Teoria fuzzy

Departamento de Computação
Trabalho de Conclusão de Curso

TIAGO KOHAGURA

LÓGICA FUZZY E SUAS APLICAÇÕES

Londrina
2007

TIAGO KOHAGURA


Trabalho desenvolvido durante o
4º ano do Curso de Graduação em
Ciência da Computação da Universidade
Estadual de Londrina, como requisito à
obtenção do título de Bacharel.

Orientador: Prof. Dr. Pedro Paulo
da Silva Ayrosa

Londrina
2007

TIAGO KOHAGURA


COMISSÃO EXAMINADORA

______________________________________
Prof. Dr. Pedro Paulo da Silva Ayrosa
Universidade Estadual de Londrina

______________________________________

Profª. Drª. Maria Angélica de O. C. Brunetto

______________________________________

Profª. Débora Elis Souza de Oliveira

Londrina, 27 de Novembro de 2007

“A PRESSA É A INIMIGA DO HOMEM”
Dito popular

AGRADECIMENTOS

A minha família pelo total apoio.
Aos professores e funcionários do departamento de computação da UEL.
Aos amigos e colegas da UEL.
E, finalmente, ao Prof. Dr. Pedro Paulo da Silva Ayrosa, pela orientação do
desenvolvimento deste trabalho.

KOHAGURA, Tiago. Lógica fuzzy e suas aplicações. 2007. Monografia
(Graduação em Ciência da Computação) – Universidade Estadual de Londrina;
Londrina.

RESUMO

A Lógica Fuzzy ou Lógica Difusa diferente da Lógica Clássica, que apenas
permite a classificação de „Verdadeiro‟ ou „Falso‟, é capaz de atribuir valores lógicos
intermediários. Trabalhar em uma lógica que permite classificar dados ou
informações vagas, imprecisas e ambíguas, abre muitas possibilidades de
desenvolver soluções para problemas que envolvem muitas variáveis. A utilização
da Lógica Fuzzy em áreas de tomada de decisão proporciona o desenvolvimento de
ferramentas heurísticas melhores para o homem, facilitando tomadas de decisão de
forma mais ágil e eficaz. Este trabalho objetiva estudo aprofundado sobre a Lógica
Fuzzy, e apresentar suas aplicações, ao mesmo tempo mostrando suas
funcionalidades, buscando esclarecer seus conceitos, e propiciar a novas idéias
para a aplicação dessa lógica.

Palavras - chaves: Lógica, Inteligência Artificial.

KOHAGURA, Tiago. Fuzzy logic and its applications. 2007. Monograph
(Graduation in Computer Science) – Universidade Estadual de Londrina; Londrina.

ABSTRACT

Fuzzy Logic different of Classic Logic, that only permit a classification in
“True” or “False”, can attribute logic intermediary value. To work with logic that can
classify data‟s, or vague, imprecise and ambiguous information, it opens many
possibilities to develop solutions for problems with many variables. The use of the
Fuzzy Logic in decisions-making provides development of better heuristic tools for
humanity, facilitating decisions-making with agility and efficacy. This work proposes
to make profound study of Fuzzy Logic and introduce its applications, at same time
showing its functionality, to be informed about their concepts, and propitiate new
ideas using that logic.

Key - words: Logic, Artificial Intelligence.

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Tabela de pertinência para os conjuntos clássicos. ................................ 10
Tabela 2 – Tabela de pertinência para os conjuntos fuzzy........................................ 10
Tabela 3 – Resultado da relação do conjunto A com B, intersecção ........................ 19
Tabela 4 - Resultado da relação do conjunto A com B, união ................................... 20
Tabela 5 – Operações de implicação ........................................................................ 35
Tabela 6 – Resultado da fuzzificação ........................................................................ 37
Tabela 7 – Aplicações da lógica fuzzy....................................................................... 45

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Desenho comparativo da lógica clássica da fuzzy. .................................... 6
Figura 2 – Cesta de maçãs e laranjas. ........................................................................ 7
Figura 3 – Cesta de maçãs e laranjas misturadas. ..................................................... 7
Figura 4 – Respostas da lógica fuzzy. ......................................................................... 8
Figura 5– Gráfico representando os conjuntos clássicos. ......................................... 11
Figura 6– Gráfico representando os conjuntos fuzzy. ............................................... 11
Figura 7- Comparação do conjunto clássico da fuzzy. .............................................. 12
Figura 8 – Gráfico representando dois conjuntos fuzzy............................................. 12
Figura 9 – Gráfico resultante da intersecção ............................................................. 13
Figura 10 – Gráfico resultante da união .................................................................... 14
Figura 11 – Gráfico resultante do complemento ........................................................ 15
Figura 12 – Condição da função de pertinência ........................................................ 24
Figura 13 – Gráfico da função triangular ................................................................... 25
Figura 14 – Gráfico da função trapezoidal................................................................. 26
Figura 15 – Gráfico da função Gaussiana ................................................................. 27
Figura 16 – Gráfico da função Cauchy ...................................................................... 27
Figura 17 – Gráfico da função Sigmóide ................................................................... 28
Figura 18 – Esquema do raciocínio fuzzy.................................................................. 29
Figura 19 – Gráfico das funções de pertinência de “peso” ........................................ 31
Figura 20 – Gráfico das funções de pertinência de “altura” ....................................... 31
Figura 21 - Gráfico do cálculo da pertinência em “peso” ........................................... 32
Figura 22 - Gráfico do cálculo da pertinência em “altura” .......................................... 33
Figura 23 - Gráfico da pertinência da saída de inferência ......................................... 36
Figura 24 – Elementos do conjunto A1...................................................................... 38
Figura 25 – Elemento do conjunto A‟1 ...................................................................... 38
Figura 26 – Elementos do conjunto B ....................................................................... 39
Figura 27 – Composição dos conjuntos de A‟ e R(regra 2) ....................................... 40
Figura 28 – Processo simplificado da inferência (regra 5)......................................... 40
Figura 29 – Resultado da inferência .......................................................................... 41

LISTA DE EQUAÇÕES

(1)- Operação de conjunto fuzzy de interseção ......................................................... 13
(2)- Operação de conjunto fuzzy de união ................................................................ 14
(3)- Operação de conjunto fuzzy de complemento .................................................... 14
(4)- Operação de conjunto fuzzy de produto algebrico ............................................. 15
(5)- Operação de conjunto fuzzy de produto limitado ............................................... 16
(6)- Operação de conjunto fuzzy de produto drástico ................................................ 16
(7)- Operação de conjunto fuzzy de soma algebrica ................................................. 17
(8)- Operação de conjunto fuzzy de soma limitada ................................................... 17
(9)- Operação de conjunto fuzzy de concentração .................................................... 17
(10)- Operação de conjunto fuzzy de produto dilatação ............................................ 18
(11)- Função de pertinência triangular..................................................................... 19
(12)- Relação de conjunto fuzzy, união .................................................................... 19
(13)- Relação de conjunto fuzzy, projeção ............................................................... 20
(14)- Composição Max-min ...................................................................................... 21
(15)- Composição Max-produto ................................................................................ 22
(16)- Composição Max-média .................................................................................. 22
(17)- Função de pertinência triangular...................................................................... 24
(18)- Função de pertinência trapezoidal ................................................................... 25
(19)- Função de pertinência Gaussiana ................................................................... 26
(20)- Função de pertinência Cauchy ........................................................................ 27
(21)- Função de pertinência Sigmóide...................................................................... 28
(22)- Função de pertinência triangular para os valores fuzzy(peso) ......................... 30
(23)- Função de pertinência triangular para os valores fuzzy(altura) ....................... 31
(24)- Calculo da pertinencia (peso) .......................................................................... 32
(25)- Cálculo da pertinência(alrutra) ......................................................................... 32
(26)- Função de pertinência de B‟ ............................................................................ 34
(27)- Operador Mandami min ................................................................................... 37
(28)- Função de pertinência resultante da inferência ............................................... 41
(29)- Método centroide ............................................................................................. 42
(30)- Cálculo usando o método centroide................................................................. 42
(31)- Método centro das somas ................................................................................ 43
(32)- Cálculo usando o método centro das somas ................................................... 43
(33)- Método da média dos máximos ....................................................................... 43
(34)- Cálculo usando o método da média dos máximos............................................ 43

