1. 1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x2 – 3x + 1 = 0 adalah …
A. imajiner
B. kompleks
C. nyata, rasional dan sama
D. nyata dan rasional
E. nyata, rasional dan berlainan.
PEMBAHASAN :
NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda
D < 0, memiliki akar-akar imajiner
D = 0, memiliki akar-akar riil dan kembar
D = b2 – 4ac
= (-3)2 – 4.5.1
= 9 – 20
= -11
JAWABAN : A
2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 6x2 – 2x + 3 = 0 adalah …
A. 3
B. 2
C. 1/2
D. –1/2
E. -2
PEMBAHASAN :
6x2 – 2x + 3 = 0
x1.x2 =
=
=
2. JAWABAN : C
3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai + = …
A. –2/3
B. –3/2
C. 2/3
D. 3/2
E. 5/2
PEMBAHASAN :
+ =
=
=
= -
= -
=
JAWABAN : D
4. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (x1 + 2) dan (x2 +
2)adalah …
A. x2 – x + 9 = 0
B. x2 + 5x + 9 = 0
C. x2 – 5x – 9 = 0
D. x2 – 5x + 5 = 0
E. x2 – 5x + 9 = 0
PEMBAHASAN :
PK Baru : x2 – (y1 + y2)x + y1.y2 = 0
y1 + y2 = (x1 + 2) + (x2 + 2)
3. = (x1 + x2) + 4
= - + 4
= - + 4
= 5
y1 . y2 = (x1 + 2)(x2 + 2)
= x1.x2 + 2x1 + 2x2 + 4
= x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4
= – 2 + 4
= – 2 + 4
= 3 + 2 + 4
= 9
PK Baru : x2 – 3x + 8 = 0
JAWABAN : E
5. Sumbu simetri parabola y = x2 - 5x + 3 diperoleh pada garis …
A. x = 3/2
B. x = 3/2
C. x = 5/2
D. x = 5/2
E. x = 3
PEMBAHASAN :
Karena sumbu simetri parabola pasti dilewati oleh titik puncak parabola, maka kita bisa peroleh dengan y’ = 0
Y’ = 2x – 5
0 = 2x – 5
x = 5/2
jadi sumbu simetri parabola y = x2 - 5x + 3 adalah x = 5/2
JAWABAN : D
6. Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi y = -x2 – (p – 2)x + (p – 4) adalah 6. Absis titik balik maksimum adalah …
4. A. –4
B. –2
C. – 1/6
D. 1
E. 5
PEMBAHASAN :
NOTE : ordinat = sumbu-y, absis = sumbu-x
Karena berbicara titik balik maksimum, maka kita manfaatkan turunan pertama yaitu y’ = 0
-2x – (p – 2) = 0
-2x = p – 2
x =
sehingga diperoleh titik balik maksimum = ( , 6), substitusi titik balik maksimum ke fungsi y.
6 = -( )2 – (p – 2) + (p – 4)
6 = -( ) – + + (p – 4) [kalikan 4 kedua ruas]
24 = -(4 – 4p + p2) – (4p – 2p2) + (8 – 4p) + (4p – 16)
