SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  7
Télécharger pour lire hors ligne
Teoria de Interpolação.
Motivação.
Vamos pensar na seguinte situação: Uma industria
consome energia elétrica durante uma jornada típica de
trabalho, de acordo com a tabela apresentada abaixo:
Hora 14.00 14.30 15.00 15.30 16.00 16.30
17.00
Pot. 139 152 165 163 142 119
97
Estas medidas feitas a intervalos regulares, dão uma
idéia do consumo de energia elétrica da fábrica. No entanto,
como devemos proceder para fazer uma estimativa do consumo
de energia, por exemplo, às 15:20 ?
Uma primeira aproximação seria ligar, com uma
reta, os valores relativos a 15:00 hrs e 15:30 hrs:
165
163
15:00 15:20 15:30
Uma segunda aproximação pode ser feita com a
utilização de mais dados, isto é, levando em consideração o
consumo às 16:00 hrs também e, em vez de se fazer uma
interpolação linear, passamos pelos três pontos uma parábola:
165 163
142
15:00 15:20 15:30 16:00
Aparentemente, esta segunda aproximação é mais
apropriada, pois considera informações adicionais. A idéia
natural para uma terceira aproximação seria considerarmos,
além do que já temos, a situação às 14:30 e, pelos quatro pontos
obtidos, passar um polinômio interpolador de terceiro grau:
Estimativa do
Consumo às
15:20hrs
14:30 15:00 15:20 15:30 16:00
O polinômio interpolador neste caso seria da forma :
a x a x a x a1
3 2
3 0+ + + .
O problema da interpolação pode ser dado na
seguinte definição:
Definição
Sendo fornecida uma série de dados (xi , x j ) , i=0,1,...n,
correspondentes aos valores de argumentos e valores de uma
função f, tal que: y = f(x), os quais foram obtidos
“experimentalmente”, deseja-se obter os valores f x( ) , x xi≠ ,
utilizando-se os pontos dados.
O objetivo da interpolação é obter o valor de
f x( ) aproximadamente. Para isso construímos, a partir dos
dados “experimentais” uma nova função φ(x) que interpola a f,
tal que:
i) ∀ xi , x0 ≤ ≤x xi n φ(xi ) = f(xi );
ii) ∀ x ∈ [ x0 , xn ] φ(xi ) ≅ f(xi ).
Pela definição anterior podemos ter vários tipos de funções que
interpolam a função. Tal pode ser visto nas figuras abaixo:
A função φ que interpola f pode pertencer a uma das
seguintes famílias:
P: polinômios : y a x a x a x an n
n n= + + + +−
−0 1
1
1...
F: Fourier : f x a ix b ixi i i( ) cos sen= +
E: exponencial : y aebx
=
S: splines : “pedaços” de polinômios, etc.
O problema da interpolação pode ser visto em dois
casos:
a) Valores tabelados: a função f pode ser dada através de uma
tabela correspondente aos valores da função para um número
limitado de valores x. como por exemplo, a função dada pela
tabela mostrada a seguir:
x0 x1 x2 x3 ....
xn
y0 y1 y2 y3 ....
yn
adimitindo-se que os valores tabelados tenham sido obtidos com
uma alta exatidão, isto é, todas as casas são corretas ou
confiáveis, resta o problema de obter os valores da função para
os pontos não tabelados.
b) Funções matemáticas conhecidas: Neste caso as funções a
serem interpoladas são conhecidas analiticamente, mas seu
cálculo é muito trabalhoso ou ainda, não podem ser calculadas
para qualquer valor do argumento.
Ex.: Função erf(x) de Bessel: erf(x) = 2 1
2 10
2 1
π
( )
!
.
( )!
−
+=
∞ +
∑
n
n
n
n
x
n
Jn
v
v
v n
x
v n v
x
( )
( )
!( )!
.=
−
+=
∞ +
∑
1
20
2
Em linhas gerais, o problema da interpolação resume-
se em: A partir de uma tabela com valores de uma função f,
onde y = f(x), com n + 1 pontos, deve-se escolher n funções fi , i
= 0,1,...,n cuja combinação usada como aproximação da função
dada :
f x c f x c f x c f x xn n( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )≅ + + + =0 0 1 1 φ
As funções fi são conhecidas e escolhidas conforme a
natureza do problema que está tabelado. O que desejamos
calcular são as constantes cj . De acordo com a definição , de
acordo com item 1, temos que a aproximação φ(x) deve
coincidir com f(x) nos pontos dados na tabela, o que nos dá o
seguinte sistema :
c f x c f x c f x y
c f x c f x c f x y
c f x c f x c f x y
n n
n n
n n n n n n
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1
( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( )
+ + + =
+ + + =
+ + + =