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 1

2. A ORIGEM DA LÓGICA FUZZY ............................................................................ 3

2.1. Breve histórico da lógica ...................................................................................... 3

2.2. Lotfi Asker Zadeh ................................................................................................. 4

3. LÓGICA FUZZY ...................................................................................................... 6

4. TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY..................................................................... 10

4.1. Operações de Conjuntos Fuzzy ......................................................................... 12

4.1.1. Interseção de conjuntos fuzzy ......................................................................... 13

4.1.2. União de conjuntos fuzzy ................................................................................ 13

4.1.3.Complemento de um conjunto fuzzy ................................................................ 14

4.1.4. Produto algébrico ............................................................................................ 15

4.1.5. Produto limitado............................................................................................... 15

4.1.6. Produto drástico .............................................................................................. 16

4.1.7. Soma algébrica................................................................................................ 16

4.1.8. Soma limitada .................................................................................................. 17

4.1.9. Concentração de um conjunto fuzzy ............................................................... 17

4.1.10 Dilatação de um conjunto fuzzy ...................................................................... 18

4.2 Relações Fuzzy ................................................................................................... 18

4.2.1. Operações básicas de relações fuzzy ............................................................. 18

4.2.2. Composição de relações fuzzy ........................................................................ 21

4.4. Funções de Pertinência ...................................................................................... 23

4.3.1. Triangular ........................................................................................................ 24

4.3.2. Trapezoidal ...................................................................................................... 25

4.3.3. Gaussiana ....................................................................................................... 26

4.3.4. Cauchy ............................................................................................................ 27

4.3.5. Sigmóide ......................................................................................................... 28

5. RACIOCÍNIO FUZZY............................................................................................. 29

5.1. Fuzzificação ....................................................................................................... 29

5.2. Inferência............................................................................................................ 33

5.3. Defuzzificação .................................................................................................... 41

5.3.1 Método Centróide ............................................................................................. 42

5.3.2 Método Centro das Somas ............................................................................... 42

5.3.3Método da Média dos Máximos ......................................................................... 43

6. APLICAÇÕES DA LÓGICA FUZZY....................................................................... 45

7. CONCLUSÃO ....................................................................................................... 48

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 49

1

1. INTRODUÇÃO

A lógica fuzzy surgiu com base na Teoria de Conjuntos Fuzzy, no ano de
1965, em que a primeira vez foi usado o termo “lógica fuzzy” na publicação feita por
Lotfi A. Zadeh nos Estados Unidos (MALUTTA, 2004).
O termo em inglês “fuzzy” traduzido, tem o significado como algo vago,
indefinido, incerto. Mas traduzido para o português os termos mais utilizados na área
de inteligência artificial são nebuloso ou difuso. A lógica fuzzy trata de um raciocínio
que busca classificar em números uma determinada realidade ou situação, que
trabalha com muitas variáveis incertas e vagas, afim de facilitar o trabalho ou
manipulação dos computadores (SHAW, 2002).
A lógica fuzzy é considerada imprecisa, pois trabalha com aproximações de
dados vagos (STURM, 2005). Através de uma determinada regra, que varia para
qual fim a lógica fuzzy é utilizada, os dados coletados caracterizados como incertos
são analisados de acordo com a regra implementada e aproximados por números
para possibilitar a interpretação das máquinas e computadores.
Comparando a lógica fuzzy com relação á lógica clássica, a lógica fuzzy
apesar de ser imprecisa, contrário da lógica tradicional, ela reporta muito mais
informações não estando restrita ao verdadeiro e falso. Isso permite que a lógica
fuzzy descreva um determinado fato com muito mais detalhe e gradual, reduzindo
assim a perda de informações, que conseqüentemente estará mais coerente
possível com a realidade em questão (MALUTTA, 2004).
Percebendo sua utilidade começou a ser desenvolvida na Europa, criando
aplicações para esta lógica, e ao longo do tempo a lógica fuzzy é introduzida no
Japão, que começa a ser utilizada largamente em engenharia de controle. A partir
desse momento, a Europa e depois Estados Unidos perceberam a eficácia da lógica
e começaram a investir mais nessa tecnologia. E hoje a lógica fuzzy se tornou uma
tecnologia padrão, que vem sendo aplicada na área de desenvolvimento industrial,
ciências ambientais e até na área de negócios e finanças.
No capítulo seguinte será mostrado um breve histórico da lógica até o
surgimento da lógica fuzzy.
No capítulo 3 será apresentado sobre o que é a lógica fuzzy, apresentando

2

um panorama geral.
Enquanto que no capítulo 4 será abordado os conjuntos fuzzy explicando os
conceitos, operações e relações de conjuntos que deu a origem a lógica fuzzy.
No capítulo 5 explicará como funciona o raciocínio fuzzy que é bastante
utilizada em controladores.
No capítulo 6 serão mostrados as variadas aplicações da lógica fuzzy.
E finalmente no capítulo 7 a conclusão do trabalho.

3

2. A ORIGEM DA LÓGICA FUZZY

2.1. Breve histórico da lógica

A ciência lógica foi fundada por Aristóteles (384-322 a.C.), criando a lógica
Aristotélica ou Lógica bivalente clássica (CAMPOS FILHO, 2004), que é
caracterizada por dois princípios que são a lei da lógica da não contradição e a lei do
terceiro excluído.
A lei da lógica da não contradição diz que nenhuma afirmação pode ser
considerada verdadeira e falsa ao mesmo tempo, enquanto a lei do terceiro excluído
diz que uma afirmação tem que ser verdadeira ou falsa.
Em 1847 Boole atribui valores numéricos para as afirmações verdadeiras e
falsas, valor 1 para as afirmações verdadeiras e 0 para as afirmações falsas
(CAMPOS FILHO, 2004). Com isso Boole criou a álgebra booleana, sendo uma
grande contribuição na área da computação.
Porém em 1903, Bartrand Russell mostrou que nem todos os problemas
poderiam ser resolvidos pela lógica bivalente, através do problema conhecido como
“paradoxo de Russell”.
Em torno de 1930, Jan Lukasiewicz (1878 -1956) desenvolveu a lógica
multinível, em contrapartida a lógica Aristotélica, apresentando a lei da contradição
onde uma determinada afirmação pode ser verdadeira ou não, ao mesmo tempo.
Isso se torna possível desde que não apresente apenas dois níveis, verdadeiro e
falso, mas sim um grau de verdade, existindo assim vários níveis (CAMPOS FILHO,
2004).
Em 1965 é publicado o trabalho de Conjuntos Fuzzy, por Lotfi A. Zadeh,
baseado na lógica multinível. Com este trabalho foi possível mostrar de forma
matemática o tratamento dos aspectos imprecisos e ambíguos apresentados na lei
da contradição. E a partir deste trabalho surge a expressão lógica fuzzy.

