1. O documento discute conceitos de álgebra linear como base, dimensão e coordenadas. 2. Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram V. 3. A dimensão de V é o número de vetores em qualquer base de V.

1. 34
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 4
BASE – DIMENSÃO - COORDENADAS
1 BASE
Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é um subconjunto finito
B ⊂ V satisfazendo:
a) B gera V, ou seja, o subespaço gerado por B é igual a V.
b) B é LI.
Exemplo (1): Mostre que B = {(1,2,3), (0,1,2), (1,−1,2)} é base do ℜ3.
Solução: Para verificar o item (a) da definição, vamos mostrar que qualquer vetor do ℜ3 se escreve
3
como combinação linear de B. Seja v = ( x , y, z ) ∈ ℜ . Então, existem escalares a, b e
c ∈ℜ tais que:
x =a+c


v = ( x , y, z) = a (1,2,3) + b(0,1,2) + c(1,−1,2) ⇒  y = 2a + b − c . Resolvendo
z = 3a + 2b + 2c

4x + 2y − z

a=

5

− 7 x − y + 3z

o sistema teremos: b =
, mostrando que o sistema tem solução. Logo,
5

 c = x − 2y + z

5

B gera o ℜ3. Para mostrar o item (b), lembrando que no ℜ3, se três vetores não são
1
coplanares, então eles são LI. Daí é só mostrar que o determinante 0
2 3
1 2 ≠ 0.
1 −1 2
Portanto B é base do ℜ3.
O espaço vetorial nulo V = {0} não possui base, pois o zero é LD. Todos os demais
espaços vetoriais possuem infinitas bases. De todas estas infinitas bases, uma delas é considerada a
mais simples e chamada de Base Canônica. A base canônica de todo espaço vetorial supõe-se

2. 35
conhecida, elas, geralmente, não são dadas nos exercícios. Portanto, vamos listar as base canônicas
do principais espaços vetoriais. São elas:
•
ℜ
⇒ {1}
•
ℜ2
⇒ {(1,0), (0,1)}
•
ℜ3
⇒ {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}
•
ℜn
⇒ {(1,0,...,0), (0,1,...,0),..., (0,0,...,1)}
•
M 2 x 2 (ℜ)
⇒ 

•
Pn (ℜ)
⇒ 1, t , t ,..., t
 1 0   0 1   0 0   0 0 
, 
, 
, 





 0 0   0 0   1 0   0 1 
{
2
n
}
Teorema da Invariância: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer uma de
suas bases têm o mesmo número de vetores.
► Processo Prático para obter uma base de um subespaço do ℜn
Este processo consiste em colocar os vetores candidatos a base do subespaço, dispostos
como linhas de uma matriz e escaloná-la. Depois de escalonada, retirar todas as linhas nulas. As
linhas restantes serão vetores LI e formarão a base procurada.
Exemplo (2): Seja W um subespaço do
ℜ4 que possui o seguinte sistema de geradores
[(2,1,1,0), (1,0,1,2), (0,−1,1,4), (3,0,3,6)] . Determine uma base para W.
Solução: Vamos aplicar o processo acima:
1 0

1
2
0 −1

3 0

1 2

1 0  − 2 L1 + L 2
→
1 4  −3L1 + L 4

3 6

1
2
1 0


0
1 − 1 − 4  1L 2 + L3

→
0 −1 1
4


0 0 0
0


1

0
0

0

0
1
2

1 −1 − 4
0 0
0

0 0
0

Retiradas as linhas nulas, temos que B = {(1,0,1,2), (0,1,−1,−4)} é base de W.
Definição: Um conjunto de vetores {v1 , v 2 ,..., v n } ⊂ V é dito LI-Maximal se:
a) {v1 , v 2 ,..., v n } é LI
b) {v1 , v 2 ,..., v n , w} é LD, ∀w ∈ V
.