M
se tivéssemos f x xi
i
( ) = , ou seja, a função φ que interpola a f
será um polinômio seria:
c c x c x c x y f x
c c x c x c x f x
c c x c x c x f x
n
n
n
n
n n n n
n
n
0 1 0 2 0
2
0 0 0
0 1 1 2 1
2
1 1
0 1 2
2
+ + + + = =
+ + + + =
+ + + + =







... ( )
... ( )
... ( )
M
∴ (n+1) equações e (n+1) incógnitas : c c cn0 1, ,..., .
∴ A x = b
onde A =
1
1
1
0 0
2
0
1 1
2
1
2
x x x
x x x
x x x
n
n
n n n
n
K
K
M M M M
K












A : Matriz de Vandermond e det A ≠ 0; o sistema A x = b
admite uma solução única.
Teorema .: Dados (n+1) pontos distintos x xn0 ,..., e (n+1)
ordenadas y yn0 ,..., , existe um polinômio p(x) de grau ≤ n que
interpola yi em xi , i = 0,1,...,n. Este polinômio p(x) é único
entre todos os conjuntos de polinômios de grau no máximo n.
Interpolação Polinomial.
Por razões práticas e históricas, a classe de funções
mais usadas na interpolação são os polinômios, pois possuem a
vantagem de serem fáceis de derivar, integrar e calcular. Uma
boa razão para usarmos polinômios é dada pelo teorema abaixo:
Teorema .(Weierstrass):
Se f(x) é contínua em [a,b] então para ∀ ε > 0, ∃ um
polinômio P ( )n x de grau n, n = g(ε) tal que | f(x) - P ( )n x | < ε
para x ∈ [a,b].
Segundaultduaslinha

Contenu connexe

Tendances

Sries de taylor e de maclaurin
Sries de taylor e de maclaurinSries de taylor e de maclaurin
Sries de taylor e de maclaurinLuciana Costa
 
Composição de Funções
Composição de FunçõesComposição de Funções
Composição de FunçõesCarlos Campani
 
Graph Theory - Exercises - Chapter 5
Graph Theory - Exercises - Chapter 5Graph Theory - Exercises - Chapter 5
Graph Theory - Exercises - Chapter 5Michel Alves
 
Capítulo4 interpolação
Capítulo4 interpolaçãoCapítulo4 interpolação
Capítulo4 interpolaçãoJADSON SANTOS
 
Funçao quadratica-revisao
Funçao quadratica-revisaoFunçao quadratica-revisao
Funçao quadratica-revisaoMagda Damião
 
Funçao quadratica-revisao 2
Funçao quadratica-revisao 2Funçao quadratica-revisao 2
Funçao quadratica-revisao 2Magda Damião
 
OperaçõEs Com PolinôMios2
OperaçõEs Com PolinôMios2OperaçõEs Com PolinôMios2
OperaçõEs Com PolinôMios2guestd49fc4
 
Lista de exercícios 6 - Mat Elem
Lista de exercícios 6 - Mat ElemLista de exercícios 6 - Mat Elem
Lista de exercícios 6 - Mat ElemCarlos Campani
 
Funções exponencial e logarítmica
Funções exponencial e logarítmicaFunções exponencial e logarítmica
Funções exponencial e logarítmicaCarlos Campani
 
1 interpol polinomial_met_lagrange_newton
1 interpol polinomial_met_lagrange_newton1 interpol polinomial_met_lagrange_newton
1 interpol polinomial_met_lagrange_newtonClaudiana Furtado
 