24 = -4 + 4p – p2 – 4p + 2p2 + 8 – 4p + 4p – 16
0 = p2 – 36
p2 = 36
p1 = 6 atau p2 = -6
unutk p = 6 x = = -2
unutk p = -6 x = = 4
JAWABAN : B
7. Nilai minimum fungsi f(x) = x2 – 5x + 4 adalah ….
A. –9/4
B. 9/4
5. C. 5/2
D. -5/2
E. 4
PEMBAHASAN :
Perlu dicatat bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pasti berhubungan dengan turunan pertama yaitu f'(x)
= 0
2x – 5 = 0
x =
f( ) = ( )2 – 5. + 4
= – + 4
= – +
= -
JAWABAN : A
8. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak dititik (2, 3) dan melalui titik (-2, 1) adalah …
A. y = -1/8(x – 2)2 + 3
B. y = -1/8(x – 2)2 – 3
C. y = 1/8(x + 2)2 – 3
D. y = 1/8(x + 2)2 + 3
E. y = 1/8(x – 2)2 + 3
PEMBAHASAN :
f(x) = ax2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b
0 = 2a.2 + b
0 = 4a + b
-b = 4a … (i)
nilai fungsi pada titik puncak
f(2) = a(2)2 + b.2 + c
6. 3 = 4a + 2b + c
3 = -b + 2b + c
3 = b + c … (ii)
f(-2) = a(-2)2 + b(-2) + c
1 = 4a – 2b + c
1 = -b – 2b + c
1 = -3b + c … (iii)
eliminasi persamaan (ii) dan (iii)
b + c = 3
-3b + c = 1 -
4b = 2
b = 1/2
substitusi b = 1/2 ke persamaan (ii)
1/2 + c = 3
c = 5/2
substitusi b = 1/2 ke persamaan (i)
-1/2 = 4a
a = -1/8
f(x) = (-1/8)x2 + 1/2 x + 5/2
= (-1/8)x2 + 4/8 x + 5/2
= -1/8(x2 – 4x) + 5/2
= -1/8(x – 2)2 + 4/8 + 5/2
= -1/8(x – 2)2 + 4/8 + 20/8
= -1/8(x – 2)2 + 3
JAWABAN : A
9. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 13x + 15 = 0 adalah …
A. 3/2 dan 6
B. 3/2 dan 5
C. 1 dan 6
7. D. 2 dan 3
E. 2 dan 3/2
PEMBAHASAN :
gunakan Rumus Kecap
x1,2 =
=
=
=
=
x1 = = 5
x2 = =
JAWABAN : B
10. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (x1 + 2) dan (x2 +
2) adalah …
A. x2 + 2x + 7 = 0
B. x2 – 2x – 7 = 0
C. x2 – 2x – 5 = 0
D. x2 – 7x + 8 = 0
E. x2 + 7x + 8 = 0
PEMBAHASAN :
PK Baru : x2 – (y1 + y2)x + y1.y2 = 0
y1 + y2 = (x1 + 2) + (x2 + 2)
= (x1 + x2) + 4
= - + 4
8. = - + 4
= 7
y1 . y2 = (x1 + 2)(x2 + 2)
= x1.x2 + 2x1 + 2x2 + 4
= x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4
= – 2 + 4
= – 2 + 4
= -2 + 6 + 4
= 8
PK Baru : x2 – 7x + 8 = 0
JAWABAN : D
11. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + (a – 4) = 0. Jika x1 = 3x2, maka nilai a yang
memenuhi adalah …
A. 1
B. 3
C. 4
D. 7
E. 8
PEMBAHASAN :
x1 + x2 = -4
3x2 + x2 = -4
4x2 = -4
x2 = -1
x1 + (-1) = -4
x1 = -3
PK : x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
x2 – (-3 – 1)x + (-3)(-1) = 0
x2 + 4x + 3 = 0
9. a – 4 = 3
a = 7
JAWABAN : D
12. Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 – 3 dan
x2 – 3 adalah …
A. x2 – 2x = 0
B. x2 – 2x + 30 = 0
C. x2 + x = 0
D. x2 + x – 30 = 0
E. x2 + x + 30 = 0
PEMBAHASAN :
akar – akarnya :
x1 – 3 = y x1 = y + 3
x2 – 3 = y x2 = y + 3
13. substitusi nilai “x1” atau “x2” kepersamaan kuadrat dalam soal, sehingga menjadi :
x2 – 5x + 6 = 0
PK Baru : (y + 3)2 – 5(y + 3) + 6 = 0
y2 + 6y + 9 – 5y – 15 + 6 = 0
y2 + y = 0
JAWABAN : C
14. Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 72 m2. Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang
diagonal bidang tersebut adalah … m.
A.
B.
C.
D.
E.