4

2.2. Lotfi Asker Zadeh

Nasceu no dia 4 de Fevereiro de 1921 na cidade de Baku em Azerbaijão. Ele
é matemático, cientista da computação, e professor em ciência da computação da
Universidade da Califórnia, Berkeley.
Cresceu no Irã e sua primeira língua foi o russo. Estudou no colégio Alborz ,
morou no Iran dos 10 aos 23 anos de idade quando foi estudar na escola
Presbiteriana. Desde cedo Zadeh já se sustentava, possui seu próprio carro e seus
empregados. Em 1942 estudou na Universidade de Tehran e se formou, sendo
bacharel em Engenharia Elétrica.
Em 1944 se mudou para os Estados Unidos através dos contatos com o
Comando do Golfo Pérsico dos Estados Unidos onde, entre 100 pessoas, ele
conseguiu a vaga para imigração para os EUA.
Nos Estados Unidos foi para o Massachusetts Institute of Technology (MIT)
quando em 1946 obtêm o título de mestre em engenharia elétrica, e nessa mesma
época seus pais se mudam do Iran para Nova Iorque, conseqüentemente ele sai do
MIT e vai morar em Nova Iorque para ficar com seus pais. Lá ele se inscreve na
Universidade de Columbia e em 1951 ele consegue seu PhD em engenharia elétrica
(KOSKO, 1994).
Em 1959 ele foi para Univesidade da Califórnia Berkeley, onde em 1963 ele
se torna chefe do departamento de engenharia elétrica. É o maior posto que ele
obteve em sua carreira na engenharia, sendo que 20 anos antes ele recebia ordens
de empregados, e agora ele contrata, inspeciona, promove, e despede alguns dos
melhores engenheiros do mundo.
Antes de lançar seus trabalhos relacionados a lógica fuzzy,segundo Kosko,
Zadeh diz que criou interesse sobre a lógica multinível em 1950 aproximadamente
quando ainda estava na Universidade de Columbia. Em torno de 1956 quando foi
convidado a comparecer ao Instituto de Estudos Avançados de Princeton, Zadeh
encontrou Stephen Kleene na qual liderava sobre os estudos sobre a lógica
multinível nos Estados Unidos. Junto com Kleene, Zadeh aprendeu a lógica formal e
a matemática da lógica multinível. Baseado na lógica multinível juntamente com os
trabalhos publicados até então, em 1965 publicou um trabalho sobre Conjuntos

5

Fuzzy.
Com base na Teoria dos Conjuntos Fuzzy em 1973, Zadeh apresenta sua
teoria da Lógica Fuzzy.

6

3. LÓGICA FUZZY

Segure uma maçã em suas mãos. Isso é uma maçã?
Sim. O objeto em sua mão pertence á um determinado tempo-
espaço que chamamos de conjunto de maçãs – todas as maçãs
sempre em qualquer lugar. Agora morda a maçã, mastigue-a, e
engula-a. Deixe seu trato digestivo pegue uma parte das moléculas
da maçã. O objeto em suas mãos ainda é uma maçã? Sim ou não?
Dê outra mordida. O novo objeto ainda é uma maçã? (KOSKO,
1993, p.4, tradução nossa).

Para ter uma idéia sobre o que é a lógica fuzzy, Kosko apresenta um
exemplo sobre a questão da maçã. Se a resposta da pergunta apresentada por
Kosko é apenas entre sim ou não, isto representa a lógica clássica onde os valores
são apenas representados como verdadeiro ou falso. Porém se a resposta for, por
exemplo, “mais ou menos” ou “quase uma maçã”, são respostas que existe um meio
termo entre ser uma maçã ou não.
Essa é a idéia da lógica fuzzy, não apenas fica restrito entre verdadeiro e
falso, mas sim existem vários níveis entre o verdadeiro e falso. De modo figurativo
enquanto a lógica clássica enxerga apenas o preto e o branco, a lógica fuzzy é
capaz de, além do preto e o branco, enxergar vários tons de cinza, ilustrada na
figura 1.

Figura 1 – Desenho comparativo da lógica clássica da fuzzy.
Um exemplo interessante parar entender a idéia da lógica fuzzy é a
classificação de cestas de maçãs e laranjas (MCNEIL, 1994). De acordo com a
lógica clássica existe apenas a classificação de apenas duas cestas as de maçãs e

7

as de laranjas ilustradas na figura 2:

Figura 2 – Cesta de maçãs e laranjas.

Mas caso existir uma cesta com maçãs e laranjas misturadas ilustrada na
figura 3 como será classificada esta cesta de acordo com a lógica clássica? Ela é
considerada uma cesta de maçãs? Sim ou não?

Figura 3 – Cesta de maçãs e laranjas misturadas.

A lógica fuzzy permitirá a classificação das cestas intermediárias entre a
cesta que possui apenas maçãs e a cesta que possui apenas laranjas. A resposta
para a pergunta anterior, em que a cesta da figura 3 é uma cesta de maçãs, não
estará apenas restrito as respostas de Sim ou Não, existirão, também, respostas
como “Quase”, “Mais ou menos”, “um pouco” que pode ser verificada na figura 4:

8

Figura 4 – Respostas da lógica fuzzy.
A fundamentação matemática da lógica fuzzy se encontra na teoria dos
conjuntos fuzzy, que através dela deu se o surgimento da lógica fuzzy que será

9

apresentada no próximo capítulo.

10

4. TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY

A Lógica Fuzzy é baseada na teoria dos Conjuntos Fuzzy. A teoria dos
Conjuntos Fuzzy diz que dado um determinado elemento que pertence a um
domínio, é verificado o grau de pertinência do elemento em relação ao conjunto. O
grau de pertinência é a referência para verificar o quanto “é possível” esse elemento
poder pertencer ao conjunto. O grau é calculado através de uma determinada função
que retorna geralmente um valor real que varia entre 0 à 1, sendo que 0 indica que
não pertence ao conjunto, e 1 pertence.
Diferentemente da teoria clássica, em que os conjuntos são chamados de
“crisp”, o grau de pertinência é binário, ou seja, pertence ou não pertence no
conjunto. Como exemplo existirá três conjuntos para verificar a classificação a altura
de um homem adulto, que são “baixo”, “médio” e “alto”.

Tabela 1 – Tabela de pertinência para os conjuntos clássicos.
Baixo Médio Alto
1,50m 1 0 0
1,60m 1 0 0
1,70m 0 1 0
1,80m 0 1 0
1,90m 0 0 1
2,00m 0 0 1

Tabela 2 – Tabela de pertinência para os conjuntos fuzzy.
Baixo Médio Alto
1.50m 1 0 0
1,60m 0.6 0.3 0
1,70m 0.1 1 0
1,80m 0 0.3 0.5
1,90m 0 0 1
2,00m 0 0 1

11

Figura 5– Gráfico representando os conjuntos clássicos.

Figura 6– Gráfico representando os conjuntos fuzzy.

Percebe-se que o conceito da lógica fuzzy se encontra na teoria dos
conjuntos fuzzy, como também da lógica tradicional se encontra na teoria dos
conjuntos clássicos. Enquanto nos conjuntos clássicos apenas classifica o preto ou
branco (verdadeiro ou falso) os conjuntos fuzzy permite a classificação em vários
tons de cinza além do preto e branco, como segue a figura 7:

12

Figura 7- Comparação do conjunto clássico da fuzzy.

4.1. Operações de Conjuntos Fuzzy

Para exemplificar as operações serão utilizadas os seguintes dois conjuntos
Baixo e Médio no universo X, apresentado na figura 8.