Lista de exercícios 8 - Mat Elem
Lista de exercícios 8 - Mat ElemLista de exercícios 8 - Mat Elem
Lista de exercícios 8 - Mat ElemCarlos Campani
 

Tendances (19)

Sries de taylor e de maclaurin
Sries de taylor e de maclaurinSries de taylor e de maclaurin
Sries de taylor e de maclaurin
 
Composição de Funções
Composição de FunçõesComposição de Funções
Composição de Funções
 
Graph Theory - Exercises - Chapter 5
Graph Theory - Exercises - Chapter 5Graph Theory - Exercises - Chapter 5
Graph Theory - Exercises - Chapter 5
 
Iezzi93 109
Iezzi93 109Iezzi93 109
Iezzi93 109
 
Capítulo4 interpolação
Capítulo4 interpolaçãoCapítulo4 interpolação
Capítulo4 interpolação
 
Funções Elementares
Funções ElementaresFunções Elementares
Funções Elementares
 
Funçao quadratica-revisao
Funçao quadratica-revisaoFunçao quadratica-revisao
Funçao quadratica-revisao
 
Funçao quadratica-revisao 2
Funçao quadratica-revisao 2Funçao quadratica-revisao 2
Funçao quadratica-revisao 2
 
Função 2o grau
Função 2o grauFunção 2o grau
Função 2o grau
 
OperaçõEs Com PolinôMios2
OperaçõEs Com PolinôMios2OperaçõEs Com PolinôMios2
OperaçõEs Com PolinôMios2
 
Função Inversa
Função InversaFunção Inversa
Função Inversa
 
Lista de exercícios 6 - Mat Elem
Lista de exercícios 6 - Mat ElemLista de exercícios 6 - Mat Elem
Lista de exercícios 6 - Mat Elem
 
Funções exponencial e logarítmica
Funções exponencial e logarítmicaFunções exponencial e logarítmica
Funções exponencial e logarítmica
 
Funcoes parte1
Funcoes parte1Funcoes parte1
Funcoes parte1
 
1 interpol polinomial_met_lagrange_newton
1 interpol polinomial_met_lagrange_newton1 interpol polinomial_met_lagrange_newton
1 interpol polinomial_met_lagrange_newton
 
L hopital
L hopitalL hopital
L hopital
 
Lista de exercícios 8 - Mat Elem
Lista de exercícios 8 - Mat ElemLista de exercícios 8 - Mat Elem
Lista de exercícios 8 - Mat Elem
 
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
Formulario 12º ano
Formulario 12º anoFormulario 12º ano
Formulario 12º ano
 

En vedette

3b5d17 748a8b99e224a1bf91f42123e5388634
3b5d17 748a8b99e224a1bf91f42123e53886343b5d17 748a8b99e224a1bf91f42123e5388634
3b5d17 748a8b99e224a1bf91f42123e5388634JADSON SANTOS
 
Aplicac3a7c3a3o da-abordagem-gqm-para-a-definic3a7c3a3o-de-um-processo-de-eng...
Aplicac3a7c3a3o da-abordagem-gqm-para-a-definic3a7c3a3o-de-um-processo-de-eng...Aplicac3a7c3a3o da-abordagem-gqm-para-a-definic3a7c3a3o-de-um-processo-de-eng...
Aplicac3a7c3a3o da-abordagem-gqm-para-a-definic3a7c3a3o-de-um-processo-de-eng...JADSON SANTOS
 
Doc matematica _744794884
Doc matematica _744794884Doc matematica _744794884
Doc matematica _744794884JADSON SANTOS
 
Cálculo Numérico - Aula 03: Zeros de funções
Cálculo Numérico - Aula 03: Zeros de funçõesCálculo Numérico - Aula 03: Zeros de funções
Cálculo Numérico - Aula 03: Zeros de funçõesRodolfo Almeida
 
Cálculo Numérico: Interpolação Polinomial com Bubble Sort
Cálculo Numérico: Interpolação Polinomial com Bubble SortCálculo Numérico: Interpolação Polinomial com Bubble Sort
Cálculo Numérico: Interpolação Polinomial com Bubble SortJohnnatan Messias
 