PEMBAHASAN :
p = 3l
10. p x l = 72
3l x l = 72
3l2 = 72
l2 = 24
l =
p = 3l = 3. =
Diagonal =
=
=
=
=
=
JAWABAN : C [Sudah Dikoreksi]
15. Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 192 m2. Selisih panjang dan lebarnya adalah 4 m.
Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar 2 m, maka luas jalan tersebut adalah … m2.
A. 96
B. 128
C. 144
D. 156
E. 168
PEMBAHASAN :
p – l = 4
p x l = 192
(4 + l) x l = 192
4l + l2 = 192
l2 + 4l – 192 = 0
(l – 12)(l + 16) = 0
11. l = 12 atau l = -16 (tidak memenuhi)
p = 4 + l = 4 + 12 = 16
Untuk menentukan luas jalan, kita partisi-partisi menjadi 8 yaitu :
4 luas jalan yang berada di pojok-pojok kebun berbentuk persegi dengan panjang sisi 2cm : 4 x 22 = 16cm2
2 luas jalan yang berada pada panjang kebun dengan panjang sisi 12cm dan lebar 2cm : 2 x (12 x 2) = 48cm2
2 luas jalan yang berada pada lebar kebun dengan panjang sisi 8cm dan lebar 2cm : 2 x (8 x 2) = 32cm2
Jadi luas jalan yang dibangun adalah 16 + 48 + 32 = 96cm2
JAWABAN : A
16. Diketahui akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah m dan n. Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya
dan adalah …
A. x2 – 6x + 1 = 0
B. x2 + 6x + 1 = 0
C. x2 – 3x + 1 = 0
D. x2 + 6x – 1 = 0
E. x2 – 8x – 1 = 0
PEMBAHASAN :
y1 + y2 = +
=
=
=
=
=
= = 6
y1.y2 = .
=
= 1
PK Baru : y2 – (y1 + y2)y + (y1.y2) = 0
12. y2 – 6y + 1 = 0
JAWABAN : A
17. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x1
2 + x2
2 = 4, maka nilai q = …
A. -6 dan 2
B. -6 dan -2
C. -4 dan 4
D. -3 dan 5
E. -2 dan 6
PEMBAHASAN :
2 + x2
x1
2 = 4
(x1 + x2)2 – 2x1x2 = 4
(-b/a)2 – 2(c/a) = 4
(-q/2)2 – 2((q – 1)/2) = 4
q2/4 – q + 1 = 4 (kalikan 4)
q2 – 4q + 4 = 16
q2 – 4q – 12 = 0
(q – 6)(q + 2) = 0
q = 6 atau q = -2
JAWABAN : E
18. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 – 9x + c = 0 adalah 121, maka c = …
A. -8
B. -5
C. 2
D. 5
E. 8
PEMBAHASAN :
D = 121
b2 – 4ac = 121
13. (-9)2 – 4(2)(c) = 121
81 – 8c = 121
81 – 121 = 8c
-40 = 8c
-5 = c
JAWABAN : B
19. Persamaan (1 – m)x2 + (8 – 2m)x + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m = …
A. -2
B. -3/2
C. 0
D. 3/2
E. 2
PEMBAHASAN :
Akar kembar jika D = 0
b2 – 4ac = 0
(8 – 2m)2 – 4(1 – m)(12) = 0
64 – 32m + 4m2 – 48 + 48m = 0
4m2 + 16m + 16 = 0
4(m2 + 4m + 4) = 0
(m + 2)(m + 2) = 0
m1,2 = -2
JAWABAN : A [Sudah Dikoreksi]
20. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar – akarnya
dan x1 + x2 adalah …
A. x2 – 2p2x + 3p = 0
B. x2 + 2px + 3p2 = 0
C. x2 + 3px + 2p2 = 0
D. x2 – 3px + 2p2 = 0