Figura 8 – Gráfico representando dois conjuntos fuzzy.
Para um elemento x dentro do universo será mostrado as seguintes
operações

13

4.1.1. Interseção de conjuntos fuzzy

A interseção de dois conjuntos resultará em um conjunto fuzzy cuja sua
pertinência será a mínima da pertinência dos conjuntos em questão, representada
na equação 1:
µ = min( µB , µM );
(1)
Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) }
Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }
Baixo ∩ Médio = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0),(1.9, 0) ,(2, 0) }

Figura 9 – Gráfico resultante da intersecção

4.1.2. União de conjuntos fuzzy

A união de dois conjuntos resultará em um conjunto fuzzy cuja sua
pertinência será máximo das pertinências dos conjuntos em questão, representada
na equação 2:

14

µ = max( µB , µM );
(2)
Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) }
Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }
Baixo U Médio = { (1.5, 1) ,(1.6, 0.6) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }

Figura 10 – Gráfico resultante da união

4.1.3.Complemento de um conjunto fuzzy

O complemento de um conjunto fuzzy Baixo, por exemplo, resultará em um
conjunto cuja a pertinência é a subtração de 1 pela pertinência do conjunto Baixo,
representado na equação 3:
µ = 1- µB ;
(3)
Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) }
Baixo´(X)= { (1.5, 0) ,(1.6, 0.4) ,(1.7, 0.9) ,(1.8, 1),(1.9, 1) ,(2, 1) }

15

Figura 11 – Gráfico resultante do complemento

4.1.4. Produto algébrico

O valor da pertinência de um dado x, será a multiplicação das pertinências
dos conjuntos em questão, que esta representado na equação 4:
Tpa (Baixo,Médio) = µB * µM
(4)

Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) }
Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }
Tpa(Baixo,Médio) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.18) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0),(1.9, 0) ,(2, 0) }

4.1.5. Produto limitado

O valor da pertinência de um dado x, será a soma das pertinências dos
conjuntos em questão, mas caso a soma das pertinências forem maiores que 1, o

16

valor da pertinência de x será 1, que esta representado na equação 5:

Tpl (Baixo,Médio) = µB + µM;

Se µB + µM > 1 então Tpl (Baixo,Médio) = 1;
(5)

Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) }
Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }
Tpl(Baixo,Médio) = { (1.5, 1) ,(1.6, 0.9) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }

4.1.6. Produto drástico

O valor da pertinência de um dado x terá o valor pela seguinte regra:
Tpl (Baixo,Médio) = µB se µM =1;
Tpl (Baixo,Médio) = µM se µB =1;
Tpl (Baixo,Médio) = 0 se µB < 1 e µM <1;
(6)

Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) }
Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }
Tpl(Baixo,Médio) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0),(1.9, 0) ,(2, 0) }

4.1.7. Soma algébrica

O valor da pertinência de um dado x, será a soma das pertinências e a
subtração de seu produto dos conjuntos em questão, que esta representado na
equação 7:

17

Ssa (Baixo, Médio) = ( µB + µM ) - ( µB * µM );
(7)

Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) }
Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }
Ssa(Baixo,Médio) = { (1.5, 1) ,(1.6, 0.72) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }

4.1.8. Soma limitada

O valor da pertinência de um dado x, será o mínimo do universo que varia
entre 1 e a soma das pertinências dos conjuntos em questão, que esta representado
na equação 8:
Ssl (Baixo, Médio) = min(1, ( µB + µM ) );
(8)

Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) }
Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }
Ssl(Baixo,Médio) = { (1.5, 1) ,(1.6, 0.9) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }

4.1.9. Concentração de um conjunto fuzzy

A concentração de um conjunto fuzzy resultará em um conjunto cuja a
pertinência é a pertinência ao quadrado, que esta representado na equação 9:
µ = µ 𝐵2 ;
(9)

Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) }
Baixo^2(X)= { (1.5, 1) ,(1.6, 0.36) ,(1.7, 0.01) ,(1.8, 0),(1.9, 0) ,(2, 0) }

18

4.1.10 Dilatação de um conjunto fuzzy

A concentração de um conjunto fuzzy resultará em um conjunto cuja a
pertinência é a raiz quadrada da pertinência, que esta representado na equação 10:

µ=µ 𝐵
(10)

Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) }
Baixo^2(X)= { (1.5, 1) ,(1.6, 0.77) ,(1.7, 0.31) ,(1.8, 0),(1.9, 0) ,(2, 0) }

4.2 Relações Fuzzy

É uma generalização das relações de conjuntos clássicos (crisps), que é
uma maneira de representar as associações, interações e interconexões entre os
elementos de dois conjuntos. A diferença entre a relação do conjunto clássico da
relação do conjunto fuzzy, esta no grau de associação. A relação clássico fica entre
0 e 1 enquanto a relação fuzzy varia de 0 à 1. O principal tipos de operações das
relações fuzzy.

4.2.1. Operações básicas de relações fuzzy

Intersecção

Sendo dois conjuntos A e B, o produto entre eles é representado da seguinte
forma:
R = { ( (x,y), µ(x,y) ) | (x,y) E A x B e µ(x,y) E [0,1] ) }
Sendo que a pertinência da relação representado por µR(x,y) tem o seguinte
resultado, que é o mínimo entre as pertinência dos conjuntos em questão, que esta

19

representado na equação 11:
µR(x,y) = min[ µA(x), µB(y) ];
(11)

Segue um exemplo:
x = { 1,2,3 } e y= { 5,6,7 }
A = ( (1, 0.4) ; (2, 0.1) ; (3, 1) ) e B = ( (5, 0.6) ; (6, 0) ; (7, 0.8) )
R = ( ((1,5), 0.4) ; ((2,5), 0.1) ; ((3,5), 0.6) ; ((1,6), 0) ; ((2,6), 0) ; ((3,6), 0) ;
((1,7), 0.4) ; ((2,7), 0.1) ; ((3,7), 0.8) )
Resultando a tabela 3:
Tabela 3 – Resultado da relação do conjunto A com B, intersecção
AxB 5 6 7
1 0.4 0 0.4
2 0.1 0 0.1
3 0.6 0 0.8

Uniâo

Utilizando os mesmos conjuntos A e B, e sendo que o universo de A é x, e
de B é y. O resultado da relação é o máximo entre as pertinências dos conjuntos A e
B.
µR(x,y) = max[ µA(x), µB(y) ];
(12)

x = { 1,2,3 } e y= { 5,6,7 }
A = ( (1, 0.4) ; (2, 0.1) ; (3, 1) ) e B = ( (5, 0.6) ; (6, 0) ; (7, 0.8) )
R = ( ((1,5), 0.6) ; ((2,5), 0.6) ; ((3,5), 1) ; ((1,6), 0.4) ; ((2,6), 0.1) ; ((3,6), 1) ;
((1,7), 0.8) ; ((2,7), 0.8) ; ((3,7), 1) )
Resultando a tabela 4:

20

Tabela 4 - Resultado da relação do conjunto A com B, união
AxB 5 6 7
1 0.6 0.4 0.8
2 0.6 0.1 0.8
3 1 1 1

Projeção

Quando se deseja obter uma relação com uma dimensão menor é utilizado a
projeção. Por exemplo, quando se tem uma relação de duas dimensões, obtêm-se
duas projeções de uma dimensão.
Utilizando a relação anterior de união, será obtido duas projeções. A primeira
é obtida da seguinte maneira:

µR1(x,y) = max [ µR(x,y) ], com y variando de 5 à 7, mantendo o x fixo.

Ou seja, irá escolher o Maximo da primeira linha da tabela. Pode ser
representado pela equação 13:

µR1(x,y) = 𝑦 [ µR x, y ]
(13)

Enquanto a segunda projeção é pela seguinte formula:

µR2(x,y) = 𝑥 [ µR x, y ]

Então a primeira projeção terá os seguintes valores de pertinência:
R1 = ( (1, 0.8) ; (2, 0.8) ; (3, 1) )
E a segunda terá os seguintes valores:
R2 = ( (5, 1) ; (6, 1) ; (7, 1) )

21

4.2.2. Composição de relações fuzzy

A composição de relações fuzzy é a parte mais importante deste capitulo.
Através dela que muitos sistemas de controle fuzzy, utilizam para realizar a
inferência. A composição trabalha com duas relações, supondo que uma relação é
de X x Y e a outra é Y x Z, a composição permite formar uma nova relação do tipo X
x Z Porém existem várias versões de composição que serão mostradas a seguir.