Cálculo Numérico - Introdução
Cálculo Numérico - IntroduçãoCálculo Numérico - Introdução
Cálculo Numérico - IntroduçãoKleber Jacinto
 
Indutores e transformadores
Indutores e transformadoresIndutores e transformadores
Indutores e transformadoresJADSON SANTOS
 
Geometria Analitica e Software Dinamico Geogebra
Geometria Analitica e Software Dinamico GeogebraGeometria Analitica e Software Dinamico Geogebra
Geometria Analitica e Software Dinamico GeogebraMarcia Martins
 
Equações Algébricas e Transcendentes - Método da Bisseção - @professorenan
Equações Algébricas e Transcendentes - Método da Bisseção - @professorenanEquações Algébricas e Transcendentes - Método da Bisseção - @professorenan
Equações Algébricas e Transcendentes - Método da Bisseção - @professorenanRenan Gustavo
 

En vedette (20)

Lista05
Lista05Lista05
Lista05
 
Capítulo 5
Capítulo 5Capítulo 5
Capítulo 5
 
3b5d17 748a8b99e224a1bf91f42123e5388634
3b5d17 748a8b99e224a1bf91f42123e53886343b5d17 748a8b99e224a1bf91f42123e5388634
3b5d17 748a8b99e224a1bf91f42123e5388634
 
Juroscompostos
JuroscompostosJuroscompostos
Juroscompostos
 
Aplicac3a7c3a3o da-abordagem-gqm-para-a-definic3a7c3a3o-de-um-processo-de-eng...
Aplicac3a7c3a3o da-abordagem-gqm-para-a-definic3a7c3a3o-de-um-processo-de-eng...Aplicac3a7c3a3o da-abordagem-gqm-para-a-definic3a7c3a3o-de-um-processo-de-eng...
Aplicac3a7c3a3o da-abordagem-gqm-para-a-definic3a7c3a3o-de-um-processo-de-eng...
 
Capitulo 3
Capitulo 3Capitulo 3
Capitulo 3
 
Doc matematica _744794884
Doc matematica _744794884Doc matematica _744794884
Doc matematica _744794884
 
Aula4 reguladores
Aula4 reguladoresAula4 reguladores
Aula4 reguladores
 
Bissecção
Bissecção Bissecção
Bissecção
 
Cálculo Numérico - Aula 03: Zeros de funções
Cálculo Numérico - Aula 03: Zeros de funçõesCálculo Numérico - Aula 03: Zeros de funções
Cálculo Numérico - Aula 03: Zeros de funções
 
Método da bisseção
Método da bisseçãoMétodo da bisseção
Método da bisseção
 
Elepot2006 proj (1)
Elepot2006 proj (1)Elepot2006 proj (1)
Elepot2006 proj (1)
 
Cálculo Numérico: Interpolação Polinomial com Bubble Sort
Cálculo Numérico: Interpolação Polinomial com Bubble SortCálculo Numérico: Interpolação Polinomial com Bubble Sort
Cálculo Numérico: Interpolação Polinomial com Bubble Sort
 
Cálculo Numérico - Introdução
Cálculo Numérico - IntroduçãoCálculo Numérico - Introdução
Cálculo Numérico - Introdução
 
Geometria Analítica I (AP 01)
Geometria Analítica I (AP 01)Geometria Analítica I (AP 01)
Geometria Analítica I (AP 01)
 
Indutores e transformadores
Indutores e transformadoresIndutores e transformadores
Indutores e transformadores
 
Geometria Analitica e Software Dinamico Geogebra
Geometria Analitica e Software Dinamico GeogebraGeometria Analitica e Software Dinamico Geogebra
Geometria Analitica e Software Dinamico Geogebra
 
Equações Algébricas e Transcendentes - Método da Bisseção - @professorenan
Equações Algébricas e Transcendentes - Método da Bisseção - @professorenanEquações Algébricas e Transcendentes - Método da Bisseção - @professorenan
Equações Algébricas e Transcendentes - Método da Bisseção - @professorenan
 
Inter pol
Inter polInter pol
Inter pol
 
Cálculo numérico
Cálculo numéricoCálculo numérico
Cálculo numérico
 

Similaire à Segundaultduaslinha

1 integr num_simples
1 integr num_simples1 integr num_simples
1 integr num_simplesHeron Soares
 