3. 36
Proposição (1): Seja V um espaço vetorial. Um conjunto de vetores {v1 , v 2 ,..., v n } é base de V
se for LI-Maximal.
2 DIMENSÃO
Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-se Dimensão do espaço V,
denotado por dim(V), a quantidade de vetores de qualquer uma de suas bases.
OBS: Se o número de vetores de uma base de um espaço vetorial é finito, então dizemos que o
espaço é de dimensão finita. Os espaços de dimensão infinita não serão objetivos do nossos
estudos.
Assim, analisando as bases canônicas anteriormente listadas, podemos concluir:
•
dim(ℜ) = 1; dim(ℜ 2 ) = 2; dim(ℜ) 3 = 3;..., dim(ℜ n ) = n
•
dim( M 2 x 2 ) = 4 = 2 x 2
•
dim( M mxn ) = m ⋅ n
•
dim( Pn ) = n + 1
•
dim({0}) = 0
Teorema do Completamento: Em um espaço vetorial de dimensão finita, sempre podemos
completar um conjunto LI de maneira a obter uma base.
Proposição (2): Seja W ⊆ V um subespaço de V. Se dim( W ) = dim(V ) então W = V .
Proposição (3): Seja V um espaço vetorial e B = {v1 , v 2 ,..., v n } uma de suas bases. Então, todo
elemento de V se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores
da base B.
Teorema (1): Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Então:
dim( U + W ) = dim( U) + dim( W ) − dim(U ∩ W ) .
Teorema (2): Seja V um espaço vetorial tal que dim(V ) = n . Então:
a) Qualquer conjunto com n+1 ou mais vetores é LD.

4. 37
b) Qualquer conjunto LI com n vetores é base de V
4
Exemplo (3): Seja W = {( x , y, z, t ) ∈ ℜ / x − 2 y + t = 0} . Determine a dimensão de W.
Solução: Para determinar a dimensão de W é necessário determinar uma de suas bases. De W
temos que: x − 2 y + t = 0 ⇒ x = 2 y − t . Então todo vetor de W é da forma
(2 y − t , y, z, t ), ∀y, z, t ∈ ℜ . Determinando um sistema de geradores para W:
(2 y − t , y, z, t ) = y(2,1,0,0) + z(0,0,1,0) + t (−1,0,0,1) . O conjunto formado pelos
vetores S = {( 2,1,0,0), (0,0,1,0), ( −1,0,0,1)} é um sistema de geradores de W.
Aplicando o processo prático de obtenção de base teremos:
 − 1 0 0 1 2 L + L  − 1 0 0 1

 1 2

2 1 0 0  →  0 1 0 2  . A matriz está escalonada e não apresenta

 0 0 1 0
 0 0 1 0




nenhuma linha nula. Logo, os vetores são LI e constituem uma base de W, ou seja, S é
base de W. Portanto, dim( W ) = 3 .
OBS: Um erro muito comum entre os alunos é confundir a quantidade de coordenadas de um vetor,
com a quantidade de vetores de uma base. Veja o exemplo (3). A base de W é
S = {( 2,1,0,0), (0,0,1,0), (−1,0,0,1)} ,
cujos
vetores
têm
4
2
coordenadas,
mas
3
dim( W ) = 3 , porque na base S temos 3 vetores.
2
3
2
3
Exemplo (4): Seja U = [1 − 2 t , 2 t + t − t ,1 + t − t , 2 − 6t − t + t ] . Qual é a dimensão
de U?
Solução: O enunciado diz que o subespaço U ⊂ P3 (ℜ) é gerado pelos vetores dados. Para
determinar uma base de U, podemos usar o processo prático, escrevendo uma matriz com
os coeficientes dos polinômios dados.
0
0
0
0
0
1 −2
1 −2
1 −2 0






2
1 − 1 −1L1 + L3  0
2
1 − 1 −1L 2 + L3  0
2 1 − 1
0
Então: 
→
→
1
0
1 − 1 − 2 L1 + L 4  0
2
1 − 1 1L 2 + L 4  0
0 0
0





 2 − 6 − 1 1

0 − 2 −1
0
1
0 0
0






Retiradas as linhas nulas, os polinômios restantes forma uma base de U, ou seja,
B = {1 − 2 t , 2 + t 2 − t 3 } é base de U. Portanto, dim( U) = 2 .