Composição Max-min

Como o próprio nome diz, ele irá utilizar o máximo ( v ) e o mínimo ( ^ ).
Supondo duas relações fuzzy R1(x,y) e R2(y,z), e deseja-se encontrar a R3(x,z). A
composição de R1 com R2 são representadas por R1 R2, tendo a fórmula 14:

µR1 R2(x,z) = 𝑦 [ µR1 x, y ^µR2 y, z ]
(14)

Ele é semelhante ao processo de multiplicação de duas matrizes, como
veremos nesse exemplo. R1 e R2 terão as seguintes matrizes de representação das
pertinências de suas relações de X x Y e Y x Z respectivamente.
1 0.4 0 0.8 0.9 1
R1 = 0.5 0.7 0.9 e R2 = 0.6 0.3 0.8
0.2 1 0.4 0.1 0.2 0.4

1 0.4 0 0.8 0.9 1
R1 R2 = 0.5 0.7 0.9 ° 0.6 0.3 0.8
0.2 1 0.4 0.1 0.2 0.4
Com a primeira de linha de R1 com a primeira coluna de R2 temos a seguinte
cálculo:
0.8
1 0.4 0 ° 0.6 = [1 ^ 0.8] v [0.4 ^ 0.6] v [0 ^ 0.1]
0.1
= 0.8 v 0.4 v 0
= 0.8

22

Percebe-se que o processo é semelhante a uma multiplicação de matrizes,
onde a soma é representado por ( v ) e a multiplicação representado por ( ^ ).
Realizando a composição completa obtém a seguinte matriz:
0.8 0.9 1
R1 R2 = 0.6 0.5 0.8
0.6 0.3 0.8

Composição Max-Produto

Pelo nome este processo de composição irá usar o máximo e a
multiplicação. Tendo a fórmula 15:
µR1 R2(x,z) = 𝑦 [ µR1 x, y ∙ µR2 y, z ]
(15)

Utilizando os mesmo dados do exemplo tem-se a resolução:
1 0.4 0 0.8 0.9 1
R1 R2 = 0.5 0.7 0.9 ∙ 0.6 0.3 0.8
0.2 1 0.4 0.1 0.2 0.4
A primeira linha de R1 e primeira linha de R2.
0.8
1 0.4 0 ∙ 0.6 = [1 ∙ 0.8] v [0.4 ∙ 0.6] v [0 ∙ 0.1]
0.1
= 0.8 v 0.24 v 0
= 0.8
Realizando todo processo temos:
0.8 0.9 1
R1 ∙ R2 = 0.42 0.45 0.56
0.6 0.3 0.8

Composição Max-média

Em relação ao processo de composição anterior, este utiliza a soma ao
invés da multiplicação. Porém o grau de pertinência pode alcançar valores maiores
que 1, portanto é dividido por 2. Assim temos a equação 16:
µR1<+>R2(x,z) = 𝑦 [ 1/2( µR1 x, y + µR2 y, z )]
(16)

23

Utilizando os mesmo dados do exemplo tem-se a resolução:
1 0.4 0 0.8 0.9 1
R1 <+>R2 = 0.5 0.7 0.9 < +> 0.6 0.3 0.8
0.2 1 0.4 0.1 0.2 0.4
A primeira linha de R1 e primeira linha de R2.
= 1/2( [1 + 0.8] v [0.4 + 0.6] v [0 + 0.1] )
= 1/2(1.8 v 1 v 0.1)
= 0.9
Realizando todo processo temos:
0.9 0.95 1
R1<+>R2 = 0.65 0.7 0.75
0.8 0.65 0.9

4.4. Funções de Pertinência

Cada conjunto fuzzy é caracterizado pela sua função de pertinência,
geralmente são representados por µ(x). É através delas que serão determinadas o
quanto um determinado elemento pertence ao conjunto (ZIMMERMAN, 1991). De
acordo com sua aplicação ou a maneira de representar em um determinado contexto
existem diferentes tipos de funções de pertinência.
A função de pertinência que irá representar um conjunto de números fuzzy
deve respeitar algumas condições. Função terá que ser normal e convexa.
Um conjunto fuzzy dita como normal é quando sua função de pertinência
permite classificar um determinado dado em pertencer totalmente ao conjunto.
Quanto ao conjunto fuzzy convexo é quando sua função de pertinência não tenha
mais o “crescimento e decrescimento” dos valores resultantes ao longo do universo
dado (TSOUKALAS, 1997). A figura 12 ilustra as características das funções de
pertinência:

24

Figura 12 – Condição da função de pertinência
A seguir serão mostrados os tipos de funções de pertinência utilizados na
lógica fuzzy.

4.3.1. Triangular

É representada pelo modelo de função 17:

µtri(x; a, b, c) = max ( min ( x-a/b-a, c-x/c-b ), 0 ), para a < b < c.
(17)

25

Figura 13 – Gráfico da função triangular
Na figura 13 mostra um gráfico de uma função triangular cujo os valores de
a, b e c são respectivamente 2, 4, e 6.

4.3.2. Trapezoidal

É representado pela função 18:

µtrap(x; a, b, c, d) = max ( min ( x-a/b-a, 1, d-x/d-c ), 0 ), para a < b < c < d.
(18)

26

Figura 14 – Gráfico da função trapezoidal

Na figura 14 mostra um gráfico de uma função trapezoidal cujo os valores de
a, b, c e d são respectivamente 1, 2, 5 e 6.

4.3.3. Gaussiana


µgauss(x; a, b, c) =
(19)

27

Figura 15 – Gráfico da função Gaussiana

4.3.4. Cauchy


µcauchy(x; a, b, c) = 1 / ( (1 + | (x-c)/a |)^(2b) ), para b > 0.
(20)

Figura 16 – Gráfico da função Cauchy

28

Na figura 16 mostra um gráfico de uma função Cauchy cujos valores de a, b
e c são respectivamente 2, 8 e 4.

4.3.5. Sigmóide

µsigmóide(x; [a,b]) = 1 / ( 1+ exp( -a*(x-b) ) )
(21)

Figura 17 – Gráfico da função Sigmóide

Na figura 17 mostra um gráfico de uma função Sigmóide cujos valores de a e
b são 4.

29

5. RACIOCÍNIO FUZZY

O raciocínio fuzzy é composto de por três etapas que são a fuzzificação, a
inferência e a defuzzificação. Estas três etapas fecham um ciclo que permitem a
resolução de muitos problemas e que são bastante utilizados em sistemas de
controle.
Para melhor compreensão de todas as etapas do processo, tem o seguinte
exemplo. Supondo que se deseja desenvolver um programa para o controle de
obesidade de uma pessoa adulta utilizando a lógica fuzzy. O objetivo desse
programa será retornar o peso ideal ou saudável, de acordo com os dados pelo
usuário. A figura 18 ilustra o esquema do raciocínio, mostrando como as três etapas
se relacionam.

Figura 18 – Esquema do raciocínio fuzzy

5.1. Fuzzificação

A primeira etapa é a fuzzificação. Consiste em transforma um dado numérico
em um termo em linguagem natural. No dia-a-dia a fuzzificação se encontra

30

presente de certa maneira, no momento que um professor diz que um aluno teve
uma nota “ótima” por ter tirado uma nota 9.5, ou uma mulher diz que esta “gorda” por
possuir um peso de 60kg, são fuzzificações realizadas tanto pelo professor e pela
mulher. Para uma máquina fuzzificar um determinado dado numérico, são utilizadas
as funções de pertinência para verificar o quanto esse dado pertence a uma
determinada classificação (conjunto fuzzy).
Voltando ao programa de controle de obesidade, para simplificar, terão
apenas dois dados de entrada, o peso e a altura do usuário.
O peso e a altura são chamados de variáveis fuzzy. As variável fuzzy são
atribuídos os conjuntos fuzzy, como “muito”, “pouco”, “alto” ou “”baixo”, estes tipos
de atribuição são chamados de valores fuzzy.
Então com as variáveis fuzzy determinadas, precisa-se determinar os
valores fuzzy possíveis para estas variáveis. No caso para a variável fuzzy “peso”,
terá três valores fuzzy que são “leve”, “médio” e “pesado”. Enquanto a variável fuzzy
“altura”, terá “baixo”, “mediano” e “alto”.
Para cada valor fuzzy, terá uma função de pertinência para que seja possível
o mapeamento dos dados de entrada, que são valores numéricos, para os valores
fuzzy. Nesse caso serão utilizadas as funções triangulares e trapezoidais pela sua
simplicidade e fácil compreensão. Segue as funções de pertinência dos valores
fuzzy de “peso” nas equações em 22, e na figura 19 ilustra um gráfico com o
comportamento das funções em 22:

µtri(x; a, b, c) = max ( min ( x-a/b-a, c-x/c-b ), 0 ),
µLeve(x) = max ( min ( x-40/50-40, 60-x/60-50 ), 0 ),
µMédio(x) = max ( min ( x-50/70-50, 80-x/80-70 ), 0 ),
µPesado(x) = max ( min ( x-70/90-70, 110-x/110-90 ), 0 ),
(22)

31

Figura 19 – Gráfico das funções de pertinência de “peso”

Agora as funções dos valores de altura da equação 23, e na figura 20 o
gráfico ilustrando o comportamento da equação 23:

µBaixo(x) = max ( min ( x-1.40/1.50-1.40, 1.70-x/1.70-1.50 ), 0 ),
µMediano(x) = max ( min ( x-1.60/1.70-1.60, 1.90-x/1.90-1.70 ), 0 ),
µAlto(x) = max ( min ( x-1.80/21.90-1.80, 2.0-x/2.0-1.90 ), 0 ),
(23)

Figura 20 – Gráfico das funções de pertinência de “altura”

32

Supondo que o usuário apresente o seguinte dado de entrada, o peso igual
a 55kg e uma altura de 1.75m. A partir destes dois dados serão calculados os graus
de pertinência tendo o seguinte resultado na equação 24 e 25:

µLeve(55) = max ( min ( 55-40/50-40, 60-55/60-50 ), 0 ) = 0.5
µMédio(55) = max ( min ( 55-50/70-50, 80-55/80-70 ), 0 ) = 0.25
µPesado(55) = max ( min ( 55-70/90-70, 110-55/110-90 ), 0 ) = 0
(24)

Na figura 21 esboça o resultado das pertinências resultantes da variável
“peso”.

Figura 21 - Gráfico do cálculo da pertinência em “peso”

µBaixo(1.75) = max ( min ( 1.75-1.40/1.50-1.40, 1.70-1.75/1.70-1.50 ), 0 ) = 0
µMediano(1.75) = max ( min (1.75-1.60/1.70-1.60, 1.90-1.75/1.90-1.70 ), 0 ) = 0.75
µAlto(1.75) = max ( min (1.75-1.80/21.90-1.80, 2.0-1.75/2.0-1.90 ), 0 ) = 0
(25)

Já na figura 22 esboça o resultado das pertinências resultantes da variável
“altura”.

33

Figura 22 - Gráfico do cálculo da pertinência em “altura”

O após o cálculo da pertinência verifica-se três valores fuzzy, “leve” com
grau de pertinência de 0.5, “médio” com 0.25, que são valores da variável “peso”, e
“mediano” com 0.75 da variável “altura”. Estes valores são os resultados obtidos da
fuzzificação que agora serão tratados na próxima etapa que é a inferência.

5.2. Inferência

A inferência é a etapa importante do raciocínio fuzzy, é através dela que é
feita a tomada de decisão. Após a fuzzificação, onde são determinados os graus de
pertinência de cada conjunto, com os dados resultantes são realizadas as regras do
tipo Se-Então, mapeando para os novos conjuntos, como por exemplo, se a mulher
esta “gorda”, então tem que “praticar exercícios”. Como o objetivo é emagrecer,
então foi realizada uma inferência para determinar a ação a ser realizada para a
determinada situação que foi “praticar exercícios”.

Para a realização da inferência fuzzy, existem dois procedimentos de
inferência, o Modus Ponens Generalizado (MPG) e o Modus Tollens Generalizado

34

(MTG).
O MPG tem a seguinte regra:

Se x é A Então y é B
x é A‟_________
y é B‟

Através desta regra permite a implicação de valores fuzzy que são no caso o
A‟ e B‟. Ao contrário do Modus Ponens, que é a forma clássica de implicação, a
regra só é válida quando é A e B apenas, não existindo valores intermediários que
são no caso de A‟ e B‟.
Já o MTG tem a seguinte regra:

Se x é A Então y é B
y é B‟
x é A‟

Tem a mesma idéia do MPG quanto a implicação de valores parciais, porém
é uma implicação que permite encontrar o antecedente, contrário do MPG que
encontra o procedente.
A primeira etapa da inferência é obter uma função de pertinência de B‟, para
as regras disparadas do tipo se-então, através da formula 26:

µB‟(y) = 𝒙 [ 𝝁𝑨´ 𝒙 ^𝝁(𝒙, 𝒚)]
(26)

Percebe-se que foi utilizado a composição max-min para encontrar a função
de pertinência de B‟, enquanto a função” µ(x,y)” é a função de pertinência da
relação de implicação .
Uma relação de implicação é uma regra do tipo se-então. Para determinar
uma relação deve-se determinar o tipo de operação de implicação fuzzy. As
operações de implicação fuzzy recebem como entrada os valores de entrada (µA(x))
recebidas da fuzzificação, e os valores de saída (µB(x)) contidas na inferência, e o
resultado da operação é o dado de saída da relação de implicação.

35

Existem vários tipos de operadores de implicação como aritmético,
Booleano, drástico entre outros. Na tabela 5 mostra as principais operações de
implicação:

Tabela 5 – Operações de implicação
Nome Operações de Implicação Interpretação de
Φ [ µA(x) , µB(y) ] = SENÃO
Φm, Zadeh Max-Min max( min( µA(x) , µB(y) ), (1- µA(x) ) ) And
Φc, Mandami min min( µA(x) , µB(y) ) Or
Φp, Produto Larsen µA(x) * µB(y) Or
Φa, Aritmético min( 1, (1- µA(x) + µB(y)) ) And
Φb, Booleano max( (1- µA(x)) , µB(y) ) And
Φbp, Produto Saltado max( 0, (µA(x) + µB(y) -1) ) Or
Φdp, Produto Drástico µA(x), se µB(y) = 1 Or
µB(x), se µA(y) = 1
0, se µA(y)<1, µB(y)<1
Φs, Seqüência Padrão 1, se µA(x) ≤ µB(y) And
0, se µA(x) > µB(y)
ΦΔ, Gougen 1, se µA(x) ≤ µB(y) And
µB(y)/ µA(x), se µA(x) > µB(y)
Φg, Gödelian 1, se µA(x) ≤ µB(y) And
µB(y), se µA(x) > µB(y)
Fonte: Fuzzy and Neural Approaches in Engineering

Voltando ao programa para o controle de peso, para exemplificar, será
necessário determinar uma variável fuzzy, que será “estado” e escolher os valores
fuzzy de ação, que serão três valores, “palito”, “magro”, “normal”, “gordo” e
“elefante”, que também terão suas funções de pertinência ilustrada na figura 23 :

36

Figura 23 - Gráfico da pertinência da saída de inferência

Através destes valores, e dos valores determinadas na fuzzificação terá o
seguinte conjunto de regras do tipo se-então:

1. SE peso é leve E altura é baixo ENTÃO condição é normal SENÃO;
2. SE peso é leve E altura é mediano ENTÃO condição é magro SENÃO;
3. SE peso é leve E altura é alto ENTÃO condição é palito SENÃO;
4. SE peso é médio E altura é baixo ENTÃO condição é gordo SENÃO;
5. SE peso é médio E altura é mediano ENTÃO condição é normal SENÃO;
6. SE peso é médio E altura é alto ENTÃO condição é magro SENÃO;
7. SE peso é pesado E altura é baixo ENTÃO condição é elefante SENÃO;
8. SE peso é pesado E altura é mediano ENTÃO condição é gordo SENÃO;
9. SE peso é pesado E altura é alto ENTÃO condição é normal;

Determinada a estrutura da inferência, inicia-se então o processo de
inferência.
Pelos dados recebidos da fuzzificação representados na tabela 6, serão
disparadas as regras 2 e 5.