E. x2 + p2x + p = 0
14. PEMBAHASAN :
misal :
y1 =
y2 = x1 + x2
y1 + y2 = ( ) + (x1 + x2)
= ( ) + (x1 + x2)
= ( ) + (-b/a)
= + (-b/a)
= + (-p/1)
= -3p
y1.y2 = ( ).(x1 + x2)
= ( ) + (x1 + x2)
= ( ).(-b/a)
= .(-b/a)
= .(-p/1)
= 2p2
PK Baru : y2 + (y1 + y2)y + (y1.y2) = 0
y2 + (-3p)y + (2p2) = 0
y2 – 3py + 2p2 = 0
JAWABAN : D
21. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3 dan untuk x = 0 nilai fungsi 16. Fungsi kuadrat itu
adalah …
PEMBAHASAN :
misal : f(x) = ax2 + bx + c
substitusi x = 0 untuk nilai fungsi 16, sehingga :
f(0) = a(0)2 + b(0) + c
15. 16 = c … (i)
Substitusi x = 3 untuk nilai minimum -2, sehingga :
f(3) = a(3)2 + b(3) + c
-2 = 9a + 3b + c … (ii)
f'(x) = 2ax + b
substitusi titik x = 3 (titik minimum) untuk f'(x) = 0, sehingga :
0 = 2a(3) + b
b = -6a … (iii)
substitusi (i) dan (iii) ke (ii), sehingga diperoleh :
-2 = 9a + 3b + c
-2 = 9a + 3(-6a) + 16
-2 = 9a – 18a + 16
-18 = -9a
2 = a
b = -12
f(x) = ax2 + bx + c
substitusi a = 2 , b = -12 dan c = 16
f(x) = 2x2 – 12x + 16
22. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = –2x2 + (k+5)x + 1 – 2k adalah 5. Nilai k yang positif adalah …
PEMBAHASAN :
f(x) = –2x2 + (k + 5)x + 1 – 2k
f'(x) = -4x + k + 5 = 0
-4x = -(k + 5)
x = (k + 5)/4
substitusi nilai “x” ke fungsi :
f(x) = –2x2 + (k+5)x + 1 – 2k
5 = –2( )2 + (k+5)( ) + 1 – 2k
5 = –2( ) + 4( ) +
16. 5.16 = -2k2 – 20k – 50 + 4k2 + 40k + 100 + 16 – 32k
80 = 2k2 – 12k + 66
2k2 – 12k – 14 = 0
2(k2 – 6k – 7) = 0
2(k – 7)(k + 1) = 0
k = 7 atau k = -1
23. Absis titk balik grafik fungsi f(x) = px2 + ( p – 3 )x + 2 adalah p. Nilai p = …
PEMBAHASAN :
Titik balik = titik minimum.
f(x) = px2 + ( p – 3 )x + 2
f'(x) = 2px + p – 3 = 0
substitusi x = p, sehingga diperoleh :
2p2 + p – 3 = 0
(2p + 3)(p – 1) = 0
p = -3/2 atau p = 1
24. Memfaktorkan
Contoh soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah ini dengan pemfaktoran;
a. 8 15 0 2 x x
b. 6 0 2 x x
PEMBAHASAN :
a. 8 15 2 x x = 0
(x 3)(x 5) = 0
(x 3) = 0 atau (x 5) = 0
x = 3 atau x = 5
Jadi, HP = {3, 5}
b. x 6x 2 = 0
x(x 6) = 0
x = 0 atau (x 6) = 0
17. x = 6
Jadi, HP = { 6 , 0}
60
x kalikan kedua ruas dengan (x 1)
1
3
x
60) 3)(1( x x
0 63 2 2 x x
0) 9)(7( x x
) 7 ( x = 0 atau ) 9 ( x = 0
x = 7 atau x = 9
Jadi, HP = { 9 , 7}
25. Gunakan rumus untuk menentukan akar-akar persamaan 0 15 8 2 x x
PEMBAHASAN :
8 15 0 2 x x
Maka,
a = 1
b = – 8
c = 15
Substitusi nilai a, b, c ke rumus abc
Sehingga,
( 8) ( 8) 4(1)(15) 2
2(1)
1,2
x
8 64 60
2
1,2
x
8 2
2
1
x atau
8 2
2
2
x
5 1 x atau 3 2 x
