• Vérifier si d
divise c
• Si d ne divise
...
Exemples à suivre …
Trouver les
coefficients de
Bézout
Résoudre une
équation
diophantienne
Applications…
I. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x=11y
II. Déterminer tout les couples (x,y) s...
Les fichiers utilisés dans cette
leçon sont partagés sur
OneDrive le lien est envoyer
au groupe sur Gmail
Les vidéos sont ...
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  • Il s’agi d’une séance de travaux dirigées un résumé compact du cour et avec plus d’application
  • Rappel sur les propriétés de la divisibilité dans IN ,le PGCD de deux entiers à partir du contenu des programmes des années précédentes
    La tache attribuée au élèves c’est de se former en groupe et d’essayer de formuler certains théorèmes déjà vu en 3ème et en 2ème avec leurs démonstrations
    Chaque groupe désignera un porte parole qui fera l’exposé du travail du groupe .
    Les groupes défilerons au fur et à mesure et les autres élèves poseront leurs questions
  • Comme c’est demandé au préalable:
    On a partagé sur OneDrive : un rappel du cour , des vidéos et un QCM sachant que le travail à la maison été une recherche sur internet de la notion de divisibilité dans ℤ.
  • Provoquer une discutions entre les élèves après le visionnage de la vidéo
  • Les résultats du QCM seront disponible chez l’enseignant puis que le site sur le quel le QCM est fait le permet et selon la prestation des élèves une remédiation immédiate est engagée bien-sur si cela est nécessaire.
  • On peut s’amuser à faire le calcule du PGCD de certains couples d’entiers tout en surveillant les écritures relatives à chaque division
    On comparaison entre différentes méthodes de calcule du PGCD est souhaitée .
  • Les élèves partagées en groupes prendrons note de chaque propriété et chaque groupe devra proposer une démonstration à une de ces propriétés, un représentant se chargera de présenter leur démo les autres élèves des autres groupes se chargeront de la discussion
    Mon intervention se limitera à orienter la discussion et éviter les débordements.
  • À prendre note et à démontrer ( mode low tech)
  • Des questions rapides posée aux élèves individuellement pour une évaluation formative: un feedback sur le contenu de la leçon
  • Changer la répartition des groupes d’élèves en essayant à chaque fois que ça soit une répartition équitable
  • Les élèves sont invités à voir les deux vidéos et à prendre note des différentes étapes
  • Les élèves sont invitées à rédiger soigneusement leurs réponses et à les envoyer au professeur sur sa boite mail
  • Les élèves sont invités à télécharger la série d’exercices de la faire chez eux pour toutes remarques ou questions je suis sur Skype tout les vendredi soir de 19h à 20h ou bien par mail
  • Bon travail …
  • arithmétique: divisibilité dans Z et identité de Bezout

    1. 1. Arithmétique Divisibilité dans ℤ & identité de Bézout Programme de la 4ème maths
    2. 2. Plan de la leçon: • Divisibilité dans ℤ ( division euclidienne) • PGCD de deux entiers(algorithme d’Euclide) • Théorème de Bézout • Résolution d’équation diophantienne du type: ax + by =c • Évaluation
    3. 3. Prérequis et préparatif QCM http://www.evalqcm.fr Code d'inscription : 5199JUKP Fichier Excel pour le calcul du PGCD & série d’exercices Liens: Le PGCD La Série Des vidéos de YouTube partagées sur le mur du groupe de la classe et sur g+
    4. 4. Division euclidienne Division dans ℤ
    5. 5. Division euclidienne dans IN
    6. 6. Division euclidienne dans ℤ • Théorème: Soit a et b deux entiers relatifs avec b non nul. Il existe un unique couple ( q,r) tel que: a = bq+r et 0 r < |b| b est le quotient r est le reste • Auto évaluation: QCM on line http://www.evalqcm.fr Code d'inscription : 5199JUKP Chaque élève s’inscrira via son compte Facebook et répondra aux questions demandées
    7. 7. PGCD de deux entiers « algorithme d’Euclide » • On ré effectue la division euclidienne • a’=b’q+r’ a=bq+r • Si non alors • a’b • b’r Si le reste est nul • Soit r’ le dernier reste non nul r’ = ab
    8. 8. L’algorithme avec Excel • On a partagé sur OneDrive un fichier Excel où la procédure de calcul du PGCD moyennant l’algorithme d’Euclide est déjà programmée Lien http://1drv.m s/1HstBdt
    9. 9. Propriétés du PGCD de deux entiers
    10. 10. Noter bien … a et b deux entiers non nul: • Si b divise a alors: ab = |b| • Si b ne divise pas a et r le reste modulo b de a alors ab = br • ab = ba • Pour tout entier k: kakb =|k|(ab) • a(bc) = a(bc) • a et b deux entier et d = ab soit a’ et b’ tel que a=da’ et b=db’ alors a’  b’ =1
    11. 11. Théorème de Bézout Équations diophantiennes du type: ax +by =c
    12. 12. Lemme de Gauss a , b et c trois entiers non nuls. Si a  b =1 et a divise bc alors a divise c Théorème ( Identité de Bézout) Deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux , si et seulement si, il existe deux entiers u et v tels que: au + bv = 1
    13. 13. La procédure de la résolution de l’équation: ax+by=C Déterminer le PGCD d=a  b • Vérifier si d divise c • Si d ne divise pas c alors l’ensembles des solutions dans ℤ² est  Si dc on simplifie l’équation par d • La nouvelle équation devient: • a’x +b’y=c’ où a’b’= 1 Déterminer une solution particulière • Par le biais de l’algorithme d’Euclide une solution particulière est déterminée Une solution de l’équation homogène moyennant le lemme de Gauss
    14. 14. Exemples à suivre … Trouver les coefficients de Bézout Résoudre une équation diophantienne
    15. 15. Applications… I. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x=11y II. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x+12y=1 III. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 198x+75y=4 I. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss II. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout III. Soit (S) 𝑛 ≡ 13 𝑚𝑜𝑑(19) 𝑛 ≡ 6 𝑚𝑜𝑑(12) Résoudre le système (S).
    16. 16. Les fichiers utilisés dans cette leçon sont partagés sur OneDrive le lien est envoyer au groupe sur Gmail Les vidéos sont partagées sur g+ et dans le groupe « notre classe » sur Facebook

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