37

Tabela 6 – Resultado da fuzzificação
Peso Altura
“leve”, µLeve(55) = 0.5 “mediano”, µMediano(1.75) = 0.75
“médio”, µMedio(55) = 0.25

Então primeiramente analisa-se a regra 2.
O ”peso”, “altura” e “estado” são o x, h e y respectivamente, enquanto “leve”,
“mediano” e “magro” são A1, A2 e B respectivamente. Os valores apresentados pela
fuzzificação com seus graus de pertinência são o A‟1 para representar o “leve” com
os graus de pertinência 0.5, e o A‟2 representa o “mediano” com grau de pertinência
0.75. Enquanto ao B‟ representa o “magro”, porém não se sabe quanto será sua
pertinência. Com isso resulta na seguinte regra MPG:
Se x é A1 E h é A2 Então y é B
x é A‟1 E h é A‟2_________
y é B‟

O “E” (and) em questão é representado como mínimo, e o “OU” (or) é o
máximo. Como o A1 tem grau de pertinência 0.5 e A2 tem 0.75, então será
escolhido o A1 com grau de pertinência de 0.5.
Não será possível encontrar exatamente o valor da pertinência de B‟, porém
será possível encontrar uma função de pertinência baseada na função de
pertinência de B.
Será utilizado a formula 26, mas antes terá que definir qual operação de
implicação para determinar a função da relação de implicação. Será utilizado a
operação de Mandami min para exemplificar, tendo a formula:
µ(x,y) = Φc [ µA(x) , µB(y) ]
= min( µA(x) , µB(y) )
(27)
Então temos os conjunto de A1, A‟1 e B apenas destacando alguns pontos
onde a pertinência é diferente de zero para simplificar a matriz que será feita.
A1 = ( (45, 0.5) ; (50, 1) ; (55, 0.5) )
Esboçando o gráfico da figura 24:

38

Figura 24 – Elementos do conjunto A1

A‟1 = ( (55, 1) )

Figura 25 – Elemento do conjunto A’1

B = ( (5, 0.5) ; (10, 1) )

39

Figura 26 – Elementos do conjunto B

Resulta na seguinte relação R:
R = ( ( (45, 5), 0.5) ; ( (45, 10), 0.5) ; ( (50, 5), 0.5); ( (50, 10), 1); ( (55, 5),
0.5); ((55, 10), 0.5) )
Resultando na seguinte matriz de relações R:
𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟓
R = 𝟎. 𝟓 𝟏
𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟓
A partir destes dados pode se encontrar B‟ da formula abaixo:
B’(y) = A’1(x) R(x,y)

𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟓
= 𝟎 𝟎 𝟏 ° 𝟎. 𝟓 𝟏
𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟓
= 𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟓
Resultando o gráfico de B‟ na figura 27:

40

Figura 27 – Composição dos conjuntos de A’ e R(regra 2)

Como a regra 5 foi disparada também, deve se fazer os mesmo processo,
que estará simplificado no gráfico da figura 28:

Figura 28 – Processo simplificado da inferência (regra 5)

Como foi usado a operação de implicação Mamdami min, saída da inferência
vai ser a união (or) dos conjuntos B‟ adquiridas pela regras disparadas (2 e 5).
Obtendo gráfico da figura 29:

41

Figura 29 – Resultado da inferência
E assim possuindo a seguinte função de pertinência na equação 28:
𝝁𝒔𝒂𝒊𝒅𝒂 𝒖 = 𝝁𝒎𝒂𝒈𝒓𝒐′ 𝒖 𝐯 𝛍𝐧𝐨𝐫𝐦𝐚𝐥′ (𝐮)
(28)

5.3. Defuzzificação

É o contrário da fuzzificação, ao invés de transformar um dado quantitativo
em um termo nebuloso, ele transforma o dado nebuloso em dado quantitativo.
Quando um aluno recebe a noticia do professor que sua nota foi “ótima”, logo o
aluno percebe que sua nota foi 9 ou maior. A defuzzificação tem um impacto
significante no desempenho no controlador fuzzy. Por tanto existem diversos
métodos para a defuzzificação, mas o importante é escolher o método que melhor
se adequar ao problema.
Serão mostrados 3 principais métodos de defuzzificação, para mostrar como
serão utilizados os métodos, serão definidos alguns parâmetros de entrada para as
fórmulas que serão apresentadas para cada método, e usando o programa de
controle de peso.
Como visto na formula 28 adquirida pela inferência terão o seguinte universo
de pontos, u = [ -4 ; -2 ; 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ], claro que quanto mais pontos
melhor a qualidade da defuzzificação, serão utilizados poucos para facilitar a

42

compreensão.

5.3.1 Método Centróide

É um dos métodos mais utilizados na defuzzificação. Este método encontra
o centro geométrico dos valores de saída fuzzy. Segue a formula 29:

n
i=1 𝒖 𝐢 *μsaida(𝒖 𝐢 )
u*= n
i=1 μsaida(𝒖 𝐢 )

(29)

Agora utilizando a formula para defuzzificar e os dados obtidos pela
inferência do programa de controle de peso ficará da seguinte maneira pela equação
30:

−𝟒∗𝟎.𝟐 + −𝟐∗𝟎.𝟐𝟓+𝟎∗𝟎.𝟐𝟓+𝟐∗𝟎.𝟐𝟓+𝟒∗𝟎.𝟒+𝟔∗𝟎.𝟓+𝟖∗𝟎.𝟓+𝟏𝟎∗𝟎.𝟓+𝟏𝟐∗𝟎.𝟓+𝟏𝟒∗𝟎.𝟐
u* =
𝟎.𝟐+𝟎.𝟐𝟓+𝟎.𝟐𝟓+𝟎.𝟐𝟓+𝟎.𝟒+𝟎.𝟓+𝟎.𝟓+𝟎.𝟓+𝟎.𝟓+𝟎.𝟐
= 6.0845
(30)

O resultado da defuzzificação foi 6.0845, então o programa finalmente vai
retornar ao usuário e recomendar que ele engorde cerca de 6kg.

5.3.2 Método Centro das Somas

È uma variação do método centróide, é um método caracterizado por conta
trechos de intersecção mais de uma vez, diferente do método centróide conta
apenas uma vez. Segue a fórmula 31:

43

N 𝒏
i=1 𝒖 𝐢 * 𝒌=𝟏 𝝁𝑩′ 𝐤 (𝒖 𝐢 )
u* = N 𝒏
i=1 𝒌=𝟏 𝝁𝑩′ 𝐤 (𝒖 𝐢 )

(31)

Agora utilizando os dados obtidos pela inferência do programa de controle
de peso terá os cálculos representado na equação 32:

−𝟒∗ 𝟎+𝟎.𝟐 + −𝟐∗ 𝟎+𝟎.𝟐𝟓 + 𝟎∗ 𝟎+𝟎.𝟐𝟓 + … +𝟏𝟒∗(𝟎.𝟐+𝟎)
u* =
𝟎+𝟎.𝟐 + 𝟎+𝟎.𝟐𝟓 + 𝟎+𝟎.𝟐𝟓 + … +(𝟎.𝟐+𝟎)

= 6.162
(32)

O resultado da defuzzificação foi 6.162, então o programa vai retornar ao
usuário e recomendar que ele engorde cerca de 6kg também.