5. 38
3
Exemplo (5): Sejam U e W, subespaços do ℜ3, onde U = {( x , y, z) ∈ ℜ / x − 2 y + z = 0} e
W = {( x , y, z) ∈ ℜ 3 / 3x + 2 y + z = 0} . Determine uma base e a dimensão para
U + W e U ∩ W . O ℜ3 = U ⊕ W ?
Solução: Primeiro, vamos determinar uma base e a dimensão para U e W. Podemos escrever:
U = {( 2 y − z, y, z), ∀y, z ∈ ℜ}
⇒
(2 y − z, y, z) = y(2,1,0) + z(−1,0,1)
⇒
B U = {(2,1,0), (−1,0,1)} é base de U ⇒ dim( U) = 2
W = {( x , y,−3x − 2 y), ∀x , y ∈ ℜ} ⇒ ( x , y,−3x − 2 y) = x (1,0,−3) + y(0,1,−2)
⇒ B W = {(1,0,−3), (0,1,−2)} é base de W ⇒ dim( W ) = 2
a) Para determinar uma base de U+W, devemos obter um sistema de geradores fazendo a
união da base de U com a base de W e usar o processo prático de obtenção de base.
Então, seja S = B U ∪ B W = {( 2,1,0), ( −1,0,1), (1,0,−3), (0,1,−2)} o sistema de
geradores de U+W. Aplicando o processo teremos:
 1

 0
 −1

 2

− 3
1


1 − 2  1L1 + L3  0
→
0
1 − 2 L1 + L 4  0


0
1
0


0
− 3
1


1 − 2  −1L2 + L 4  0
→ 
0 − 2
0


0
1
6


0
− 3
1


1 − 2  4 L3 + L 4  0
→ 
0 − 2
0


0
0
8


0
− 3

1 − 2
.
0 − 2

0
0

0
B U + W = {(1,0,−3), (0,1,−2), (0,0,−2)} é base de U+W ⇒ dim( U + W ) = 3 .
b) Pelo Teorema (1):
dim( U + W ) = dim( U) + dim( W ) − dim(U ∩ W ) ⇒
3 = 2 + 2 − dim( U ∩ W ) ⇒ dim( U ∩ W ) = 1 . Portanto, sua base tem que conter
apenas um vetor comum a U e a W. Para determinar estes vetor, que está na
interseção, fazemos:
 2a − b = α

( x , y, z) = a (2,1,0) + b(−1,0,1) = α (1,0,−3) + β(0,1,−2) ⇒ 
a =β ⇒
b = −3α − 2β

substituindo a 1ª e a 2ª equações na 3ª, teremos: b = −3( 2a − b) − 2a ⇒ b = 4a .
Então: ( x , y, z ) = a ( 2,1,0) + 4a ( −1,0,1) = a ( −2,1,4) ⇒ B U ∩ W = {( −2,1,4)} é
base de U ∩ W .
c) O ℜ3 não é soma direta de U com W porque dim( U ∩ W ) = 1 ≠ 0 ⇒
U ∩ W ≠ {0}

6. 39
Exemplo (6): Determine uma base e a dimensão para o espaço das soluções do sistema linear
x − y − z − t = 0

L :  2x + y + t = 0

z−t =0

Solução:
Como
o
sistema
L
é
SPI,
ele
possui
infinitas
soluções
do
tipo
S = {( x , y, z, t ), ∀x , y, z, t ∈ ℜ} . Este conjunto de soluções forma um espaço vetorial.
Vamos achar a solução geral do sistema L. Resolvendo o sistema, teremos:
S = {( x ,−5x ,3x ,3x ), ∀x ∈ ℜ} . Então: B = {(1,−5,3,3)} é base de S ⇒ dim(S) = 1 .
3 COORDENADAS DE UM VETOR
A partir de agora, trabalharemos, sempre, com bases ordenadas. Uma base ordenada é
aquela em que as posições dos vetores estão fixadas, ou seja, dada uma base qualquer
B = {v1 , v 2 ,..., v n } , então, v1 sempre será o primeiro vetor, v2 sempre será o segundo, assim por
diante até o último que sempre será vn.
Definição: Sejam V um espaço vetorial e B = {v1 , v 2 ,..., v n } uma de suas bases ordenadas.
Qualquer vetor v ∈ V se escreve, de maneira única, como combinação linear da base
B. Existem escalares a 1 , a 2 ,..., a n ∈ K , tais que v = a 1 v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n .
Assim, os escalares a 1 , a 2 ,..., a n são chamados de coordenadas do vetor v em relação
 a1 
 
a2 
a base B, denotado por: [ v] B =  
...
 