1 integr num_simples
1 integr num_simples1 integr num_simples
1 integr num_simplesHeron Soares
 
Mn aula06-interpolacao
Mn aula06-interpolacaoMn aula06-interpolacao
Mn aula06-interpolacaoJADSON SANTOS
 
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011David Azevedo
 
Teste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvidoTeste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvidoMaths Tutoring
 
Material sobre a Derivada
Material sobre a DerivadaMaterial sobre a Derivada
Material sobre a DerivadaEinstein Rafael
 
6935889 anpadfev2003
6935889 anpadfev20036935889 anpadfev2003
6935889 anpadfev2003Andre Somar
 
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iii
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis   unid iiiCálculo diferencial e integral de várias variáveis   unid iii
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
 
Função quadrática
Função quadráticaFunção quadrática
Função quadráticajwfb
 
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-SebastiãoApostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-SebastiãoMadson Batista
 
Trabalho de Cálculo Numérico
Trabalho  de Cálculo NuméricoTrabalho  de Cálculo Numérico
Trabalho de Cálculo NuméricoItaylane Malta
 

Similaire à Segundaultduaslinha (20)

Fourier
FourierFourier
Fourier
 
Cálculo usando MatLab
Cálculo usando MatLabCálculo usando MatLab
Cálculo usando MatLab
 
1 integr num_simples
1 integr num_simples1 integr num_simples
1 integr num_simples
 
1 integr num_simples
1 integr num_simples1 integr num_simples
1 integr num_simples
 
Mn aula06-interpolacao
Mn aula06-interpolacaoMn aula06-interpolacao
Mn aula06-interpolacao
 
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
 
metodos_edo.pdf
metodos_edo.pdfmetodos_edo.pdf
metodos_edo.pdf
 
Teste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvidoTeste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvido
 
Anpad fev-2003
Anpad fev-2003Anpad fev-2003
Anpad fev-2003
 
2_Funçoes.pdf
2_Funçoes.pdf2_Funçoes.pdf
2_Funçoes.pdf
 
Teste Derivadas
Teste DerivadasTeste Derivadas
Teste Derivadas
 
Material sobre a Derivada
Material sobre a DerivadaMaterial sobre a Derivada
Material sobre a Derivada
 
6935889 anpadfev2003
6935889 anpadfev20036935889 anpadfev2003
6935889 anpadfev2003
 
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iii
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis   unid iiiCálculo diferencial e integral de várias variáveis   unid iii
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iii
 
Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.
 
Função quadrática
Função quadráticaFunção quadrática
Função quadrática
 
Apostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-SebastiãoApostila Cálculo 1-Sebastião
Apostila Cálculo 1-Sebastião
 
Revisao 2 2019.pdf
Revisao 2 2019.pdfRevisao 2 2019.pdf
Revisao 2 2019.pdf
 
Cursocalc1ead
Cursocalc1eadCursocalc1ead
Cursocalc1ead
 
Trabalho de Cálculo Numérico
Trabalho  de Cálculo NuméricoTrabalho  de Cálculo Numérico
Trabalho de Cálculo Numérico
 

Dernier

Peixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES Monelos
Peixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES MonelosPeixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES Monelos
Peixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES MonelosAgrela Elvixeo
 
Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024gilmaraoliveira0612
 
aula 1.pptx Ementa e Plano de ensino Filosofia
aula 1.pptx Ementa e  Plano de ensino Filosofiaaula 1.pptx Ementa e  Plano de ensino Filosofia
aula 1.pptx Ementa e Plano de ensino FilosofiaLucliaResende1
 
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfItaloAtsoc
 
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdfRitoneltonSouzaSanto
 
Verbos - transitivos e intransitivos.pdf
Verbos -  transitivos e intransitivos.pdfVerbos -  transitivos e intransitivos.pdf
Verbos - transitivos e intransitivos.pdfKarinaSouzaCorreiaAl
 
A CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARX
A CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARXA CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARX
A CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARXHisrelBlog
 
A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...
A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...
A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...Unidad de Espiritualidad Eudista
 