5.3.3Método da Média dos Máximos

É o método que busca retornar o ponto que possui o maior grau de
pertinência, porém no universo existe mais de um ponto com grau de pertinência
máxima. Ao invés de pegar um ponto aleatório realiza-se uma média entre eles. Têm
a formula 33:
𝑴 𝒖𝒎
u* = 𝒎=𝟏 𝑴

(33)

Agora utilizando os dados obtidos pela inferência do programa de controle de
peso terá os cálculos representado na equação 34:

𝟔+𝟖+𝟏𝟎+𝟏𝟐
u* =
𝟒
=9
(34)

44

O resultado da defuzzificação foi 9, então o programa vai retornar ao usuário
e recomendar que ele engorde cerca de 9kg, já este método teve um valor bem
maior que os métodos anteriores porém, o interessante deste método é sua
simplicidade.

45

6. APLICAÇÕES DA LÓGICA FUZZY

Apesar de a lógica fuzzy ter sido criado nos Estados Unidos, o país que
começou utilizar esta tecnologia de forma massiva foi o Japão a partir dos anos
oitenta. Abaixo segue uma tabela com a lista de produtos do Japão e da Coréia do
Sul de 1992:

Tabela 7 – Aplicações da lógica fuzzy
Produto Companhia Função da lógica fuzzy
Ar condicionados Hitachi Previne a grande variação da
Matsushita temperatura ao ser regulada e
Mitsubishi consume menos energia.
Sharp
Freios anti-trava Nissan Controle dos freios em casos de
perigo, baseado na velocidade e da
aceleração do carro e da roda.
Motor de carro NOK/Nissan Controle da injeção do combustível e
da ignição, através do controle do
qunatidade de oxigênio, resfriamento
da água, RPM, volume do
combustível, ângulo da manivela,
ruído, pressão dos tubos.
Transmissão do Honda, Muda de marcha de acordo com a
carro Nissan, aceleração do motor, estilo de dirigir,
Subaru e condições da rua.
Misturador de Fuji Eletric Misturas químicas baseadas nas
produtos químicos condições da plantas.
Máquina copiadora Canon Ajusta a voltagem do tambor de
acordo com a densidade da imagem,
temperatura e umidade.

46

Produto Companhia Função da lógica fuzzy
Controle de Isuzu, Baseado na velocidade e aceleração
navegação Nissan, do carro é ajustado o controle da
Mitsubishi velocidade.
Lavador de pratos Matsushita Ajusta o ciclo de lavagem, o enxágüe
e estratégias de lavagem de acordo
com os números de pratos, e pelos
tipos e quantidades de comida
incrustadas nos pratos.
Secador Matsushita Converte o tamanho da carga, e o
tipo de tecido, e circula o ar quente
para secar estrategicamente.
Controle do elevador Fujitec, Reduz o tempo de espera dos
Mitsubishi Eletric, usuários baseado no tráfico de
Toshiba passageiros.
Controle de Omron Listas de tarefas e estratégias das
fabricação linhas de montagens.
Sistema de Maruman Golf Escolha do clube de golfe baseada
diagnostico de Golf no físico e tacada dos jogadores.
Administração de Omron Mais de 500 regras fuzzy e avalia a
saúde saúde e o bom estado do
empregado.
Umidificador Casio Ajusta a umidade contida de
acordo com as condições da sala.
Controle de moinho Nippon Steel Combina as entradas de conjuntos
de ferro de tempo e temperatura.
Controle de forno Mitsubishi Chemical Mistura de cimento.
Forno microondas Hitachi, Configura e ajusta a força e a
Sanyo, estratégia de cozinhar.
Sharp,
Toshiba
Fonte: Fuzzy Thinking, The new science of fuzzy logic.

47

Percebe-se que existem várias aplicações da lógica fuzzy executam a
função de controle, configuração, ajuste, e combinações de variáveis. E os grandes
benefícios da maioria dos produtos apresentados são da economia de energia, e
melhor controle e configuração dos equipamentos. Esta tecnologia pode ser aplicada
em muitas áreas para os mais variados propósitos.
W. J. Parkinson and K.H. Duerre, projetaram um sistema fuzzy determinar a
melhor técnica para a recuperação de óleo do chão de forma otimizada. O objetivo é
extrair aproximadamente dois terços do óleo que não pode ser extraído pelas
tecnologias atuais.
Shigeru Kageyama e colegas desenvolveram um método fuzzy experimental
que otimiza o tempo e a quantidade de insulina que o paciente diabético irá receber
através da bomba de insulina.
Hiroyuki Okada desenvolveu um sistema fuzzy que permite a classificação
de título para investimento, verificando se o mesmo é seguro ou não. Ao mesmo
tempo o sistema utiliza redes neurais para a adaptação das funções de pertinências.
No Japão na cidade de Sendai, os metrôs utilizam sistema de controle fuzzy
para a aceleração e frenagem do trem, tornando as paradas e saídas precisas e
mais suaves.

48

7. CONCLUSÃO

A modelagem de um sistema fuzzy pode acrescentar inúmeras vantagens
em relação as modelagens tradicionais. Através da utilização de uma linguagem
natural que dentro da teoria é chamado de variável e valor fuzzy busca evitar a
utilização de regras rígidas impostas pelos especialistas diminuem a habilidade de
condicionar soluções de problemas mais complexos.
A utilização da lógica fuzzy na implementação de sistemas de controle, ou de
tomadas de decisão facilitam no desenvolvimento também devido desta tecnologia
permitir uma aproximação do raciocínio humano através da utilização de variáveis e
valores fuzzy.
A capacidade da lógica fuzzy em descrever ou classificar detalhes de forma
gradual, permite uma aproximação muito maior da realidade que é marcada por ser
um sistema complexo de muitas variáveis e valores ambíguos e inexatos.

49

REFERÊNCIAS

CAMPOS FILHO, Pio. Método para apoio à decisão na verificação da
sustentabilidade de uma unidade de conservação, usando lógica Fuzzy. 2004.
Disponível em: <http://teses.eps.ufsc.br/defesa/pdf/7823.pdf>

KOSKO, Bart. Fuzzy Thinking, The new science of fuzzy logic. Hammersmith:
Flamingo, 1994.

AGUIAR, Hime; JUNIOR, Oliveira. Inteligência Computacional Aplicada à
Administração, Economia e Engenharia Matlab. Thomson Learning, 2007.

MALUTTA, César. Método de apoio à tomada de decisão sobre adequação de
aterros sanitários utilizando a Lógica Fuzzy. 2004.
Disponível em: <http://teses.eps.ufsc.br/defesa/pdf/11633.pdf>.

MCNEIL, Martin F.; THRO, Ellen. Fuzzy Logic: A Practical Approach. Chestnut
Hill, MA, EUA: AP Professional, 1994.

TSOUKALAS, Lefteri H.; UHRIG, Robert E.. Fuzzy and Neural Approaches in
Engineering. Nova Iorque, NY, EUA: Wiley Interscience, 1997.

SHAW, Ian S. e SIMÕES, Marcelo Godoy. Controle e Modelagem Fuzzy. São
Paulo: Editora Edgard Blücher, 1999

BARROS, Laecio Carvalho de & BASSANEZI, Rodney Carlos Tópicos de lógica
fuzzy e biomatemática. Campinas, UNICAMP-IMECC, 2006.

STURM, Wilerson Sturm. Avaliação do potencial de uso da lógica fuzzy para a
identificação de indicadres de competência no currículo lattes. Curitiba, 2005.
Disponível em:
<http://www.ppgte.cefetpr.br/semanatecnologia/comunicacoes/logica_fuzzy_na.pdf>

ZADEH, Lotfi A.; FU, King-sun;TANAKA, Kokichi, SHIMURA, Masamichi. Fuzzy sets
and their applications to cognitive and decision processes. Academic Press, Inc.
New York San Francisco London ,1975.

ZIMMERMANN, H. J. Fuzzy sets theory and its applications. Boston: Kluwer,
1991.

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