a 
 n
Exemplo (7): Determine as coordenadas do vetor v = ( −1,5,−8) em relação:
a) Base canônica
b) B = {(1,1,0), ( 2,01), ( 2,−1,1)}
Solução:
a) A base canônica do ℜ3 é C = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} . Então:

7. 40
a = −1
 − 1
 

v = (−1,5,−8) = a (1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) ⇒  b = 5 ⇒ [ v]C =  5 
 − 8
c = −8

 
b) Escrevendo v como combinação da base B teremos:
a + 2b + 2c = −1
 15 



v = (−1,5,−8) = a (1,1,0) + b(2,0,1) + c(2,−1,1) ⇒ 
a − c = 5 ⇒ [ v]B =  − 18 
 10 

b + c = −8



OBS: Note que, as coordenadas de qualquer vetor (de qualquer espaço vetorial) em relação à base
canônica do espaço é ele mesmo (ver exemplo (7), item (a)) . Portanto, se nada for dito, as
coordenadas de um vetor, vêm sempre dadas em relação à base canônica do espaço.
Exemplo (8): Determine as coordenadas do vetor p( t ) = 2 + 4 t + t
2
em relação a base
B = {−2,1 − t ,1 + 2 t − 3t 2 }
Solução: Vamos escrever p(t) com combinação linear dos vetores da base B. Então:
p( t ) = 2 + 4 t + t 2 = a (−2) + b(1 − t ) + c(1 + 2 t − 3t 2 ) ⇒
2 + 4 t + t 2 = (−2a + b + c) + (−b + 2c) t + (−3c) t 2
 − 7
 2
[p( t )]B =  − 14 
3
 − 1
 3
Exercícios Propostos
⇒
2 = −2a + b + c

 4 = − b + 2c

1 = −3c

⇒

8. 41
2
3
1) Seja W = {a o + a 1 t + a 2 t + a 3 t ∈ P3 (ℜ) / a o = 2a 2 − 5a 3 e a 1 = a 2 − 4a 3 } . Determine uma base e a dimensão de W.
Resp: B = {2 + t + t , − 5 − 4 t + t } ⇒ dim( W ) = 2
2
3
2) Determine uma base e a dimensão para W+U e W∩U, onde:
W = {( x , y, z, t ) ∈ ℜ 4 / x − 2 y = 0 e z = −3t}
U = {( x , y, z, t ) ∈ ℜ 4 / 2 x − y + 2z − t = 0}
Resp: B W + U = {(1,2,0,0), (0,−1,0,1), (0,0,−3,1), (0,0,0,−3)} ⇒ dim( W + U) = 4
 14 7

B W ∩ U =  , ,−3,1 ⇒ dim( W ∩ U) = 1

 3 3
 a b 

 ∈ M 2 x 2 (ℜ) / a = 2b e d = −c . Determine uma base e a dimensão de

 c d 

3) Seja W = 

W e estenda a base de W para obter uma base de M 2 x 2 (ℜ) .
0 
 2 1   0
 2 1   0 0   1 0   0 0 
, 
 e B M 2 x 2 = 

 0 0 ,  1 − 1,  0 0 ,  0 1 





 0 0   1 − 1 






Resp: B W = 

 x + y + 2z + 2 t
 − 3x + 3y − z + t

4) Determine um base e a dimensão do espaço das soluções do sistema 
− 2 x + 4 y + z + 3 t

6 y + 5z + 7 t

=0
=0
=0
=0
Resp: B = {( −7,−5,6,0), ( −5,−7,0,6)} e dim(S) = 2
3
5) Mostre que o ℜ é soma direta do ( π) : x − 2 y + 5z = 0 com a reta ( r ) :
x
y
=
= z.
2 −1