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entenderautismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entenderLucliaResende1
 
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegraTermo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegrafernando846621
 
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...Colaborar Educacional
 
Poder do convencimento,........... .
Poder do convencimento,...........         .Poder do convencimento,...........         .
Poder do convencimento,........... .WAGNERJESUSDACUNHA
 
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptxRessonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptxPatriciaFarias81
 
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...Colaborar Educacional
 
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974AnaRitaFreitas7
 
QUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptx
QUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptxQUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptx
QUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptxAntonioVieira539017
 
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptxAula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptxMarceloDosSantosSoar3
 

Dernier (20)

Peixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES Monelos
Peixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES MonelosPeixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES Monelos
Peixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES Monelos
 
Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024
 
aula 1.pptx Ementa e Plano de ensino Filosofia
aula 1.pptx Ementa e  Plano de ensino Filosofiaaula 1.pptx Ementa e  Plano de ensino Filosofia
aula 1.pptx Ementa e Plano de ensino Filosofia
 
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
 
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
 
Abordagem 2. Análise temática (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 2. Análise temática (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdfAbordagem 2. Análise temática (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 2. Análise temática (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
 
Abordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdfAbordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
 
(42-ESTUDO - LUCAS) DISCIPULO DE JESUS
(42-ESTUDO - LUCAS)  DISCIPULO  DE JESUS(42-ESTUDO - LUCAS)  DISCIPULO  DE JESUS
(42-ESTUDO - LUCAS) DISCIPULO DE JESUS
 
Verbos - transitivos e intransitivos.pdf
Verbos -  transitivos e intransitivos.pdfVerbos -  transitivos e intransitivos.pdf
Verbos - transitivos e intransitivos.pdf
 
A CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARX
A CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARXA CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARX
A CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARX
 
A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...
A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...
A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...
 
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entenderautismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
 
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegraTermo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
 
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
 
Poder do convencimento,........... .
Poder do convencimento,...........         .Poder do convencimento,...........         .
Poder do convencimento,........... .
 
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptxRessonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
 
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
 
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
 
QUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptx
QUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptxQUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptx
QUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptx
 
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptxAula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
 

Segundaultduaslinha

  • 1. Teoria de Interpolação. Motivação. Vamos pensar na seguinte situação: Uma industria consome energia elétrica durante uma jornada típica de trabalho, de acordo com a tabela apresentada abaixo: Hora 14.00 14.30 15.00 15.30 16.00 16.30 17.00 Pot. 139 152 165 163 142 119 97 Estas medidas feitas a intervalos regulares, dão uma idéia do consumo de energia elétrica da fábrica. No entanto, como devemos proceder para fazer uma estimativa do consumo de energia, por exemplo, às 15:20 ? Uma primeira aproximação seria ligar, com uma reta, os valores relativos a 15:00 hrs e 15:30 hrs: 165 163 15:00 15:20 15:30 Uma segunda aproximação pode ser feita com a utilização de mais dados, isto é, levando em consideração o consumo às 16:00 hrs também e, em vez de se fazer uma interpolação linear, passamos pelos três pontos uma parábola: 165 163
  • 2. 142 15:00 15:20 15:30 16:00 Aparentemente, esta segunda aproximação é mais apropriada, pois considera informações adicionais. A idéia natural para uma terceira aproximação seria considerarmos, além do que já temos, a situação às 14:30 e, pelos quatro pontos obtidos, passar um polinômio interpolador de terceiro grau: Estimativa do Consumo às 15:20hrs 14:30 15:00 15:20 15:30 16:00 O polinômio interpolador neste caso seria da forma : a x a x a x a1 3 2 3 0+ + + . O problema da interpolação pode ser dado na seguinte definição: Definição Sendo fornecida uma série de dados (xi , x j ) , i=0,1,...n, correspondentes aos valores de argumentos e valores de uma função f, tal que: y = f(x), os quais foram obtidos
  • 3. “experimentalmente”, deseja-se obter os valores f x( ) , x xi≠ , utilizando-se os pontos dados. O objetivo da interpolação é obter o valor de f x( ) aproximadamente. Para isso construímos, a partir dos dados “experimentais” uma nova função φ(x) que interpola a f, tal que: i) ∀ xi , x0 ≤ ≤x xi n φ(xi ) = f(xi ); ii) ∀ x ∈ [ x0 , xn ] φ(xi ) ≅ f(xi ). Pela definição anterior podemos ter vários tipos de funções que interpolam a função. Tal pode ser visto nas figuras abaixo: A função φ que interpola f pode pertencer a uma das seguintes famílias: P: polinômios : y a x a x a x an n n n= + + + +− −0 1 1 1... F: Fourier : f x a ix b ixi i i( ) cos sen= + E: exponencial : y aebx = S: splines : “pedaços” de polinômios, etc. O problema da interpolação pode ser visto em dois casos: a) Valores tabelados: a função f pode ser dada através de uma tabela correspondente aos valores da função para um número
  • 4. limitado de valores x. como por exemplo, a função dada pela tabela mostrada a seguir: x0 x1 x2 x3 .... xn y0 y1 y2 y3 .... yn adimitindo-se que os valores tabelados tenham sido obtidos com uma alta exatidão, isto é, todas as casas são corretas ou confiáveis, resta o problema de obter os valores da função para os pontos não tabelados. b) Funções matemáticas conhecidas: Neste caso as funções a serem interpoladas são conhecidas analiticamente, mas seu cálculo é muito trabalhoso ou ainda, não podem ser calculadas para qualquer valor do argumento. Ex.: Função erf(x) de Bessel: erf(x) = 2 1 2 10 2 1 π ( ) ! . ( )! − += ∞ + ∑ n n n n x n Jn v v v n x v n v x ( ) ( ) !( )! .= − += ∞ + ∑ 1 20 2
  • 5. Em linhas gerais, o problema da interpolação resume- se em: A partir de uma tabela com valores de uma função f, onde y = f(x), com n + 1 pontos, deve-se escolher n funções fi , i = 0,1,...,n cuja combinação usada como aproximação da função dada : f x c f x c f x c f x xn n( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )≅ + + + =0 0 1 1 φ As funções fi são conhecidas e escolhidas conforme a natureza do problema que está tabelado. O que desejamos calcular são as constantes cj . De acordo com a definição , de acordo com item 1, temos que a aproximação φ(x) deve coincidir com f(x) nos pontos dados na tabela, o que nos dá o seguinte sistema : c f x c f x c f x y c f x c f x c f x y c f x c f x c f x y n n n n n n n n n n 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) + + + = + + + = + + + =        M se tivéssemos f x xi i ( ) = , ou seja, a função φ que interpola a f será um polinômio seria: c c x c x c x y f x c c x c x c x f x c c x c x c x f x n n n n n n n n n n 0 1 0 2 0 2 0 0 0 0 1 1 2 1 2 1 1 0 1 2 2 + + + + = = + + + + = + + + + =        ... ( ) ... ( ) ... ( ) M ∴ (n+1) equações e (n+1) incógnitas : c c cn0 1, ,..., .
  • 6. ∴ A x = b onde A = 1 1 1 0 0 2 0 1 1 2 1 2 x x x x x x x x x n n n n n n K K M M M M K             A : Matriz de Vandermond e det A ≠ 0; o sistema A x = b admite uma solução única. Teorema .: Dados (n+1) pontos distintos x xn0 ,..., e (n+1) ordenadas y yn0 ,..., , existe um polinômio p(x) de grau ≤ n que interpola yi em xi , i = 0,1,...,n. Este polinômio p(x) é único entre todos os conjuntos de polinômios de grau no máximo n. Interpolação Polinomial. Por razões práticas e históricas, a classe de funções mais usadas na interpolação são os polinômios, pois possuem a vantagem de serem fáceis de derivar, integrar e calcular. Uma boa razão para usarmos polinômios é dada pelo teorema abaixo: Teorema .(Weierstrass): Se f(x) é contínua em [a,b] então para ∀ ε > 0, ∃ um polinômio P ( )n x de grau n, n = g(ε) tal que | f(x) - P ( )n x | < ε para x ∈ [a,b].